modulo subgrup normal

19
KONSULTA SOAL KON NIKODEMUS O. ATIE ICHSAN A. PRADANA FAKULTAS J UN ASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1 NSULTASI STRUKTUR ALJABAR 1 “SUBGRUP NORMAL” ( MODULO ) OLEH PHELIPUS ME YANES A. MALELA S KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN JURUSAN PENDIDIKAN MIPA NIVERSITAS NUSA CENDANA KUPANG / 2013 ERE AK

Upload: phelipus-mere

Post on 27-Oct-2015

357 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

SOAL KONSULTASI STRUKTUR ALJABAR 1“SUBGRUP NORMAL”

( MODULO )OLEH

NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE

ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

KUPANG / 2013

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

SOAL KONSULTASI STRUKTUR ALJABAR 1“SUBGRUP NORMAL”

( MODULO )OLEH

NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE

ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

KUPANG / 2013

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

SOAL KONSULTASI STRUKTUR ALJABAR 1“SUBGRUP NORMAL”

( MODULO )OLEH

NIKODEMUS O. ATIE PHELIPUS MERE

ICHSAN A. PRADANA YANES A. MALELAK

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

UNIVERSITAS NUSA CENDANA

KUPANG / 2013

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

1. Diketahui − {0} = {1} dikenakan operasi perkalian modulo merupakan grup. Misalkan= {1} merupakan subset dari − {0} dikenakan operasi perkalian modulo 2, tunjukkanbahwa subgrup dari − {0} ! Jika subgrup dari − {0}, tunjukkan bahwa adalahsubgrup normal !Penyelesaian : Adit bahwa { , } merupakan grup.

Tabel Daftar Cayley

1

1 1

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlaku sifattertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.

b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.

c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasil perkalianunsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 1Jadi, { , } merupakan monoid.

d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa, 1 inversnya 1.

Berdasarkan penyelesaian a, b, c dan d terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 2 adalah grup maka subgrup dari − { }. Adit adalah subgrup normal.

Ambil 1 ∈ , 1 ∈ − {0}Adit (1)(1)(1) ∈Maka :(1)(1)(1) = (1)(1)(1)= 1 ∈

Karena untuk semua ∈ − {0} dimana ⊆ maka adalah subgrup normal.

2. Diketahui − {0} = {1, 2} dikenakan operasi perkalian modulo merupakan grup. Misalkan= {1}, = {2} dan = {1, 2} masing-masing merupakan subset dari − {0} dikenakanoperasi perkalian modulo 3, tunjukkan bahwa , subgrup dari − {0} ! Jika, subgrup dari − {0}, tunjukkan bahwa , adalah subgrup normal !

UnsurKesatuan

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Penyelesaian : Adit bahwa,

{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley

1

1 1

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.

b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.

c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 1Jadi, { , } merupakan monoid.

d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa, 1 inversnya 1.

Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 3 adalah grup maka subgrup dari − { }.

{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley

2

2 1

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur tidak ada di dalam makatidak berlaku sifat tertutup. Jadi, { , } bukan merupakan grupoid.

Berdasarkan penyelesaian a) terlihat bahwa { , } bukan merupakan grupoid maka { , }bukan grup. Karena { , } bukan grup maka bukan subgrup dari − { }.

UnsurKesatuan

UnsurKesatuan

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley

1 2

1 1 2

2 2 1

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.

b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.

c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 2 = 2 x 1 = 2Jadi, { , } merupakan monoid.

d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 12 inversnya 2

Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 3 adalah grup maka subgrup dari − { }. Adit bahwa,

adalah subgrup normal Ambil 1 ∈ , 1 ∈ − {0}

Adit, (1)(1)(1) ∈Maka :(1)(1)(1) = (1)(1)(1)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(1)(2) ∈Maka :(2)(1)(2) = (2)(1)(2)= 1 ∈

Karena ada ∈ − {0} dimana ⊆ maka subgrup normal.

Unsur

Kesatuan

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

adalah subgrup normal Ambil 1 ∈ , 1 ∈ − {0}

Adit, (1)(1)(1) ∈Maka :(1)(1)(1) = (1)(1)(1)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(1)(2) ∈Maka :(2)(1)(2) = (2)(1)(2)= 1 ∈

Ambil 2 ∈ , 1 ∈ − {0}Adit, (1)(2)(1) ∈Maka :(1)(2)(1) = (1)(2)(1)= 2 ∈

Ambil 2 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(2)(2) ∈Maka :(2)(2)(2) = (2)(2)(2)= 2 ∈

Karena ada ∈ − {0} dimana ⊆ maka subgrup normal.

3. Diketahui − {0} = {1, 2, 3, 4} dikenakan operasi perkalian modulo merupakan grup.Misalkan = {1, 4}, = {2, 3} dan = {1, 2, 4} masing-masing merupakan subset dari− {0} dikenakan operasi perkalian modulo 5, tunjukkan bahwa , subgrup dari− {0} ! Jika , subgrup dari − {0}, tunjukkan bahwa , adalahsubgrup normal !Penyelesaian : Adit bahwa,

{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley

1 4

1 1 4

4 4 1

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.

b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.

c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 4 = 4 x 1 = 4Jadi, { , } merupakan monoid.

Unsur

Kesatuan

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 14 inversnya 4

Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 5 adalah grup maka subgrup dari − { }.

{ , } merupakan grupTabel Daftar Cayley

2 3

2 4 1

3 1 4

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa ada hasil perkalian unsur yang tidak ada di dalam

maka tidak berlaku sifat tertutup. Jadi, { , } bukan merupakan grupoid.Berdasarkan penyelesaian a) terlihat bahwa { , } bukan grup. Karena { , } bukan grupmaka bukan subgrup dari − { }.

{ , } merupakan grupTabel Daftar Cayley

1 2 4

1 1 2 4

2 1 4 3

4 4 3 1

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa ada hasil perkalian unsur yang tidak ada di dalam

maka tidak berlaku sifat tertutup. Jadi, { , } bukan merupakan grupoid.Berdasarkan penyelesaian a) terlihat bahwa { , } bukan grup. Karena { , } bukan grupmaka bukan subgrup dari − { }.

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Akan ditunjukkan bahwa, adalah subgrup normal Ambil 1 ∈ , 1 ∈ − {0}

Adit, (1)(1)(1) ∈Maka :(1)(1)(1) = (1)(1)(1)

= 1 ∈ Ambil 1 ∈ , 2 ∈ − {0}

Adit, (2)(1)(2) ∈Maka :(2)(1)(2) = (2)(1)(3)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(1)(3) ∈Maka :(3)(1)(3) = (3)(1)(2)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(1)(4) ∈Maka :(4)(1)(4) = (4)(1)(4)= 1 ∈

Ambil 4 ∈ , 1 ∈ − {0}Adit, (1)(4)(1) ∈Maka :(1)(4)(1) = (1)(4)(1)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(4)(2) ∈Maka :(2)(4)(2) = (2)(4)(3)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(4)(3) ∈Maka :(3)(4)(3) = (3)(4)(2)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(4)(4) ∈Maka :(4)(4)(4) = (4)(4)(4)= 4 ∈

Karena ada ∈ − {0} dimana ⊆ maka subgrup normal.

4. Diketahui − {0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dikenakan operasi perkalian modulo merupakan grup.Misalkan = {1, 6}, = {1, 2, 4} dan = {3, 4, 5, 6} masing-masing merupakan subset dari− {0} dikenakan operasi perkalian modulo 7, tunjukkan bahwa , subgrup dari− {0} ! Jika , subgrup dari − {0}, tunjukkan bahwa , adalahsubgrup normal !Penyelesaian : Adit bahwa,

{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley

1 6

1 1 6

6 6 1

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?

Unsur

Kesatuan

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.

b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.

c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 6 = 6x 1 = 6Jadi, { , } merupakan monoid.

d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 16 inversnya 6

Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 7 adalah grup maka subgrup dari − { }.

{ , } merupakan grupTabel Daftar Cayley

1 2 4

1 1 2 4

2 2 4 1

4 4 1 2

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.

b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.

c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 2 = 2 x 1 = 21 x 4 = 4 x 1 = 4Jadi, { , } merupakan monoid.

Unsur

Kesatuan

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 12inversnya 44 inversnya 2

Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 7 adalah grup maka subgrup dari − { }

{ , } merupakan grupTabel Daftar Cayley

3 4 5 6

3 2 5 1 4

4 5 2 6 3

5 1 6 4 2

6 4 3 2 1

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa ada hasil perkalian unsur yang tidak ada di dalam

maka tidak berlaku sifat tertutup. Jadi, { , } bukan merupakan grupoid.Berdasarkan penyelesaian a) terlihat bahwa { , } bukan grup. Karena { , } bukan grupmaka bukan subgrup dari − { }. Akan ditunjukkan bahwa,

adalah subgrup normal Ambil 1 ∈ , 1 ∈ − {0}

Adit, (1)(1)(1) ∈Maka :(1)(1)(1) = (1)(1)(1)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(1)(2) ∈Maka :(2)(1)(2) = (2)(1)(4)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(1)(3) ∈Maka :(3)(1)(3) = (3)(1)(5)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(1)(4) ∈Maka :(4)(1)(4) = (4)(1)(2)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(1)(5) ∈Maka :(5)(1)(5) = (5)(1)(3)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(1)(6) ∈Maka :(6)(1)(6) = (6)(1)(6)= 1 ∈

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Ambil 6 ∈ , 1 ∈ − {0}Adit, (1)(6)(1) ∈Maka :(1)(6)(1) = (1)(6)(1)= 6 ∈

Ambil 6 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(6)(2) ∈Maka :(2)(6)(2) = (2)(6)(4)= 6 ∈

Ambil 6 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(6)(3) ∈Maka :(3)(6)(3) = (3)(6)(5)= 6 ∈

Ambil 6 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(6)(4) ∈Maka :(4)(6)(4) = (4)(6)(2)= 6 ∈

Ambil 6 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(6)(5) ∈Maka :(5)(6)(5) = (5)(6)(3)= 6 ∈

Ambil 6 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(6)(6) ∈Maka :(6)(6)(6) = (6)(6)(6)= 6 ∈

Karena ada ∈ − {0} dimana ⊆ maka subgrup normal.

adalah subgrup normal Ambil 1 ∈ , 1 ∈ − {0}

Adit, (1)(1)(1) ∈Maka :(1)(1)(1) = (1)(1)(1)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(1)(2) ∈Maka :(2)(1)(2) = (2)(1)(4)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(1)(3) ∈Maka :(3)(1)(3) = (3)(1)(5)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ 4 ∈ − {0}Adit, (4)(1)(4) ∈Maka :(4)(1)(4) = (4)(1)(2)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(1)(5) ∈Maka :(5)(1)(5) = (5)(1)(3)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(1)(6) ∈Maka :(6)(1)(6) = (6)(1)(6)= 1 ∈

Ambil 2 ∈ 1 ∈ − {0}Adit, (1)(2)(1) ∈Maka :(1)(2)(1) = (1)(2)(1)= 2 ∈

Ambil 2 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(2)(2) ∈Maka :(2)(2)(2 = (2)(2)(4)= 2 ∈

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Ambil 2 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(2)(3) ∈Maka :(3)(2)(3) = (3)(2)(5)= 2 ∈

Ambil 2 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(2)(4) ∈Maka :(4)(2)(4) = (4)(2)(2)= 2 ∈

Ambil 2 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(2)(5) ∈Maka :(5)(2)(5) = (5)(2)(3)= 2 ∈

Ambil 2 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(2)(6) ∈Maka :(6)(2)(6) = (6)(2)(6)= 2 ∈

Ambil 4 ∈ , 1 ∈ − {0}Adit, (1)(4)(1) ∈Maka :(1)(4)(1) = (1)(4)(1)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(4)(2) ∈Maka :(2)(4)(2) = (2)(4)(4)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(4)(3) ∈Maka :(3)(4)(3) = (3)(4)(5)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(4)(4) ∈Maka :(4)(4)(4) = (4)(4)(2)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(4)(5) ∈Maka :(5)(4)(5) = (5)(4)(3)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(4)(6) ∈Maka :(6)(4)(6) = (6)(4)(6)= 4 ∈

Karena ada ∈ − {0} dimana ⊆ maka subgrup normal.

5. Diketahui − {0} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dikenakan operasi perkalian modulomerupakan grup. Misalkan = {1, 10}, = {2, 3, 7} dan = {1, 3, 4, 5, 9} masing-masingmerupakan subset dari − {0}dikenakan operasi perkalian modulo 11, tunjukkan bahwa, subgrup dari − {0} ! Jika , subgrup dari − {0}, tunjukkanbahwa , adalah subgrup normal !

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Penyelesaian : Adit bahwa,

{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley

1 10

1 1 10

10 10 1

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.

b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.

c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 10 = 10 x 1 = 10Jadi, { , } merupakan monoid.

d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 110 inversnya 10

Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 11 adalah grup maka subgrup dari − { }.

{ , } merupakan grupTabel Daftar Cayley

2 3 7

2 4 6 3

3 6 9 10

7 3 10 5

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa ada hasil perkalian unsur yang tidak ada di dalam

maka tidak berlaku sifat tertutup. Jadi, { , } bukan merupakan grupoid.

Unsur

Kesatuan

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Berdasarkan penyelesaian a) terlihat bahwa { , } bukan grup. Karena { , } bukan grupmaka bukan subgrup dari − { }.

{ , } merupakan grup.Tabel Daftar Cayley

1 3 4 5 91 1 3 4 5 9

3 3 9 1 4 54 4 1 5 9 35 5 4 9 3 1

9 9 5 3 1 4

a) Apakah { , } merupakan grupoid ?Dari tabel terlihat bahwa hasil perkalian unsur ada di dalam maka berlakusifat tertutup. Jadi, { , } merupakan grupoid.

b) Apakah { , } merupakan semi grup ?Dari tabel terlihat bahwa unsur-unsur simetri pada diagonal utama maka { , }bersifat asosiatif. Jadi, { , } merupakan semi grup.

c) Apakah { , } merupakan monoid ?Dari tabel terlihat bahwa 1 adalah unsur kesatuan di { , } karena hasilperkalian unsur menghasilkan dirinya sendiri.1 x 1 = 1 x 1 = 11 x 3 = 3 x 1 = 31 x 4 = 4 x 1 = 41 x 5 = 5 x 1 = 51 x 9 = 9 x 1 = 9Jadi, { , } merupakan monoid.

d) Apakah { , } memiliki invers ?Dari tabel terlihat bahwa,1 inversnya 13 inversnya 44 inversnya 35 inversnya 99 inversnya 5

Berdasarkan penyelesaian a), b), c) dan d) terlihat bahwa { , } merupakan grup. Karenayang dikenakan operasi perkalian modulo 11 adalah grup maka subgrup dari − { }.

Unsur

Kesatuan

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Akan ditunjukkan bahwa, adalah subgrup normal Ambil 1 ∈ , 1 ∈ − {0}

Adit, (1)(1)(1) ∈Maka :(1)(1)(1) = (1)(1)(1)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(1)(2) ∈Maka :(2)(1)(2) = (2)(1)(6)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(1)(3) ∈Maka :(3)(1)(3) = (3)(1)(4)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(1)(4) ∈Maka :(4)(1)(4) = (4)(1)(3)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(1)(5) ∈Maka :(5)(1)(5) = (5)(1)(9)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(1)(6) ∈Maka :(6)(1)(6) = (6)(1)(2)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 7 ∈ − {0}Adit, (7)(1)(7) ∈Maka :(7)(1)(7) = (7)(1)(8)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 8 ∈ − {0}Adit, (8)(1)(8) ∈Maka :(8)(1)(8) = (8)(1)(7)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 9 ∈ − {0}Adit, (9)(1)(9) ∈Maka :(9)(1)(9) = (9)(1)(5)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 10 ∈ − {0}Adit, (10)(1)(10) ∈Maka :(10)(1)(10) = (10)(1)(10)= 1 ∈

Ambil 10 ∈ , 1 ∈ − {0}Adit, (1)(10)(1) ∈Maka :(1)(10)(1) = (1)(10)(1)= 10 ∈

Ambil 10 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(10)(2) ∈Maka :(2)(10)(2) = (2)(10)(6)= 10 ∈

Ambil 10 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(10)(3) ∈Maka :(3)(10)(3) = (3)(10)(4)= 10 ∈

Ambil 10 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(10)(4) ∈Maka :(4)(10)(4) = (4)(10)(3)= 10 ∈

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Ambil 10 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(10)(5) ∈Maka :(5)(10)(5) = (5)(10)(9)= 10 ∈

Ambil 10 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(10)(6) ∈Maka :(6)(10)(6) = (6)(10)(2)= 10 ∈

Ambil 10 ∈ , 7 ∈ − {0}Adit, (7)(10)(7) ∈Maka :(7)(10)(7) = (7)(10)(8)= 10 ∈

Ambil 10 ∈ , 8 ∈ − {0}Adit, (8)(10)(8) ∈Maka :(8)(10)(8) = (8)(10)(7)= 10 ∈

Ambil 10 ∈ , 9 ∈ − {0}Adit, (9)(10)(9) ∈Maka :(9)(10)(9) = (9)(10)(5)= 10 ∈

Ambil 10 ∈ , 10 ∈ − {0}Adit, (10)(10)(10) ∈Maka :(10)(10)(10) = (10)(10)(10)= 10 ∈

Karena ada ∈ − {0} dimana ⊆ maka subgrup normal.

adalah subgrup normal Ambil 1 ∈ , 1 ∈ − {0}

Adit, (1)(1)(1) ∈Maka :(1)(1)(1) = (1)(1)(1)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(1)(2) ∈Maka :(2)(1)(2) = (2)(1)(6)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(1)(3) ∈Maka :(3)(1)(3) = (3)(1)(4)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(1)(4) ∈Maka :(4)(1)(4) = (4)(1)(3)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(1)(5) ∈Maka :(5)(1)(5) = (5)(1)(9)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(1)(6) ∈Maka :(6)(1)(6) = (6)(1)(2)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 7 ∈ − {0}Adit, (7)(1)(7) ∈Maka :(7)(1)(7) = (7)(1)(8)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 8 ∈ − {0}Adit, (8)(1)(8) ∈Maka :(8)(1)(8) = (8)(1)(7)= 1 ∈

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Ambil 1 ∈ , 9 ∈ − {0}Adit, (9)(1)(9) ∈Maka :(9)(1)(9) = (9)(1)(5)= 1 ∈

Ambil 1 ∈ , 10 ∈ − {0}Adit, (10)(1)(10) ∈Maka :(10)(1)(10) = (10)(1)(10)= 1 ∈

Ambil 3 ∈ , 1 ∈ − {0}Adit, (1)(3)(1) ∈Maka :(1)(3)(1) = (1)(3)(1)= 3 ∈

Ambil 3 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(3)(2) ∈Maka :(2)(3)(2) = (2)(3)(6)= 3 ∈

Ambil 3 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(3)(3) ∈Maka :(3)(3)(3) = (3)(3)(4)= 3 ∈

Ambil 3 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(3)(4) ∈Maka :(4)(3)(4) = (4)(3)(3)= 3 ∈

Ambil 3 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(3)(5) ∈Maka :(5)(3)(5) = (5)(3)(9)= 3 ∈

Ambil 3 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(3)(6) ∈Maka :(6)(3)(6) = (6)(3)(2)= 3 ∈

Ambil 3 ∈ , 7 ∈ − {0}Adit, (7)(3)(7) ∈Maka :(7)(3)(7) = (7)(3)(8)= 3 ∈

Ambil 3 ∈ , 8 ∈ − {0}Adit, (8)(3)(8) ∈Maka :(8)(3)(8) = (8)(3)(7)= 3 ∈

Ambil 3 ∈ , 9 ∈ − {0}Adit, (9)(3)(9) ∈Maka :(9)(3)(9) = (9)(3)(5)= 3 ∈

Ambil 3 ∈ , 10 ∈ − {0}Adit, (10)(3)(10) ∈Maka :(10)(3)(10) = (10)(3)(10)= 3 ∈

Ambil 4 ∈ , 1 ∈ − {0}Adit, (1)(4)(1) ∈Maka :(1)(4)(1) = (1)(4)(1)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(4)(2) ∈Maka :(2)(4)(2) = (2)(4)(6)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(4)(3) ∈Maka :(3)(4)(3) = (3)(4)(4)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(4)(4) ∈Maka :(4)(4)(4) = (4)(4)(3)= 4 ∈

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Ambil 4 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(4)(5) ∈Maka :(5)(4)(5) = (5)(4)(9)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(4)(6) ∈Maka :(6)(4)(6) = (6)(4)(2)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 7 ∈ − {0}Adit, (7)(4)(7) ∈Maka :(7)(4)(7) = (7)(4)(8)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 8 ∈ − {0}Adit, (8)(4)(8) ∈Maka :(8)(4)(8) = (8)(4)(7)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 9 ∈ − {0}Adit, (9)(4)(9) ∈Maka :(9)(4)(9) = (9)(4)(5)= 4 ∈

Ambil 4 ∈ , 10 ∈ − {0}Adit, (10)(4)(10) ∈Maka :(10)(4)(10) = (10)(4)(10)= 4 ∈

Ambil 5 ∈ , 1 ∈ − {0}Adit, (1)(5)(1) ∈Maka :(1)(5)(1) = (1)(5)(1)= 5 ∈

Ambil 5 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(5)(2) ∈Maka :(2)(5)(2) = (2)(5)(6)= 5 ∈

Ambil 5 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(5)(3) ∈Maka :(3)(5)(3) = (3)(5)(4)= 5 ∈

Ambil 5 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(5)(4) ∈Maka :(4)(5)(4) = (4)(5)(3)= 5 ∈

Ambil 5 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(5)(5) ∈Maka :(5)(5)(5) = (5)(5)(9)= 5 ∈

Ambil 5 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(5)(6) ∈Maka :(6)(5)(6) = (6)(5)(2)= 5 ∈

Ambil 5 ∈ , 7 ∈ − {0}Adit, (7)(5)(7) ∈Maka :(7)(5)(7) = (7)(5)(8)= 5 ∈

Ambil 5 ∈ , 8 ∈ − {0}Adit, (8)(5)(8) ∈Maka :(8)(5)(8) = (8)(5)(7)= 5 ∈

Ambil 5 ∈ , 9 ∈ − {0}Adit, (9)(5)(9) ∈Maka :(9)(5)(9) = (9)(5)(5)= 5 ∈

Ambil 5 ∈ , 10 ∈ − {0}Adit, (10)(5)(10) ∈Maka :(10)(5)(10) = (10)(5)(10)= 5 ∈

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

Ambil 9 ∈ , 1 ∈ − {0}Adit, (1)(9)(1) ∈Maka :(1)(9)(1) = (1)(9)(1)= 9 ∈

Ambil 9 ∈ , 2 ∈ − {0}Adit, (2)(9)(2) ∈Maka :(2)(9)(2) = (2)(9)(6)= 9 ∈

Ambil 9 ∈ , 3 ∈ − {0}Adit, (3)(9)(3) ∈Maka :(3)(9)(3) = (3)(9)(4)= 9 ∈

Ambil 9 ∈ , 4 ∈ − {0}Adit, (4)(9)(4) ∈Maka :(4)(9)(4) = (4)(9)(3)= 9 ∈

Ambil 9 ∈ , 5 ∈ − {0}Adit, (5)(9)(5) ∈Maka :(5)(9)(5) = (5)(9)(9)= 9 ∈

Ambil 9 ∈ , 6 ∈ − {0}Adit, (6)(9)(6) ∈Maka :(6)(9)(6) = (6)(9)(2)= 9 ∈

Ambil 9 ∈ , 7 ∈ − {0}Adit, (7)(9)(7) ∈Maka :(7)(9)(7) = (7)(9)(8)= 9 ∈

Ambil 9 ∈ , 8 ∈ − {0}Adit, (8)(9)(8) ∈Maka :(8)(9)(8) = (8)(9)(7)= 9 ∈

Ambil 9 ∈ , 9 ∈ − {0}Adit, (9)(9)(9) ∈Maka :(9)(9)(9) = (9)(9)(5)= 9 ∈

Ambil 9 ∈ , 10 ∈ − {0}Adit, (10)(9)(10) ∈Maka :(10)(9)(10) = (10)(9)(10)= 9 ∈

Karena ada ∈ − {0} dimana ⊆ maka subgrup normal.

KONSULTASI KE – 5 STRUKTUR ALJABAR 1

KESIMPULAN SECARA UMUM :

KongruenModulo Subset

Subgrup/BukanSubgrup

SubgrupNormal/Bukan

Subgrup Normal− {0} = {1} Subgrup Subgrup Normal

− {0} = {1} Subgrup Subgrup Normal= {2} Bukan Subgrup= {1, 2} Subgrup Subgrup Normal

− {0} = {1, 4} Subgrup Subgrup Normal= {2, 3} Bukan Subgrup= {1, 2, 4} Bukan Subgrup

− {0} = {1, 6} Subgrup Subgrup Normal= {1, 2, 4} Subgrup Subgrup Normal= {3, 4, 5, 6} Bukan Subgrup

− {0} = {1, 10} Subgrup Subgrup Normal= {2, 3, 7} Bukan Subgrup= {1, 3, 4, 5, 9} Subgrup Subgrup Normal