penting 1

Persamaan Trigonometri sandigalesh.blogspot.com | 1

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

A. Mengingat Dasar Trigonometri

Materi trigonometri pernah diberikan saat SMP/MTs, untuk itu mari kita ingat dasar-dasar materi

trigonometri tersebut. Dalam dasar-dasar trigonometri ada yang namanya sin, cos, tan, cosec, sec, dan

cotan. Darimanakah istilah itu ? Untuk lebih memahami perhatikan ilustrasi berikut, Dari gambar

disamping dapat didefinisikan:

1. sinsisi depan y

sisi miring r

;

cosecsisi miring r

sisi depan y

2. cossisi samping x

sisi miring r

;

secsisi miring r

sisi samping x

3. tansisi depan y

sisi samping x

;

cotansisi samping x

sisi depan y

Pada sin, cos, tan, cosec, sec, dan cotan memiliki nilai pada sudut-sudut istimewa seperti pada tabel

berikut:

o0 o30

o45 o60

o90 o180

o270 o360

sin 0 1

2

12

2

13

2 1 0 -1 0

cos 1 1

32

1

22

1

2 0 -1 0 1

tan 0 1

33

1 3 0 0

cosec 2 2 2

33

1 -1

sec 1 2

33

2 2 -1 1

cot 3 1 1

33

0 0

Nilai sin, cos, tan, cosec, sec dan cotan juga dapat dikelompokan pada kuadran. Untuk lebih jelasnya

perhatikan ilustrasi berikut,

Kuadran II o o90 180sd

sin dan cosec

Bernilai positif

Kuadran I o o0 90sd

sin, cos, tan, cosec, sec cotan

Bernilai positif

Kuadran III o o180 270sd

tan dan cotan

Bernilai positif

Kuadran IV o p270 360sd

cos dan sec

Bernilai positif

x

y

Sisi

Depan

( y )

Sisi

Samping

( x )

Sisi

Miring

( r )


B. Persamaan Trigonometri

Bentuk umum dari persamaan trigonometri adalah sin sin ; cos cos ; tan tanx A x A x A .

Untuk lebih detail mengenai persamaan trigonometri dan penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

I. Persamaan Sinus

Fungsi sinus jika dilukiskan dalam grafik adalah seperti berikut,

Dari grafik diketahui bahwa fungsi sinus adalah fungsi periodik (memiliki nilai yang berulang)

sebagai contohnya o1 5sin 1 sin 180

2 2 . Untuk fungsi sinus sin sinx

maka nilai x dapat ditentukan dengan,

a. osin sin 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

b. o osin sin 180 360 ; ..., 2, 1, 0,1, 2,...x x k k

Contoh:

1. Diketahui 1

sin 02

x , tentukan nilai x yang memenuhi untuko o0 400x !

Jawab:

o o1 1sin 0 sin sin sin 30 30

2 2x x x

Menentukan nilai x :

a. osin sin 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

o o o o360 ; 30 30 360x k x k

o o

o

1:

30 1 360

330

diambil k

x

x

o o

o

0 :

30 0 360

30

diambil k

x

x

o o

o

1:

30 1 360

390

diambil k

x

x

o o

o

2 :

30 2 360

750

diambil k

x

x

Jadi untuk osin sin 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k diperoleh x yang

memenuhi o o30 ,390x . Untuk o330x tidak memenuhi karena

o0x dan

o750x tidak memenuhi karena o400x .

b. o osin sin 180 360 ; ..., 2, 1, 0,1, 2,...x x k k

o o o o180 360 ; 30 150 360x k x k


o o

o

1:

150 1 360

210

diambil k

x

x

o o

o

0 :

150 0 360

150

diambil k

x

x

o o

o

1:

150 1 360

510

diambil k

x

x

Jadi untuk o osin sin 180 360 ; ..., 2, 1, 0,1, 2,...x x k k

diperoleh x yang memenuhio150x . Untuk

o210x tidak memenuhi karenao0x

dano510x tidak memenuhi karena

o400x .

Jadi penyelesaian dari 1

sin 02

x untuko o0 400x adalah o o o30 ,150 ,390x

2. Tentukanlah penyelesaian dari o 1sin 2 30 3 0

2x untuk

o o180 180x

Jawab:

o o o o1 1sin 2 30 3 0 sin 2 30 3 sin 2 30 sin 60

2 2x x x

Menentukan nilai x:

a. osin sin 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

o o o

o o o o o

o oo o

2 30 360 ; 60

2 60 360 30 30 360

30 36015 180

2

x k

x k k

kx k

o o

o

2 :

15 2 180

345

diambil k

x

x

o o

o

1:

15 1 180

165

diambil k

x

x

o o

o

0 :

15 0 180

15

diambil k

x

x

o o

o

1:

15 1 180

195

diambil k

x

x

Jadi untuk osin sin 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k diperoleh x yang

memenuhi o o165 ,15x . Untuk o345x tidak memenuhi karena

o180x dan


b. o osin sin 180 360 ; ..., 2, 1, 0,1, 2,...x x k k

o o o o

o o o o o

o oo o

2 30 180 360 ; 60

2 120 360 30 90 360

90 36045 180

2

x k

x k k

kx k

o o

o

2 :

45 2 180

315

diambil k

x

x

o o

o

1:

45 1 180

135

diambil k

x

x


o o

o

0 :

45 0 180

45

diambil k

x

x

o o

o

1:

45 1 180

225

diambil k

x

x


diperoleh x yang memenuhi o o135 , 45x . Untuk o315x tidak memenuhi karena

o180x dano225x tidak memenuhi karena

o180x .

Jadi penyelesaian dari o 1sin 2 30 3 0

2x untuk

o o180 180x adalah

o o o o165 , 135 ,15 , 45x .

3. Tentukan penyelesaian dari 22sin 3sin 1 0x x untuk

0 o0 360x !

Jawab:

2

2

2sin 3sin 1 0

dimisalkan sin

2 3 1 0

x x

x g

g g

2 1 1 0

1; 1

2

g g

g g

i) 1 1

sin2 2

g x

o1sin sin sin 30

2x x

Menetukan nilai x:

a. osin sin 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

o o o o360 ; 30 30 360x k x k

o o

o

1:

30 1 360

330

diambil k

x

x

o o

o

0 :

30 0 360

30

diambil k

x

x

o o

o

1:

30 1 360

390

diambil k

x

x

Jadi untuk osin sin 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k diperoleh

x yang memenuhio30x . Untuk

o330x tidak memenuhi karenao0x dan


b. o osin sin 180 360 ; ..., 2, 1, 0,1, 2,...x x k k

o o o o180 360 ; 30 150 360x k x k

o o

o

1:

150 1 360

210

diambil k

x

x

o o

o

0 :

150 0 360

150

diambil k

x

x

o o

o

1:

150 1 360

510

diambil k

x

x


diperoleh x yang memenuhio150x . Untuk

o210x tidak memenuhi karena


o360x .


Jadi penyelesaian dari 1

sin2

x adalah o o30 ,150x

ii) 1 sin 1g x

osin 1 sin sin 90x x

Menetukan nilai x:

osin sin 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

o o o o360 ; 90 90 360x k x k

o o

o

1:

90 1 360

270

diambil k

x

x

o o

o

0 :

90 0 360

90

diambil k

x

x

o o

o

1:

90 1 360

450

diambil k

x

x

Karena untuk o o o o o180 360 360 90 360x k k x k maka

penyelesaian untuk sin 1x adalaho90x . Untuk

o270x tidak memenuhi

karenao0x dan


Dari i) dan ii) diperoleh penyelesaian dari 22sin 3sin 1 0x x untuk

0 o0 360x

adalah o o o30 ,90 ,150x

II. Persamaan Cosinus

Persamaan cosinus adalah persamaan yang dibentuk oleh fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus

digambar dalam bentuk grafik adalah sebagai berikut,

Sama halnya dengan fungsi sinus, fungsi cosinus juga merupakan fungsi periodik (memiliki nilai

yang berulang) sebagai contohnya ocos 0 1 cos 2 180 . Untuk fungsi cosinus

cos cosx maka nilai x dapat ditentukan dengan,

a. ocos cos 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

b. ocos cos 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

Contoh:

1. Tentukanlah x yang memenuhi persamaan 1

cos 32

x untuk o o90 90x !

Jawab:

o1cos 3 cos cos 30

2x x

Menentukan nilai x:

a. ocos cos 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

o o o o360 ; 30 30 360x k x k


o o

o

1:

30 1 360

330

diambil k

x

x

o o

o

0 :

30 0 360

30

diambil k

x

x

o o

o

1:

30 1 360

390

diambil k

x

x

Jadi untuk ocos cos 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k diperoleh x

yang memenuhio30x . Untuk



b. ocos cos 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

o o o o360 ; 30 30 360x k x k

o o

o

1:

30 1 360

390

diambil k

x

x

o o

o

0 :

30 0 360

30

diambil k

x

x

o o

o

1:

30 1 360

330

diambil k

x

x





Jadi dari a. dan b. diperoleh penyelesaian 1

cos 32

x untuk o o90 90x adalah

o o30 ,30x .

2. Tentukan penyelesaian dari o2 cos 10 1 0x untuk o o0 360x

Jawab:

o

o

o

o o

2 cos 10 1 0

2 cos 10 1

1cos 10

2

cos 10 cos 60

x

x

x

x

Menentukan nilai x:

a. ocos cos 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

o o

o o o

o o o

o o

360 ; 30

10 30 360

30 360 10

20 360

x k

x k

x k

x k

o o

o

1:

20 1 360

340

diambil k

x

x

o o

o

0 :

20 0 360

20

diambil k

x

x

o o

o

1:

20 1 360

380

diambil k

x

x




o380x

tidak memenuhi karena o360x .


b. ocos cos 360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x x k k

o o

o o o

o o o

o o

360 ; 30

10 30 360

30 360 10

40 360

x k

x k

x k

x k

o o

o

1:

40 1 360

400

diambil k

x

x

o o

o

0 :

40 0 360

40

diambil k

x

x

o o

o

1:

40 1 360

340

diambil k

x

x




o0x .

Jadi dari a dan b diperoleh penyelesaian o2 cos 10 1 0x untuk o o0 360x adalah

o o20 ,340x .

III. Persamaan Tangen

Persamaan tangen adalah persamaan yang dibentuk oleh fungsi tangen. Sama halnya dengan sinus

dan cosinus, fungsi tangen adalah fungsi perodik. Jika fungsi tangen digambarkan dalam sebuah

grafik adalah seperti gambar berikut,

Untuk persamaan tangen tan tanx , nilai x dapat ditentukan dengan o180x k dimana

..., 2, , 1,0,1, 2,...k .

Contoh:

1. Diketahui 1

sin 32

x dan 1

cos2

x , tentukan nilai x yang memenuhi tan x untuk

o o0 360x !

Jawab:

o

13

sin 2tan 31cos

2

tan 3

tan tan 60

xx

x

x

x

Menentukan nilai x:

o

o

o o

tan tan 180 ; ... 2, 1, 0,1, 2,...

60

60 180

x x k k

x k


o o

o

1:

60 1 180

120

diambil k

x

x

o o

o

0 :

60 0 180

60

diambil k

x

x

o o

o

1:

60 1 380

240

diambil k

x

x

o o

o

2 :

60 2 180

400

diambil k

x

x

Jadi nilai x yang memenuhi tan x untuk o o0 360x adalah o o60 , 240x . Untuk



2. Tentukan penyelesaian dari 2tan 2tan 1 0x x untuk

o o0 360x !

Jawab:

2

2

2

o

tan 2 tan 1 0

dimisaknan:

tan

tan 2 tan 1 0

2 1 0

1 1 0

1

tan 1

tan tan 45

x x

x n

x x

n n

n n

n

x

x

o

o

o o

o o

o

:

180

45

45 180

1

45 1 180

135

Menentukan x

x k

x k

diambil k

x

x

o o

o

o o

o

o o

o

0

45 0 180

45

1

45 1 180

225

2

45 2 180

405

diambil k

x

x

diambil k

x

x

diambil k

x

x

Jadi penyelesaian dari 2tan 2tan 1 0x x untuk

o o0 360x adalah

o o45 ,225x . Untuk o135x tidak memenuhi karena

o0x dan untuk o405x

tidak memenuhi karena o360x

3. Tentukan penyelesaian dari 3 tan 2 2 3 3x untuk o o0 360x !

Jawab:

o

3 tan 2 2 3 3

3 tan 2 3 2 3

3 tan 2 3

1tan 2 3

3

tan 2 tan 30

x

x

x

x

x

Menentukan nilai x:

o

o oo o o o o

tan tan 180 ; ... 2, 1,0,1, 2,...

30 18030 2 30 180 15 90

2

x x k k

kx k x k

o o

o

1:

15 1 90

75

diambil k

x

x

o o

o

0 :

15 0 90

15

diambil k

x

x

o o

o

1:

15 1 90

105

diambil k

x

x

o o

o

2 :

15 2 90

195

diambil k

x

x

o o

o

3 :

15 3 90

285

diambil k

x

x

o o

o

4 :

15 4 90

375

diambil k

x

x

Jadi nilai x yang memenuhi 3 tan 2 2 3 3x untuk o o0 360x adalah


o o o o15 ,105 ,195 , 285x . Untuk o75x tidak memenuhi karena

o0x dano375x

tidak memenuhi karena o360x .

IV. Persamaan cosecan, secan, cotangen

Pada persamaan cosecan memiliki penyelesaian seperti pada persamaan sinus. Untuk

cosec cosecx nilai x dapat ditentukan dengan:

a. o360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x k k

b. o o180 360 ; ..., 2, 1, 0,1, 2,...x k k

Pada persamaan secan memiliki penyelesaian seperti pada persamaan cosinus. Untuk

sec secx nilai x dapat ditentukan dengan:

a. o360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x k k

b. o360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x k k

Pada persamaan cotangen memiliki penyelesaian seperti pada persamaan tangen. Untuk

cot cotx nilai x dapat ditentukan dengan: o180 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x k k

Contoh:

1. Tentukan penyelesaian dari cosec 2 0x untuk 0 360x !

Jawab:

o

o

cosec 2 0

cosec 2

1cosec

sin

12

sin

1 2sin

1sin

2

sin sin 30

cosec 2 cosec cosec 30

x

x

xx

x

x

x

x

x x


a. o360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x k k

o

o

o o

360

30

30 360

x k

x k

o o

o

1:

30 1 360

330

diambil k

x

x

o o

o

0 :

30 0 360

30

diambil k

x

x

o o

o

1:

30 1 360

390

diambil k

x

x

Jadi nilai x yang memenuhi untuk o360 ; ..., 2, 1,0,1, 2,...x k k adalah

o30x . Untuk o330x tidak memenuhi karena 0x dan untuk

o390x tidak

memenuhi karena o360x


b. o o180 360 ; ..., 2, 1, 0,1, 2,...x k k

o o

o

o o

180 360

30

150 360

x k

x k

o o

o

1:

150 1 360

210

diambil k

x

x

o o

o

0 :

150 0 360

150

diambil k

x

x

o o

o

1:

150 1 360

510

diambil k

x

x

Jadi nilai x yang memenuhi untuk o o180 360 ; ..., 2, 1, 0,1, 2,...x k k

adalah o150x . Untuk

o210x tidak memenuhi karena 0x dan untuk o510x

tidak memenuhi karena o360x

Jadi dari a dan b diperoleh penyelesaian cosec 2 0x untuk 0 360x adalah

o o30 ,150x

2. Tentukan penyelesaian dari 2sec 4 2x untuk o o90 360x !

Jawab:

o

2sec 4 2

2sec 2 4

2sec 2

sec 1

sec sec 0

x

x

x

x

x


o

o

o o o

360 ; ..., 2, 1, 0,1, 2,...

0

0 360 360

x k k

x k k

o

o

1:

1 360

360

diambil k

x

x

o

o

0 :

0 360

0

diambil k

x

x

o

o

1:

1 360

360

diambil k

x

x

o

o

2 :

2 360

720

diambil k

x

x

Karena 0 makao o o360 360 360x k k k . Sehingga diperoleh

penyelesaian dari 2sec 4 2x untuk o o90 360x adalah o o0 ,360x . Untuk

o360x tidak memenuhi karena o90x dan untuk

o720x tidak memenuhi karena

o360x .

3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ocot 2 10x untuk o o180 360x !

Jawab:

o o ocot 2 10 cot 2 10 cot 0x x


o

o

o o o

180 ; ..., 2, 1, 0,1, 2,...

0

0 180 180

x k k

x k k


o

o

2 :

2 180

360

diambil k

x

x

o

o

1:

1 180

180

diambil k

x

x

o

o

0 :

0 180

0

diambil k

x

x

o

o

1:

1 180

180

diambil k

x

x

o

o

2 :

2 180

360

diambil k

x

x

o

o

3 :

3 180

540

diambil k

x

x

Jadi diperoleh penyelesaian dari ocot 2 10x untuko o180 360x adalah

o o o o180 , 0 ,180 ,360x . Untuk o360x tidak memenuhi karena

o180x dan

untuk o540x tidak memenuhi karena

o360x .

C. Identitas Trigonometri

Materi identitas trigonometri membahas tentang pembuktian-pembuktian bentuk trigonometri. Ada

beberapa konsep dasar yang harus dipelajari yakni mengenai rumus jumlah dan selisih trigonometri serta

dasar-dasar yang lain.

I. Rumus Jumlah dan Selisih Trigonometri

Rumus jumlah dan selisih membahas tentang bentuk-bentuk dari hasil operasi penjumlahan dan

selisih dari fungsi trigonometri. Berikut penjelasannya:

a. Rumus jumlah dan selisih sin

o

o

o

o

sin sin cos cos sin

sin sin cos cos sin

sin sin 0 sin

sin 180 sin

sin 180 sin

sin 270 sin

sin 2 2 sin cos

sin 2 sin cos2 2

kuadran II

kuadran III

kuadran IV

o o o

o o

o

o o

:

sin135 sin 180 45

sin135 sin 180

45

1sin135 sin 45 2

2

Contoh

b. Rumus jumlah dan selisih cos

o

o

o

o

2 2

2

2

cos cos cos sin sin

cos cos cos sin sin

cos cos 0 cos

cos 180 cos

cos 180 cos

cos 270 cos

cos 2 cos sin

cos 2 1 2sin

cos 2 2cos 1

kuadran II

kuadran III

kuadran IV

o o o

o o

o

o o

:

cos225 cos 180 45

cos225 cos 180

45

1cos225 cos45 2

2

Contoh


c. Rumus jumlah dan selisih tan

o o o

o oo

o o

tan tantan

1 tan tan

tan tantan

1 tan tan

:

tan 75 tan 45 30

11 3

tan 45 tan30 3tan 75 111 tan 45 tan30

1 33

Contoh

II. Pembuktian Identitas Trigonometri

Ada beberapa identitas dasar yang harus dipahami untuk melakukan pembuktian dari identitas

trigonometri yang lain. Identitas dasar tersebut adalah sebagi berikut:

a. sin

tancos

aa

a

b. 1

cosecsin

aa

c. 1

seccos

aa

d. 1 cos

cottan sin

aa

a a

Contoh pembuktian identitas trigonometri:

1. Buktikan sec sin tana a a !

Bukti:

1sec sin sin

cos

sinsec sin

cos

sec sin tan

a a aa

aa a

a

a a a

2. Buktikan bahwa sin 2

cos2 sin

!

Bukti:

sin 2 2 sin cos

2 sin 2 sin

sin 2cos

2 sin

3. Buktikan bahwa 2 2sin cos 1 !

Bukti:

Untuk membuktikan identitas tersebut kita gunakan Teorema Pythagoras. Perhatikan Ilustrasi

berikut:

Dari gambar diketahui:

sin sin

cos cos

aa c

c

bb c

c

a

b

c


Teorema Pythagoras:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

22 2

2

2 2

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos 1 " "

a b c

c c c

c c c

c c

c

c

Terbukti

4. Buktikan bahwa 2 21 tan seca a !

Bukti:

22

2

2 22

2 2

sin1 tan 1

cos

cos sin1 tan

cos cos

aa

a

a aa

a a

2 22

2

2

2

cos sin1 tan

cos

11 tan

cos

a aa

a

aa

2 21 tan seca a

5. Buktikan bahwa 1 sin cos

cos 1 sin

x x

x x

!

Jawab:

2

2

1 sin 1 sin1

cos cos

1 sin 1 sin 1 sin

cos cos 1 sin

1 sin 1 sin

cos cos 1 sin

1 sin cos

cos cos 1 sin

1 sin cos cos

cos cos 1 sin

1 sin cos" "

cos 1 sin

x x

x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x

x x x

x x x

x xTerbukti

x x

6. Tunjukkan bahwa

4 42

2

cos sin1 tan

cos

x xx

x

Bukti:

2 2 2 24 4

2 2

2 24 4

2 2

4 4 2 2

2 2

4 4 2 2

2 2 2

4 42

2

cos sin cos sincos sin

cos cos

1 cos sincos sin

cos cos

cos sin cos sin

cos cos

cos sin cos sin

cos cos cos

cos sin1 tan " "

cos

x x x xx x

x x

x xx x

x x

x x x x

x x

x x x x

x x x

x xx Terbukti

x


7. Sederhanakan bentuk dari cos cos

sec 1 sec 1

!

Jawab:

2

2

2

cos sec 1 cos sec 1cos cos

sec 1 sec 1 sec 1 sec 1

cos sec 1 sec 1cos cos

sec 1 sec 1 sec 1

cos cos cos 2sec

sec 1 sec 1 sec 1

cos cos 2 cos sec

sec 1 sec 1 sec 1

cos cos

sec 1 sec

2

2

2

2

2 2 2

2

2

2

2

2

2

1 sec 1

cos cos 2

1sec 1 sec 11

cos

cos cos 2

1 cossec 1 sec 1

cos

cos cos 2

sec 1 sec 1 cos sin cos

cos

cos cos 2

sinsec 1 sec 1

cos

cos cos cos2

sec 1 sec 1 sin

cos c

sec 1

2os2 cot

sec 1

penting 1

Documents