1P2BPT Matematika

Pengertian Perbandingan Trigonometri Nilai Sinus, Cosinus dan Tangen Teorema Phytagoras Aturan Sinus dan Cosinus Jumlah dan selisih dari sinus dan cosinus

2P2BPT Matematika

Pengertian Perbandingan Trigonometri

3

33

2

22

1

11

OPPM

OPPM

OPPM

3

3

2

2

1

1

OPOM

OPOM

OPOM

3

33

2

22

1

11

OMPM

OMPM

OMPM

M1

a0

o X

A

P1

P2

P3

M2 M3

Titik P1, P2, dan P3 terletak pada garis OA.Titik M1, M2, dan M3 terletak pada garis OX.Jika titik-titik P1, P2, dan P3 dihubungkan dengan titik-titik M1, M2, dan M3 sedemikiansehingga P1M1, P2M2, dan P3M3 tegakluruspada OX, maka akan terbentuk tiga buahsegitiga siku-siku, yaitu ∆OM1P1, ∆OM2P2, dan ∆OM3P3 yang sebangun.

Akibatnya,

a.

b.

c.

yang disebut sinus

yang disebut cosinus

yang disebut tangen

AOX

AOX

AOX

3P2BPT Matematika

aosisi miring ( m

i )

sisi depanao ( de )

sisi samping ao ( sa )O

P

M

Dengan mengacu gambar berikut, maka ketiga perbandingan trigonometri dapatdidefinisikan sebagai berikut:

mide

miringsisiadepansisio o

a sin

misa

miringsisiasampingsisio o

a cos

sade

asampingsisiadepansisioo

o

a tan

Contoh 1 :Tentukan ketiga perbandingan trigonometri dari setiap segitiga siku-siku berikutuntuk sudut do!

do

c

ab

( i )

r

pq

do

( ii )

s

tr

do

( iii )

4P2BPT Matematika

Contoh 2:Tentukan sin θ dan cos θ dari segitiga siku-siku pada gambar berikut

θ4

3

Daftar nilai sinus, cosinus, dan tangen sudut istimewa

ao 0o 30o 45o 60o 90o

sin ao 0 ½ ½ √2 ½ √3 1cos ao 1 ½ √3 ½ √2 ½ 0tan ao 0 √3 1 √3 ~3

1

5P2BPT Matematika

TEOREMA PHYTAGORAS

Pada segitiga siku-siku, luas persegi pada hypotenusa sama dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi siku-sikunya.

Jadi, jika pada segitiga siku-siku panjang hypotenusanya a, panjang kedua sisi siku-sikunya b dan c, maka

a2 = b2 + c2

Bentuk seperti a2 = b2 + c2 atau disebut rumus phytagoras

A B

C

sisi siku-siku

sisi siku-siku

hypotenusaPada segitiga ABC ini, sisi terpanjang atau sisi didepan sudut siku-siku, yaitu AC disebut hypotenusa(sisi miring), sedangkan kedua sisi yang lainnya, yaitu AB dan BC disebut sisi siku-sikunya.

22 cba

6P2BPT Matematika

Contoh 1:

Diagonal suatu persegi panjang 20 cm dan lebarnya 12 cm. Hitung panjangnya!

Contoh 2:

Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan CG = 5 cm.Hitung: a. panjang diagonal sisi ACb. panjang diagonal ruang AG

7P2BPT Matematika

Contoh 3:Seorang anak mengamati puncak pohon cemara yang berdiri tegak di atas lapangan mendatar dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak antara anak dan pohon tersebut 12 m dan tinggi dari tanah ke mata anak 1,5 m. Hitunglah tinggi pohon tersebut!

Sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah pandang dan arah horisontaljika kita memandang ke atas.

Solusi : Tinggi pohon 8,4 m

Contoh 4:Seorang pengamat berada di puncak menara yang tingginya 23 m. Pada suatu saat pengamat tersebut melihat sebuah perahu yang akan berlabuh. Jika sudutdepresi perahu tersebut 30o. Hitunglah jarak antara perahu dan menara padasaat itu!

Sudut depresi adalah sudut yang dibentuk oleh arah pandang dan arah horisontaljika kita memandang ke bawah.

Solusi : Jarak antara perahu dan menara adalah 39,8 m

8P2BPT Matematika

Aturan SinusPada setiap segitiga ABC berlaku

Cc

Bb

Aa

sinsinsin

Contoh 1:Pada ∆ ABC, sisi b = 4,2 , A = 62o dan B = 46o.Hitunglah sisi a.

Jawab:

2,546sin62sin2,4

46sin2,4

62sin

o

o

oo

a

a

Y

XA C

B

D

c a

b

9P2BPT Matematika

Contoh 2 :Pada ∆ ABC, sisi c = 5,8, sisi b = 6,7, dan B = 48o.Hitunglah C .

Aturan Kosinus

Acbcba cos2222 Pada setiap segitiga ABC berlaku

A C (b,0)

B (c cos A, c sin A)

ca

b X

Y

Contoh :Pada ∆ ABC, a = 4,36, b = 3,84 dan C = 101o.Hitunglah c.

Jawab :c2 = a2 + b2 – 2ab cos C = (4,36)2 + (3,84)2 – 2 (4,36) (3,84) cos 101o

= 6,34

10P2BPT Matematika

Rumus perkalian dari sinus dan kosinus sinsincoscoscos sinsincoscoscos sincoscossinsin sincoscossinsin

……………………(1)

……………………(2)

……………………(3)

……………………(4)

Rumus (1) tambah (2) menghasilkan

coscos2coscos Jadi

coscoscoscos2 …………………..(A)

Contoh 1:2 cos 43o cos 35o = cos (43+35)o + cos (43-35)o

= cos 78o + cos 8o

Contoh 2:2 cos 65o cos 25o = cos (65+25)o + cos (65-25)o

= cos 90o + cos 40o = 0 + cos 40o = cos 40o

11P2BPT Matematika

sinsin2

sinsincoscossinsincoscoscoscos

coscossinsin2

cossin2sinsin

Rumus (2) dikurangi (1) menghasilkan

Jadi

Contoh 3:2 sin 27o sin 14o = cos (27-14)o – cos (27+14)o

= cos 13o – cos 41o

Contoh 4:2 sin 1/3 π sin 1/6 π = cos 1/6 π – cos ½ π = ½ √3

Rumus (3) tambah (4) menghasilkan

Jadi

sinsincossin2

…………………..(B)

…………………..(C)

12P2BPT Matematika

sinsinsincos2

coscos2coscos

sincos2sinsin Rumus (3) dikurangi (4) menghasilkan

Jadi

Jumlah dan Selisih

sinsin2coscos cossin2sinsin sincos2sinsin

Substitusikanα + β = C yang menghasilkan α = ½ ( C + D )α - β = D yang menghasilkan β = ½ ( C - D )

sehinggacos C + cos D = 2 cos ½ ( C + D ) cos ½ ( C – D )cos C - cos D = -2 sin ½ ( C + D ) sin ½ ( C – D )sin C + sin D = 2 sin ½ ( C + D ) cos ½ ( C - D )sin C - sin D = 2 cos ½ ( C + D ) sin ½ ( C - D )

Dari

…………………..(D)

13P2BPT Matematika

Contoh 1 :sin 32o + sin 28o = 2 sin 30o cos 2o

= cos 2o

Contoh 2 :cos 5θ – cos 3θ = -2 sin 4θ sinθ

Rumus Penjumlahan• cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b• cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b• sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b• sin ( a-b) = sin a cos b – cos a sin b

btgatgbtgatgbatg

1

btgatgbtgatgbatg

1

Rumus-rumus untuk sudut rangkapsin 2a = 2 sin a cos acos 2a = cos2 a – sin2 a = 2 cos2a -1 = 1 – 2 sin2 a

cos2 a = ½ (1 + cos 2a)sin2 a = ½ (1 – cos 2a)

atgatgatg 21

22