mmittajs874.blogspot.com

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA

Pencerminan Geser (Refleksi Geser)

Teorema 12.1 : Hasilkali sebuah rotasi dan sebuah translasi adalah sebuah rotasi yang sudut rotasinya sama dengan sudut rotasi yang diketahui.

Pembuktian

Andaikan diketahui rotasi dan translasi dan andaikan s sebuah garis melalui A

yang tegak lurus pada serta D sebuah titik sehingga BC = 2 . Andaikan pula t adalah

garis melalui D yang sejajar dengan s, sehingga = dan r adalah garis melalui A

sehingga besarnya sudut dari r ke s adalah . Maka , = sehingga

, = ()() = = ,

Jika (E) = t r maka adalah sebuah rotasi mengelilingi E. karena sudut antara t

dan r juga maka kita peroleh = ,.

Dengan cara yang serupa dapat dibuktikan bahwa , = , (Gambar 12.2)

mmittajs874.blogspot.com

Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA

Akibat : Himpunan translasi dan rotasi membentuk grup dengan operasi hasilkali.

Andaikan diketahui rotasi , dan refleksi . Apabila A s maka ,1 = ;

adalah sebuah garis melalui A sehingga sudut dari s ke t adalah . Jadi, ,, =

() = .

Andaikan A s . kita tarik garis-garis t dan r sehingga t tegak lurus dengan s dan r

melalui A sehingga sudut dari t ke r adalah maka

, = ()

= ()

=

Dengan (B) = t s

Andaikan v sebuah garis melalui B tegak lurus pada r dan w sebuah garis melalui B yang

sejajar r maka = sehingga , = () = ()

Oleh karena w//r maka sebuah translasi sehingga :

, = 2

Dengan (C) = v r

Jadi transformasi tersebut adalah hasilkali sebuah refleksi pada v dan sebuah translasi

sejajar v.

Hasilkali demikian dinamakan refleksi geser.

Definisi : sebuah transformasi R dinamakan refleksi geser apabila ada garis g dan sebuah ruas garis berarah yang sejajar dengan g sehingga = . Garis g ini

dinamakan sumbu refleksi geser.

Teorema 12.2 : Setiap hasilkali sebuah refleksi pada sebuah garis dengan sebuah rotasi mengelilingi suatu titik yang tidak terletak pada garis tersebut adalah suatu

refleksi geser.

Akibat 1 : Apabila ada ruas garis berarah tidak tegak lurus terhadap garis s maka

hasilkali suatu geseran dengan sebuah refleksi adalah sebuah refleksi geser.

Akibat 2 : Apabila ada garis r, s, dan t tidak berpotongan pada satu titik dan tidak ada

pasangan yang sejajar, maka setiap hasilkali refleksi-refleksi , dan adalah suatu

refleksi geser.