MAKALAH KONSEP DASAR MATEMATIKA 3

TRANSFORMASI GEOMETRI DAN PENCERMINAN SEKOLAH DASAR

“Makalah ini untuk memenuhi tugas matakuliah Konsep Dasar Matematika III”

Dosen Pengampu : Wahyudi,S.Pd.,MPd. Dan Yohana Setiawan,SPd

Disusun Oleh :

Ponco Budi Raharjo : 292013287

Afandi Roqit : 292013286

Edi Sulaksito : 292013275

KELAS RS 13 I

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA

2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah

melimpahkan karunia nikmat bagi umat-Nya. Atas Ridho-Nya lah penulis dapat

menyelesaikan makalah ini.

Dalam makalah ini kami menjelaskan mengenai “Pembelajaran Transformasi

Geometri dan Pencerminan Matematika Di Sekolah Dasar” yang telah kami susun

secara sistematis dan materi yang di sajikan kami ambil dari sumber-sumber

terpercaya.

Makalah ini tidak akan terwujud, jika tidak ada dorongan dan dukungan dari berbagai

pihak yang telah memberikan arahan serta bimbingannya sehingga kami dapat

menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya.

Besar harapan kami makalah ini dapat membantu meningkatkan profesi belajar

mahasiswa dan dapat bermanfaat bagi mahasiswa, khususnya dalam masalah

disajikan dalam makalah ini.

Penulis menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini masih jauh dari sempurna.

Oleh karena itu, penulis mengharapkan kepada semua pihak untuk memberikan

kritik dan saran yang membangun demi tercapainya makalah yang lebih baik di

masa mendatang. Terima kasih.

Salatiga, Maret 2015

Penulis

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL…………………………………………………………………………i

KATA PENGANTAR……………………………………………………………………… ii

DAFTAR ISI…………………………………………………………………………………iii

BAB I

PENDAHULUAN…………………………………………………………………………..1

1. Latar Belakang…………………………………………………………………………1

2. Rumusan Masalah……………………………………………………………………..2

3. Tujuan Penulisan Makalah……………………………………………………………3

BAB II

PEMBAHASAN…………………………………………………………………………….4

1. Pengertian Transformasi Geometri Dan Pencerminan…………………………….4

2. Karakteristik Transformasi Geometri dan Pencerminan…………………………...5

3. Penerapan Transformasi Geometri dan Pencerminan matematika di SD……….9

BAB III KESIMPULAN DAN

SARAN…………………………………………………………………………………….12

DAFTAR

PUSTAKA…………………………………………………………………………………13

iii

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pendidikan merupakan salah satu komponen penting yang berpengaruh terhadap

perkembangan dan pembangunan suatu bangsa. Pendidikan juga merupakan agen

perubahan, agen sosial kontrol dan pembaharuan. Zaman yang semakin

berkembang dan maju menuntut perubahan–perubahan pada sistem

pendidikan.Sistem pendidikan di Indonesia yang telah di rancang sedemikian rupa

demi terciptanya pendidikan yang berkualitas harusnya di dukung pula oleh

komponen – komponen penting yang ada di dalamnya, yang memang sangat

berpengaruh terhadap berjalan atau tidaknya sistem pendidikan tersebut,

diantaranya pendidik (guru, dosen), peserta didik, sarana dan prasarana, dan lain –

lain.

Berbicara tentang komponen pendidikan seperti pendidik, peserta didik, sarana dan

prasarana dan hal – hal lainnya mengingatkan kita bahwa komponen tersebut

merupakan faktor yang sangat berpengaruh sekali terhadap berjalan atau tidaknya,

maju atau tidaknya suatu pendidikan. Hal ini sejalan dengan pernyataan Ngalim

Purwanto (1986:106) bahwa faktor-faktor yang mempengaruhi pendidikan

diantaranya kematangan, intelejensi (kecerdasan), latihan dan ulangan, motivasi,

sifat-sifat pribadi seseorang, keadaan keluarga, guru dan cara mengajar, alat-alat

pelajaran,motivasi sosial dan lingkungan.

Berdasarkan pernyataan diatas, salah satu faktor yang juga berpengaruh terhadap

keberhasilan suatu pembelajaran adalah cara pengajaran yang diterapkan oleh guru

dalam pelaksanaan proses belajar mengajar. Salah satu hal yang banyak disoroti

saat ini dalam dunia pendidikan adalah penggunaan metode-metode belajar yang

digunakan guru dalam penyampaian materi saat pembelajaran, karena tuntutan guru

untuk tepat waktu dalam menyampaikan materi dan kewajiban guru untuk bisa

menjadikan siswanya mengerti dan menguasai materi yang disampaikan menjadikan

hal tersebut menjadi sebuah permasalahan yang harus dicari solusinya.

Penerapan model–model pembelajaran dalam proses belajar mengajar harus dapat

di sesuaikan dengan materi yang akan di sampaikan serta tujuan apa yang hendak

di capai. Ada beberapa materi misalnya dalam mata pelajaran

Matematika mendapatkan materi Transformasi Geometri pada jenjang SD, konsep-

konsep dalam materi pokok Transformasi Geometri misalnya konsep pencerminan

yang disajikan dengan metode ceramah. Sehingga tidak terjadi interaksi timbal balik

antara guru dengan siswa maupun siswa dengan siswa, akibatnya pemahaman

konsep-konsep matematika yang

1

penulis terima tidak terlalu mendalam. Padahal materi pencerminan merupakan

salah satu materi yang sangat berkaitan dengan aktivitas siswa sehari-hari.

Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis ingin membahas mengenai suatu

metode pembelajaran untuk materi transformasi geometri dan pencerminan, dengan

demikian akan terjadi interaksi timbal balik antara guru dengan siswa maupun siswa

dengan siswa dan siswa lebih memahami konsep materi yang sedang dipelajari.

Maka proses belajar mengajar akan berjalan dengan efektif dan efisien.

B. Rumusan Masalah

1. Apa pengertian dari Transformasi Geometri dan Pencerminan?

2. Bagaimana sifat-sifat Geometri Transformasi Pencerminan ?

3. Bagaimana penerapan materi Geometri Transformasi dan Pencerminan

Matematika di SD?

C. Tujuan Penulisan Makalah

Dalam kegiatan belajar mengajar, dikenal adanya tujuan pengajaran, atau yang

sudah umum dikenal dengan tujuan instruksional. Bahkan ada juga yang

meyebutnya pembelajaran.

Pengajaran merupakan perpaduan dari dua aktivitas mengajar dan aktivitas belajar.

Aktivitas mengajar menyangkut peranan guru dalam konteks mengupayakan

terciptanya jalinan komunikasi harmonis antara belajar dan mengajar. Jalinan

komunikasi ini menjadi indikator suatu aktivitas atau proses pengajaran yang

berlangsung dengan baik.

Dengan demikian tujuan pengajaran adalah tujuan dari suatu proses interaksi antara

guru dan siswa dalam kegiatan belajar mengajar dalam rangka mencapai tujuan

pendidikan.

Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, dewasa ini telah berkembang pesat baik

meteri maupun kegunaannya. Mata pelajaran matematika verfungsi melambnagan

kemampuan komunikasi dengan menggambarkan bilangan-bilangan dan simbol-

simbol serta ketajaman penalaran yang dapat memberi kejelasan dan

menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Adapun tujuan dari pengajaran matematika adalah:

1. Mempersiapkan siswa agar sanggup menghadapi perubahan keadaan dan

pola pikir dalam kehidupan dan dunia selalu berkembang, dan

2. Mempersiapkan siswa meggunakan matematika dan pola pikir matematika

dalam kehidupan sehari-hari dan dalam mepelajari berbagai ilmu

pengetahuan.

2

Dari uraian di atas jelas bahwa kehidupan di dunia ini akan terus berkembang sesuai

dengan ilmu pengetahuan dan teknologi. Oleh karena itu siswa harus memiliki

kemampuan memperoleh, memilih dan mengelola informasi untuk bertahan pada

keadaan yang selalu berubah. Kemampuan ini membutuhkan pemikiran yang kritis,

sistematis, logis, kreatif dan kemampuan bekerja sama yang efektif. Dengan

demikian, maka seorang guru harus terus mengikuti perkembangan matematika dan

selalu berusaha agar kreatif dalam pembelajaran yang dilakukan sehingga dapat

membawa siswa ke arah yang diinginkan.

Namun secara khusus tujuan kurikuler pengajaran matematika di Madrasah Aliyah

yang desebutkan dalam kurikulum berbasis kompetensi adalah sebagai berikut:

1. Melatih cara berfikir dan bernalar dalam menerik kesimpulan, misalnya

melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksprimen, menunjukkan

kesamaan, perbedaan, konsisten dan inkonsisten.

2. Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi dan

penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin

tahu, mebuat prediksi serta mencoba-coba.

3. Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah.

4. Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau

mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, catatan

ngrafik, peta, diagram dalam menjelaskan gagasan.

Melatih cara berfikir dan bernalar dalam pembelajaran matematika sangatlah

penting. Hal ini sejalan dengan pendapat Soedjadi bahwa “salah satu karakteristik

matematika adalah berpola pikir deduktif yang merupakan salah satu tujuan yang

bersifat formal, yang memberi tekanan kepada penataan nalar.” Meskipun pola pikir

ini penting, namun dalam pembelajaran matematika terutama pada jenjang SD

masih diperlukan pola pikir deduktif, sedangkan jenjang sekolah menekankan

penggunaan pola pikir induktif dalam penyajian suatu topik sudah semakin dikurangi.

Di samping cara berpikir, dalam proses pembelajaran siswa juga dilatih untuk

mengembagkan kreatifitasnya melalui imajinasi dan intuisi. Setiap siswa punya

kemampuan yang berbeda-beda dalam memandang suatu permasalahn yang

dikembangkan, inilah yang disebut dengan pemikiran divergen yang perlu terus

dikembangkan.

Berdasrkan penjelasan tujuan pengajaran di atas dapat dimengerti bahwa

matematika itu bukan saja dituntut sekedar menghitung, tetapi siswa juga dituntut

agar lebih mampu menghadapi berbagai masalah dalam hidup ini. Masalah itu baik

mengenai matematika itu sendiri maupun masalah dalam ilmu lain, serta dituntut

suatu disiplin ilmu yang sangat tinggi, sehingga apabila telah memahami konsep

matematika secara mendasar dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

3

BAB II

PEMBAHASAN

1. Pengertian Transformasi Geometri

a) Transformasi Geometri adalah Untuk memindahkan satu titik atau

bangun pada bidang dapat dilakukan dengan menggunakan

Transformasi. Transformasi Geometri adalah bagian dari geometri

yang membicarakan perubahan, baik perubahan letak maupun bentuk

penyajianya didasarkan dengan gambar dan matriks. Transformasi

Geometri lebih sering disebut transformasi adalah mengubah setiap

koordinat titik (titik-titik dari suatu bangun) menjadi koordinat lainnya

pada bidang dengan satu aturan tertentu. Misalnya,

transformasi T terhadap titik P (x,y) menghasilkan bayangan P’ (x’,

y’) operasi tersebut dapat ditulis sebagai : P (x, y) → P’ (x’, y’)

b) Pengertian Pencerminan atau Refleksi adalah suatu transformasi yang

memindahkan tiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat

bayangan cermin dari titik-titik yang akan dipindahkan. Jika sebuah

bangun geometri dicerminkan terhadap sebuah garis tertentu, maka

bangun bayangan kongruen dengan bangun semula. Pada

transformasi refleksi, jarak titik pada bangun bayangan ke sumbu

cermin sama dengan jarak titik pada bangun semula ke sumbu cermin.

2. Karakteristik Geometri Transformasi dan Pencerminan

Bercermin merupakan kegiatan yang setiap hari kamu lakukan. Setiap kali

kamu bercermin, apa yang dapat kamu nyatakan mengenai banyanganmu?

Apakah bayangan tersebut memiliki bentuk yang sama dengan kamu?

Apakah setiap kali kamu mendekat ke cermin, bayanganmu juga ikut

mendekat ke cermin? Bagaimana dengan posisi menghadap bayangan,

apakah tangan kananmu menjadi tangan kiri dari bayangan? Berikut ini

ilustrasi orang yang sedang bercermin.

4

Pada pembahasan ini kita akan mempelajari sifat-sifat pencerminan bangun datar.

Dari ilustrasi di atas, kita dapat memperoleh sifat-sifat pencerminan sebagai berikut:

Objek dan bayangannya selalu sama.

Jarak setiap titik pada objek dan cermin sama dengan jarak setiap titik pada

bayangan dan cermin, s = s’.

Tinggi objek sama dengan tinggi bayangannya, h = h’.

Garis yang menghubungkan titik pada objek dengan titik pada bayangannya selalu

tegak lurus dengan cermin.

Selanjutnya, perhatikan contoh pencerminan bangun datar berikut!

Sesuai dengan sifat pencerminan, kita dapat memperoleh hal-hal sebagai berikut:

Segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’, akibat dari pernyataan ini, luas

segitigaABC sama dengan luas segitiga A’B’C’.CP = C’P, AQ = A’Q, dan BR = B’R.

Atau dengan kata lain, jarak titik sudut segitiga ABCke cermin sama dengan jarak

titik sudut A’B’C’ ke cermin.

5

Tinggi segitiga ABC sama dengan tinggi segitiga A’B’C’.

Ruas garis AA’, BB’, dan CC’ semuanya tegak lurus dengan cermin, yaitu garis PR.

Melukis Bayangan Hasil Pencerminan Suatu Bangun Datar

Selanjutnya mari kita berlatih untuk melukis bayangan dari bangun datar tertentu.

Tentunya, kita harus menggunakan sifat-sifat dari pencerminan untuk melukis

bayangan tersebut.

Diberikan suatu belah ketupat PQRS seperti gambar di bawah. Tentukan bayangan

dari belah ketupat tersebut apabila dicerminkan terhadap garis a!

Perhatikan bahwa grid horizontal yang ada tegak lurus dengan garis a. Bayangan

titik P, yaitu P’, tentunya segaris dengan titik P. Jarak titik P ke garis a adalah 11

satuan ke kiri. Akibatnya jarak titik P’ dengan cermin adalah 11 satuan ke kanan. Hal

ini juga berlaku untuk titik-titik Q’, R’, dan S’ yang secara berturut-turut merupakan

bayangan dari titik-titik Q, R, dan S. Titik Q’ akan segaris dengan titik Q dan berjarak

2 satuan ke kanan. TitikR’ akan segaris dengan titik R dan berjarak 4 satuan ke

kanan. Sedangkan titik S’ akan segaris dengan S dan berjarak 13 satuan ke kanan.

Setelah ketemu posisi dari titik-titik P’, Q’, R’ dan S’, hubungkan keempat titik

tersebut dengan ruas garis sehingga akan terbentuk belah ketupat P’Q’R’S’ yang

merupakan bayangan dari belah ketupat PQRS. Berikut ini gambar dari belah

ketupat PQRS dan bayangannya.

6

Selain dengan cara di atas, kita juga dapat melukis bayangan dari suatu objek

dengan menggunakan simetri lipat. Garis pencerminan akan menjadi sumbu

simetri jika kita menggunakan cara tersebut.

Berikut ini ilustrasi untuk melukis bayangan dari suatu objek dengan menggunakan

simetri lipat.

Langkah pertama, kamu harus melukis objek yang akan ditentukan bayangannya

dan garis pencerminannya pada kertas. Setelah itu, lipatlah kertas tersebut menurut

garis pencerminannya. Jiplaklah objek pada sisi kertas yang lainnya. Terakhir, buka

kembali kertas tersebut. Hasil jiplakan tersebut merupakan bayangan dari objek

yang dimaksud.

7

Bagaimana? Apakah kamu sudah memahami penjelasan mengenai pencerminan

bangun datar di atas? Apabila sudah paham, kamu dapat mengerjakan soal

pemecahan masalah berikut.

Pemecahan Masalah

Mulan adalah seorang gadis kelas IV yang memiliki tinggi 120 cm. Ia biasanya

bercermin dengan jarak 80 cm di depan cermin. Ia akan berencana pergi ke tukang

cermin untuk memesan sebuah cermin.

Ia akan memesan sebuah cermin dengan tinggi minimal, akan tetapi apabila dia

bercermin, dia akan tetap melihat keseluruhan badannya, dari ujung kaki sampai

ujung kepala.

Bantulah Mulan untuk menghitung panjang cermin yang akan ia pesan tersebut!

Bantulah juga di mana ia akan meletakkan cermin tersebut apabila cermin tersebut

sudah jadi nantinya! (Anggap posisi mata Mulan berada 9 cm di bawah bagian

teratas tubuhnya)

8

Sifat-sifat Refleksi yang bersesuain dengan Transformasi Geometri

Refleksi Rumus Matriks

Refleksi

terhadap

sumbu-x

yxAyxA xsb ,',

.

y

x

y

x

10

01

'

'

Refleksi

terhadap

sumbu-y

yxAyxA ysb,',

.

y

x

y

x

10

01

'

'

Refleksi

terhadap

garis y=x

xyAyxA xy,',

y

x

y

x

01

10

'

'

Refleksi

terhadap

garis x=k

yxkAyxA kx,2',

Refleksi

terhadap

garis y=k

ykxAyxA ky

2,',

Refleksi

terhadap

titik (p,q)

','',, yxAyxA qp

Sama dengan rotasi pusat

(p,q) sejauh 180˚

qy

px

qy

px

180cos180sin

180sin180cos

'

'

Refleksi

terhadap

titik pusat

(0,0)

yxAyxA ,',0,0

y

x

y

x

10

01

'

'

Refleksi

terhadap

garis

y=mx,m=tan

2cos2sin'

2sin2cos'

','',

yxy

yxxdengan

yxAyxA mxy

y

x

y

x

2cos2sin

2sin2cos

'

'

Refleksi

terhadap

garis y=x+k

kxy

kyxdengan

yxAyxA kxy

'

'

','',

kky

x

y

x 0

01

10

'

'

Refleksi

terhadap

garis y=-x+k

kxy

kyxdengan

yxAyxA kxy

'

'

','',

kky

x

y

x 0

01

10

'

'

3. Penerapan Transformasi Geometri dan Pencerminan Matematika pada anak

SD

Yaitu belajar Konsep Pencerminan dari Permainan Membidik / dengan metode Role

Playing.

Abstraksi

Pencerminan merupakan materi belajar kelas IV SD semester 2. Namun, saya

menemukan proses belajar pencerminan secara tidak langsung. Biasanya siswa

belajar pencerminan dengan contoh soal berupa bangun datar. Kali ini mereka

belajar konsep pencerminan dari sebuah permainan. Saya tersenyum melihat anak-

anak kelas IV secara tidak sadar mempelajari konsep pencerminan ini!

Latar Belakang

Dalam proses belajar-mengajar, siswa sering memiliki bayangan buruk tentang

sulitnya Matematika, sehingga hal yang mudah menjadi sulit untuk dipahami. Dalam

belajar pencerminan ini, siswa diajak untuk berperang. Saat ini mereka bukan siswa

SDN 032 Tanah Grogot, Paser yang merengut karena Matematika, melainkan

komandan sebuah armada perang yang menghadang musuh! Mari, bidik musuh,

lalu tembak!! Dooooorrr!!

Cara Bermain

Siswa memilih pasangannya. Permainan ini dimainkan oleh dua orang.

9

Armada perang digambar di atas kertas. Satu kertas dibagi dua (tetapi tidak

dipotong), masing-masing mendapatkan satu bagian untuk armada perangnya.

Masing-masing menggambar armadanya. Jumlah armada disepakati bersama.

Cara menembak lawan adalah dengan melempar peluru dari daerah kita menuju

daerah lawan. Peluru dibuat dengan menghitamkan sebuah lingkaran kecil, lalu

menempelkannya ke daerah lawan (proses pencerminan).

Jika salah satu armada dikenai peluru, maka armada tersebut dicoret; artinya

armadanya berkurang satu.

10

Siswa yang mematikan semua armada terlebih dahulu memenangkan peperangan.

Melalui permainan ini, siswa akan dilatih untuk terbiasa bekerja dengan ketelitian

dan ketepatan. Nilai-nilai ini sangat diperlukan dalam pembelajaran Matematika,

khususnya konsep pencerminan bangun datar.

11

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Metode pembelajaran role playing ini merupakan metode pembelajaran yang

melibatkan siswa untuk aktif dan siswa ikut berperan penting dalam pembelajaran.

Penggunaan metode pembelajaran role playing ini dapat membuat suasana belajar

menjadi lebih menyenangkan sehingga memotivasi siswa dan siswa menjadi

antusias saat pembelajaran.

Setiap metode tentu memiliki kelemahan dan kelebihannya masing-masing

begitupun dengan metode pembelajaran role playing ini, oleh karena itu seorang

guru atau pendidik perlu memadukan pembelajaran role playing ini dengan metode-

metode lain sesuai dengan materi atau standar kompetensi yang hendak dicapai

siswa. Dengan demikia selain dari siswa yang termotivasi untuk belajar, proses

pembelajaran berlangsung sesuai dengan yang di harapkan, guru pun akan terbantu

dengan hasil pembelajaran yang memang sesuai.

B. Saran

Pemaparan mengenai metode pembelajaran role playing dalam makalah ini tentu

jauh dari sempurna, dan masih banyak kekurangan. Oleh karena itu penulis

mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan makalah selanjutnya.

12

DAFTAR PUSTAKA

Anonim, Cabrilog, http://www.cabri.com/v2/pages/en/products_cg2p.php Depdiknas, (2004), Kurikulum Berbasis Kompetensi. Jakarta, Balitbang Pusat Pengembangan Kurikulum. Hadiwidjojo, Moeharti, (1989), Vektor dan Transformasi dalam Geometri, Yogyakarta, IKIP Yogyakarta. Hudoyo, Herman & Sutawidjaya, (1996/1997), Matematika, Depdikbud, Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Bagian Proyek Pengembangan Pendidikan Guru Sekolah Dasar. Karim, Muchtar, (2000), Komponen-komponen Kurikulum MIPA Perguruan Tinggi Menghadapi Sertifikasi dan Standarisasi Global (Sebuah Refleksi dari Semiloka Nasional Perancangan Kurikulum MIPA Tahun 2004-2005 Menuju Pasar Global, UNAIR, Surabaya), FPMIPA, Universitas Pendidikan Indonesia. Kasbolah, E.S, (1998/1999), Penelitian Tindakan Kelas, Malang, Depdikbud. Moore, Gary. Why SAE, http://www.cals.nscu.edu/agexed/sae/ppt1/ssld012.htm Ruseffendi, E.T, (1991), Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika, Bandung, Tarsito. under Matematika

3, Permainan, Sumber Daya Lokal

13