1

MAKALAH

PENCERMINAN (REFLEKSI)

Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Dosen Pengampu : Ishaq Nuriadin M.Pd

Disusun oleh :

Niamatus Saadah 1201125122

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

2015

2

PENCERMINAN

Definisi:

Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang

didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:

(i) Jika P s maka Ms (P) = P.

Gambar 1

(ii) Jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu 'PP .

Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. Garis s

disebut sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin.

Gambar 2

Untuk menyelidiki sifat-sifat pencerminan, akan diselidiki apakah pencerminan

itu suatu transformasi.

Penyelidikan:

Bukti:

(1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M adalah seluruh bidang V.

(2) Akan dibuktikan Ms surjektif.

Ambil sebarang .' VX

Kasus 1: Andaikan .' sX

Maka 'XX sebab ')( XXXM s

Kasus 2: Andaikan .' sX

s

P = Ms(P)

s

P

P’

3

Dari sifat geometri ada VX sehingga s menjadi sumbu ruas 'XX . Ini

berarti bahwa Ms(X) = X’. Artinya setiap X’ memiliki prapeta.

Jadi Ms surjektif.

(3) Akan dibuktikan Ms injektif.

Andaikan BA .

Kasus 1: sA dan 𝐵 𝜖 𝑠.

Maka 𝐴′ = 𝑀𝑠(𝐴) = 𝐴 dan 𝐵′ = 𝑀𝑠(𝐵) = 𝐵.

Jadi A′ ≠ 𝐵′.

Kasus 2: sA dan 𝐵 ∉ 𝑠.

Maka 𝐴′ = 𝑀𝑠(𝐴) = 𝐴 dan 𝐵′ = 𝑀𝑠(𝐵) dengan 𝐵′ ∉ 𝑠.

Jadi 𝐴′ ≠ 𝐵′.

Kasus 3: 𝐴 ∉ 𝑠, 𝐵 ∉ 𝑠.

Andaikan 𝑀𝑠(𝐴) = 𝑀𝑠(𝐵) atau 𝐴′ = 𝐵′.

Jadi 𝐴′𝐴̅̅ ̅̅ ̅ ⊥ 𝑠 dan 𝐵′𝐵̅̅ ̅̅ ̅ ⊥ 𝑠. Ini berarti dari satu titik A’ ada dua garis

berlainan yang tegak lurus pada s. Ini tidak mungkin.

Jadi pengandaian bahwa jika 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝑀𝑠(𝐴) = 𝑀𝑠(𝐵) adalah tidak

benar sehingga pengandaian itu salah.

Jadi jika 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝑀𝑠(𝐴) ≠ 𝑀𝑠(𝐵).

Jadi 𝑀𝑠(𝐴) injektif.

Berdasarkan (1), (2), dan (3), disimpulkan bahwa Ms adalah suatu transformasi.

Dari penyelidikan di atas diperoleh teorema:

Teorema 1

Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.

Pencerminan pada garis mengawetkan jarak. Artinya, jika A dan B dua titik maka

apabila 𝐴′ = 𝑀(𝐴) dan 𝐵′ = 𝑀(𝐵), 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′. Jadi jarak setiap dua titik sama

dengan jarak antara peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Sifat demikian yang

dimiliki oleh M itu membuat M disebut transformasi yang isometrik atau M

adalah suatu isometri. Atau bisa dituliskan dengan:

4

Definisi:

Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q

berlaku P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q).

Gambar 3

Teorema:

Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.

Jadi jika A’ = Ms(A), B’ = Ms(B) maka AB = A’B’.

Bukti:

Ambil Sebarang A, B, A’, B’ V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’.

Akan ditunjukkan A’B’ = AB.

Kasus I

Jika A, B s maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B.

Jadi AB = A’B’.

Kasus II

Jika A S, B s, maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’.

Akan ditunjukkan AB = A’B’.

Perhatikan CABABC '& .

AC = AC (berimpit).

𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑚∠𝐴𝐶𝐵′ (karena siku-siku).

BC = B’C (karena S sumbu simetri).

Jadi CABABC ' .

Diperoleh AB = A’B’.

s

A = A’

B’ B C

s

P

P’

Q

Q’

5

C

A’

s

A

B’ B

D

Kasus III

Jika A, B ∉ S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’.

Akan ditunjukkan AB = A’B’

(i) Perhatikan Δ𝐴𝐶𝐷 𝑑𝑎𝑛 Δ𝐴′𝐶𝐷.

DC = DC (berimpit)

𝑚∠ADC = 𝑚∠𝐴′𝐷𝐶 (900)

AD = A’D (karena s sumbu simetri)

Jadi Δ𝐴𝐶𝐷 ≅ Δ𝐴′𝐶𝐷 (𝑠 𝑠𝑑 𝑠).

Diperoleh AC = A’C dan 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 𝑚∠𝐴′𝐶𝐷.

(ii) Perhatikan Δ𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 Δ𝐴′𝐵′𝐶.

AC = A’C (pembuktian (i))

𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 900 − 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 900 − 𝑚∠𝐴𝐶′𝐷 = 𝑚∠𝐴′𝐶𝐷.

BC = B′C(karena s sumbu simetri).

jadi Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴′𝐵′𝐶 (𝑠 𝑠𝑑 𝑠).

Diperoleh AB = A’B’.

Jadi AB = A’B’.

Berdasarkan Kasus I, II, III, disimpulkan bahwa jika A’ = Ms(A), B’ = Ms(B)

maka AB = A’B’.

Jadi setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.

6

SOAL LATIHAN

1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan

pula Mg(B).

● ●

A B

Mg(A) = B dan Mg(B) = A

2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1).

Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!

Diket : A (1,3), B (-2,-1)

Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B.

Jawab :

Persamaan garis AB

0534

4493

)1(4)3(3

12

1

31

3

12

1

12

1

yx

xy

xy

xy

xx

xx

yy

yy

Gradien 𝑚1 =4

3.

Gradien yang tegak lurus AB, 𝑚2 = −3

4

Titik tengah AB = )1,2

1(

2

)2,1(

2

)1,2()3,1(

Persamaan garis yang melalui )1,2

1( dengan 𝑚 = −

3

4 adalah

y – y1 = m (x – x1)

X

Y

A(1,3)

B(-2,1)

X

Y

A(1,3)

B(-2,1)

7

y – 1 = - 4

3(x +

2

1)

y = - 4

3x -

8

3 + 1

y = - 4

3x +

8

5

8y + 6x – 5 = 0

6x + 8y – 5 = 0

Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0

3. Diketahui: g = -3x, yx

Ditanya:

a. A’=Mg(A), bila A(2,1).

b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .

c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .

Jawab:

a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.

B (-3,1) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (-3,1) =

2

1,

2

2

2,

2

''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )2,2(2,6 '' AA yx

1,8, '' AA yx

Jadi A’ = (-8,1)

b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah

y=7.

D(-3,7) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (-3,7) =

2

7,

2

1

2,

2

'' CCCCCC yxyyxx

Jelas )7,1(14,6 CC yx

X

Y

A(2,1)

(-1,7) g x=-3

8

7,5, CC yx

Jadi C = (-5,7)

c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (-3, yp) =

2,

2

'' pppp yyxx

pppp

ppppp

yxyx

yyxxy

,6,

),(2,6

'

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y).

4. Diketahui g = 2y, yx

Ditanya:

a. Jika A = 2,3 , tentukan A’ = Mg(A).

b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)

Jawab:

a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3.

Jelas (3,2) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (3,2) =

2

2,

2

3

2,

2

''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )2,3(4,6 '' AA yx

⟺ (𝑥𝐴′ , 𝑦𝐴′) = (6 − 3,4 − √2)

⟺ (𝑥𝐴′ , 𝑦𝐴′) = (3,4 − √2)

24,3, '' AA yx

Jadi A’ = (3, 24 )

b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.

Jelas C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,

9

Maka (2,2) =

2

)4(,

2

2

2,

2

'' DDDDDD yxyyxx

Jelas )4,2(4,4 DD yx

⟺ (𝑥𝐷 , 𝑦𝐷) = 4 − 2,4 + 4

⟺ (𝑥𝐷 , 𝑦𝐷) = 2,8

Jadi Prapeta D oleh Mg adalah (2,8).

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (xQ, 2) =

2,

2

'' pppp yyxx

pppp

ppppp

pppp

p

yxyx

yyxxx

yyxxx

4,,

,4,2

)2

,2

(2,

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x, 4 - y).

5. Diketahui h = xy, yx

Ditanya:

a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A).

b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)

Jawab:

a. Gradien garis y = x adalah m = 1, dan gradien garis yang tegak lurus

dengan garis h adalah m1 = -1.

Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus h adalah

)( 111 xxmyy

1

32

)2(13

xy

xy

xy

Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 yaitu dengan cara y = x,

disubtitusikan ke persamaan 𝑦 = −𝑥 − 1. Diperoleh :

10

𝑥 = −𝑥 − 1

⟺ 2𝑥 = −1

⟺ 𝑥 = −1

2

substitusikan x = -2

1 ke persamaan y = x

diperoleh y = -2

1.

Jadi titik tengah 'AA (-2

1,-

2

1).

Jelas (-2

1,-

2

1) titik tengah 'AA , maka

2

3,

2

2

2,

22

1,

2

1 ''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )3,2(1,1 '' AA yx

2,3, '' AA yx

Jadi A’ = (-3,2)

b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1, gradien garis yang tegak lurus adalah

m= -1

Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan

m = -1 adalah

)( 11 xxmyy

2

53

)3(15

xy

xy

xy

Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara y = x

disubtitusikan ke persamaan y, diperoleh

𝑥 = −𝑥 + 2

⟺ 2𝑥 = 2

⟺ 𝑥 = 1

substitusikan x = 1 ke persamaan y = x

diperoleh y = 1.

11

Jadi titik tengah 'BB (1,1).

Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka

2

5,

2

)3(

2,

21,1 '' BBBBBB yxyyxx

Jelas )5,3(2,2 BB yx

3,5, '' AA yx

Jadi A’ = (5,-3)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah

pp

pp

yxxy

xxmyy

)(

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (xQ, yQ) =

2,

2

'' pppp yyxx

QpQppp

ppppQQ

yyxxyx

yyxxyx

2,2,

),(2,2

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).

6. Diketahui k = 0yx, yx

Ditanya:

a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A).

b. Jika B’ = (-3,5), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)

Jawab:

a. Dicari gradien garis k xyyx 0

Jelas mk= -1, sehingga gradien garis yang tegak lurus garis k adalah m = 1

Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m =

1 adalah

)( 11 xxmyy

12

5

32

)2(13

xy

xy

xy

Mencari perpotongan y = -x dan y = x - 5 dengan cara mensubtitusikan

𝑦 = −𝑥 ke persamaan 𝑦 = 𝑥 − 5, diperoleh :

-x = x – 5

⟺ 2𝑥 = 5

⟺ 𝑥 =5

2

substitusikan x = 2

5 ke persamaan y = -x

diperoleh y = -2

5.

Jadi titik potongnya (2

5, -

2

5)

Karena (2

5, -

2

5) titik tengah 'AA , maka

2

3,

2

2

2,

22

5,

2

5 '''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )3,2(5,5 '' AA yx

2,3, '' AA yx

Jadi A’ = (3,-2)

b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1, gradien garis yang tegak lurus garis

tersebut adalah m = 1.

Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m =

1 adalah

8

53

)3(15

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan y = -x dan y = x +8 dengan cara mensubtitusikan

𝑦 = −𝑥 ke persamaan 𝑦 = 𝑥 + 8, diperoleh.

13

−𝑥 = 𝑥 + 8

⟺ 2𝑥 = −8

⟺ 𝑥 = −4

substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x

diperoleh y = 4.

Jadi titik potongnya (-4,4).

Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka

2

5,

2

)3(

2,

24,4 '' BBBBBB yxyyxx

Jelas )5,3(8,8 BB yx

3,5, '' AA yx

Jadi A’ = (-5, 3)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1

adalah

pp

pp

yxxy

xxmyy

)(

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (xQ, yQ) =

2,

2

'' pppp yyxx

QpQppp

ppppQQ

yyxxyx

yyxxyx

2,2,

),(2,2

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).

7. Diketahui g = 1y x, yx

Ditanya:

a. Mg(0)

b. Mg(A) dengan A(1,2).

c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.

14

Jawab:

a. Dipunyai g = 1y x, yx , dari x + y = 1 y = 1 – x.

Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g

adalah m = 1

Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m

= 1 adalah

xy

xy

xxmyy

)0(10

)( 11

Jadi ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥}

Titik potong antara g dan h dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 = 𝑥 ke

dalam persamaan 𝑦 = 1 − 𝑥 sehingga diperoleh

1 − 𝑥 = 𝑥

⟺ 2𝑥 = 1

⟺ 𝑥 =1

2

substitusikan x = 2

1 ke persamaan y = x

diperoleh y = 2

1.

Jadi titik potongnya (2

1,

2

1)

Karena (2

1,

2

1) titik tengah 'OO , maka

2

0,

2

0

2,

22

1,

2

1 '0'0'00'00 yxyyxx

Jelas ),(1,1 '0'0 yx

1,1, '0'0 yx

Jadi Mg(O) = (1,1)

b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m

= 1 adalah

15

1

12

)1(12

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Jadi ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥 + 1}

Mencari perpotongan g dengan h dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 =

1 − 𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1, diperoleh

1 − 𝑥 = 𝑥 + 1

⟺ 2𝑥 = 0

⟺ 𝑥 = 0

substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x

diperoleh y = 1.

Jadi titik potongnya (0,1).

Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka

2

2,

2

1

2,

21,0 '''' BBoooo yxyyxx

Jelas )2,1(2.0 '' oo yx

0,1, ' oo yx

Jadi A’ = (-1,0)

c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g = 1y x, yx

Karena Mg(P) = P, maka P )1,( xxP

Diperoleh x + y = 1 01)1(1 xxxyx

Dan y = 0 + 1 = 1

Jadi Mg(P) = (0,1).

16

8. Diketahui g = 013y-x, yx , dan A (2,k).

Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A

Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0,

Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.

Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.

Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1

Jadi nilai k = 1.

9. Diketahui k = 013-ax, yyx , B = (3,-1)

Tentukan a apabila Mk(B) = B!

Karena Mk(B) = B, maka

B = (3,-1) terletak pada garis k.

Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0

3a +3 +1 = 0

3a = - 4

a = - 3

4

Jadi nilai a = - 3

4.

10. T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x-5, y+3) untuk

semua titik P(x,y) V. Selidikal apakah T suatu transformasi. Apakah sifat

tersebut dapat diperluas secara umum?

Selesaian:

Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)

P = (x, y) V

Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?

Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.

Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2 V maka P1‘P2’ = P1P2

Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)

17

T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3)

T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)

2

12

2

1221P yyxxP

2

12

2

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

''P

)3355''P

)3()3()5()5(''P

''''''P

yyxxP

yyxxP

yyxxP

yyxxP

Diperoleh P1‘P2’ = P1P2.

karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.

Apa syarat tersebut dapat diperluas?

Jawab:

Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)

T(P1) = P1’ = (x1 + k, y1 +l)

T(P2) = P2’ = (x2 + k, y2 + l)

2

12

2

1221P yyxxP

2

12

2

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

''P

)''P

)()()()(''P

''''''P

yyxxP

lylykxkxP

lylykxkxP

yyxxP

Diperoleh P1‘P2’ = P1P2.

Karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.

Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum.

11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai

T(P)=(2x, y-1), Selidiki apakah T suatu isometri?

Selesaian:

Ambil sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)

18

Jelas 22

pqpq yyxxPQ

Menurut definisi 1,2)( pp yxPT dan 1,2)( qq yxQT

Jelas

224 pqpq yyxx

Diperoleh )()( QTPT ≠ PQ

Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak

Jadi T bukan isometri.

12. Diketahui garis g dan titik A, A’, B, dan C seperti terlihat pada gambar di

bawah ini.

a. Dengan hanya menggunakan sebuah penggaris, tentukan B’=Mg(B) dan

C’=Mg(C)’

b. Buktikan bahwa lukisan yang Anda lakukan benar.

Selesaian:

a. Gambar

22)1()1(22)()( pqpq yyxxQTPT

B

A

A’

C

g

B

A

A’

C

g

B’

C’

19

b. Bukti:

Pada lukisan di atas jelas terlihat garis g merupakan garis sumbu dari

𝐶𝐶′̅̅̅̅̅, 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅, dan 𝐵𝐵′̅̅ ̅̅ ̅. Sehingga B’ = Mg(B), A’ = Mg(A), C’ = Mg(C).

Jadi, lukisan di atas benar.

13. Ada sebuah garis g = {(x,y) | y = x}. Andaikan T sebuah transformasi yang

didefinisikan untuk semua P(x,y) pada bidang V sebagai berikut: T(P) = P’

= (y,x). Buktikan bahwa T sebuah refleksi garis pada g dengan

membuktikan:

a. T(P) = P apabila P(x,y) ∈ g.

b. Apabila P(x,y) ∉ g maka g adalah sumbu ruas garis PP′̅̅ ̅̅ .

Selesaian :

a. Dipunyai P(x,y) ∈ g

Maka T(P) = P’ = (y,x).

Karena (x,y) ∈ g dan g = {(x,y) | y = x}, maka y = x dan x = y sehingga

T(P) = P’ = (y,x) = (x,y).

Karena T(P) = P untuk P ∈ g maka T merupakan refleksi garis pada g.

b. Dipunyai P(x,y) ∉ g

(i) Akan dibuktikan PP′̅̅ ̅̅ ⊥ g.

Jelas mg = 1.

Karena P(x,y) ∉ g maka T(P) = P’ = (y,x).

m𝑃𝑃′̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

𝑥−𝑦

𝑦−𝑥=

𝑥−𝑦

−(𝑥−𝑦)= −1

Diperoleh mg = 1 = −1

−1= −

1

𝑚𝑃𝑃′̅̅ ̅̅ ̅̅ .

Jadi g ⊥ 𝑃𝑃′̅̅ ̅̅ ̅.

(ii) Akan dibuktikan PO = P’O, jika O adalah titik persekutuan antara

𝑃𝑃′̅̅ ̅̅ ̅ dan g.

Misalkan Q titik tengah 𝑃𝑃′̅̅ ̅̅ ̅.

𝑄 = (𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2)

= (𝑥 + 𝑦

2,𝑦 + 𝑥

2)

g

P(x,y)

P’(y,x)

O

20

Jelas 𝑥+𝑦

2=

𝑦+𝑥

2.

Maka 𝑥𝑄 = 𝑦𝑄, sehingga 𝑄 ∈ g.

Jadi Q = O.

Karena Q titik tengah 𝑃𝑃′̅̅ ̅̅ ̅ dan Q = O, maka PO = P’O.

Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa g merupakan sumbu ruas

garis 𝑃𝑃′̅̅ ̅̅ ̅.

14. Jika h sebuah garis yang melewati titik asal dengan koefisien arah -1,

tentukan:

a. A jika Mh(A) = (-2,3)

b. Mh(P) untuk P=(x,y)

Selesaian:

c. h melewati (0,0) dengan m = -1.

Persamaan garis h :

y-y1 = m(x-x1)

y – 0 = -1(x – 0)

y = -x

x + y = 0.

Jelas 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅ ⊥ ℎ melalui (-2,3) dengan gradien m = 1

Persamaan garis 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅ :

y-y1 = m(x-x1)

y – 3 = 1(x + 2)

y – 3 = x + 2

y = x + 5.

Perpotongan garis h dan 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅

h : y = -x; 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅ : y = x + 5

diperoleh y = y

-x = x + 5

2x = -5

x = −5

2.

21

y = -x = - (−5

2) =

5

2.

Diperoleh titik tengah 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅ = (xp,yp) = (−5

2,

5

2).

Jelas (xp,yp) = (𝑥+𝑥′

2,

𝑦+𝑦′

2)

(−5

2,

5

2) = (

𝑥−2

2,

𝑦+3

2)

Diperoleh x – 2 = -5 x = -3, dan y + 3 = 5 y = 2.

Jadi A = (-3,2).

b.

garis PP’ ⊥ h berarti m = 1 dan

melalui (a,b).

Persamaan garis PP’: y – y1 = m(x – x1)

y – b = 1(x – a)

y = x – a + b.

Perpotongan garis h dan PP’

y = y -x = x –a + b 2x = a – b x = 𝑎−𝑏

2

y = -x = −𝑎−𝑏

2.

Titik tengah PP’ = (𝑎−𝑏

2, −

𝑎−𝑏

2)

Jelas (𝑎−𝑏

2, −

𝑎−𝑏

2) = (

𝑥+𝑥′

2,

𝑦+𝑦′

2)

(𝑎−𝑏

2, −

𝑎−𝑏

2) = (

𝑎+𝑥′

2,

𝑏+𝑦′

2)

Diperoleh x’ = -b dan y’ = -a.

Jadi untuk P=(a,b) = (x,y) diperoleh P’=(-b,-a)=(-y,-x).

P (a,b)

a

b

h

22

15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap

titik P pada bidang V sebagai berikut:

Jika Pg maka T(P) = P

Jika P g maka T(P) = P’ sehingga P’ adalah titik tengah ruas garis

orthogonal dari P ke g.

a. Apakah T suatu transformasi?

b. Apakah T suatu isometri?

c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga A’B’ = AB dengan A’ = T(A),

B’= T(B), apakah dapat anda katakan tentang A dan B’?:

Jawab:

a. Ditunjukkan T suatu transformasi

i. Ditunjukkan T surjektif

Ambil sebarang titik P’V

Jika P’ g jelas PVg T(P)=P’

Jika P’ ∉ 𝑔, maka ∃𝑥 ∈ 𝑉 sehingga 𝑔 jadi sumbu ruas 𝑃𝑃′̅̅ ̅̅ ̅

Ini berarti Ms(P)=P’

Jadi P’V memiliki prapeta

Jadi T surjektif

ii. Ditunjukkan T injektif

Ambil sebarang titik P,QV dengan P≠Q

𝑃 ≠ 𝑄 {𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔 ⟹ 𝑇(𝑃) = 𝑃′, 𝑇(𝑄) = 𝑄′ ≠ 𝑃 ⟹ 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄)

𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔 ⟹ 𝑇(𝑃) = 𝑃′ ≠ 𝑄, 𝑇(𝑄) = 𝑄 ⟹ 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄)

Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan

ruas garis orthogonal Q ke g.

Ditunjukkan P ≠Q=> T(P)≠T(Q)

Andaikan T(P)=T(Q)

Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P

ke g dan T(Q) adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan

Q ke g

Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.

23

Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis

orthogonal Q ke g.

Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu

titik .

Jadi P = Q

Kontradiksi dengan P≠Q

Haruslah P≠Q => T(P) ≠T(Q)

Jadi T injektif

Dapat disimpulkan T suatu transformasi

b. Ditunjukkan T suatu isometri

Pilih Pg dan Q g

Jelas T(P)=P dan T(Q)=Q’≠P

Jelas T(Q)=Q’ dengan Q’ adalah titik tengah

ruas garis orthogonal dari Q ke Q’

Jelas PQ≠P’Q’=PQ’

Jadi T bukan Isometri

c. T isometri jika

i) Ag, Bg

ii) A g ,B g

Jadi AB = A’B’ jika

i) Ag, Bg

ii) A g ,B g

16. Andaikan h = 3xy , yx , Apabila A = (4,3)

Ditanya: tentukan koordinat – koordinat A’ =Mh(A).

Selesaian:

Jelas gradient dari garis 𝑦 = 3𝑥 adalah 𝑚 = 3. Gradient garis yang tegak

lurus garis tersebut adalah 𝑚 = −1

3

Persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A(4,3) dengan m = −1

3

adalah

P

24

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

⟺ 𝑦 − 3 = −1

3(𝑥 − 4)

⟺ 𝑦 − 3 = −1

3𝑥 +

4

3

⟺ 𝑦 = −1

3𝑥 +

13

3

Perpotongan garis h dan 𝑦 = −1

3𝑥 +

13

3 dapat dicari dengan mensubtitusikan

𝑦 = 3𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = −1

3𝑥 +

13

3, diperoleh

3𝑥 = −1

3𝑥 +

13

3

⟺10

3𝑥 =

13

3

⟺ 𝑥 =1,3

3

⟺ 𝑦 = 3𝑥

= 1,3

Diperoleh titik terjadi 𝐴𝐴′̅̅ ̅̅ ̅ = (1,3

3; 1,3)

Jelas (1,3

3; 1,3) = (

𝑥𝐴+𝑥𝐴′

2,

𝑦𝐴+𝑦𝐴′

2)

⟺ (1,3

3; 1,3) = (

4 + 𝑥𝐴′

2,3 + 𝑦𝐴′

2)

⟺ (2,6

3; 2,6) = (4 + 𝑥𝐴′ , 3 + 𝑦𝐴′)

⟺ (𝑥𝐴′ , 𝑦𝐴′) = (2,6

3−

12

3; 2,6 − 3)

⟺ (−9,4

3; −0,4)

Jdi koordinat 𝐴′ = (−9,4

3; −0,4).

17. Diketahui titik-titik A=(1,-1), B=(4,0), C=(-4,1), dan D=(-2,k). Apabila T

suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, tentukanlah k.

Penyelesaian:

Karena Isometri, maka |𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|

25

√(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2 = √(𝑥𝑐 − 𝑥𝐷)2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐷)2

√(1 − 4)2 + (−1 − 0)2 = √(−4 + 2)2 + (1 − 𝑘)2

√(−3)2 + (−1)2 = √(−2)2 + (1 − 𝑘)2

9+1 = 4+ (1-k)2

(1-k)2 = 10 – 4

(1-k)2 = 6

1-k = √6

k = 1 + √6.

19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y.

Ada g = 1yx, yx .

a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . .

b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B

c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)!

Jawab:

a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1, gradien yang tegak lurus

garis tersebut adalah m = 1

Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m =

1 adalah

1

21

)1(12

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan x + y = 1 dan y = x + 1 dengan mensubstitusikan

persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1 ke persamaan 𝑥 + 𝑦 = 1, diperoleh

𝑥 + 𝑥 + 1 = 1

⟺ 2𝑥 = 0

⟺ 𝑥 = 0

substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1

diperoleh y = 1.

Jadi titik tengah 'AA (0,1).

26

Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka

2

2,

2

1

2,

21,0 ''' AAAAAA yxyyxx

)2,1(2,0 '' AA yx

0,1, '' AA yx

Jadi A’ = (-1,0)

b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1

Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan

m=1 adalah

6

42

)2(14

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi.

𝑦 = 𝑦

⟺ 1 − 𝑥 = 𝑥 + 6

⟺ 2𝑥 = 1 − 5

⟺ 𝑥 = −2

substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x

diperoleh y = 3.

Jadi titik tengah BC (-2,3).

Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka

2

4,

2

2

2,

23,2 CCCBCB yxyyxx

)4,2(6,4 CC yx

2,2, CC yx

Jadi A’ = (-2,2)

27

c. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah

21

21 )(

PPxy

PxmPy

Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (Q1,Q2) =

2,

2

'22'11 PPPP

2211'2'1

'22'1121

2,2,

),(2,2

QPQPPP

PPPPQQ

Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = P’ = 2211 2,2 QPQP .