bab ii pencerminan
DESCRIPTION
TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASITRANSCRIPT
-
1
PENCERMINAN
Definisi:
Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang
didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:
(i) Jika P s maka Ms (P) = P.
Gambar 1
(ii) Jika P s maka Ms (P) = P sehingga garis s adalah sumbu 'PP .
Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. Garis s
disebut sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin.
Gambar 2
Untuk menyelidiki sifat-sifat pencerminan, akan diselidiki apakah pencerminan
itu suatu transformasi.
Penyelidikan:
Bukti:
(1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M adalah seluruh bidang V.
(2) Akan dibuktikan Ms surjektif.
Ambil sebarang .' VX
Kasus 1: Andaikan .' sX
Maka 'XX sebab ')( XXXM s
Kasus 2: Andaikan .' sX
s
P = Ms(P)
s
P
P
-
2
Dari sifat geometri ada VX sehingga s menjadi sumbu ruas 'XX . Ini
berarti bahwa Ms(X) = X. Artinya setiap X memiliki prapeta.
Jadi Ms surjektif.
(3) Akan dibuktikan Ms injektif.
Andaikan BA .
Kasus 1: sA dan .
Maka ( ) dan ( ) .
Jadi .
Kasus 2: sA dan .
Maka ( ) dan ( ) dengan .
Jadi .
Kasus 3: .
Andaikan ( ) ( ) atau .
Jadi dan . Ini berarti dari satu titik A ada dua garis
berlainan yang tegak lurus pada s. Ini tidak mungkin.
Jadi pengandaian bahwa jika maka ( ) ( ) adalah tidak
benar sehingga pengandaian itu salah.
Jadi jika maka ( ) ( ).
Jadi ( ) injektif.
Berdasarkan (1), (2), dan (3), disimpulkan bahwa Ms adalah suatu transformasi.
Dari penyelidikan di atas diperoleh teorema:
Teorema 1
Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi.
Pencerminan pada garis mengawetkan jarak. Artinya, jika A dan B dua titik maka
apabila ( ) dan ( ), . Jadi jarak setiap dua titik sama
dengan jarak antara peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Sifat demikian yang
dimiliki oleh M itu membuat M disebut transformasi yang isometrik atau M
adalah suatu isometri. Atau bisa dituliskan dengan:
-
3
Definisi:
Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q
berlaku PQ = PQ dengan P = T(P) dan Q = T(Q).
Gambar 3
Teorema:
Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
Jadi jika A = Ms(A), B = Ms(B) maka AB = AB.
Bukti:
Ambil Sebarang A, B, A, B V dengan Ms(A) = A dan Ms(B) = B.
Akan ditunjukkan AB = AB.
Kasus I
Jika A, B s maka Ms(A) = A = A dan Ms(B) = B = B.
Jadi AB = AB.
Kasus II
Jika A S, B s, maka Ms(A) = A = A dan Ms(B) = B.
Akan ditunjukkan AB = AB.
Perhatikan CABABC '& .
AC = AC (berimpit).
(karena siku-siku).
BC = BC (karena S sumbu simetri).
Jadi CABABC ' .
Diperoleh AB = AB.
s
A = A
B B C
s
P
P
Q
Q
-
4
C
A
s
A
B B
D
Kasus III
Jika A, B S dan Ms(A) = A, Ms(B) = B.
Akan ditunjukkan AB = AB
(i) Perhatikan .
DC = DC (berimpit)
( )
AD = AD (karena s sumbu simetri)
Jadi ( ).
Diperoleh AC = AC dan
(ii) Perhatikan .
AC = AC (pembuktian (i))
( ).
( ).
Diperoleh AB = AB.
Jadi AB = AB.
Berdasarkan Kasus I, II, III, disimpulkan bahwa jika A = Ms(A), B = Ms(B)
maka AB = AB.
Jadi setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
-
5
SOAL LATIHAN
1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan
pula Mg(B).
A B
Mg(A) = B dan Mg(B) = A
2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1).
Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!
Diket : A (1,3), B (-2,-1)
Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B.
Jawab :
Persamaan garis AB
0534
4493
)1(4)3(3
12
1
31
3
12
1
12
1
yx
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
Gradien
.
Gradien yang tegak lurus AB,
Titik tengah AB = )1,2
1(
2
)2,1(
2
)1,2()3,1(
Persamaan garis yang melalui )1,2
1( dengan
adalah
y y1 = m (x x1)
X
Y
A(1,3)
B(-2,1)
X
Y
A(1,3)
B(-2,1)
-
6
y 1 = - 4
3(x +
2
1)
y = - 4
3x -
8
3 + 1
y = - 4
3x +
8
5
8y + 6x 5 = 0
6x + 8y 5 = 0
Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y 5 = 0
3. Diketahui: g = -3x, yx
Ditanya:
a. A=Mg(A), bila A(2,1).
b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .
c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.
B (-3,1) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,1) =
2
1,
2
2
2,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )2,2(2,6 '' AA yx
1,8, '' AA yx
Jadi A = (-8,1)
b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah
y=7.
D(-3,7) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (-3,7) =
2
7,
2
1
2,
2
'' CCCCCC yxyyxx
Jelas )7,1(14,6 CC yx
X
Y
A(2,1)
(-1,7) g x=-3
-
7
7,5, CC yx
Jadi C = (-5,7)
c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (-3, yp) =
2,
2
'' pppp yyxx
pppp
ppppp
yxyx
yyxxy
,6,
),(2,6
'
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (-6 x,y).
4. Diketahui g = 2y, yx
Ditanya:
a. Jika A = 2,3 , tentukan A = Mg(A). b. Jika D = (2,-4), tentukan prapeta D oleh Mg.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)
Jawab:
a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3.
Jelas (3,2) adalah titik tengah 'AA ,
Maka (3,2) =
2
2,
2
3
2,
2
''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )2,3(4,6 '' AA yx
( ) ( )
( ) ( )
24,3, '' AA yx
Jadi A = (3, 24 )
b. Persamaan garis yang melalui D = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.
Jelas C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,
-
8
Maka (2,2) =
2
)4(,
2
2
2,
2
'' DDDDDD yxyyxx
Jelas )4,2(4,4 DD yx ( )
( )
Jadi Prapeta D oleh Mg adalah (2,8).
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, 2) =
2,
2
'' pppp yyxx
pppp
ppppp
pppp
p
yxyx
yyxxx
yyxxx
4,,
,4,2
)2
,2
(2,
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (x, 4 - y).
5. Diketahui h = xy, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A = Mh(A).
b. Jika D = (2,-4), tentukan prapeta dari B oleh Mh.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)
Jawab:
a. Gradien garis y = x adalah m = 1, dan gradien garis yang tegak lurus
dengan garis h adalah m1 = -1.
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus h adalah
)( 111 xxmyy
1
32
)2(13
xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = x dan y = -x 1 yaitu dengan cara y = x,
disubtitusikan ke persamaan . Diperoleh :
-
9
substitusikan x = -2
1 ke persamaan y = x
diperoleh y = -2
1.
Jadi titik tengah 'AA (-2
1,-
2
1).
Jelas (-2
1,-
2
1) titik tengah 'AA , maka
2
3,
2
2
2,
22
1,
2
1 ''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )3,2(1,1 '' AA yx
2,3, '' AA yx
Jadi A = (-3,2)
b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1, gradien garis yang tegak lurus adalah
m= -1
Maka persamaan garis yang melalui B(-3,5) dan tegak lurus g dengan
m = -1 adalah
)( 11 xxmyy
2
53
)3(15
xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara y = x
disubtitusikan ke persamaan y, diperoleh
substitusikan x = 1 ke persamaan y = x
diperoleh y = 1.
-
10
Jadi titik tengah 'BB (1,1).
Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka
2
5,
2
)3(
2,
21,1 '' BBBBBB
yxyyxx
Jelas )5,3(2,2 BB yx
3,5, '' AA yx
Jadi A = (5,-3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy
)(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, yQ) =
2,
2
'' pppp yyxx
QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (x 2xQ, y 2yQ).
6. Diketahui k = 0yx, yx
Ditanya:
a. Jika A = (2,-3), tentukan A = Mk(A).
b. Jika B = (-3,5), tentukan prapeta dari B oleh Mk.
c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)
Jawab:
a. Dicari gradien garis k xyyx 0
Jelas mk= -1, sehingga gradien garis yang tegak lurus garis k adalah m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m =
1 adalah
)( 11 xxmyy
-
11
5
32
)2(13
xy
xy
xy
Mencari perpotongan y = -x dan y = x - 5 dengan cara mensubtitusikan
ke persamaan , diperoleh :
-x = x 5
substitusikan x = 2
5 ke persamaan y = -x
diperoleh y = -2
5.
Jadi titik potongnya (2
5, -
2
5)
Karena (2
5, -
2
5) titik tengah 'AA , maka
2
3,
2
2
2,
22
5,
2
5 '''' AAAAAA yxyyxx
Jelas )3,2(5,5 '' AA yx
2,3, '' AA yx
Jadi A = (3,-2)
b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1, gradien garis yang tegak lurus garis
tersebut adalah m = 1.
Maka persamaan garis yang melalui B(-3,5) dan tegak lurus g dengan m =
1 adalah
8
53
)3(15
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = -x dan y = x +8 dengan cara mensubtitusikan
ke persamaan , diperoleh.
-
12
substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x
diperoleh y = 4.
Jadi titik potongnya (-4,4).
Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka
2
5,
2
)3(
2,
24,4 '' BBBBBB
yxyyxx
Jelas )5,3(8,8 BB yx
3,5, '' AA yx
Jadi A = (-5, 3)
c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1
adalah
pp
pp
yxxy
xxmyy
)(
Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (xQ, yQ) =
2,
2
'' pppp yyxx
QpQppp
ppppQQ
yyxxyx
yyxxyx
2,2,
),(2,2
''
''
Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P = (x 2xQ, y 2yQ).
7. Diketahui g = 1y x, yx
Ditanya:
a. Mg(0)
b. Mg(A) dengan A(1,2).
c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.
-
13
Jawab:
a. Dipunyai g = 1y x, yx , dari x + y = 1 y = 1 x.
Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g
adalah m = 1
Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m
= 1 adalah
xy
xy
xxmyy
)0(10
)( 11
Jadi {( )| }
Titik potong antara g dan h dapat dicari dengan mensubtitusikan ke
dalam persamaan sehingga diperoleh
substitusikan x = 2
1 ke persamaan y = x
diperoleh y = 2
1.
Jadi titik potongnya (2
1,
2
1)
Karena (2
1,
2
1) titik tengah 'OO , maka
2
0,
2
0
2,
22
1,
2
1 '0'0'00'00 yxyyxx
Jelas ),(1,1 '0'0 yx
1,1, '0'0 yx
Jadi Mg(O) = (1,1)
b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m
= 1 adalah
-
14
1
12
)1(12
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Jadi {( )| }
Mencari perpotongan g dengan h dapat dicari dengan mensubtitusikan
ke dalam persamaan , diperoleh
substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 1.
Jadi titik potongnya (0,1).
Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka
2
2,
2
1
2,
21,0 '''' BBoooo
yxyyxx
Jelas )2,1(2.0 '' oo yx
0,1, ' oo yx
Jadi A = (-1,0)
c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g = 1y x, yx
Karena Mg(P) = P, maka P )1,( xxP
Diperoleh x + y = 1 01)1(1 xxxyx
Dan y = 0 + 1 = 1
Jadi Mg(P) = (0,1).
-
15
8. Diketahui g = 013y-x, yx , dan A (2,k).
Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A
Jawab : Dipunyai x 3y +1 = 0,
Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.
Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.
Untuk x = 2 maka x 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1
Jadi nilai k = 1.
9. Diketahui k = 013-ax, yyx , B = (3,-1)
Tentukan a apabila Mk(B) = B!
Karena Mk(B) = B, maka
B = (3,-1) terletak pada garis k.
Diperoleh a.3 3(-1) + 1 = 0
3a +3 +1 = 0
3a = - 4
a = - 3
4
Jadi nilai a = - 3
4.
10. T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x-5, y+3) untuk
semua titik P(x,y) V. Selidikal apakah T suatu transformasi. Apakah sifat
tersebut dapat diperluas secara umum?
Selesaian:
Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)
P = (x, y) V
Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?
Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.
Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2 V maka P1P2 = P1P2
Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
-
16
T(P1) = P1 = (x1-5, y1+3)
T(P2) = P2 = (x2-5, y2+3)
2122
1221P yyxxP
2122
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)3355''P
)3()3()5()5(''P
''''''P
yyxxP
yyxxP
yyxxP
yyxxP
Diperoleh P1P2 = P1P2.
karena P1P2 = P1P2, maka T suatu isometri.
Apa syarat tersebut dapat diperluas?
Jawab:
Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
T(P1) = P1 = (x1 + k, y1 +l)
T(P2) = P2 = (x2 + k, y2 + l)
2122
1221P yyxxP
2122
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
2
12
2
1221
''P
)''P
)()()()(''P
''''''P
yyxxP
lylykxkxP
lylykxkxP
yyxxP
Diperoleh P1P2 = P1P2.
Karena P1P2 = P1P2, maka T suatu isometri.
Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum.
11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai
T(P)=(2x, y-1), Selidiki apakah T suatu isometri?
Selesaian:
Ambil sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)
-
17
Jelas 22 pqpq yyxxPQ
Menurut definisi 1,2)( pp yxPT dan 1,2)( qq yxQT
Jelas
224 pqpq yyxx
Diperoleh )()( QTPT PQ
Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak
Jadi T bukan isometri.
12. Diketahui garis g dan titik A, A, B, dan C seperti terlihat pada gambar di
bawah ini.
a. Dengan hanya menggunakan sebuah penggaris, tentukan B=Mg(B) dan
C=Mg(C)
b. Buktikan bahwa lukisan yang Anda lakukan benar.
Selesaian:
a. Gambar
22 )1()1(22)()( pqpq yyxxQTPT
B
A
A
C
g
B
A
A
C
g
B
C
-
18
b. Bukti:
Pada lukisan di atas jelas terlihat garis g merupakan garis sumbu dari
, , dan . Sehingga B = Mg(B), A = Mg(A), C = Mg(C).
Jadi, lukisan di atas benar.
13. Ada sebuah garis g = {(x,y) | y = x}. Andaikan T sebuah transformasi yang
didefinisikan untuk semua P(x,y) pada bidang V sebagai berikut: T(P) = P
= (y,x). Buktikan bahwa T sebuah refleksi garis pada g dengan
membuktikan:
a. T(P) = P apabila P(x,y) g.
b. Apabila P(x,y) g maka g adalah sumbu ruas garis
Selesaian :
a. Dipunyai P(x,y) g
Maka T(P) = P = (y,x).
Karena (x,y) g dan g = {(x,y) | y = x}, maka y = x dan x = y sehingga
T(P) = P = (y,x) = (x,y).
Karena T(P) = P untuk P g maka T merupakan refleksi garis pada g.
b. Dipunyai P(x,y) g
(i) Akan dibuktikan .
Jelas mg = 1.
Karena P(x,y) g maka T(P) = P = (y,x).
=
( )
Diperoleh mg = 1 =
.
Jadi g .
(ii) Akan dibuktikan PO = PO, jika O adalah titik persekutuan antara
dan g.
Misalkan Q titik tengah .
(
)
(
)
g
P(x,y)
P(y,x)
O
-
19
Jelas
.
Maka , sehingga g.
Jadi Q = O.
Karena Q titik tengah dan Q = O, maka PO = PO.
Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa g merupakan sumbu ruas
garis .
14. Jika h sebuah garis yang melewati titik asal dengan koefisien arah -1,
tentukan:
a. A jika Mh(A) = (-2,3)
b. Mh(P) untuk P=(x,y)
Selesaian:
c. h melewati (0,0) dengan m = -1.
Persamaan garis h :
y-y1 = m(x-x1)
y 0 = -1(x 0)
y = -x
x + y = 0.
Jelas melalui (-2,3) dengan gradien m = 1
Persamaan garis :
y-y1 = m(x-x1)
y 3 = 1(x + 2)
y 3 = x + 2
y = x + 5.
Perpotongan garis h dan
h : y = -x; : y = x + 5
diperoleh y = y
-x = x + 5
2x = -5
x =
.
-
20
y = -x = - (
) =
.
Diperoleh titik tengah = (xp,yp) = (
,
).
Jelas (xp,yp) = (
)
(
,
) = (
)
Diperoleh x 2 = -5 x = -3, dan y + 3 = 5 y = 2.
Jadi A = (-3,2).
b.
garis PP h berarti m = 1 dan
melalui (a,b).
Persamaan garis PP: y y1 = m(x x1)
y b = 1(x a)
y = x a + b.
Perpotongan garis h dan PP
y = y -x = x a + b 2x = a b x =
y = -x =
.
Titik tengah PP = (
,
)
Jelas (
,
) = (
,
)
(
,
) = (
,
)
Diperoleh x = -b dan y = -a.
Jadi untuk P=(a,b) = (x,y) diperoleh P=(-b,-a)=(-y,-x).
P (a,b)
a
b
h
-
21
15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap
titik P pada bidang V sebagai berikut:
Jika Pg maka T(P) = P
Jika P g maka T(P) = P sehingga P adalah titik tengah ruas garis
orthogonal dari P ke g.
a. Apakah T suatu transformasi?
b. Apakah T suatu isometri?
c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga AB = AB dengan A = T(A),
B= T(B), apakah dapat anda katakan tentang A dan B?:
Jawab:
a. Ditunjukkan T suatu transformasi
i. Ditunjukkan T surjektif
Ambil sebarang titik PV
Jika P g jelas PVg T(P)=P
Jika P , maka sehingga jadi sumbu ruas
Ini berarti Ms(P)=P
Jadi PV memiliki prapeta
Jadi T surjektif
ii. Ditunjukkan T injektif
Ambil sebarang titik P,QV dengan PQ
{ ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan
ruas garis orthogonal Q ke g.
Ditunjukkan P Q=> T(P)T(Q)
Andaikan T(P)=T(Q)
Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P
ke g dan T(Q) adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan
Q ke g
Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.
-
22
Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis
orthogonal Q ke g.
Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu
titik .
Jadi P = Q
Kontradiksi dengan PQ
Haruslah PQ => T(P) T(Q)
Jadi T injektif
Dapat disimpulkan T suatu transformasi
b. Ditunjukkan T suatu isometri
Pilih Pg dan Q g
Jelas T(P)=P dan T(Q)=QP
Jelas T(Q)=Q dengan Q adalah titik tengah
ruas garis orthogonal dari Q ke Q
Jelas PQPQ=PQ
Jadi T bukan Isometri
c. T isometri jika
i) Ag, Bg
ii) A g ,B g
Jadi AB = AB jika
i) Ag, Bg
ii) A g ,B g
16. Andaikan h = 3xy , yx , Apabila A = (4,3)
Ditanya: tentukan koordinat koordinat A =Mh(A).
Selesaian:
Jelas gradient dari garis adalah . Gradient garis yang tegak
lurus garis tersebut adalah
Persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A(4,3) dengan m =
adalah
P
-
23
( )
( )
Perpotongan garis h dan
dapat dicari dengan mensubtitusikan
ke dalam persamaan
, diperoleh
Diperoleh titik terjadi (
)
Jelas (
) (
)
(
) (
)
(
) ( )
( ) (
)
(
)
Jdi koordinat (
).
17. Diketahui titik-titik A=(1,-1), B=(4,0), C=(-4,1), dan D=(-2,k). Apabila T
suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, tentukanlah k.
Penyelesaian:
Karena Isometri, maka | | | |
-
24
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
9+1 = 4+ (1-k)2
(1-k)2 = 10 4
(1-k)2 = 6
1-k =
k = 1 + .
19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y.
Ada g = 1yx, yx .
a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . .
b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B
c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)!
Jawab:
a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1, gradien yang tegak lurus
garis tersebut adalah m = 1
Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m =
1 adalah
1
21
)1(12
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan x + y = 1 dan y = x + 1 dengan mensubstitusikan
persamaan ke persamaan , diperoleh
substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1
diperoleh y = 1.
Jadi titik tengah 'AA (0,1).
-
25
Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka
2
2,
2
1
2,
21,0 ''' AAAAAA
yxyyxx
)2,1(2,0 '' AA yx
0,1, '' AA yx
Jadi A = (-1,0)
b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1
Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan
m=1 adalah
6
42
)2(14
)( 11
xy
xy
xy
xxmyy
Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi.
substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x
diperoleh y = 3.
Jadi titik tengah BC (-2,3).
Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka
2
4,
2
2
2,
23,2 CCCBCB
yxyyxx
)4,2(6,4 CC yx
2,2, CC yx
Jadi A = (-2,2)
-
26
c. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah
21
21 )(
PPxy
PxmPy
Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP .
Jelas Q = (Q1,Q2) =
2,
2
'22'11 PPPP
2211'2'1
'22'1121
2,2,
),(2,2
QPQPPP
PPPPQQ
Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = P = 2211 2,2 QPQP .