1

PEMODELAN DATA DERET WAKTU DENGANSELF EXCITING TRESHOLD AUTOREGRESSIVE (SETAR) DAN PERUBAHAN

STRUKTUR

Nama : Fatati NuryanaNRP : 1307201010Pembimbing : Dr. Brojol Sutijo. S.U, M.SiCo-Pembimbing : Dr. Suhartono, S.Si, M.Sc

ABSTRAKData deret waktu yang mengalami pergeseran mean dapat ditangkap melalui dua

model yaitu dengan model nonlinier SETAR dan Perubahan Struktur. Prosedurpembentukan model SETAR dan Perubahan Struktur diawali dengan uji stasioneritas dannonlinieritas. Parameter delay dan treshold pada model SETAR serta banyaknya breakPerubahan Struktur ditentukan dengan kriteria minimum BIC. Penaksiran parameter dan θuntuk kedua model diperoleh melalui metode Ordinary Least Square denganmelakukan regresi stepwise dan regresi dummy terhadap parameter yang signifikanberdasarkan kriteria dummy yang berbeda. Dari hasil kajian simulasi menunjukkan bahwakelebihan model SETAR adalah dapat menganalisis perubahan regime yang asimetris danmenangkap lompatan yang tidak dapat ditangkap oleh model deret waktu linier,sedangkan model Perubahan Struktur dapat menangkap nilai parameter yang berubah-ubah dalam periode tertentu. Pada data bulanan inflasi Surabaya periode Januari 1989sampai dengan Desember 1998, model terbaik SETAR adalah SETAR dengan 1 tresholdatau dua regime (2;0,[1,4,5,6,8,10,12]), model terbaik ARIMA adalah ARIMA([0,1,3,5,6,8],0,0) dan model terbaik Perubahan Struktur adalah Perubahan Strukturdengan 2 break atau 3 segmen (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]). Hasil ramalan in sample maupunout sample menunjukkan bahwa model SETAR memberikan nilai MSE dan RMSE yangpaling kecil diantara model yang lain, sehingga model SETAR adalah model terbaikuntuk kasus data inflasi Surabaya.

Kata-kata kunci : SETAR, Perubahan Struktur, Nonlinier, Inflasi.

1. Latar BelakangPemilihan model peramalan pada saat menganalisa suatu data deret waktu

mempunyai pengaruh yang sangat besar terhadap keakuratan dan kevalidan hasil ramalanserta keputusan yang akan diambil dari hasil tersebut. Model-model peramalan sepertiMoving Average, Naïve, Exponential Smoothing, Regresi Dummy, Holt dan Winter sertamodel ARIMA Box-Jenkins adalah model-model yang sering digunakan untuk data yangmengandung hubungan linier (Makridakis dan McGee, 1993).

Pada data-data ekonomi dan keuangan, spesifikasi nonlinier mulai dianggapsebagai representasi data yang lebih realistik. Metode deret waktu TresholdAutoregression (TAR), Self Exiting Treshold Autoregression (SETAR) dan MarkovSwitching memberikan hasil peramalan yang baik dalam kasus-kasus ini (Granger dan

2

Terasvirta, 1999). Pemodelan nonlinier dimotivasi oleh data ekonometrik yang padaawalnya sering diasumsikan memiliki hubungan yang linier. Model nonlinier deret waktuTAR mengasumsikan bahwa regime ditentukan oleh variabel Z t-d yang dianggap sebagainilai treshold. Model SETAR pertama kali diperkenalkan oleh Tong (1990). Model inimerupakan model linier pada bentuk dasarnya dan mengasumsikan bahwa variabel Zt

merupakan sebuah autoregresi linier dalam sebuah regime, tetapi dapat berpindah antarregime tergantung pada nilai lag Zt misalnya disebut Zt-d, sedemikian hingga d adalahpanjang delay. Dengan kata lain model SETAR adalah model yang linier dalam sebuahregime akan tetapi mampu pindah antar regime ketika proses melewati treshold. ModelSETAR dapat membangkitkan dinamika nonlinier yang kompleks. Model nonlinier inidapat menghasilkan fenomena asimetris dan lompatan yang tidak dapat ditangkap olehmodel deret waktu linier. Hal lain yang menarik pada model SETAR bahwa stasionetitasdari tZ tidak mengharuskan model tersebut stasioner pada tiap regime.

Model SETAR merupakan salah satu kelas dari model deret waktu nonlinier yangsecara luas juga dibahas dalam banyak literatur untuk menjelaskan berbagai fenonenaekonomi seperti pasar uang, misalnya pemodelan data regional dan agregat UK denganmodel SETAR dibandingkan dengan model linier yang dilakukan oleh Jones danStevenson (1992). Kraager dan Kugler (1992) juga meneliti pemodelan mata uang USDberupa data mingguan selama sepuluh tahun dengan SETAR. Model-model SETARkemudian juga dikembangkan pada data-data ekonomi dan keuangan yang lain sepertiinflasi. Data inflasi dalam pemodelan SETAR akan terbagi ke dalam regime lower danregime upper, dengan perpindahan regime tergantung pada parameter delay dan tresholdyang sesuai.

Jika data inflasi dimodelkan dengan pendekatan regresi linier, diduga akan terjadipergeseran proses yaitu perubahan koefisien pada tiap kurun waktu tertentu. Perubahankoefisien ini dikenal dengan Perubahan Struktur. Model ini tidak membutuhkan asumsilinieritas dan stasioneritas data keseluruhan.

Chow (1960) adalah orang pertama yang memperkenalkan uji tentang PerubahanStruktur. Banyak pengujian klasik seperti uji Chow mengasumsikan bahwa hanya adasebuah perubahan jika waktu dan jenis perubahan diketahui. Beberapa penelitian tentangmunculnya pergeseran dalam data deret waktu antara lain dilakukan oleh D¨umbgen(1991) dan Balke (1993). Mereka meneliti data Nile dari Cobb (1978) yang menunjukkanterjadinya sebuah level pergeseran berhubungan dengan dibukanya bendungan ASWANpada awal abad 19. Selain itu data British Road Causalities yang dianalisa oleh Harveydan Durbin (1986) menghasilkan dua break, break pertama muncul karena meningkatnyaharga minyak pada awal krisis sedangkan break kedua muncul saat pengenalanpemakaian sabuk pengaman pada awal 1980. Penelitian tentang index harga minyak diJerman menghasilkan pergeseran lebih dari dua break yang muncul antara lain karenakrisis minyak pertama, revolusi Iranian dan virtual breakup OPEC pada tahun 1985.

Dua model yang digunakan dalam penelitian ini yaitu model SETAR dan modelPerubahan Struktur masuk dalam kelas model nonlinier. Dikatakan nonlinier apabiladilihat pada keseluruhan karena data terdiri dari beberapa regime atau segmen, akantetapi setelah dibagi ke dalam regime-regime atau segmen-segmen maka data akan

3

mengikuti model linier. Jika dilihat dari seluruh data inflasi maka ada indikasinonlinieritas dalam data yang dapat diuji dengan uji nonlinieritas Terasvirta.

Penelitian ini memiliki beberapa tujuan antara lain untuk mengkaji prosedurpembentukan model SETAR dan Perubahan Struktur pada data deret waktu. Analisistingkat akurasi, keunggulan dan kelemahan SETAR dan Perubahan Struktur dilakukanmelalui studi simulasi. Pada tahap penerapan data dilakukan terhadap data bulanan inflasidi Surabaya mulai Januari tahun 1989 sampai dengan Desember 2008.

2. TINJAUAN PUSTAKA2.1. Model Deret Waktu NonLinier

Stokastik murni pada data deret waktu tZ dapat dikatakan linier apabilamemenuhi :

0t i t i

i

Z a

(2.1)dengan tZ : data deret waktu dengan t = 1, 2, … T

: mean

i : koefisien parameter dengan 0 1 ta : residual yang memenuhi 2~ (0, )t aa N

Jika 2

0 ii

, maka proses dikatakan linier. Sebuah proses stokastik yang tidak

mengikuti persamaan (2.1) dikatakan nonlinier. (Tsay, 2005).

2.2. Uji Nonlinieritas Terasvirta Pada Data Deret WaktuUji Terasvirta adalah uji deteksi nonlinieritas yang dikembangkan dari model

neural network dan termasuk dalam kelompok uji tipe Lagrange Multiplier (LM). Secaralengkap teori berkaitan dengan uji Terasvirta ini dapat dilihat di Terasvirta dkk (1993)serta Salamah dan Suhartono (2007). Uji Terasvirta ini adalah uji tipe LagrangeMultiplier yang dikembangkan dengan ekspansi Taylor. Dalam Uji Terasvirta ini, mprediktor tambahan yang digunakan adalah suku kuadratik dan kubik yang merupakanhasil dari pendekatan ekspansi Taylor.

2.3. Model Treshold Autoregression (TAR)Model Treshold Autoregression pertama kali diusulkan oleh Tong (1983, 1990).

Model ini dimotivasi oleh beberapa karakteristik nonlinier yang biasa ditemukan dalampraktek seperti adanya asimetri dalam pola turun dan naik suatu proses. Model inimenggunakan model linier untuk memperoleh pendekatan persamaan mean bersyaratyang lebih baik, akan tetapi model ini berlawanan dengan model linier tradisional yangmemperbolehkan adanya perubahan model pada jangka waktu tertentu. TARmenggunakan treshold untuk meningkatkan pendekatan liniernya.

Model TAR dapat dituliskan sebagai:

0 01 1

p pt d

t i t i i t i ti i

ZZ Z Z I a

(2.2)

dengan tZ adalah data deret waktu dengan t = 1, 2, … T, 0adalah konstanta, iadalahkoefisien parameter AR ke-i , 0 adalah konstanta untuk fungsi indikator, i adalah

4

koefisien parameter AR ke-i untuk fungsi indikator, d adalah parameter delay (integerpositif), adalah parameter lokasi, adalah parameter skala, .I adalah parameterpenghalus atau fungsi indikator dan ta adalah residual pada regime

2.4. Model Self Exiting Treshold Autoregression (SETAR)2.4.1. Model SETAR dengan m regime mpppm ,...,,, 21

Model SETAR ditentukan oleh jumlah regime (m), order autoregressive (p),parameter delay dan variabel treshold. Cara penulisan model SETAR dengan m regime,dengan regime pertama mengikuti AR( 1p ), regime kedua mengikuti AR( 2p ), danseterusnya sampai dengan regime ke-m mengikuti AR( mp ) adalah SETAR mpppm ,...,,, 21 . Persamaan matematis dari model SETAR didefinisikan sebagaiberikut:

jp

ijtitjijt aZZ

1,,,0 , jika jdt RZ (2.3)

dengan tZ : deret deret waktu (t = 1, 2, … T)

j,0 : konstanta pada regime ke-j (j = 1, 2, ..., m)

ji , : koefisien parameter AR ke-i pada regime ke-j

jp : order autoregressive pada regime ke-j

jta , : residual pada regime ke-j ( ),0(~ 2at Na )

d : parameter delay (integer positif)

jR : nilai treshold pada regime ke-j

jR adalah bilangan real iki RR 1 dengan 11 ,rR , iii rrR ,1 untuk

)1(,...,3,2 mi dan ,mm rR . Sehingga treshold dari model ini adalah 11 ... mrr . Model dengan m regime akan memiliki m-1 treshold.

Model dengan m regime diatas memiliki m-1 treshold yaitu 1 2 1, , ..., mr r r

Persamaan matematis dari model SETAR 2, ,L Up p yang akan dibahas padapenelitian ini dapat dituliskan sebagai berikut:

0, , , 11

0, , , 11

, jika

, jika

L

U

p

L i L t i t L t di

t p

U i U t i t U t di

Z a Z rZ

Z a Z r

(2.4)

SETAR 2, ,L Up p menunjukkan model SETAR dengan 2 regime, regime pertamamengikuti model AR( Lp ) dan regime kedua mengikuti model AR( Up ). Model deretwaktu pada persamaan (2.4) dikatakan mengikuti model SETAR 2, ,L Up p yaituSETAR 2 regime (Lower dan Upper); AR( Lp ) dan AR( Up ); parameter delay d dantreshold 1r .

2.4.4. Estimasi Parameter dan Jumlah Treshold pada SETARA. Estimasi Parameter SETAR

Pada tahap estimasi parameter akan dilakukan pendugaan terhadap parameter darimodel dugaan yang telah diperoleh dari tahap sebelumnya. Dalam penelitian ini metodeestimasi parameter yang digunakan untuk SETAR adalah Ordinary Least Squares (OLS).

5

Model SETAR, misalnya model SETAR 2, ,L Up p sebagaimana dituliskan dalampersamaan (2.4) sebenarnya merupakan model nonlinier, tetapi model ini dapat didekatidengan model linier dengan cara membuat dua model terpisah untuk masing-masingregime, yaitu :

Lp

iLtitLiLLt aZZ

1,,,0, (2.5)

, 0, , ,1

Up

t U U i U t i t Ui

Z Z a

(2.6)

Persamaan diatas jika dituliskan dalam persamaan regresi akan menjadi:

LtLLLLt aXZ ,,1,0, (2.7)

, 0, 1, ,t U U U U t UZ X a (2.8)

dalam notasi matriks persamaan diatas adalah :

Z = Xβ+ (2.9)

Keterangan :Z : vektor variabel dependen dengan ukuran ,1L UT TX : matriks variabel independen berukuran ,L U L UT T p p β : vektor parameter regresi dengan ukuran ,1L Up p : vektor residual ,1L UT TSehingga penyelesaian OLS untuk model SETAR diperoleh dengan

meminimumkan jumlah kuadrat residual pada persamaan (2.9) sebagaimana pada regresibiasa, yaitu:

' ' 2, ,

1 1( ) ( ) ( )

m T

t i t i ii t

Z X

Z Xβ Z Xβ (2.10)

m = L pada saat data jatuh pada regime Lower dan m = U pada saat data jatuh padaregime Upper.

B. Estimasi Jumlah Treshold pada SETARTreshold pada model SETAR tidak dapat diuji seperti biasa. Prosedur yang

digunakan untuk menyeleksi jumlah treshold optimal adalah dengan menggunakankriteria informasi dan prosedur pengujian (Stiglerm, 2009). Penentuan jumlah tresholddalam penelitian ini dilihat dari nilai AIC, yaitu memilih model dengan AIC minimum(MAIC). Adapun rumus dari AIC adalah :

n

knm

m 2)ˆlog(AIC 2 (2.11)

dengan T adalah banyaknya observasi. Estimasi jumlah break adalah m , yaitu :)AIC,,AIC,AICmin(argˆ 21 mm (2.12)

2.5. Model Perubahan StrukturBai dan Perron (2003) menjelaskan bahwa Perubahan Struktur adalah model

regresi yang memiliki nilai parameter yang berubah-ubah dalam kurun periode waktunyaakibat adanya Perubahan Struktur.

6

Model regresi linier standard dalam notasi matriks adalah sebagai berikut :Z = Xβ+ (2.13)

dengan :Z : vektor variabel dependen dengan ukuran 1TxX : matriks variabel independen dengan ukuran Txpβ : vektor parameter regresi dengan ukuran 1px : vektor residual 1Tx

T adalah banyaknya pengamatan dan p adalah banyaknya variabel independen. Apabilapada matriks X terdiri dari lag variabel dependen sebagaimana model time series, makapersamaan (2.13) disebut dengan model Autoregressive. Bila terdapat p orderautoregressive (p variabel independen) maka disebut model Autoregressive order p atauAR( p ).

2.5.1. Model Perubahan Struktur dengan b BreakPada beberapa aplikasi diasumsikan ada b titik break dengan koefisien

pergeseran dari suatu model regresi yang stabil berhubungan dengan yang lain sehinggaada b+1 segmen dengan koefisien regresi yang konstan, sehingga model (2.13) dapatdituliskan kembali sebagai :

Z = Xβ+ Dδ+ (2.14)dengan D adalah variabel dummy dari sub periode dan δadalah parameter variabeldummy. Jumlah data keseluruhan adalah T yang dibagi ke dalam b+1 segmen denganjumlah data ke-i sebanyak iT (i=1,2,...,b). Sedangkan p untuk masing-masing segmendapat berbeda-beda mengikuti order autoregressive-nya.

2.5.3. Uji Perubahan StrukturDalam praktek, titik break sangat jarang diketahui sebelumnya sehingga harus

diuji terlebih dahulu. Pengujian ini dibagi menjadi dua, yaitu untuk titik break yangdiketahui dan untuk titik break yang tidak diketahui. Pengujian dan penentuan titik breakpada Perubahan Struktur dijelaskan pula dalam penelitian Zeileis dkk (2003).

Dalam penelitian ini uji Perubahan Struktur yang dilakukan adalah uji untuk titikbreak yang tidak diketahui. Hipotesis untuk uji Statistik F dengan waktu break tidakdiketahui adalah:

0 : 0H m (tidak ada Perubahan Struktur)

1 : 0H m (ada Perubahan Struktur)Uji statistik F untuk perubahan pada waktu t ini biasanya berdasarkan pada deret residualdari OLS )(Tu dari sebuah segmen regresi yaitu satu garis regresi untuk tiap subsampeldengan titik break T, dibandingkan dengan residual u dari model yang tidak disegmenkandengan persamaan :

(2.15)

dengan k adalah banyaknya variabel dan Tu adalah residual dari tiap segmen dengan titikpatahan iT sebagai parameter penyesuaian yang nilainya dapat dipilih sendiri oleh

ˆˆ ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( ) /( 2 )

T T

i T

u u u i u iF

u i u i n k

7

peneliti. H0 ditolak jika nilai supremum atau nilai rata-rata atau fungsional exponenterlalu besar, yaitu:

ttttFF

supsup , (2.16)

,1

1

t

tttF

ttaveF (2.17)

t

tttF

ttF )5,0exp(

11

logexp . (2.18)

(Andrews dan Ploberger, 1994)

2.5.4. Estimasi Parameter, Jumlah Break dan Waktu Break pada PerubahanStruktur

A. Estimasi Parameter pada Perubahan StrukturTaksiran parameter dan j diperoleh dengan menggunakan metode Ordinary

Least Squares (OLS). Untuk model Perubahan Struktur OLS diperoleh denganmeminimumkan jumlah kuadrat residual pada persamaan (2.19).

1

1' ' ' 2

1 1

( ) ( ) ( )i

i

Tm

t t t ii t T

Z X D

Z Xβ Dδ Z Xβ Dδ (2.19)

Zeileis dkk (2002), telah membuat package melalui R untuk menguji PerubahanStruktur melalui model regresi linier.

B. Estimasi Jumlah Break pada Perubahan StrukturPenentuan jumlah break dalam penelitian ini dilihat dari nilai BIC, yaitu memilih

model dengan BIC minimum. Adapun rumus dari BIC adalah :

TT

m(kkmm )log(

)]1[)ˆlog(2BIC 2 (2.20)

dengan T adalah banyaknya observasi. Estimasi jumlah break adalah m , yaitu :)BIC,,BIC,BICmin(argˆ 21 mm (2.21)

C. Estimasi Waktu Break pada Perubahan StrukturDiberikan m buah partisi 1,..., mT T adalah estimasi least square untuk j . Hasil

sum square residual (SSR) minimal mengikuti persamaan :1

1 11

( ,..., ) ( 1, )m

m j jj

RSS T T rss T T

(2.22)

dengan 1( 1, )j jrss T T adalah sum square residual dalam segmen ke-j. Maka waktuterjadinya Perubahan Struktur adalah menemukan taksiran titik break 1

ˆ,..., mT T yangmeminimumkan fungsi objektif :

11 ( ,..., ) 1ˆ ˆ( ,..., ) arg min ( ,..., )

mm T T mT T RSS T T (2.23)

pada semua partisi 1( ,..., )mT T dengan 1j j hT T n k (Bai dan Perron ,2003).

8

2.6.3. Tahap Pembandingan Model dan Validasi DataMembandingkan model yang telah diperoleh berdasarkan kriteria kebaikan model

MSE dan AIC. Model terbaik adalah model yang memiliki AIC minimum. Persamaanmatematis untuk AIC dan dapat dilihat pada persamaan (2.11).

Tahap validasi yang dimaksud dalam subbab ini adalah untuk mengetahui apakahestimasi parameter yang sudah dilakukan sesuai dengan konsep simulasi.

2.8. Tinjauan Non Statistik2.8.1 Inflasi

Salah satu indikator ekonomi yang selalu dipantau perkembangannya olehpemerintah adalah angka inflasi. Dalam ilmu ekonomi, inflasi adalah suatu prosesmeningkatnya harga-harga secara umum dan terus-menerus (kontinyu) berkaitan denganmekanisme pasar. Inflasi dapat disebabkan oleh berbagai faktor antara lain konsumsimasyarakat yang meningkat atau adanya ketidak lancaran distribusi barang. Dengan katalain, inflasi juga merupakan proses menurunnya nilai mata uang secara kontinyu.

Inflasi dapat disebabkan oleh dua hal, yaitu tarikan permintaan atau desakanbiaya produksi. Inflasi tarikan permintaan (demand pull inflation) terjadi akibat adanyapermintaan total yang berlebihan sehingga terjadi perubahan pada tingkat harga. Inflasidesakan biaya (cost push inflation) terjadi akibat meningkatnya biaya produksi (input)sehingga mengakibatkan harga produk-produk (output) yang dihasilkan ikut naik.

Berdasarkan asalnya, inflasi dapat digolongkan menjadi dua, yaitu inflasi yangberasal dari dalam negeri dan inflasi yang berasal dari luar negeri. Berdasarkankeparahannya inflasi juga dapat dibedakan menjadi inflasi ringan (kurang dari 10% /tahun), inflasi sedang (antara 10% sampai 30% / tahun), inflasi berat (antara 30% sampai100% / tahun) dan hiperinflasi (lebih dari 100% / tahun)

Laju inflasi bulanan dihitung dengan rumus :

( 1)

( 1)n

n nI

n

I IL

I

dengan :

nIL = Laju inflasi bulan ke-n

nI = Indeks Harga Konsumen bulan ke-n

( 1)nI = Indeks Harga Konsumen bulan ke (n-1)

3. METODOLOGI PENELITIAN3.1 Penentuan Model Terbaik Data Inflasi Surabaya

Data riil yang digunakan pada penelitian ini, yaitu data bulanan inflasi Surabayamulai Januari tahun 1989 sampai dengan Desember 2008.

3.1.1 Identifikasi Model dan Penaksiran Parameter Model SETARa) Melakukan uji stasioneritas ADF dan nonlinieritas Terasvirta.b) Jika data nonlinier maka dilanjutkan pada langkah (c), tetapi jika hasilnya

tidak signifikan, menunjukkan bahwa data linier maka digunakan model deretwaktu linier seperti AR, MA, ARIMA yang sesuai.

9

c) Menentukan parameter delay dan treshold dengan kriteria BIC.d) Menaksir parameter dan θmelalui metode Ordinary Least Square yang

diperoleh dengan melakukan regresi stepwise dan regresi dummy terhadapparameter yang signifikan.

3.1.2 Identifikasi Model dan Penaksiran Parameter Model Perubahan Struktura) Memodelkan data inflasi dengan menggunakan model Autoregressive.b) Melakukan uji Perubahan Struktur, jika hasilnya signifikan bahwa ada

Perubahan Struktur pada model Autoregressive pada langkah a), makadilanjutkan pada langkah c), tetapi jika hasilnya tidak signifikan,menunjukkan bahwa tidak ada Perubahan Struktur pada model ARIMA biasaatau model a).

c) Menentukan banyaknya break dengan menggunakan kriteria minimum BIC.d) Menentukan waktu terjadinya break .e) Menaksir parameter dan θmelalui metode Ordinary Least Square yang

diperoleh dengan melakukan regresi stepwise dan regresi dummy terhadapparameter yang signifikan.

3.2 Uji DiagnostikUji Diagnostik pada model SETAR maupun Perubahan Struktur mengikuti

langkah-langkah sebagai berikut :a) Menguji signifikansi parameter model. Semua parameter yang diikut sertakan

dalam model harus signifikan.b) Memeriksa sampel ACF dari sisa untuk mengevaluasi apakah deret dari

sisanya sudah tidak berkorelasi dan bervarians homogen.c) Menguji Normalitas dari sisa melalui Uji Kolmogorov-Smirnov.

3.3 PeramalanSetelah model yang dibentuk parameternya signifikan dan residualnya white

noise, maka model dapat digunakan untuk meramalkan data berikutnya.

3.4 PembandinganMembandingkan model waktu yang diperoleh dari model SETAR dan model

Autoregressive dengan Perubahan Struktur dengan cara :a) Membuat ramalan in sample dan out sample.b) Membandingkan ukuran akurasi model, ramalan in sample model SETAR,

Perubahan Struktur dan ARIMA klasik terbaik dipilih berdasarkan kriteriaMSE dan AIC minimum sedangkan ramalan out sample dipilih berdasarkankriteria MSE dan RMSE minimum.

c) Mengambil kesimpulan model terbaik berdasarkan nilai MSE dan AICminimum, memenuhi asumsi IIDN dan memiliki ramalan in sample dan outsample terbaik.

10

4. HASIL DAN PEMBAHASAN4.1 Studi Simulasi4.1.1. Simulasi Model SETAR

Data simulasi model 1 sampai dengan 3 memiliki jumlah data yang tidak simetrispada regime lower dan upper. Pada model 1 ada 173 data yang masuk pada regime lowerdan 126 masuk pada regime upper. Model 2 memiliki 167 data yang masuk pada regimelower dan 132 masuk pada regime upper. Sedangkan model 3 ada 192 data yang masukpada regime lower dan 107 masuk pada regime upper.

Rangkuman hasil uji stasioneritas dan nonlinieritas Terasvirta untuk simulasiSETAR model 1 sampai dengan 3 ditampilkan pada Tabel 4.1 berikut:

Tabel 4.1 Uji nonlinieritas Terasvirta dan stasioneritas ADF data simulasimodel SETAR

NoUji Nonlinieritas Uji Stasioneritas (ADF)

2 P_value Ket ADF Lag P_value Ket1 0.358 0.8361 linier -6.1727 6 0.01 stasioner2 123.9792 < 2.2e-16 nonlinier -8.0325 6 0.01 stasioner3 274.4094 < 2.2e-16 nonlinier -7.68 6 0.01 stasioner

Dapat dilihat pada Tabel 4.1 bahwa hasil simulasi SETAR dengan package tsDynpada R 2.7.2 sudah memenuhi sifat nonlinieritas dan stasioneritas data karena semuap_value lebih kecil dari (5%) kecuali model 1 pada uji nonlinieritas tidak signifikan(model linier). Hal ini disebabkan data dibangkitkan dengan parameter AR yang kecilyaitu (0,3 dan 0,3) tanpa konstanta.

Gambar 4.1 memperlihatkan plot data deret waktu tZ sebanyak 300 yang dibagike dalam 2 bagian yaitu regime lower dan upper berdasarkan nilai treshold r. Jika yangdiberi garis treshold adalah plot data deret waktu dari tZ , tampak data bisa berpindahtiap saat dari regime lower (warna biru) ke regime upper (warna merah) atau sebaliknyasebagaimana ditunjukkan Gambar 4.1(a,c,e). Tetapi jika yang diberi garis treshold adalahplot data deret waktu dari 1tZ (Gambar 4.1(b,d,f)), maka tampak jelas semua regimelower berada dibawah garis treshold dan regime upper diatas garis treshold .

Gambar 4.2 menunjukkan secara jelas hubungan antara tZ dan 1tZ denganpemilihan parameter delay d. Treshold r memisahkan 1tZ menjadi dua kelompok yaituregime lower dan upper. Apabila pada tZ diberikan pembatas r juga, maka akan tampakplot tZ dan 1tZ memiliki 4 daerah. Daerah A merupakan daerah Lower-Lower, daerah Bmerupakan daerah Lower-Upper, daerah C merupakan daerah Upper-Lower dan daerah Dmerupakan daerah Upper-Upper. Misalnya pada model 1 dengan parameter delay= 1 dantreshold r = 0. Daerah A dan B menggambarkan bahwa data yang jatuh pada regimelower, memiliki kemungkinan untuk tetap di regime lower (A) sebesar 62,43% atauberpindah pada regime upper (B) sebesar 37,57%. Sedangkan daerah C dan Dmenggambarkan bahwa data yang jatuh pada regime upper , memiliki kemungkinan untukmemiliki kemungkinan untuk tetap di regime upper (D) sebesar 52,38% atau berpindahpada regime lower (C) sebesar 47,62%.

11

t

Z(t)

3002702402 101801 501209060301

3

2

1

0

-1

-2

-3

0

Var ia b leZt(L)Z t(U)

Ti meSeri es Pl ot of Zt dengan perpi ndahan regi meLower dan U pperSimula si S etar Mode l 1

t

Z(t-

1)

3002702402101 801 5012 09060301

3

2

1

0

-1

-2

-3

0

Va riab leZt-1 (L )Zt-1 (U)

Ti me Ser ies Pl ot of Z(t-1) dengan perpindahan regi me Lower dan UpperS imulasi S etar Model 1

t

Z(t)

30027 02402101801 50120906 0301

10

8

6

4

2

0

- 2

- 4

5

Va riab leZt(L )Z t(U )

Ti meSeri es Pl ot of Zt dengan perpi ndahan regi meLower dan U pperSimula si S etar Mode l 2

t

Z(t-

1)

30027024021 018 015 01209060301

10

8

6

4

2

0

- 2

- 4

5

Var ia b leZt-1( L)Zt-1( U)

Ti me Ser ies Pl ot of Z(t-1) dengan perpindahan regi me Lower dan UpperS imulasi S etar Model 2

t

Z(t)

3002702402 1018 01501209060301

12,5

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

- 2,5

- 5,0

5

Va riab leZt(L )Z t(U )

Ti meSeri es Pl ot of Zt dengan perpi ndahan regi meLower dan U pperSimula si S etar Mode l 3

t

Z(t-

1)

3002702402101801501209060301

12,5

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

- 2,5

- 5,0

5

Varia bleZt-1( L)Zt-1( U)

Ti me Ser ies Pl ot of Z(t-1) dengan perpindahan regi me Lower dan UpperS imulasi S etar Model 3

(a) Plot data deret waktu tZ model 1 (b) Plot data deret waktu 1tZ model 1

(c) Plot data deret waktu tZ model 2 (d) Plot data deret waktu 1tZ model 2

(e) Plot data deret waktu tZ model 3 (f) Plot data deret waktu 1tZ model 3

Gambar 4.1 Plot data simulasi SETAR

Model 1 Model 2 Model3

Gambar 4.2 Plot tZ dan 1tZ simulasi SETAR

Z(t-1)

Z(t)

3210-1-2-3

3

2

1

0

-1

-2

-3

0

0

Var iableZ( t)_Lower (a) * Z( t-1)_Lower(a)Z( t)_Upper (a) * Z( t-1)_Lower(b)Z( t)_Lower (b) * Z (t- 1)_Upper (a)Z( t)_Upper (b) * Z (t- 1)_Upper (b)

Scatterplot of Z(t) vs Z(t-1) Simulasi SETAR Model 1

62,43%

37,57% 52,38%

47,62%

A

B D

C

Z(t- 1)

Z(t)

1086420-2-4

10

8

6

4

2

0

-2

-4

5

5

VariableZ(t)_Lower(a)* Z(t -1)_Lower (a)Z(t)_Up per(a)* Z(t -1)_Lower (b )Z(t)_Lower(b) * Z( t-1)_Up per(a)

Scatterplot of Z(t) vs Z(t-1) Simulasi SETAR Model 2

100%

0%

A

B

C

Z(t- 1)

Z(t)

12,510,07,55,02,50,0-2,5-5,0

12,5

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

-2,5

-5,0

5

5

VariableZ(t)_Lower(a)* Z(t -1)_Lower (a)Z(t)_Up per(a)* Z(t -1)_Lower (b )Z(t)_Lower(b) * Z( t-1)_Up per(a)

ScatterplotofZ(t) vs Z(t-1) Simulasi SETARModel 3

56,25%

0%

43,75%

100%

A

B

D

C

12

Tabel 4.2 Hasil Estimasi nilai d, r, 1p dan 2p Simulasi SETAR

dModel 1 Model 2 Model 3

AIC r 1p 2p AIC r 1p 2p AIC r 1p 2p1 809,7 -0,276 0 3 820,6 4,998 1 1 818.3 4,92 4 12 809,1 0,474 3 0 1059,0 4,998 2 4 1197.0 4,92 4 13 818,2 -0,38 0 4 1158,0 5,439 3 2 1261.0 8,08 2 14 817,5 -0,67 1 3 1203,0 5,098 4 1 1297.0 4,56 3 2

Estimasi nilai delay, treshold, orde AR regime lower dan regime upper dipilihmelalui nilai AIC minimum (MAIC) untuk setiap kombinasi nilai d. Pada Tabel 4.2,model yang memberikan estimasi AIC terkecil adalah model SETAR (2,0,3) dengandelay 1, treshold 0,2759 dengan AIC 809,7 dan SETAR (2,3,0) delay 2, treshold0,4741 dengan AIC 809,1. Model yang memberikan estimasi AIC terkecil pada model 2adalah model SETAR (2,1,1) dengan delay 1, treshold 4,998 dengan AIC 820,6 danSETAR (2,2,4) delay 2, treshold 4,998 dengan AIC 1059. Sedangkan pda model 3, yangmemberikan estimasi AIC terkecil adalah model SETAR (2,4,1) dengan delay 1, treshold4,917 dengan AIC 818,3 dan SETAR (2,4,1) dengan delay 2, treshold 4,917 dengan AIC818,3.

Model yang dipilih package tsDyn melalui program R adalah model yangmemberikan nilai AIC yang minimum tanpa memperhatikan signifikansi dari parameteryang ada dalam model, sehingga model-model ini bukan merupakan model akhir. Model-model tersebut akan dijadikan sebagai petunjuk untuk memilih model terbaik.

Dugaan model tersebut kemudian dianalisis dengan cara membuat variabeldummy untuk kedua regime. Model yang sudah di dummy ini kemudian didekati denganmetode OLS melalui pendekatan regresi Stepwise menggunakan bantuan packageMinitab 14. Setelah diperoleh model terbaik melalui regresi stepwise dilakukan regresiterhadap regime lower dan regime upper. Parameter yang dimasukkan dalam regresistepwise dipilih berdasarkan estimasi nilai AIC terkecil pada Tabel 4.2.

Semua model simulasi SETAR diatas memenuhi syarat signifikansi parametersebagaimana ditunjukkan pada Tabel 4.5. Secara matematis, model terbaik untuk datasimulasi model SETAR dapat dituliskan sebagai berikut :Model 1 :

, ( 1)

( 1),2 ( 2),2

( 3),2 ,

0.30961 0.2759

0,43390 0,33160 0,24204

0,16734

t L tt

t t

t t U

a jika ZZ

Z Z

Z a

( 1) 0.2759tjika Z Model 2 :

( 1), , ( 1)

( 1), , ( 1)

5,01310 0,62474 4,998

4,36770 0, 49708 4,998t L t L t

t

t U t U t

Z a jika ZZ

Z a jika Z

Model 3 :

( 1), , ( 1)

( 1), , ( 1)

5,06415 0,8589 4,917

5,37840 0,93119 4,917

t L t L t

t

t U t U t

Z a jika ZZ

Z a jika Z

13

Untuk mengetahui akurasi dari model SETAR yang sudah terpilih, perlu dilihattaksiran interval melalui selang kepercayaan 95% untuk masing-masing parameter yangdiestimasi baik pada regime lower maupun pada regime upper. Pada Tabel 4.3 dapatdilihat bahwa model 1 dengan rancangan koefisien parameter AR 0,3 dan -0,3 dankonstanta pada masing-masing regime = 0 memiliki akurasi yang kurang baik pada semuataksiran parameter model dan salah menebak model simulasinya. Hal ini disebabkan nilaikoefisien AR yang dekat dengan 0. Model 2 dengan koefisien parameter AR 0,6 dan0,6 dan konstanta pada masing-masing regime = 5 memiliki akurasi yang baik. Hal iniditunjukkan dengan semua nilai koefisien parameter rancangan yang masuk dalamkonfiden interval 95%. Demikian pula model 3 dengan koefisien parameter AR 0,9 dan0,9 dan konstanta pada masing-masing regime = 5 juga memiliki akurasi baik dengansemua nilai koefisien parameter rancangan yang masuk dalam konfiden interval 95%.

Tabel 4.3 Ringkasan hasil estimasi interval parameter model SETAR

NoModel

Para-meter

KoefisienSE.Koef

CI 95%

Ranca-ngan

EstimasiRanca-ngan

EstimasiBatas

bawahBatasatas

1 (2, 1, 1) (2, 0, 3)

0,L 0 -0,30961 0,080 -0,46641 -0,15281

0,H 0 0,4339 0,129 0,18106 0,68674

1, H -0,3 -0,3316 0,121 -0,56876 -0,09444

2,H - -0,24204 0,082 -0,40276 -0,08132

3,H - 0,16734 0,078 0,01446 0,32022

1,1 0,3 - - - -

2 (2, 1, 1) (2, 1, 1)

0,L 5 5,0131 0,109 4,79946 5,22674

0,H 5 4,3677 0,503 3,38182 5,35358

1,L 0,6 0,62474 0,046 0,53458 0,7149

1, H -0,6 -0,49708 0,075 -0,64408 -0,35008

3 (2, 1, 1) (2, 1, 1)

0,L 5 5,06415 0,077 4,91323 5,21507

0,H 5 5,3784 0,534 4,33176 6,42504

1,L 0,9 0,8589 0,029 0,80206 0,91574

1, H -0,9 -0,93119 0,072 -1,07231 -0,79007

Model AR sebagai input awal untuk Perubahan Struktur ditentukan atas dasar lagyang signifikan pada plot PACF data masing-masing model. Dugaan untuk model dugaanAutoregressive awal dari data simulasi model 1 dan 3 adalah AR(2) dan model 2 adalahAR(3). Model ini kemudian diuji Perubahan Struktur untuk melihat apakah PerubahanStrukturnya signifikan. Uji untuk semua model menghasilkan nilai p_value yang lebihbesar dari nilai (5%) mengindikasikan bahwa tidak terjadi Perubahan Struktur padadata sebagaimana tampak dalam Tabel 4.4, sehingga pemodelan dengan PerubahanStruktur tidak akan dilanjutkan.

14

Tabel 4.4 Uji F untuk Perubahan Struktur data simulasi modelSETAR terbaik

TipeModel 1 Model 2 Model 3

F P_value F P_value F P_valueexpF 2.449 0.2759 0.9362 0.9895 1.4779 0.6233supF 9.5902 0.2906 3.6374 0.999 6.358 0.6873aveF 3.4728 0.2982 1.7056 0.976 2.3202 0.6072

4.1.2. Simulasi Model Perubahan StrukturUji Perubahan Struktur terhadap data simulasi Perubahan Struktur model 1

sampai dengan 3 menggunakan expF, supF dan aveF mengatakan bahwa pada ketiga datasimulasi (lihat Tabel 4.16) mengandung indikasi adanya Perubahan Struktur karenasemua nilai p_value < (5%).

Tabel 4.5 Uji F untuk data simulasi Perubahan Struktur

TipeModel 1 Model 2 Model 3

F P_value F P_value F P_valueexpF 57.1718 < 2.2e-16 24.2052 9.54e-11 129.5735 < 2.2e-16supF 123.8555 < 2.2e-16 59.367 1.089e-10 270.0999 < 2.2e-16aveF 54.6166 < 2.2e-16 12.7411 0.0007821 32.9872 1.579e-09

Selain uji Perubahan Struktur, untuk melihat nonlinieritas dan stasioneritas data,maka dilakukan uji Terasvirta dan uji ADF.

Tabel 4.6 Hasil pengujian nonlinieritas Terasvirtadata simulasi Perubahan Struktur

Model 2 P_value Ket1 218.0485 < 2.2e-16 nonlinier2 25.1718 3.42e-06 nonlinier3 219.3779 < 2.2e-16 nonlinier

Tabel 4.7 Hasil pengujian stasioneritas ADF data simulasi Perubahan StrukturModel ADF Lag P_value Ket

1 -3.9732 6 0.01074 stasioner2 -2.8742 6 0.2078 tidak stasioner

differencing(2) -8.6582 6 0.01 stasioner3 -1.8827 6 0.6257 tidak stasioner

differencing(3) -7.7252 6 0.01 stasioner

Pada Tabel 4.6 tampak bahwa hasil simulasi Perubahan Struktur dengan packageR 2.7.2 memenuhi sifat nonlinieritas karena semua p_value lebih kecil dari (5%).Walaupun data asli dibangkitkan dari sebuah model linier, namun akibat adanyaPerubahan Struktur yang diberikan pada T tertentu, maka model menjadi nonlinier.Sedangkan untuk uji stasioneritas data, hanya data simulasi model 1 saja yang stasioner.Dua model yang lain belum stasioner sehingga dilakukan differencing. Uji stasioneritasterhadap data model 2 dan 3 setelah differencing menghasilkan data yang stasioner.

15

Tahap identifikasi tidak menangkap adanya ketidakstasioneran sebagaimana yangbiasanya terjadi pada data dengan Perubahan Struktur disebabkan titik patahan diberikanpada awal data.

(a) Plot deret waktu 1 (b)Plot 1 setelah PS (c) ACF 1 (d) PACF 1

(d) Plot deret waktu 2 (e)Plot 2 setelah PS (f) ACF diff (2) (g)PACF diff(2)

(h) Plot deret waktu 3 (i)Plot 3 setelah PS (j) ACF diff (3) (k)PACF diff(3)

Gambar 4.3 Plot data simulasi Perubahan Struktur

Dugaan untuk model Autoregressive awal dari data simulasi ditentukanberdasarkan plot PACF data simulasi pada Gambar 4.3. Dugaan untuk model 1, 2 dan 3adalah AR(3). Hal ini memberikan suatu penjelasan bahwa model awal sebelum adanyaPerubahan Struktur yaitu ARI (1), namun model tersebut berubah menjadi AR(3) karenaadanya titik break pada T.

Secara visual, berdasarkan plot F Statistik model 1, 2 dan 3 sebagaimanaditunjukkan dalam Gambar 4.4 bagian (a, b dan c) terbaca adanya sebuah titik puncak,maka selanjutnya adalah mendapatkan titik break melalui nilai minimum BIC. Gambar4.4 bagian (d, e dan f) nilai minimum BIC terjadi pada saat m (break) =1, sehingga dipilihjumlah break optimal = 1. Hasil estimasi titik break untuk data simulasi model 1diperoleh titik patahan terjadi pada T = 33. Ini berarti Perubahan Struktur tertangkapmulai data ke 34. Hal ini tidak sesuai dengan rancangan simulasi dimana data sebenarnyadiberikan titik break pada T = 20. Hasil estimasi titik break untuk data simulasi model 2dan terjadi pada T=175, sesuai dengan rancangan simulasi.

Setelah ditemukan parameter yang signifikan, maka dilakukan regresi stepwiseterhadap parameter yang signifikan dengan cara membuat variabel dummy berdasarkansegmen yang ditentukan untuk mendapatkan model terbaiknya. Setelah melakukan

L ag

Au

toco

rre

lat

ion

454 0353025201 51051

1 ,0

0 ,8

0 ,6

0 ,4

0 ,2

0 ,0

-0 ,2

-0 ,4

-0 ,6

-0 ,8

-1 ,0

AutocorrelationFunction for Zt(with 5%sig nific ance limits fo rthe autocorrel ation s)

Lag

Pa

rtia

lA

uto

corr

ela

tio

n

45403 530252 0151 051

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

PartialAutocorr elationFunctionfor Zt(with 5%sig nifi cance limits fo rthe partia l autocorrel ation s)

Index

Zt

asl

i

30 027 024 021 018 01501209060301

3

2

1

0

-1

-2

-3

TimeSeriesPlot of Zt asli

Index

Zt

3 002702402101 801501209060301

18

16

14

12

10

8

6

4

2

20

5

15

Time SeriesPlotof Zt

Index

Zt_a

sli

30 027 024 021 018 01501209060301

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

TimeSeriesPlot ofZt_asli

L ag

Au

toco

rre

lat

ion

454 0353025201 51051

1 ,0

0 ,8

0 ,6

0 ,4

0 ,2

0 ,0

-0 ,2

-0 ,4

-0 ,6

-0 ,8

-1 ,0

AutocorrelationFunctionfor Zt( diff)(with 5%sig nific ance limits fo rthe autocorrel ation s)

Lag

Pa

rtia

lA

uto

corr

ela

tio

n

45403 530252 0151 051

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

Part ial Autocorr elationFunctionforZt (diff)(with 5%sig nifi cance limits fo rthe partia l autocorrel ation s)

Index

Zt

30027024021018015012 09060301

12

10

8

6

4

2

0

1 75

2

8

Time SeriesPlotof Zt

Index

Zt_a

sli

30 027 024 021 018 01501209060301

3

2

1

0

-1

-2

-3

TimeSeriesPlot ofZt_asli

Index

Zt

3 002702402101 801501209060301

18

16

14

12

10

8

6

4

2

5

15

Time SeriesPlotof Zt

Lag

Pa

rtia

lA

uto

corr

ela

tio

n

45403 530252 0151 051

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

Part ial Autocorr elationFunctionforZt (diff)(with 5%sig nifi cance limits fo rthe partia l autocorrel ation s)

L ag

Au

toco

rre

lat

ion

454 0353025201 51051

1 ,0

0 ,8

0 ,6

0 ,4

0 ,2

0 ,0

-0 ,2

-0 ,4

-0 ,6

-0 ,8

-1 ,0

AutocorrelationFunctionfor Zt( diff)(with 5%sig nific ance limits fo rthe autocorrel ation s)

16

regresi stepwise, diperoleh estimasi model Perubahan Struktur terbaik melalui regresidummy.

(a) F-Statistik model 1 (b) F-Statistik model 2 (c) F-Statistik model 3

(d) F-Statistik model 1 (e) F-Statistik model 2 (f) F-Statistik model 3

Gambar 4.4 Plot F Statistik dan BIC minimum data simulasi Perubahan Struktur

Estimasi nilai delay, treshold, orde AR regime lower dan regime upper dipilihmelalui nilai AIC minimum untuk setiap kombinasi nilai d. Pada Tabel 4.26, nilaiparameter delay yang memberikan estimasi AIC minimum pada model 1 adalah SETAR(2,1,1) dengan delay 2 dan treshold 13.10 dan AIC 858.4, model 2 adalah SETAR (2,3,1)dengan delay 2 dan treshold 5,785 dan AIC 825,3 sedangkan model 3 adalah SETAR(2,1,1) dengan delay 1 dan treshold 7,469 dan AIC 873,1.

Tabel 4.8 Hasil Estimasi nilai d, r, 1p dan 2p Simulasi Perubahan Struktur

dModel 1 Model 2 Model 3

AIC r 1p 2p AIC r 1p 2p AIC r 1p 2p1 865.0 13.10 2 1 831.0 5,024 1 2 873,1 7,469 1 12 858.4 13.10 1 1 825.3 5,785 3 1 937,4 7,469 1 03 865.0 13.02 1 1 827.6 5,348 1 1 953,8 7,469 1 24 874.0 13.02 1 1 834.7 5,348 3 1 954,7 5,171 2 3

Model yang dipilih sebagai model Perubahan Struktur dan SETAR terbaik untukke tiga model adalah model yang memenuhi semua kriteria kebaikan model. Berdasarkantabel 4.9, diperoleh bahwa MSE model Perubahan Struktur pada data Simulasi 1 samadengan SETAR yaitu 1, akan tetapi pada model 2 dan 3 lebih baik dengan MSE yaitu 0,9dan 1 lebih kecil daripada MSE model SETAR. Jumlah parameter yang sesuai denganrancangan simulasi berdasarkan konfiden interval parameter pada model PerubahanStruktur ada 3 sedangkan pada SETAR ada 6. Berdasarkan nilai MSE terkecil dapat

17

disimpulkan bahwa pemodelan data simulasi Perubahan Struktur lebih baik jikadimodelkan dengan model Perubahan Struktur dibandingkan dengan model SETAR.

Tabel 4.9 Ringkasan hasil estimasi konfiden interval parameter simulasiPerubahan Struktur

Model RegimePara

meterKoef

SEKoef

MSE

Konfiden Interval95%

min max

1

PerubahanStruktur

Segmen 1 0,1 7,8000 1,174

1

5,499 10,101

1,1 -0,5918 0,238 -1,058 -0,125

Segmen 2 0,2 19,0519 0,768 17,547 20,557

1,2 -0,2737 0,051 -0,374 -0,174

SETAR(2,1,1)

Regime Lower 0,L 1,401 0,401

1

0,6150 2,1870

1, L 0,847 0,037 0,7745 0,9195

Regime Upper 0,U 20,437 1,006 18,465 22,409

1,U -0,365 0,067 -0,496 -0,234

2

PerubahanStruktur

Segmen 1 0,1 0,5231 0,12120

0,9

0,1595 0,8867

1,1 0,7296 0,05024 0,5789 0,8803

Segmen 2 0,2 4,3195 0,58010 2,5792 6,0598

1,2 0,4564 0,07301 0,2374 0,6754

SETAR(2,1,1)

Regime Lower 0,L 0,4902 0,12060

1

0,1284 0,852

1, L 0,7634 0,04695 0,6226 0,9043

Regime Upper 0,U 3,7504 0,68700 1,6894 5,8114

1,U 0,5287 0,08595 0,2709 0,7866

3

PerubahanStruktur

Segmen 1 0,1 20,652 1,093

1

18,510 22,794

1,1 -0,380 0,0729 -0,523 -0,237

Segmen 2 0,2 5,5696 0,3259 4,931 6,208

1,2 -0,125 0,0623 -0,247 -0,003

SETAR(2,1,0)

Regime Lower 0,L 6,709 0,5745

2

5,583 7,835

1, L -0,361 0,1147 -0,586 -0,136

Regime Upper 0,U 14,856 0,0961 14,668 15,044

4.2 Studi Kasus Data Inflasi SurabayaData Inflasi diduga seringkali mengalami pergeseran mengikuti pola

perkembangan ekonomi masyarakat. Pergeseran ini akan ditangkap melalui modelSETAR dan Perubahan Struktur. Data yang digunakan adalah data bulanan inflasi diSurabaya mulai Januari tahun 1989 sampai dengan Desember 2008. Dari 240 data, 220data akan digunakan untuk pemodelan sedangkan 20 data untuk validasi.

Jika diamati pada Gambar 4.5, plot deret waktu data inflasi menunjukkan adabeberapa loncatan data yang signifikan yaitu Oktober 1997 sampai dengan Agustus 1998dan Oktober 2005. Selain nilai-nilai tersebut dari diagram boxplot juga tampak ada 14titik yang termasuk outlier antara lain adalah pada saat April 1989, Juni 1990, April 1996,

18

Dat

a

DesNopOktSeptA gustJu lJunMeiA prMarFebJan

1 2,5

1 0,0

7,5

5,0

2,5

0,0

10

10

1010

71

10

13

10

2

11

10

10

17

9

Boxplot Z(t) berdasarkan Bulan

Zt

YearMonth

200 72004200119 98199519921989JanJanJanJanJanJanJan

12,5

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

Okt/97

A gust/98 Okt/05

Time Series Plot of Zt

Lag

Aut

oco

rrel

atio

n

454035302520151051

1, 0

0, 8

0, 6

0, 4

0, 2

0, 0

-0, 2

-0, 4

-0, 6

-0, 8

-1, 0

Autocorrelation Function for Zt(with 5% significance limits for the autocorr elations)

La g

Part

ialA

utoc

orre

latio

n

45403530252 0151051

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1,0

PartialAutocorr elation Function for Zt(with 5% significance limits f or t he par tial autocor relations)

Oktober 1997, Januari sampai dengan Juni 1998, Agustus 1998, Juli 1999, Juni 2001 danOktober 2005. Beberapa outlier yang dapat dideteksi penyebabnya yaitu tingginya inflasipada bulan Mei 1990 adalah adanya kenaikan BBM, Juni 1991 merupakan efek akibatnaiknya BBM sebesar 22%. Kemudian terjadinya krisis moneter pada bulan Juli 1997memberikan dampak yang relatif panjang yaitu pada bulan Oktober 1997 inflasi mulaimeningkat tajam sampai dengan bulan Agustus 1998 inflasi tidak stabil. Januari 1999terjadi kenaikan disebabkan Idul Fitri. Kenaikan BBM sebesar 125% pada Oktober 2005juga menimbulkan lonjakan pada tingkat inflasi di Surabaya. Sedangkan terjadinya outlierpada bulan April 1989, April 1996, Juli 1999 dan Juni 2001 tidak terdeteksi penyebabnyaoleh peneliti.

(a) Plot deret waktu data inflasi (b) Diagram Boxplot inflasi per bulan

Gambar 4.5 Plot deret waktu dan Boxplot data inflasi

Rangkuman hasil uji stasioneritas dan nonlinieritas Terasvirta untuk data inflasiditampilkan pada Tabel 4.10 sudah memenuhi sifat nonlinieritas dan stasioneritas datakarena semua p_value lebih kecil dari (5%).

Tabel 4.10 Uji nonlinieritas Terasvirta dan stasioneritas ADF data inflasiUji Nonlinieritas Uji Stasioneritas (ADF)

2 P_value Ket ADF Lag P_value Ket11,0498 0,003986 nonlinier -3,7522 6 0,02232 stasioner

(a) Plot ACF data inflasi (b) Plot ACF data inflasiGambar 4.6 Plot ACF dan PACF data inflasi

Pemodelan data dengan SETAR dilakukan dengan beberapa tahap, sebagaimanatelah disebutkan pada subbab sebelumnya. Setelah dilakukan uji stasioneritas dan

19

Z(t)

YearMont h

2007200420011998199519921989JanJanJ anJanJanJ anJ an

12,5

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

1,77

V ar iab l e

Z t(L)Z t(U)

T ime Serie s Plot o fZ tdenga npe rpinda ha nreg ime L owe r da nUpper

Z(t-

1)

YearMont h

2007200420011998199519921989JanJanJ anJanJanJ anJ an

12,5

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

1,77

V ar iab l e

Z t-1(L )

Z t-1(U)

T ime Serie s Plot o fZ (t-1) dengan pe rpi nda ha nreg ime L ower da nUpper

Z(t-1)

Z(t)

12,510,07,55,02,50,0

12,5

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0

1,77

1,77

VariableZ(t)_Lower(a) * Z(t-1) _Lower (a)Z(t)_Upper(a) * Z(t-1) _Lower (b)Z(t)_Lower(b) * Z(t-1)_Upper(a)Z(t)_Upper(b) * Z(t-1)_Upper(b )

Scatterplot of Z(t) vs Z(t-1) Data Inflasi

90,32%

9,68%

45,45%

54,54%

BD

A C

nonlinieritas, pemodelan dengan SETAR perlu mengestimasi nilai delay, treshold, ordeAR regime lower dan regime upper.

Estimasi nilai delay, treshold, orde AR regime lower dan regime upper (Tabel4.11) dipilih melalui nilai AIC minimum (MAIC) yaitu model SETAR (2,1,10) dengandelay 1, treshold 1,7715 dengan AIC 657,7856.

Tabel 4.11 Hasil Estimasi nilai d, r, 1p dan 2p data inflasid r 1p 2p AIC1 1,7715 1 10 657,78561 1,7715 2 10 659,7840

Gambar 4.7 (a) menunjukkan data inflasi yang dibagi menjadi 2 regime berdasarkan nilaitreshold pada 1,7715. Treshold ini membagi data inflasi menjadi 186 data masuk padaregime lower dan 33 data masuk pada regime upper .

(a) Plot data deret waktu tZ

(b) Plot data deret waktu 1tZ (c) Plot tZ dengan 1tZ

Gambar 4.7 Plot data deret waktu tZ dan 1tZ regime lower dan upper

Gambar 4.7 menjelaskan daerah A merupakan daerah Lower-Lower sebanyak 168 data,daerah B merupakan daerah Lower-Upper sebanyak 18 data, daerah C merupakan Upper-Lower sebanyak 18 data dan daerah D merupakan daerah Upper-Upper sebanyak 15 data.Data yang jatuh pada regime lower, memiliki kemungkinan besar akan tetap di regimelower sebesar 90,32%, kemungkinan berpindah pada regime upper hanya sebesar 9,68%.Sedangkan data yang jatuh pada regime upper, memiliki kemungkinan untuk berpindahpada regime lower sebesar 54,54%, dan kemungkinan tetap pada regime upper sebesar45,45%. Model yang sudah di dummy ini kemudian didekati dengan metode OLS melaluipendekatan regresi Stepwise menggunakan bantuan package Minitab 14. Setelahdiperoleh model terbaik melalui regresi stepwise dilakukan regresi terhadap regime lowerdan regime upper.

20

Model SETAR terbaik yaitu yang memenuhi syarat signifikansi parameter dansignifikan dalam uji white noise adalah model SETAR (2;0,[1,4,5,6,8,10,12]) walaupunnormalitas residual belum terpenuhi. Ketidaknormalan residual pada Model SETARdisebabkan masih banyak titik yang dekat dengan garis treshold yang merupakan datapencilan yang tidak dihilangkan.

Secara matematis, model terbaik dari model SETAR untuk data inflasi surabayadapat dituliskan sebagai berikut :

, 1

( 1), ( 4), ( 5), ( 6),

( 8), ( 10),

0,65045 1,7715

0,5893 0,2892 0,312 0,3973

1,1626 0,5854 0

t L t

t t U t U t U t U

t U t U

a jika Z

Z Z Z Z Z

Z Z

( 12), , 1, 4363 1,7715t U t U tZ a jika Z

Kejadian-kejadian khusus inflasi selama kurun waktu 1989 sampai dengan 2008dihubungkan dengan model SETAR terbaik. Berikut akan dijelaskan 3 kejadian pertamadari kejadian-kejadian khusus tersebut. Bulan Mei 1990 (t=17) terjadi kenaikan BBM,

tZ masuk pada regime lower dan baru pindah ke regime upper 2 bulan setelahnya yaituJuli 1990 (t=19). Bulan Juli 1991 (t=31) terjadi kenaikan BBM lagi, tZ sebelum dan padasaat kejadian masuk pada regime lower dan baru pindah ke regime upper pada bulanAgustus dan September (t=32 – 33) dan setelah itu kembali ke regime lower. Selanjutnyapada bulan Juli 1997 (t=103) terjadi krisis moneter, tZ masuk pada regime lower danbaru pindah ke regime upper 4 bulan setelahnya selama 11 bulan berturut-turut yaitubulan Nov 1997 sampai dengan September 1998. Bulan Oktober 1998 tZ kembali masukpada regime lower. Ini menunjukkan efek dari krisis moneter baru dirasakan 4 bulansetelah kejadian dan bertahan selama hampir satu tahun tingkat inflasi diatas 1,7715

Dugaan orde ARIMA berdasarkan Gambar 4.6 adalah ARIMA ([1,3,5,6,8],0,0),ARIMA ([0,1,3,5,6,8],0,0), ARIMA ([0,1,3,5,8,12],0,0) dan ARIMA ([1,5,8],0,[1,3]).Perbandingan nilai MSE dan AIC memperlihatkan model ARIMA ([0,1,3,5,6,8],0,0)memiliki nilai MSE terkecil sebesar 1,7646 dan memenuhi semua kriteria kebaikanmodel sehingga model ini dipilih sebagai model terbaik sekaligus sebagai input awal bagimodel Perubahan Struktur.

Hasil uji Perubahan Struktur menggunakan expF, supF dan aveF mengatakanbahwa data inflasi surabaya (lihat Tabel 4.12) mengandung indikasi adanya PerubahanStruktur karena semua nilai p_value < (5%).

Tabel 4.12 Uji F Perubahan Struktur untuk data Inflasi

Tipe F P_value KesimpulanexpF 9.0554 0.009014 ada

PerubahanStruktur

supF 28.0995 0.002906aveF 11.7327 0.01569

Dugaan untuk model Autoregressive awal dari data inflasi ditentukan berdasarkanmodel ARIMA terbaik yang telah diperoleh sebelumnya, yaitu dengan memasukkan lagke-1, dan 3, 5, 6 dan 8 sebagai variabel prediktor model awal. Secara visual, berdasarkan

21

plot F Statistik terbaca adanya dua buah titik puncak, maka selanjutnya sedangkan nilaiminimum BIC terjadi pada saat m (break) =2, sehingga dipilih jumlah break optimal = 2.Hasil estimasi titik break untuk data simulasi model 1 diperoleh titik break terjadi padaT=89 dan 110, Setelah melakukan regresi stepwise, diperoleh estimasi model PerubahanStruktur terbaik melalui regresi dummy.

Uji signifikansi parameter untuk model Perubahan Struktur data inflasi dengan 2break dan 3 break (sebagai pembanding) menunjukkan semua parameternya signifikan.Model Perubahan Struktur (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]) memiliki nilai MSE dan AIC sedikitlebih tinggi daripada model kedua, akan tetapi syarat white noise normalnya terpenuhi,sedangkan model kedua, yaitu Perubahan Struktur (4;0,[1,3],[1,3,5,6,8],0) hanyamemenuhi syarat white noise residual sedangkan hasil pengujian Kolmogorov Smirnovtidak signifikan. Sehingga model Perubahan Struktur (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]) dipilihsebagai model terbaik.

Bulan Mei 1990 dan Juli 1991 yang terjadi kejadian khusus berupa kenaikanBBM (Tabel 2.2) menjadi 1 segmen pada segmen pertama. Segmen kedua memuatkejadian khusus krisis moneter pada tahun 1997. Kejadian khusus lainnya berkumpulpada segmen ketiga.

Model dengan 2 break yaitu Perubahan Struktur (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]) jikadituliskan dalam persamaan matematis adalah sebagai berikut :

,1

( 1),2 ( 1),2 ,2

( 1),3 ( 3),3

( 5

0,717 89

0,941 1,01 89 110

0,378 0,158

0,225

t

t t t

t t t

t

a jika T

Z Z a jika T

Z Z Z

Z

),3 ( 6),3

( 8),3 ,3

0,176

0,228 110t

t t

Z

Z a jika T

Gambar 4.8 Plot deret waktu tZ berdasarkan pembagian 3 segmen dan 4 segmen

Pembandingan model ARIMA, SETAR dan Perubahan Struktur data inflasiSurabaya didasarkan pada nilai MSE dan AIC. Semua model yang dipilih telahmemenuhi syarat white noise residual walaupun semuanya tidak normal. Untuk ramalanin sample, model SETAR(2,0,[1,4,5,6,8,10,12]) memberikan estimasi paling akuratdengan nilai MSE terkecil 1,329 dan AIC sebesar 1,20032. model Perubahan Struktur

Z(t)

Ye arMo nth

2007200 420 0119 981 9951 992198 9Ja nJanJanJa nJa nJanJan

1 2,5

1 0,0

7,5

5,0

2,5

0,0

Ja n/0 2Ja n/0 2Mei/96

F eb/98

Time Series Plot of Z(t)

Z(t)

Ye arMo nth

2007200 420 0119 981 9951 992198 9Ja nJanJanJa nJa nJanJan

1 2,5

1 0,0

7,5

5,0

2,5

0,0

Mei/96F eb/98

Time Series Plot of Z(t)

22

memberikan hasil ramalan in sample terbaik kedua dengan MSE 1,388 dan AIC sebesar1,21786. Model ARIMA adalah model dengan nilai ramalan in sample yang memilikinilai MSE dan AIC paling besar.

Tabel 4.13 Perbandingan Kebaikan Model (In Sample) Berdasarkan KriteriaMSE dan AIC

Model MSE AICAsumsi ResidualWhiteNoise

Normal

ARIMA ([0,1,3,5,6,8],0,0) 1,764581 1,30325 Ya Tidak

SETAR (2,0,[1,4,5,6,8,10,12]) 1,329 1,20045 Ya Tidak

PS (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]) 1,388 1,21786 Ya Tidak

Tabel 4.14 Perbandingan Kebaikan Model (Out Sample)Model n k MSE RMSE

ARIMA ([0,1,3,5,6,8],0,0)

5 6 0,21220 0,46066

10 6 0,32360 0,56886

15 6 0,71670 0,84658

20 6 1,05972 1,02943

SETAR (2,0,[1,4,5,6,8,10,12])

5 8 0,11130 0,33362

10 8 0,19459 0,44112

15 8 0,60153 0,77558

20 8 0,77291 0,87915

PerubahanStruktur

(3;0,[1,3],[1,3,5,6,8])

5 8 0,25428 0,50426

10 8 0,68423 0,82718

15 8 1,88545 1,37312

20 8 2,07490 1,44045

Gambar 4.9 Plot deret waktu Zt, ramalan in sample dan out sampleModel SETAR, ARIMA dan Perubahan Struktur

Demikian pula jika dilihat dari ramalan out sample nya, estimasi modelSETAR(2,0,[1,4,5,6,8,10,12]) memberikan estimasi paling akurat dengan nilai MSE

Da

ta

YearM onth

200 720 042001199819951 9921 989JanJanJanJanJa nJanJa n

1 2,5

1 0,0

7,5

5,0

2,5

0,0

-2,5

-5,0

Var iable

Forecast ARIMAForecast ARIMA_out

Forecast SETA R

Forecast SETA R_outForecast PSForecast PSout

Ztac tual

Time Ser ies Plot of Zt; actual; Forecast ARI; Forecast ARI; ...

Dat

a

Yea rMon th

2 00820 072 006De sAgustAp rDesAgustAprDe sAgustAp r

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

Variab le

A RIMA_out

SETA RO ut sample

PS outlow er _out

upper_out

Zt

ac tual

Time Series Plot of Zt dan Ramalan Out sampel 3 model

23

terkecil 0,8904 untuk ramalan 5 tahap ke depan, 1,5567 untuk ramalan 10 tahap ke depan,4,8122 untuk ramalan 15 tahap ke depan dan 6,1833 untuk ramalan 20 tahap ke depan.Demikian pula nilai RMSE untuk model SETAR menunjukkan yang paling baik untukperamalan jangka pendek, menengah ataupun panjang. MSE dan AIC minimum baikuntuk ramalan 5 tahap, 10 tahap, 15 tahap maupun 20 tahap ke depan. Model ARIMAmemberikan hasil MSE dan RMSE yang lebih baik dibandingkan dengan PerubahanStruktur untuk ramalan 5, 10, 15 dan 20 tahap ke depan.

5. KESIMPULAN DAN SARAN5.1. KesimpulanI. Studi simulasi terhadap model SETAR dan Perubahan Struktur dirumuskan

kesimpulan sebagai berikut :a. Pembangkitan parameter yang dekat dengan 0 pada model SETAR akan

menyebabkan data tidak terdeteksi sebagai nonlinier akibatnya peramalan denganSETAR tidak sesuai dengan rancangan.

b. Pembangkitan titik break yang diletakkan kurang dari 10% jumlah data padaawal atau akhir data untuk model Perubahan Struktur menyebabkan tidaktepatnya Minimum BIC membaca titik break.

c. Model-model SETAR belum tentu dapat dianalisis dengan Perubahan Struktur,umumnya model SETAR tidak signifikan ketika dilakukan uji PerubahanStruktur, akan tetapi model Perubahan Struktur dapat dianalisis dengan SETAR

II. Penerapan model SETAR dan Perubahan Struktur terhadap data inflasi di kotaSurabaya dirumuskan kesimpulan sebagai berikuta. Model terbaik SETAR, ARIMA dan Perubahan Struktur untuk data Inflasi adalah

SETAR (2;0,[1,4,5,6,8,10,12]), ARIMA([0,1,3,5,6,8],0,0) dan PerubahanStruktur (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8])

b. Pembandingan model ARIMA, SETAR dan Perubahan Struktur data inflasiSurabaya didasarkan pada nilai MSE dan AIC. Untuk ramalan in sample, modelSETAR memberikan estimasi paling akurat dengan nilai MSE terkecil. 1,329 danAIC sebesar 1,20045. model Perubahan Struktur memberikan hasil ramalan insample terbaik kedua dengan MSE 1,388 dan AIC sebesar 1,21786. ModelARIMA adalah model dengan nilai ramalan in sample yang memiliki nilai MSEdan AIC paling besar.

c. Untuk ramalan out sample, estimasi model SETAR (2,0,[1,4,5,6,8,10,12])menunjukkan nilai MSE dan RMSE minimum baik untuk ramalan 5 tahap, 10tahap, 15 tahap maupun 20 tahap ke depan. Model ARIMA adalah model dengannilai ramalan out sample terbaik kedua sedangkan model Perubahan Strukturmemberikan nilai MSE yang paling besar.

5.2. SaranBeberapa saran yang dapat diberikan dalam tesis ini antara lain:

1. Melakukan uji deteksi Outlier pada model ARIMA sebagai input modelPerubahan Struktur serta menambahkan uji ARCH dan GARCH pada residual

24

untuk mendapatkan model yang memenuhi asumsi white noise pada residualmodel.

2. Untuk memperdalam kajian penelitian, pada kajian simulasi disarankanmenggunakan model SETAR dan Perubahan Struktur ber-order lebih dari satu.

3. Untuk melihat keandalan model SETAR dan Perubahan Struktur maka model-model tersebut perlu dibandingkan dengan model-model data deret waktunonlinier lainnya.

DAFTAR PUSTAKAAndrews, D.W.K., Ploberger W., (1994). “Optimal tests when a nuisance parameter is

present only under the alternative”, Econometrica, 62, hal. 1383–1414.Balke, N. S. (1993), “Detecting Level Shifts in Time Series,” Journal of Business and

Economic Statistics, 11, 81–92.Bai, J., Perron, P., (2003), “Computation and analysis of multiple Structural Change

models”, Journal of Applied Econometrics, 18, hal. 1–22.Box, G. E. P. dan G. M. Jenkins, dan G. c. Reinsel. (1994), Time Series Analysis:

Forecasting and Control. Edisi ketiga. Prentice-Hall International, Inc. NewJersey.

Cobb, G. W. (1978), “The Problem of the Nile: Conditional Solution to a Change-PointProblem,” Biometrika, 65, 243–251.

Chow, G. C. (1960), “Tests of Equality Between Sets of Coefficients in Two LinierRegressions,” Econometrica, 28, 591–605.

Granger, C.W.J, dan Teräsvirta T., (1999): “A simple nonlinier time series model withmisleading linier properties”. Economics Letters 62, 161-165

Harvey, A. C. dan Durbin, J. (1986), “The Effects of Seat Belt Legislation on BritishRoad Casualties: A Case Study in Structural Time Series Modelling (withDiscussion),” Journal of the Royal Statistical Society A, 149, 187–227.

Makridakis, S., S. C. Wheelwright, dan V. E. McGee. (1993), Metode dan AplikasiPeramalan, Jilid Pertama, Edisi Kedua. Alih bahasa : Untung S. A. Dan Abdul B.Penerbit Erlangga. Jakarta.

Ruey S. Tsay (2005). “Analysis of Financial Time Series”, Second Edition; Wiley AJohn Wiley and Sons Inc.

Salamah, M, Suhartono, dan Wulandari, S.P., (2003), Analisis Time Series, Buku Ajar :Analisis Time Series, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

T. Teraesvirta, C. F. Lin, dan C. W. J. Granger (1993). “Power of the Neural NetworkLinearity Test”. Journal of Time Series Analysis 14, 209-220.

Tong, H., (1983). Treshold Models in Non-linier Time Series Analysis. Springer, NewYork.

Tong, H., (1990) Non-Linier Time Series: A Dynamical System Approach. OxfordUniversity Press, Oxford.

Zeileis A, Leisch F, Hornik K, Kleiber C., (2002), “Strucchange: An R package fortesting for Structural Change in linier regression models”, Journal of StatisticalSoftware, 7(2), hal.1–38. URL

Zeileis, A., Kleiber, C., Kr¨amer, W., Hornik, K., (2003). “Testing and Dating ofStructural Changes in Practice”, Computational Statistics & Data Analysis,44(1–2), 109–123.