DERET 1

DERET BAGIAN II

KELOMPOK II

DERET 2

ANGGOTA KELOMPOK

I GD GEGIRANANG WIRYADI (0904105001)

PUTU LISSA AMBARAWANGI (0904105003)

NI PT LISTYA DEWI (0904105005)

ETTY DWARAWATI (0904105007)

DERET 3

DERET BAGIAN II

HARGA LIMIT DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN KAIDAH UJI KEKONVERGENAN DERET MACLAURIN DERET BINOMIAL DERET TAYLOR

DERET 4

Harga Limit

Lim 2n2 + 4n – 3 jika n ~

5n2 + 6n + 1

2n2 + 4n – 3 = 2n2/n2 + 4n/n2 – 3/n2

5n2 + 6n + 1 5n2/n2 + 6n/n2 + 1/n2

Lim 2n2 + 4n – 3 = Lim 2n2/n2 + 4n/n2 – 3/n2

n ~ 5n2 + 6n + 1 n~ 5n2/n2 + 6n/n2 + 1/n2

= 2 + 0 – 0 = 2/5

5 + 0 + 0

NB; pembagian oleh n yang mempunyai pangkat tertinggi

DERET 5

DERET KONVERGEN DAN DIVERGEN DERET KONVERGEN Deret yang jumlah n

sukunya (Sn) ke sebuah harga tertentu (mendekati 0) jika n ~

DERET DIVERGEN Deret yang jumlah n sukunya (Sn) tidak menuju ke sebuah harga tertentu (tidak mendekati 0) jika n ~

DERET 6

Deret Konvergen

Deret : 1+1/3+1/9+1/27+1/81+…

a=1 b=1/3

Sn = 1[1-1/3n]

1-1/3

= 1-1/3n

2/3

= 3/2[1-1/3n]

1/3

n0 ; lim Sn = 3/2 Konvergen

DERET 7

Deret Divergen

Deret : 1+3+9+27+81+…a=1 b=3

Sn = 1 [1-3n] 1-3

= 1-3n

-2

= 3n -1

n~ ; lim Sn = ~ Divergen

DERET 8

UJI KEKONVERGENAN

Suatu deret dapat dikatakan konvergen bila telah diuji dengan beberapa jenis uji yang dapat memberikan kepastian tentang sifat konvergen. Ada beberapa jenis uji konvergensi bagi deret, diantaranya :

Uji Awal (Preliminary Test)

Uji Perbandingan (Comparison Test)

Uji Pembagian D’Alembert untuk deret bersuku positif

DERET 9

Uji Awal (Preliminary Test)

Uji ini dilakukan pertama kali sebagai uji apakah deret bisa bersifat konvergen atau bahkan divergen.

suatu deret dapat langsung dinyatakan bersifat divergen, atau deret masih memiliki kemungkinan bersifat konvergen.

lim n0 an = 0 , ada kemungkinan deret konvergen

lim n0 an ≠ 0 , deret pasti divergen

DERET 10

Tinjau Suatu Deret

DERET 11

Uji Perbandingan (the Comparison test)

Suatu Deret yang telah diketahui bersifat konvergen

Digunakan untuk membandingkan deret dimana,

DERET 12

Tijauan

DERET 13

Hasil

DERET 14

Dengan demikian

Dapat dinyatakan bersifat Konvergen

DERET 15

Uji Pembagian A’Delambert untuk deret bersuku positifDeret U1+U2+U3+U4+…+Un+… adalah deret positif

Carilah pernyataan untuk Un dan Un+1, yaitu suku ke-

n dan suku ke (n+1)

Bentuk pembagian Un+1

Un

Tentukan harga limit pembagiannya bila n ~

DERET 16

Lim Un+1 < 1, deretnya konvergen

n~ Un

Lim Un+1 > 1, deretnya divergen

n~ Un

Lim Un+1 = 1, deretnya mungkin konvergen atau

n~ Un divergen

DERET 17

Deret Secara Umum Kekonvergenan Mutlak Jika Un menyatakan suku ke-n, pada umumnya

mungkin positif atau negatif.

Tetapi |Un|harga numeris Un, sehingga jika U1+U2+U3+… adalah deret dengan suku-suku tercampur(sebagian positif dan sebagian negatif) maka deret |U1| + |U2| + |U3| +… adalah deret dengan suku-suku positif.

Jadi jika ΣUn = 1-3+5-7+9-…

maka Σ |Un| = 1+3+5+7+9+…

DERET 18

DERET MACLAURIN

Deret pangkat tersusun oleh bentukxn atau (x-a)n. Cara Pencarian:

Misalkan :f(x)=a+bx+cx2+dx3+ex4+fx5+…Masukkan x=0, maka f(0)=a+0+0+0+0+… a=f(0)Diferensialkan : f’(x)=b+c.2x+d.3x2+e.4x3+f.5x4+…Masukkan x=0, maka f’(0)=b+0+0+0+… b=f’(0)Diferensialkan : f’’(x)=c.2.1+d.3.2x+e.4.3x2+f.5.4x3+…Masukkan x=0, maka f’’(0)=2!c+0+0+… c=f’’(0)/2!Diferensialkan : f’’’(x)=d.3.2.1+e.4.3.2x+f.5.4.3x2+…Masukkan x=0, maka f’’’(0)=3!c+0+… c=f’’’(0)/3!

dst!!!!

DERET 19

DERET MACLAURIN

Deret Maclaurin adalah penaksiran deret tak hingga.

Dirumuskan:

!)0(

!2)0(

)0()0()(

)(2

n

xf

xf

xffxfn

n

DERET 20

Deret MaclaurinPenderetnan f(x) = ex dalam deret Maclaurin

Jawab :

f(x) = f’(x) = f’’(x) = f’’’(x) = … fn(x) = ex

f(0) = f’(0) = f’’(0) = f’’’(0) = … fn(0) = 1………………………………………………………………..

maka ex = 1 + x + x2 + x3 + … 2! 3!

DERET 21

Rangkuman

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ……..-∞<x< ∞

Sin x = x – x3/3! + x5/5! - x7/7! +……-∞<x< ∞

Cos x = 1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! +……-∞<x< ∞

ln x = x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +…….-1<x< 1

tan x = x + x3/3 + 2x5/15 + 17x7/315 +…….|x| < π/2

cot x = 1/x – x/3 - x2/45 – ……. 0<|x|< π

sinh x = x + x3/3! + x5/4! + x7/7! +……. -∞<x< ∞

cosh x = 1 + x2/2! + x4/4! + x6/6! +……. -∞<x< ∞

DERET 22

DERET BINOMIAL

Jika f(x) = (1+x)n , n = bilangan bulat dan -1<x<1, maka:

f(0) = 1

f’(x) =n(1+x)n-1 f’(0) = n

f’’(x) =n(n-1)(1+x)n-2 f’’(0) = n(n-1)

f’’’(x) =n(n-1)(n-2)(1+x)n-3 f’’’(0) = n(n-1)(n-2)

fiv(x) =n(n-1)(n-2)(n-3)(1+x)n-4 fiv (0) = n(n-1)(n-2)(n-3)

…………………………………………………….

DERET 23

Diperoleh Deret Binomial

(1+x)n = 1 + nx + n(n-1) x2 + n(n-1)(n-2) x3 +…

2! 3!

…-1<x<1

(1-x)n = 1 - nx + n(n-1) x2 - n(n-1)(n-2) x3 +…

2! 3!

…-1<x<1

DERET 24

Contoh

1 /1-x = 1 + x + x2 + x3+ x4 +………-1<x<1

1/1+x = 1 - x + x2 - x3+ x4 -………-1<x<1

1 /(1+x)2

= 1 - 2x + 3x2 - 4x3+ 5x4 -………-1<x<1

1 /(1+x)3 = 1 - 3x + 4x2 - 5x3+ 6x4 -………-1<x<1

1/1-x = 1 + x + x2 + x3+ x4 +………-1<x<1

DERET 25

Harga Pendekatan

Gunakan teorema binomial untuk menghitung (1,01)5 dalam bentuk desimal!!

Jawab:(1,01)5 = (1+0,01) 5 koefisien: (1 5 10 10 5 1)

= 1+5(0,01)+10(0,01)2+10(0,01)3+5(0,01)4+(0,01)5= 1+0,05+0,001+0,00001+0,00000005+0,0000000001= 1,0510100501

DERET 26

DERET TAYLOR

Rumus Deret Taylor diturunkan dari Deret Maclaurin

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

20

0000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

0

00

)(

!

)()(

n

nn

n

xxxf

DERET 27

Contoh Deret Taylor

Bentuklah Deret Taylor untuk:

Cari nilai fungsi dan turunannya untuk fungsi pada x0=1

1),ln()( 0 xxxf

DERET 28

Penyelesaian

0)1ln()()ln()( 0 xfxxf

11

1)(

1)( 0 xfx

xf

11

1)(

1)(

202 xf

xxf

11

0)(

1)(

)1()!1(1

)1()!1()(

)1()!1()(

nn

nn

n

nn

nn

xf

x

nxf

21

2)(

2)(

303 xf

xxf

DERET 29

Gunakan rumus umum Deret Tayler

!

)1()1()!1(

!3

)1(!2

!2

)1()1(0)ln(

1

32

n

xn

xxxx

nn

n

x

xxxx

nn )1(

)1(

3

)1(

2

)1()1()ln(

1

32

!

)()(

!2

)()())(()()(

00

)(

20

0000

n

xxxf

xxxfxxxfxfxf

nn

DERET 30

SEKIAN

DERET BAGIAN II