[ TUGAS ]

PEMODELAN MATEMATIKA

BUNGA MAJEMUK

Dosen : Prof. Dr. Widodo

Nama : Sutrisno

No. : 306185

PROGRAM S-2 MATEMATIKA

UNIVERSITAS GADJAH MADA

2011

2

A. PERMASALAHAN

Diketahui masalah bunga majemuk dengan variabel t mengikuti himpunan semua bilangan real

tak negatif 0, . Andaikan 0, dipartisi menjadi interval-interval waktu

1 1 2 1 2 3 2 3 1[0, ], ( , ], ( , ],..., ( , )n nI t I t t I t t I t dengan 1 2 3 10 ... , [0, )n it t t t t

untuk suatu bilangan asli 2n . Jika bunga majemuk pada interval waktu Ii adalah ri untuk

i=1,2,3,....,n, maka

a) Formulasikan dan gambarlah bunga majemuk r(t) versus t pada [0,∞)

b) Jika tabungan awal A rupiah, F(t) menyatakan jumlah uang pada saat t, dan diasumsikan

F(t) diferensiable pada [0,∞) kecuali di titik t1, t2, t3,..., tn-1, dan kontinu di titik t1, t2, t3,...,

tn-1 , maka formulasikan F(t) versus t dan gambarlah sketsa grafiknya.

B. PEMBAHASAN

Bunga ri , i=1,2,3,....,n dapat kita nyatakan dengan tabel berikut.

Bunga Interval waktu (t)

r1 0 ≤ t ≤ t1

r2 t1 < t ≤ t2

r3 t2 < t ≤ t3

... ...

... ...

rn tn-1 < t < ∞

dengan 1 2 3 10 ... , [0, )n it t t t t

a) Formulasi dan sketsa grafik r(t)

Besarnya bunga ri adalah konstan untuk masing-masing interval waktu, maka ri dapat dinyatakan

sebagai fungsi berikut.

1 1

2 1 2

3 2 3

1

untuk 0

untuk

( ) untuk

untuk n n

r t t

r t t t

r t r t t t

r t t

3

Kita asumsikan bahwa 1 20 .... nr r r

, maka sketsa grafik fungsi r(t) terhadap t adalah :

b) Formulasi dan sketsa grafik F(t)

Didefinisikan :

F(t) : Jumlah uang pada saat t, dengan ( 0) 0F t

Bunga majemuk r dapat dipandang sebagai rata-rata pertumbuhan uang, yang dirumuskan oleh

( ) ( )( )

( )

F t t F tr t

t F t

untuk 0t , maka

0

( ) ( ) 1 ( )( ) lim

( ) ( )t

F t t F t dF tr t

t F t F t dt

( )( ) ( )

dF tr t F t

dt

4

Untuk interval 0 ≤ t ≤ t1 , bunga r1

1

1

1 1

1

0 0

10 0

1

( ) ( )( )

( )

( )

( )

ln ( ) ( )

( )ln

(0)

( )

(0)

( ) (0)

t t

t t

r t

r t

dF t dF tr F t r dt

dt F t

dF tr dt

F t

F t r t

F tr t

F

F te

F

F t F e

dengan F(0)=A, diperoleh

1( )r tF t Ae untuk 0 ≤ t ≤ t1

Untuk interval t1 < t ≤ t2 dengan bunga r2

2 2

2 2

*1 *1*1

2 2*1

*1

2*1

*1

2 2

*1

*1

( ) ( )( )

( )

( )

( )

ln ( )

( )

( )

r t c

c r t

dF t dF tr F t r dt

dt F t

dF tr dt

F t

F t r t c

F t e

F t e e

5

Karena 1

*1

1( ) lim ( )t t

F t F t

maka

1 1 2 2 1 1 2 2 1

1

1 1

2

2 1

2 1 2 1( )

limr t c r t r t c r t

t t

r tc

r t

c r r t

Ae e e Ae e e

ee A

e

e Ae

Sehingga diperoleh

1 2 1 2( )*1( )r r t r tF t Ae e

Untuk interval t2 < t ≤ t3 dan bunga r3

3 3

3 3

*2 *2*2

3 3*2

*2

3*2

*2

3 3

*2

*2

( ) ( )( )

( )

( )

( )

ln ( )

( )

( )

r t c

c r t

dF t dF tr F t r dt

dt F t

dF tr dt

F t

F t r t c

F t e

F t e e

Karena 2

*1 *2

2( ) lim ( )t t

F t F t

maka

3 3 3 3 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2

1

1 2 1 2 2

3

3 2

3 2 3 21 2 1

( ) ( )

( )

( )( )

limc r t c r tr r t r t r r t r t

t t

r r t r tc

r t

c r r tr r t

Ae e e e Ae e e e

e ee A

e

e Ae e

Sehingga diperoleh 2 3 2 31 2 1 ( )( )*2( )r r t r tr r tF t Ae e e

Dengan induksi matematika diperoleh :

1 2 1 2( )*1( )r r t r tF t Ae e

2 3 2 31 2 1 ( )( )*2( )r r t r tr r tF t Ae e e

2 3 2 3 4 31 2 1 4( ) ( )( )*3( )r r t r r tr r t r tF t Ae e e e

2 3 2 3 4 3 4 5 4 1 11 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )( )* 1( ) ... n n n nr r t r r t r r t r r t r tr r tnF t Ae e e e e e

1

1( )* 1

1

( ) , 2i i i n

nr r t r tn

i

F t A e e n

6

Sehingga, formulasi dari F(t) adalah

1

1

1( )* 1

1

( ) , untuk 1

( )( ) , untuk 2i i i n

r t

nr r t r tn

i

F t Ae n

F tF t A e e n

Sketsa grafik fungsi F(t) terhadap t adalah sebagai berikut.

F*(tn)

F*(tn-2)

F*(t3)

F*(t2)

F*(t1)

t2 t1 t3 tn-2 tn-1 t

F*(t)

A

0

.

.

.

. . .