paper sistem diskrit - sutrisno b

5/14/2018 Paper Sistem Diskrit - Sutrisno b - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/paper-sistem-diskrit-sutrisno-b 1/13

1

[ TUGAS ]

APLIKASI TEORI SISTEM DISKRIT

Dosen : Dr. Salmah, M.Si

Oleh : Sutrisno ( 306185 )

PROGRAM S-2 MATEMATIKA

UNIVERSITAS GADJAH MADA

2011



2

TEKNIK KENDALI DISKRIT PADA

MOTOR STEPPER

I. Motor Stepper [1], [2]

Motor Stepper adalah motor DC yang gerakannya bertahap (step by step). Tidak

seperti motor DC biasa yang menghasilkan gerakan putaran kontinyu, motor stepper

menghasilkan gerakan diskrit (patah-patah). Setiap motor stepper mampu berputar untuk

setiap stepnya dalam satuan sudut, makin kecil sudut per step-nya maka gerakan per step-nya

makin presisi.

Gambar 1. Skema motor stepper, DC motor, dan bentuk fisik motor stepper

Motor stepper banyak digunakan untuk aplikasi-aplikasi yang menggunakan torsi

yang kecil, seperti untuk penggerak piringan CD, zooming dan focus pada kamera, printer,

scanner, fax, mesin laser, plotter, dan lain-lain.

Gambar 2. Perangkat Beserta Bentuk Motor Stepper-nya



3

II. Model Matematika Motor Stepper [3], [5]

Diberikan motor stepper tipe dua fase seperti pada gambar berikut.

Gambar 3. Bentuk Motor Stepper

Hukum konservasi energi menyatakan bahwa

Energi listrik Energi mekanik tingkat kenaikan

dari sumber output energi magnetik

Didefinisikan variabel-variabel berikut.

va dan vb : voltase fase A dan B

ia dan ib : arus fase A dan B

: kecepatan angular rotor

: posisi angular batang rotor

R : resistansi lilitan

L : induktansi lilitan

La : induktansi fase A

Lb : Induktansi fase B

B : koefisien pergeseran rekatan

J : inersia rotor

N r : banyaknya gigi rotor

k m : konstanta torsi rotor

: torsi developed



4

Berdasarkan hukum konservasi energi, persamaan diferensial dari motor stepper pada gambar

3 diberikan oleh

2 21 1

2 2a a b b a a b b

d d v i v i i L i L

dt dt

(1)

dengan

sin( ) cos( )m a r b r

k i N i N (2)

Persamaan diferensial dari voltase fase A dan fase B diberikan oleh

cosaa a m r

di d v Ri L k N

dt dt (3)

cosbb b m r

di d v Ri L k N

dt dt (4)

Nilai merupakan penjumlahan dari a (fase A) dan b (fase B), yait ua b

sehingga

21

2a a a a a

d d v i i L

dt dt

(5)

21

2b b b b b

d d v i i L

dt dt

(6)

Didefinisikan kecepatan angular motor adalah

d

dt

(7)

Persamaan kecepatan angular motor dan inersia rotor diberikan oleh

d J B

dt

(8)

Persamaan (2) disubstitusikan ke (8) diperoleh

sin( ) cos( )m a r b r

d J k i N i N B

dt

(9)

sin( ) cos( )m a r m b r

k i N k i N Bd

dt J

(10)

Tinjau kembali persamaan (3) yang dapat dituliskan sebagai

cosaa a m r

di d L v Ri k N

dt dt

cosaa a m r

di d L v Ri k N

dt dt

sina a a m r di v Ri k N

dt L

(11)



5

Tinjau kembali persamaan (4) yang dapat dituliskan sebagai

cos

cos

b

b b m r

b

b b m r

di d v Ri L k N

dt dt

di d L v Ri k N

dt dt

sinb b m r b

v Ri k N di

dt L

(12)

Berdasarkan persamaan (11), (12), (10), dan (7), model matematika motor stepper yang

diberikan oleh sistem persamaan

sin( )a a a m r

di v Ri k N

dt L

(13.a)

cos( )b b b m r di v Ri k N dt L

(13.b)

sin( ) cos( )m a r m b r k i N k i N Bd

dt J

(13.c)

d

dt

(13.d)

Didefinisikan variabel-variabel baru yaitu

cos( ) sin( )d a r b r i i N i N (14.a)

sin( ) cos( )

q a r b r i i N i N (14.b)

cos( ) sin( )

d a r b r v v N v N (14.c)

sin( ) cos( )q a r b r

v v N v N (14.d)

Persamaan (14) disubstitusikan ke persamaan 13, sehingga diperoleh

d d r qd v Ri N L ididt L

(15.a)

)q q q r d mdi v Ri N L i K

dt L

(15.b)

m qK i Bd

dt J

(15.c)

d

dt

(15.d)



6

III. Model Diskrit Matematika Motor Stepper [4]

Model diskrit dari motor stepper ditentukan dengan cara melakukan diskritisasi pada

model (15) dengan waktu sampling . Hasil diskritisasi model (15) yaitu

1 1 1 5 2 3 1( 1) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) x k k x k k x k x k u k (16.a)

2 1 2 5 1 3 2 3 2( 1) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x k k x k k x k x k k x k u k (16.b)

3 3 2 4 3( 1) ( ) (1 ) ( ) x k k x k k x k (16.c)

4 6 3 4( 1) ( ) ( ) x k k x k x k (16.d)

dengan

1

2

3

4

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

d

q

x k i k

x k i k

x k k

x k k

1

2

3

4

m

m

Rk

L

k k

L

k k

J

Bk

J

5

6

1

2

( )

( )

r

d

q

k N

k

v k u

L

v k u

L

Keluaran dari sistem adalah 1( ) ( )

d i k x k dan 4

( ) ( )k x k sehingga dapat dituliskan

sebagai

1 1( ) ( ) y k x k (17.a)

2 4( ) ( ) y k x k (17.b)

Persamaan keluaran (17) disubstitusikan ke state 1 2 3 4( ), ( ), ( ), dan ( ) x k x k x k x k diperoleh

1 1( ) ( ) x k y k (18.a)

4 2 22 22

3 6 3 6

1 ( 1) ( )( 2) ( 1)( )

k y k y k y k y k x k

k k k k

(18.b)

2 23

6

( 1) ( )( ) y k y k x k k

(18.c)

4 2( ) ( ) x k y k (18.d)

Misalkan

1 1 5 2 3 1

6

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )v k u k k x k x k x k

k (19.a)

2

3 4

2 2 5 1 2 3 4 2 326 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k

v k u k k x k k x k k x k x k k k

(19.b)



7

Persamaan (19) disubstitusikan ke (16) diperoleh

1 1 6 1( 1) ( ) ( ) x k x k k v k (20.a)

22

642 4 2 3 2

3 3

( 1) (1 ) ( ) ( ) ( )k k

x k k x k x k v k

k k

(20.b)

3 3 2 4 3( 1) ( ) (1 ) ( ) x k k x k k x k (20.c)

4 6 3 4( 1) ( ) ( ) x k k x k x k (20.d)

Sistem persamaan state (20) dan output (17) dapat dituliskan dalam bentuk matriks yaitu

6

1 12 2

4 642 2 1

3 3

3 3 2

3 4

4 4

6

1 0 0 0 0( 1) ( )

0 1 0 0( 1) ( ) ( )

( 1) ( ) ( )0 1 0 0 0( 1) ( )0 0 1 0 0

k x k x k

k k k x k x k v k

k k x k x k v k

k k x k x k k

(21.a)

1

1 2

2 3

4

( )

( ) ( )1 0 0 0

( ) ( )0 0 0 1

( )

x k

y k x k

y k x k

x k

(21.b)

Untuk menyederhanakan persamaan state space dimisalkan

1

2

3

4

( 1)( 1)

( 1)( 1)

( 1)

x k x k

x k x k

x k

,

1

2

3

4

( )( )

( )( )

( )

x k x k

x k x k

x k

, 1

2

( )( )

( )

v k v k

v k

, 1

2

( )( )

( )

y k y k

y k

Sehingga persamaan state space (21) dapat dituliskan sebagai

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

x k Ax k Bv k

y k Cx k

dengan

6

2 2

4 64

3 3

3 4

6

1 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0, ,

0 0 0 10 1 0 0 0

0 0 1 0 0

k

k k k

A B C k k

k k

k



8

REFERENSI

[1] http://elektronika-elektronika.blogspot.com/2007/04/motor-stepper.html (30/10/2011)

[2] http://nugroho.staff.uii.ac.id/2010/04/14/apa-sih-motor-step-itu/ (30/10/2011)

[3] Bodson, M., Chiasson, J.N., Novotnak, R.T., Rekowski, R.B., 1993, High Performance

Non-Linear Feedback Control of a Permanent Magnet Stepper Motor , IEEE.

[4] Bandyopadhyay, B., Janardhanan, S., 2006, Discrete-time Sliding Mode Control,

Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany.

[5] Kenjo, Takashi, 1984, Stepping Motor and Their Microprosessor Controls, Clarendon

Press, Oxford.



9

APLIKASI TEKNIK KENDALI DISKRIT PADA UPS

I. Uninterruptable Power Supply (UPS) [1]

Uninterruptible power supply (UPS) adalah perangkat yang menggunakan baterai

sebagai catuan daya alternatif untuk memberikan suplai daya yang tidak terganggu

untuk perangkat elektronik yang terpasang. UPS dijadikan sebagai pelindung dari kegagalan

daya serta kerusakan system dan hardware. Kegagalan listrik sesaat dapat diakibatkan oleh

terputusnya aliran listrik atau sambaran petir yang dapat meningkatkan arus catu daya dan

dapat mematikan supplay arus listrik direct current (DC) yang menuju perangkat pengguna

UPS. Kegagalan listrik sesaat tersebut dapat merusak kinerja perangkat baik pada hardware

maupun software sehingga menggunakan aktivitas pengolahan data. Sehingga UPS dapat

dijadikan sebagai penyelamat untuk hardware maupun software.

Gambar 1. UPS merk Prolink model PRO700

Fungsi utama UPS adalah :

1. Memberikan energi listrik sementara ketika terjadi kegagalan daya pada listrik utama.

2. Memberikan waktu menghidupkan pengganti listrik utama, atau melakukan backup

data dan sistem operasi, serta melindungi hardware dari kerusakan yang disebabkan

kegagalan daya.

3. Melakukan stabilisasi tegangan ketika terjadi perubahan tegangan pada input

sehingga tegangan output yang digunakan oleh sistem komputer berupa tegangan

yang stabil.

4. Notifikasi jika terjadi kegagalan dengan melakukan pengaturan perangkat lunak UPS

management



10

Komponen-komponen UPS :

Baterai

Rectifier (penyearah)

Penyearah berfungsi untuk mengubah arus AC menjadi arus DC dari suplai listrik utama untuk pengisian baterai

Inverter

Inverter berfungsi untuk mengubah arus DC dari baterai menjadi arus AC. Hal ini

dilakukan pada saat baterai pada UPS digunakan untuk memberikan tegangan ke

komputer

Cara kerja UPS :

UPS bekerja berdasar kepekaan tegangan. UPS akan menemukan penyimpangan jalur voltase

(linevoltage) misalnya, kenaikan tajam, kerendahan, dan gelombang. Jika listrik utama gagal,

UPS akan berpindah ke operasi on-battery sebagai reaksi kepada penyimpangan untuk

melindungi bebannya (load).

II. Sistem Diskrit Pada UPS [2]

Skema inverter pada UPS dapat ditampilkan oleh gambar 2.

Gambar 2. Skema inverter pada UPS

Gambar (2) menunjukkan salah satu model inverter yang sering digunakan, yaitu single-

phase full bridge PWM inverter . Pada model ini, inverter, LC filter dan resistive load R

digabungkan sebagai sistem lup tertutup dengan referensi berupa sinusoidal. Power berganti

on dan off sekali untuk setiap sampling interval T, sehingga ( )inv t merupakan pulse voltase

dari magnitudo VB, 0 (nol), atau sama dengan VB dengan panjang T.



11

Fungsi transfer dari sistem ini dituliskan oleh [2] :

2

2 2( )

2

n

n n

yG s

u s s

dimana1 1

,2

n

n RC LC

Masukan sistem inverter tersebut adalah ( )inu v t dan keluarannya adalah ( )c y v t .

Model matematika dari sistem inverter menggunakan sistem waktu diskrit diberikan oleh

persamaan

1 2 1 2( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) y k a y k a y k b u k b u k

atau

1 2 1 2

( )

( 1)( 1)

( )

( 1)

y k

y k y k a a b b

u k

u k

REFERENSI

[1] http://id.wikipedia.org/wiki/Uninterruptible_power_supply (30/10/2011)

[2] Cassiano Rech, Hilton Abílio Gründling, José Renes Pinheiro, 2000, Comparison of

Discrete Control Techniques for UPS Applications, Brazil,

UFSM/CT/DELC/NUPEDEE.



12

TEKNIK KENDALI DISKRIT PADA

KILANG GULA

Kilang gula (sugar refinery) adalah tempat pengolahan gula mentah menjadi gula jadi

melalui proses yang terdiri dari Ekstraksi, Pengendapan kotoran dengan kapur (Liming),

Penguapan (Evaporasi), Pendidihan, Affination, diffusion, Carbonatation, Decolourisation,

Boiling, precipitation. Criztalization, dan Recovery.

Gambar 1. Peralatan di sugar refinery

Pada proses diffusion, gula dalam bentuk jus diproses seperti pada skema gambar 2.

Gambar 2. Skema Difusi Gula



13

Variabel kontrol dari proses difusi gula adalah steam (uap panas) yang dimasukkan ke proses

melalui katup kontrol.

Pada referensi [1] diberikan simulasi difusi gula menggunakan teknik kendali diskrit, yang

hasilnya diberikan oleh gambar berikut.

REFERENSI

[1] Camacho, E.F., 1999, Model Predictive Control, Springer-Verlag, London, UK.

[2] http://www.sucrose.com/lref.html (diakses 6/11/2011)

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Sugar_refinery (diakses 6/11/2011)

paper sistem diskrit - sutrisno b

Documents