MODULMATEMATIKA

KELAS XSEMESTER II

Muhammad Zainal Abidin Personal BlogSMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel

http://meetabied.wordpress.com

TRIGONOMETRI

Standar Kompetensi :

Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas

trigonometri dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang

berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan

identitas trigonometri.

Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan

dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas

trigonometri.

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang

berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan

identitas trigonometri, dan penafsirannya.

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan

trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan

trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di

berbagai kuadran, pengertian konsep koordinat cartesius dan

kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus

dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus,

rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping itu

anda juga mempelajari identitas trigonometri, dan

bentuk-bentuk persamaan trigonometri.

B. Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda

harus sudah mempelajari bentuk akar dan pangkat,

persamaan dan kesebangunan dua segitiga.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda

lakukan adalah sebagai berikut.

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena

materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari

materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah

semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal

anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang

terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda

menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi,

kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda

pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada

saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang

berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca

referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan

tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,

2. Menggunakan perbandingan trigonometri,

3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,

4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,

5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,

6. Menentukan luas segitiga,

7. Menyelesaikan persamaan trigonometri,

BAB II PEMBELAJARAN

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRIA.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga

Panjang sisi dihadapan sudut α dinamakan a

Panjang sisi dihadapan sudut β dinamakan bPanjang sisi dihadapan sudut γ dinamakan cPanjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan c2 = a2 + b2

2. Besar sudut pada segitiga

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah α+β+γ=1800

3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

a. sin β =

depanmiring=

bc

b. cos β= samping

miring=ac

c. tan β= depansamping

=ba

d. cotg β= samping

depan=ab

e. sec β= miringsamping

= ca

f. csc β=miring

depan= cb

a

b

c

B C

Aα

γβ

Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :

Cotg β= 1

tan β

Sec β= 1

cos β

Csc β= 1

sin β

Contoh : Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.a. Tentukan panjang sisi cb. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut α

Jawab :

c=√a2+b2=√42+32=√25=5

sinα=ac

=45

cos α=bc

=35

tanα=ab

=43

A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus (00, 300, 450, 600, 900)

A C

B

3

c 4

α

450

300

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya)

00 300 450 600 900

Sin 0 12

Cos 1 12√3

Tan 0 13√3

Csc t.t 2Sec 1 2

3√3

Cotg t.t √3

Contoh : π=1800

Tentukan nilai dari :

1. Sin 00 + Csc 450 = 0 + √2=√2

2.

secπ6+cotg

π3

tanπ3

=

23

√3+ 13

√3

√3=√3

√3= 1

A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran1. Dikuadran I

Titik A(x,Y) dikuadran IAbsis positifOrdinat positif

Sinα=yr

=++

=positif

Cosα=xr

=++

=positif

Tan α=yx

=++

=positif

450

1

√21

600

2√3

1

A(x,y)

x

y

r

α

2. Dikuadran IITitik A(-x,y) dikuadran IIAbsis negatifOrdinat positif

Sinα=yr

=++

=positif

Cosα=−xr

=−+

=negatif

Tan α=y−x

=+−

=negatif

Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

I II III IVSin + + - -Cos + - - +Tan + - + -Csc + + - -Sec + - - +Cotg + - + -

Contoh :

Diketahui Sin α =

35, α dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan

nilai Secα ,Csc α ,Cotgα

A(-x,y)

-x

y r

Kuadran ISemua +

Kuadran IISin & Csc +

Kuadran IIITan & Cotg +

Kuadran IVCos & Csc +

Jawab : Sin α=3

5 , y = 3, r = 5, x = √52−32=√25−9=√16=4Karena dikuadran II, nilai x = -4

Sehingga : Sec α =

5−4 , Csc

α=53 , Cotg

α=−43

TUGAS I1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut α pada tiap

gambar berikut :a. b.

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui.

a. Cos p = 0,8b. Cotg p = 2

3. Tentukan nilai dari :a. Sin 600 cotg 600 + sec 450 cos 450

b. Tan 300 + cos 300

c. 2 sin 600 cos 450

4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut pandang 600, seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)

A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadrana. Rumus di kuadran I

5

12

2√5

2

Tinggi pohonTinggi dani 10 m

600

Sin(90−α )=cosαCos(90−α )=sinαTan(90−α )=Cotgα

b. Rumus di kuadran II

Sin(90+α )=CosαCos(90+α )=−SinαTan(90+α )=−Cotgα atau

Sin(180−α )=SinαCos(180−α )=−Cos αTan(180−α )=−Tanα

c. Rumus di kuadran III

Sin(270−α )=−Cos αCos(270−α )=−Sin αTan(270−α)=Cotgα atau

Sin(180+α )=−SinαCos(180+α )=−CosαTan(180+α )=Tan α

d. Rumus di kuadran IV

Sin(270+α )=−CosαCos(270+α )=SinαTan(270+α )=−Cotg α atau

Sin(360−α )=−SinαCos(360−α )=CosαTan(360−α )=−Tanα

e Rumus sudut negatif

Sin(−α )=−Sin αCos(−α )=Cos αTan (−α )=−Tanα

f.Rumus sudut lebih dari 3600

Sin(k . 360+α )=Sin αCos( k . 360+α )=CosαTan(k .360+α )=Tanα

Contoh :Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :a. Sin 1200 = Sin (900 + 300)

= Sin 300

=

12√3

Atau Sin 1200 = Sin (1800 – 600)

= Sin 600

=

12√3

b. Cos 2250 = Cos (2700 – 450) = -Sin 450

= −1

2√2

Atau Cos 2250 = Cos (1800 + 450)

= -Cos 450

= −1

2√2

c. Sin 7500 = Sin (2.3600 + 300) = Sin 300

=

12

d. Sin (-2250) = - Sin 2250

= - Sin(1800 + 450) = - (-sin 450)

=

12√2

TUGAS II1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya :

a. Cos 3300

b. Tan (-1200)c. Sin 4500

2. Tentukan nilai dari :a. Sin 3000 + Cos 5450

b. Cos 3900 + Sec 5700

c. Cotg 7500 + Tan (-600)3. Sederhanakan

a.

cos (270−p )Sin(360−p )

b.

cos (90+ p )Sin (180−p )

c.

cos1200 .Tan 2250 .Cosec 2400

Cos2100 . Sec3000

4. Buktikan bahwa

a.

Sin(270+ p ). Sin(180−p )Cos(90−p ) .Cos (180−p)

=1

b.

Cos(180+ p ). Sec (360−p )Cotg(180−p ) .Cotg (90−p )

=−1

B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI1. Sin x = Sin p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2πX2 = (180 – p) + k.360 x2 = (π - p) + k.2π

2. Cos x = Cos p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2πX2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2π

3. Tan x = Tan pX1 = p + k.180 atau x1 = p + k.π

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :

a. Sin x = Sin 200 ; 0≤x≤3600

x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20 k = 1 x2 = 20 + 360

= 380 (tidak memenuhi) X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160 Jadi HP = {20, 160}

b. 2 Cos x = √3 ; 0≤x≤3600

Cos x = 1

2√3

Cos x = Cos 30X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30

X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak memenuhi)

K = 1 x2 = 330 HP = {30, 330}

TUGAS III

1. Selesaikan persamaan berikut untuk0≤x≤3600

a. Cos x = Cos 50b. Sin x – ½ = 0

c. 3 tan 2x + √3 = 0d. 2 cos x.sin x = sin x

2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk 0≤x≤2πa. 2 sin x = - 2b. 2 tan 3x + 2 = 0c. 2 cos ½ x = 1

C. IDENTITAS TRIGONOMETRIIdentitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :1. Sin2x + Cos2x = 1

Sin2x = 1 – Cos2x

Cos2x = 1 – Sin2x2. 1 + tan2x = sec2x

1 = sec2x – tan2xTan2x = sec2x – 1

3. 1 + cotg2x = cosec2x1 = cosec2x – cotg2xCotg2x = cosec2x – 1

Contoh : 1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1

Jawab :5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4

= 5 sec2x – 5 + 4 = 5 sec2x – 1 (terbukti)2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3

Jawab :3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)

= 3 . 1 = 3 (terbukti)

D. RUMUS SINUS DAN COSINUS1. Aturan Sinus

Perhatikan segitiga ABC berikut.

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:

aSinA

= bSinB

= cSinC

Contoh :

1. Pada segitiga ABC, b = 1, ∠B=300 ,∠C=53 ,10. Hitunglah c.

Jawab :

A B

C

a

c

b

bSinB

= cSinC ⇔

c=bSinCSinB

=

12Sin53 ,1Sin30

=

12 .0,80,5

=

9,60,5

= 19 ,2

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. ∠B=68 ,2 . Hitunglah ∠C

bSinB

= cSinC ⇔ Sin C =

cSinBb

=46 Sin68 ,265

=

46 x 0 ,92865

=

42 ,71065

= 0 ,657∠C = 41,1

2. Aturan CosinusPerhatikan segitiga ABC berikut ini :

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos αb2 = a2 + c2 – 2ac cos αc2 = a2 + b2 – 2ab cos α

Contoh :1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, ∠ A = 600.

Hitung panjang BC

A B

C

α β

γ

Jawab :a2 = b2 + c2 – 2bc cos A = 52 + 82 – 2.5.8. cos 60 = 25 + 64 – 80. ½ = 89 – 40 = 49a = 7 cm

E. LUAS SEGITIGA1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui

L = ½ b.c. sin AL = ½ a.b. sin CL = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui.

L=a2. sin B . sinC

2 sin A

L=b2 . sin A . sinC

2 sin B

L= c2 . sin A . sin B

2 sinC

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

A B

C

ab

cD

L=√s .(s−a) .(s−b ) .(s−c )

s = ½ . Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)

Contoh : 1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C

= 450

Jawab :L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 450

= 20. ½ √2

= 10√2

2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, ∠ A=65 ,∠B=60 . Tentukan luasnya.Jawab :∠C=180−65−60=55

L= c2 . sin A . sin B

2 sinC

L=52 . sin 65 .sin 602 sin55

L=25 .0 ,425 .0 ,870 ,82

L=11 ,27

3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.Jawab :s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6

L=√s .(s−a) .(s−b ) .(s−c )L=√6 .(6−3 ).(6−4 ) .(6−5) L=√6 .3 .2 .1L=√36=6 cm2

TUGAS IV

1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm,

∠P=460

2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6

cm, dan AC = 14 cm. Hitung besar sudut B

3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang

bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 0400 dan

kecepatan 80 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan

arah 1000 dengan kecepatan 90 km/jam. Berapa jarak kedua

kapal tersebut setelah berlayar selama 5 jam.

4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah

lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.

5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm,

BD = 12 cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes

untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda

dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam

modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul

berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X,

Jakarta :

PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X,

Jakarta : Penerbit Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA /

MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.