MODULMATEMATIKA

KELAS XSEMESTER II

Muhammad Zainal Abidin Personal Blog

SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel

http://meetabied.wordpress.com

TRIGONOMETRI

Standar Kompetensi :

Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri

dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar :

• Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan

dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

• Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.

• Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan

dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri,

dan penafsirannya.

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri

(sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri,

penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,

pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat

cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus

danaturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di

samping itu anda juga mempelajari identitas trigonometri, dan bentuk-

bentuk persamaan trigonometri.

B. Prasyarat

Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus

sudah mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan

kesebangunan dua segitiga.

C. Petunjuk Penggunaan Modul

Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah

sebagai berikut.

1. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang

mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.

2. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua

soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui

kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

3. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui

kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari

materi yang terkait.

4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan,

catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap

muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi

modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan

mendapatkan pengetahuan tambahan.

D. Tujuan Akhir

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:

1. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,

2. Menggunakan perbandingan trigonometri,

3. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran,

4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub,

5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus,

6. Menentukan luas segitiga,

7. Menyelesaikan persamaan trigonometri,

BAB II PEMBELAJARAN

A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

A.1 Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

1. Panjang sisi-sisi suatu segitiga

Panjang sisi dihadapan sudut α dinamakan a

Panjang sisi dihadapan sudut β dinamakan b

Panjang sisi dihadapan sudut γ dinamakan c

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan

c2 = a2 + b2

2. Besar sudut pada segitiga

Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 0180=++ γβα

3. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga

a. sin β = miringdepan

= cb

b. cos c

a

miring

samping ==β

c. tan a

b

samping

depan ==β

d. cotg b

a

depan

samping ==β

e. sec a

c

samping

miring ==β

a

b

c

B C

A

α

γβ

f. csc b

c

depan

miring ==β

Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus :

Cotg ββ

tan

1=

Sec ββ

cos

1=

Csc ββ

sin

1=

Contoh :

Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b = 3.

a. Tentukan panjang sisi c

b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut α

Jawab :

A C

B

3

c 4

α

3

4tan

5

3cos

5

4sin

52534 2222

==

==

==

==+=+=

b

ac

bc

a

bac

α

α

α

A.2 Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus

(00, 300, 450, 600, 900)

Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan

trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi

nilai-nilai yang lainnya)

00 300 450 600 900

Sin 0 21

Cos 1 321

Tan 0 331

Csc t.t 2

Sec 1 332

450

450

1

2

1

600

300

23

1

Cotg t.t 3

Contoh : 0180=π

Tentukan nilai dari :

1. Sin 00 + Csc 450 = 0 + 22 =

2. 3

3

3

33

13

3

2

3tan

3cot

6sec

=+

=+

π

ππg

= 1

A.3 Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran

1. Dikuadran I

Titik A(x,Y) dikuadran I

Absis positif

Ordinat positif

positifx

yTan

positifr

xCos

positifr

ySin

=++==

=++==

=++==

α

α

α

2. Dikuadran II

Titik A(-x,y) dikuadran II

Absis negatif

Ordinat positif

A(x,y)

x

y

r

α

A(-x,y)

negatifx

yTan

negatifr

xCos

positifr

ySin

=−+=

−=

=+−=−=

=++==

α

α

α

Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan

trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut.

I II III IV

Sin + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Csc + + - -

Sec + - - +

Cotg + - + -

Contoh :

Diketahui Sin α = ,5

3 α dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai

ααα CotgCscSec ,,

Jawab : Sin 5

3=α , y = 3, r = 5, x = 41692535 22 ==−=−

-x

y r

Kuadran ISemua +

Kuadran IISin & Csc +

Kuadran IIITan & Cotg +

Kuadran IVCos & Csc +

Karena dikuadran II, nilai x = -4

Sehingga : Sec α = 4

5

− , Csc 3

5=α , Cotg 3

4−=α

TUGAS I

1. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut α pada tiap gambar

berikut :

a. b.

2. Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang

lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui.

a. Cos p = 0,8

b. Cotg p = 2

3. Tentukan nilai dari :

a. Sin 600 cotg 600 + sec 450 cos 450

b. Tan 300 + cos 300

c. 2 sin 600 cos 450

4. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan

sudut pandang 600, seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon

tersebut. ( tinggi dani 155 cm)

5

12

52

2

A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di

semua kuadran

a. Rumus di kuadran I

αααααα

CotgTan

Cos

Sin

=−=−=−

)90(

sin)90(

cos)90(

b. Rumus di kuadran II

αα

αααα

CotgTan

SinCos

CosSin

−=+−=+

=+

)90(

)90(

)90(

atau αααα

αα

TanTan

CosCos

SinSin

−=−−=−

=−

)180(

)180(

)180(

c. Rumus di kuadran III

αααααα

CotgTan

SinCos

CosSin

=−−=−−=−

)270(

)270(

)270(

atau αα

αααα

TanTan

CosCos

SinSin

=+−=+−=+

)180(

)180(

)180(

d. Rumus di kuadran IV

αα

αααα

CotgTan

SinCos

CosSin

−=+=+−=+

)270(

)270(

)270(

atau αα

αααα

TanTan

CosCos

SinSin

−=−=−−=−

)360(

)360(

)360(

e Rumus sudut negatif

αα

αααα

TanTan

CosCos

SinSin

−=−=−−=−

)(

)(

)(

f.Rumus sudut lebih dari 3600

αααα

αα

TankTan

CoskCos

SinkSin

=+=+=+

)360.(

)360.(

)360.(

Contoh :

Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya :

Tinggi pohon

Tinggi dani 10 m

600

a. Sin 1200 = Sin (900 + 300)

= Sin 300

= 32

1

Atau

Sin 1200 = Sin (1800 – 600)

= Sin 600

= 32

1

b. Cos 2250 = Cos (2700 – 450)

= -Sin 450

= 22

1−

Atau

Cos 2250 = Cos (1800 + 450)

= -Cos 450

= 22

1−

c. Sin 7500 = Sin (2.3600 + 300)

= Sin 300

= 21

d. Sin (-2250) = - Sin 2250

= - Sin(1800 + 450)

= - (-sin 450)

= 22

1

TUGAS II

1. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya :

a. Cos 3300

b. Tan (-1200)

c. Sin 4500

2. Tentukan nilai dari :

a. Sin 3000 + Cos 5450

b. Cos 3900 + Sec 5700

c. Cotg 7500 + Tan (-600)

3. Sederhanakan

a. )360(

)270cos(

pSin

p

−−

b. )180(

)90cos(

pSin

p

−+

c. 00

000

300.210

240sec.225.120cos

SecCos

CoTan

4. Buktikan bahwa

a. 1)180().90(

)180().270( =−−−+pCospCos

pSinpSin

b. 1)90().180(

)360().180( −=−−−+pCotgpCotg

pSecpCos

B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI

1. Sin x = Sin p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2π

X2 = (180 – p) + k.360 x2 = (π - p) + k.2π

2. Cos x = Cos p

X1 = p + k.360 atau x1 = p + k.2π

X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2π

3. Tan x = Tan p

X1 = p + k.180 atau x1 = p + k.π

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :

a. Sin x = Sin 200 ; 03600 ≤≤ x

x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20

k = 1 x2 = 20 + 360

= 380 (tidak memenuhi)

X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160

Jadi HP = {20, 160}

b. 2 Cos x = 3 ; 03600 ≤≤ x

Cos x = 321

Cos x = Cos 30

X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30

X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak memenuhi)

K = 1 x2 = 330

HP = {30, 330}

TUGAS III

1. Selesaikan persamaan berikut untuk 03600 ≤≤ x

a. Cos x = Cos 50

b. Sin x – ½ = 0

c. 3 tan 2x + 3 = 0

d. 2 cos x.sin x = sin x

2. Tentukan himpunan penyelesaian untuk π20 ≤≤ x

a. 2 sin x = - 2

b. 2 tan 3x + 2 = 0

c. 2 cos ½ x = 1

C. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk

semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :

1. Sin2x + Cos2x = 1

Sin2x = 1 – Cos2x

Cos2x = 1 – Sin2x

2. 1 + tan2x = sec2x

1 = sec2x – tan2x

Tan2x = sec2x – 1

3. 1 + cotg2x = cosec2x

1 = cosec2x – cotg2x

Cotg2x = cosec2x – 1

Contoh :

1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1

Jawab :

5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4

= 5 sec2x – 5 + 4

= 5 sec2x – 1 (terbukti)

2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3

Jawab :

3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)

= 3 . 1

= 3 (terbukti)

D. RUMUS SINUS DAN COSINUS

1. Aturan Sinus

Perhatikan segitiga ABC berikut.C

ab

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai

berikut:

SinC

c

SinB

b

SinA

a ==

Contoh :

1. Pada segitiga ABC, b = 1, 00 1,53,30 =∠=∠ CB . Hitunglah c.

Jawab :

SinC

c

SinB

b = ⇔ SinB

bSinCc =

= 30

1,5312

Sin

Sin

= 5,0

8,0.12

= 5,0

6,9

= 2,19

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. 2,68=∠B .

Hitunglah C∠

SinC

c

SinB

b = ⇔ Sin C = 65

2,6846Sin

b

cSinB =

= 65

928,046x

= 65

710,42

= 657,0

C∠ = 41,1

A Bc

2. Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga ABC berikut ini :

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α

b2 = a2 + c2 – 2ac cos α

c2 = a2 + b2 – 2ab cos α

Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, A∠ = 600.

Hitung panjang BC

Jawab :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

= 52 + 82 – 2.5.8. cos 60

= 25 + 64 – 80. ½

= 89 – 40

= 49

a = 7 cm

E. LUAS SEGITIGA

AB

C

α β

γ

1.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui

L = ½ b.c. sin A

L = ½ a.b. sin C

L = ½ a.c. sin B

2. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara

kedua sudut yang diketahui.

A

CBaL

sin2

sin.sin.2=

B

CAbL

sin2

sin.sin.2=

C

BAcL

sin2

sin.sin.2=

3. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui

A B

C

ab

cD

)).().(.( csbsassL −−−=

s = ½ . Keliling Segitiga

= ½ (a + b + c)

Contoh :

1. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 450

Jawab :

L = ½ a.b.sin C

= ½ 5.8.sin 450

= 20. ½ 2

= 10 2

2. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, 60,65 =∠=∠ BA . Tentukan

luasnya.

Jawab :556065180 =−−=∠C

C

BAcL

sin2

sin.sin.2=

55sin2

60sin.65sin.52=L

82,0

87,0.425,0.25=L

27,11=L

3. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.

Jawab :

s = ½ (a + b + c) = ½ (3 + 4 + 5) = 6)).().(.( csbsassL −−−=

)56).(46).(36.(6 −−−=L 1.2.3.6=L

636 ==L cm2

TUGAS IV

1. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm, 046=∠P

2. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = 10 cm, AD = 6 cm, dan

AC = 14 cm. Hitung besar sudut B

3. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan.

Kapal petama berlayar dengan arah 0400 dan kecepatan 80 km/jam,

sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah 1000 dengan kecepatan 90

km/jam. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 5 jam.

4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah

lingkaran yang jari-jarinya 10 cm dan berpusat di O.

5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = 10 cm, AD = 8 cm, BD = 12

cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.

BAB III PENUTUP

Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk

menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan

memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda

berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Tim Matematika SMA, 2004. Matematika 1 Untuk SMA Kelas X, Jakarta :

PT. Galaxy Puspa Mega.

Sartono Wirodikromo, 2006. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta :

Penerbit Erlangga.

MGMP Matematika Kota Semarang, 2007. LKS Matematika SMA / MA,

Semarang : CV. Jabbaar Setia.