modernitas dan kecemasannya

7/22/2019 Modernitas Dan Kecemasannya

1/33

1

SEJARAH MATEMATIKA

KELOMPOK 9

SUTRIANI HIDRI 1111140010

HASRIANITA HASANUDDIN 1111140003

HARPINA EKA PUTRI 1111140042

HADRIANTY RAMLY 1111140051

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

2013


2/33

2

1. PENDAHULUANMeringkas sebuah kalimat/beberapa frasa merupakan ciri/karakteristik dari

matematika. Orang-orang mengatakan bahwa Matematika adalah ilmu

pengetahuan yang tidak terbatas.

Matematika murni merupakan sekumpulan proposisi/pernyataan dari

bentuk p maka q, dimana p dan q adalah proposisi yang masing-masing

memiliki sekurang-kurangnya satu atau lebih variable, mempunyai kesamaan

dalam dua proposisi dan baik p atau q tidak mengandung nilai tetap kecuali nilai

logikanya.

Selama abad ke-20, telah banyak muncul pendapat tentang matematika,

dan banyak perubahan makna matematika berdasarkan siapa yang melakukan

atau menggunakannya dibandingkan sejarah matematika itu sendiri. Beberapa

orang telah mencoba mendefinisikan matematika di masa lalu, tetapi mereka

belum menemukan jawaban layaknya extremist atau belum bersifat

matematika. Mereka adalah Herman Weyl dan Bertrand Russell, namun

jawaban mereka tampaknya masih tergolong jawaban masa lalu. Bahkan tulisan

Alan Turing tentang Bilangan Yang dapat dihitung masih sulit

ditafsirkan/diterjemahkan oleh pembaca modern; karena setelah 70 tahun, nama

Turing telah menghilang. Salah satu strategi awal untuk mengelola materi,

terlebih dahulu kita membagi ke dalam dua bagian, yaitu memperhatikan tulisan

Godel pada tahun 1931 sebagai titik awal yang berguna. Pada bab ini, kita

dihadapkan pada permasalahan utama, tentang krisis pada tahun 1900 sampai

1930; siapa yang merasakannya, bagaimana menghadapinya serta bagaimana

mengakhiri krisis tersebut. Pada saat yang sama, sangat penting untuk diingat,

bahwa krisis tersebut hanyalah masalah bagi beberapa matematikawan, hanyabeberapa dari mereka menganggap masalah krisis tersebut sangat penting. Oleh

karena itu, masalah keseimbangan minat dan juga pertanyaan yang mendasar,

memunculkan beberapa kesempatan yang menyakitkan terhadap gambaran yang

sebaiknya kita anggap parallel dalam pengembangan aljabar dan topologi,

khususnya teori simpulan. Hal tersebut juga merupakan bagian dari cerita,

bahwa jika terdapat pandangan abad ke-20 yang ditandai oleh semakin

banyaknya abstraksi dan bentuk formal, maka akan terlihat menyebar ke seluruh


3/33

3

belahan bumi sebagai sebuah simpulan. Secara alami, bagian yang sangat besar

dari bidang matematika telah dikurangi dan bagian tersebut dikerjakan oleh

fisika. Mungkin terdapat banyak kompensasi pada bab ini. Tetapi pembaca harus

memperhatikan bagian-bagian yang dipilih.

Sebagaimana akan kita lihat, awal cerita didahului oleh 30 tahun sebelum

abad ke-20. Dunia matematikawan pada waktu itu ditingkatkan secara

substansial oleh institusi besar pengajaran dan penelitian di Jerman dan Prancis,

serta beberapa institusi kecil di berbagai negara lainnya. Sementara keadaan

masih tetap konstan, hal tersebut seharusnya diingat pada setiap tahap (a) bahwa

orang-orang yang dipekerjakan pada saat itu masih relatif sedikit dibandingkan

saat sekarang dan (b) hal tersebut kurang lebih terus berkembang dalam

menanggapi tuntutan masyarakat, tidak untuk matematikawan tetapi untuk,

engineers, akuntan, statitistikawan dan sejenisnya. Begitulah institusi

berkembang dalam memilih masalah terutama terhadap definisi bilangan atau

dengan menceritakan dua simpulan terpisah, kegiatan/bisnis mereka; salah

satunya dapat berspekulasi tentang hal yang dapat terkait di bidang ekonomi.

Bagaimanapun juga fungsi utama orang-orang yang dipekerjakan tersebut

(karyawan) adalah untuk mengajar dan memberikan prestasi bagi institusi

mereka sendiri.

2. LITERATURMatematika pada awal abad kedua puluh lambat laut diteliti. Karena krisis

dasar menyediakan banyak materi untuk sejarawan, itu lebih mudah tercakup,

penuh dengan sumber buku, disunting oleh van Heijenoort1(1967) dan Mancosu

(1998), sebaik bab dalam Grattan-Guinness (1980). Karya terbaru Corrymengenai asal usul abstraksi (2004), tidak akan dibahas di sini. Ditambahkan

lagi, dan untuk peningkatan volume artikel di jurnal, periode alami telah menjadi

daya tarik bagi penulis yang sering memiliki akses ke mata pelajaran mereka

atau untuk teman dekat;

1Hal ini biasa untuk menunjukkan bahwa Jean van Heijenoort adalah sekretaris Trorsky selama tahun 1930-an, hanya

kemudian menjadi seorang sejarawan yang membedakan logika matematika. Memang sebuah catatan kaki yang menarik.


4/33

4

Satu hal yang dapat dikutip Cantor (Dauben 1990), Russell (Russell 1967; Biksu

1997, 2001), Hilbert (Reid 1970), Brouwer (van Dalen 1999), Weyl (Wells

1988), Ramanujan (Kanigel 1991), Noether (Dick 1981), dan seterusnya.

Mereka bukan benar-benar 'sejarah', tetapi mereka dapat menjadi sumber yang

sangat baik. Dua karya fiksi menarik diawal abad dua puluh dimiliki

'matematikawan' sebagai pahlawan mereka Musil's (1953) dan Ford Madox

Ford (2002); Namun, kenyataannya cukup marjinal untuk membentang panjang

dari dua novel.

Karena kesulitan mereka, pernyataan yang dibuat dalam bab 8 berlaku

meskipun lebih lanjut di sini. Hampir tidak ada penemuan matematika abad ke-

dua puluh sebagai syarat menyelesaikan program sarjana mereka, meskipun

setiap kursus pada aljabar linear, atau teori grup, atau analisis akan diajarkan

dengan cara yang hanya diselesaikan sekitar tahun 1950. Matematika modern

tidak mudah meminjamkan dirinya untuk menjadi demokratisasi, Hilbert (1900),

memperkenalkan daftar masalah yang sangat sulit baginya untuk abad

berikutnya, dikaitkan dengan disebutkan namanya sebagai 'matematikawan tua

Perancis' yang mengatakan: "Sebuah teori matematika yang tidak dianggap

lengkap sampai Anda telah membuatnya begitu jelas bahwa Anda dapat

menjelaskannya kepada manusia pertama yang Anda temui di jalan'.

3. OBJEK BARU DALAM MATEMATIKA(Dikutip dalam Dick1981, hal.68)

Sebagai pemimpin dari para profesor Victoria, paman, pertapa dan agak

berantakan, mereka [Dedekind dan Cantor] berkumpul tanpa disadari disekitar

tempat lahir seorang bayi Briar Rose yang suatu hari akan menjadi pembaptisModernisme. (Everdell 1997, hal.31)

Untuk sampai pada bukti nyata teorema (seperti misalnya ),

untuk yang terbaik dari pengetahuan belum pernah dibentuk sebelumnya.

(Dedekind 1948, p.22)

Matematikawan hanya bisa merasa tersanjung oleh William Everdell yang

menempatkan mereka sebagai pelopor Rimbaud, Freud, Joyce, Picasso dkk.,


5/33

5

Bahkan jika pernyataan Dedenkind tentang apa yang dia didik tampaknya

sesuatu yang ditolak. Dia menyadari hal itu sendiri:

Mayoritas pembaca saya mungkin akan kecewa saat mempelajarinya bahwa dengan

pernyataan ini rahasia kontinuitas akan terungkap. (Dedekind 1872, di Fauvel dan Gray

18.C.1, hal.575)

Meskipun demikian, karya Richard Dedekind dan teman petualangnya

Georg Cantor pada bilangan, terus menerus dan tak terbatas, tidak

menyebabkan pembentukan kembali matematika jika tidak berdasar pada

seluruh pandangan dunia. Memang, setelah waktu yang relatif singkat itu

membawa tentang 'krisis dasar', yang dimulai beberapa waktu sekitar tahun

1903, menjadi genting pada tahun 1920. Masalah yang muncul adalah tentang

himpunan, dan pertanyaan pertama yang wajar, bagaimana matematika, yang

selama kita kenal sudah berkisar dengan angka dan geometri, datang untuk

menyibukkan dirinya dengan himpunan ? Ini harus dipahami bahwa sekarang

bahkan lebih dari sebelumnya, dunia matematika menjadi terfragmentasi, dan

kekhawatiran ini rata-rata bukan orang-orang dari dosen universitas, apalagi

insinyur atau ahli statistik. Kami prihatin untuk saat ini dengan elit penelitian

yang relatif kecil bekerja terutama di Perancis dan Jerman, dan krisis seperti

yang berkembang keluar dari upaya mereka untuk membuat beberapa rasa

kalkulus yang, seperti telah kita lihat (Bab 7) dibuat dengan sangat sedikit

pengertian sebagai teori meskipun bekerja dengan baik dalam praktek .

Pernyataan Dedekind pada apa yang bisa dia buktikan berdiri sebagai titik

penting. Untuk membahas masalah apa definisinya dimaksudkan untuk

memecahkan akan membawa kita terlalu jauh ke belakang tetapi ide dasarnya

adalah, dalam kata-kata seorang komentator:

Untuk menemukan definisi dari mana teorema dasar pada limit bisa dibuktikan. (R.

Bumm, diGrattan-Guinness (ed.) 1980, hal. 222)

Secara singkat, Anda perlu menentukan batas kedua turunan dan integral dengan

benar, dan karenanya untuk menangani masalah kalkulus, dan dengan berbagai

masalah lain, terutama perilaku deret Fourier, yang telah muncul. Definisi

Dedekind tentang bilangan real, sebagai landasan yang penting untuk limit

kalkulus, diproduksi kembali dalam Lampiran A. Hal ini lebih populer dan lebih

mudah dipahami dibanding Cantor- meskipun masih tidak banyak yang


6/33

6

diajarkan pada pelajaran kalkulus dan iklan seperti itu memang pendiri dokumen

modernisme dalam matematika, jika tidak ada tempat lain. Diketahui himpunan

R dari semua bilangan rasional (yaitu pecahan

,

dan sebagainya) yang

untuk sementara waktu kami anggap bermasalah, Dedekind menganggap

masalah mengkarakterisasi, katakanlah, ini tidak rasional-ada lubang,

dibilangan rasional dimana akar kuadrat dari 2 seharusnya. Idenya adalah untuk

menentukan jumlah riil menjadi lubang. Kurang mistis, kita mempertimbangkan

'cut' didefinisikan oleh dua himpunan:

{ } { }

(Lihat Gambar 1.) Segala sesuatu di L kurang dari , segala sesuatu di U lebih

besar; adalah titik antara yang hilang

Gambar 1 Dedekind dipotong. Jumlah tersebut membagi kelas L kiri (yang

berisi bilangan rasional a, b, c) dari kelas kanan(yang berisi d, e, f).

Dalam definisi Dedekind, diambil dan harus dipotong. Hal ini mungkin

dianggap sedikit kabur juga, dan kemudian penulis yang berdasar pada Cantor

menetapkan teori (seperti Russell) didefinisikan sebagai himpunan yang lebih

rendah. Dua poin penting adalah :

a. Setelah definisi telah dibuat, mudah untuk melakukan aritmatika(menambah, mengalikan, bahkan mengambil akar dll) dengan bilangan

tersebut.

b. Lebih lanjut operasi mengambil batas (misalnya dari peningkatan barisanx1, x2, .... yang dibatasi di atas) sama mudahnya.

c. Di sisi lain, bagaimanapun Anda melihatnya, Anda telah 'menetapkan'bilangan untuk menjadi sesuatu yang bukan sekedar angka. Untuk

ratusan tahun, matematika berkisar tentang angka dan angka geometris.

Sekarang, tiba-tiba, adalah tentang sesuatu yang lain.


7/33

7

Apakah itu kemudian berubah ? Mendasari semua ini adalah ide-ide yang

datang jauh kemudian : bahwa objek matematika tidak sebenarnya hal -ini -

sendiri (sebagai orang berpikir tentang segitiga, misalnya, atau angka '7'). Setiap

cara membangun benda-benda yang mematuhi aturan yang sama diberkahi

mereka dengan keberadaan, dan dua cara yang berbeda dikonstruksi, jika

hasilnya mematuhi aturan yang sama, bisa dianggap sebagai sama - kita akan

sekarang dalam keadaan yang cocok menggunakan 'isomorfik' kata. Kita telah

melihat ini dalam bab 8, di mana bidang non - Euclidean dibangun sebagai

permukaan dengan aturan baru tentang apa yang merupakan 'garis lurus' dan

'sudut'.

Bahkan saat ini, metafisika tersebut dianggap di luar lingkup siswa SMA

atau (sering) mahasiswi tahun pertama. Pada saat itu mereka baru, baru mulai

dieksplorasi, dan hanya didukung perasaan kuat oleh contoh bahwa ide-ide

intuitif bilangan yang tidak cukup dapat diandalkan melaju ke depan proses.

Tidak ada yang membuat lebih jelas perubahan fundamental yang mendasari

pandangan baru selain fakta bahwa tampaknya segera diperlukan untuk kembali

lebih lanjut dan menetapkan bilangan asli {0,1,2,3,4, ...} pada landasan aman,

meskipun yang mereka miliki sebelumnya tidak ada yang bermasalah. Gottlob

Frege pada tahun 1884 untuk mendefinisikan ini sebagai himpunan juga. 3,

misalnya, berarti himpunan semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam

korespondensi 1-1 dengan (didefinisikan sebelumnya) himpunan, katakanlah S3,

yang memiliki tiga unsur-sehingga '3' berarti 'himpunan semua himpunan

dengan tiga elemen'. [itu adalah cara Frege mendefinisikan S3 yang berhenti

mendefinisi dari yang melingkar.]

Sedikit demi sedikit, di antara matematikawan-terutama Jerman, tapi untukmenyertakan Peano(Italia), Russell(Inggris), ..- semakin banyak hal-hal yang telah

tampak jelas memerlukan bukti, ketika bagian dari bangunan tampak suara, ada

yang mulai khawatir tentang tiang penyokong, sehingga pada 1920 kita menemukan

Hillbert, mungkin matematikawan paling cakap sepanjang waktu, mengambil waktu

untuk menunjukkan bagaimana seseorang dapat membuktikan bahwa 1+2=2+1. 2

2. Hillbert, "Grounding Baru Matematika', (1992) dimancosu (1998, hal. 201). Implikasi sepele ini tentu saja tidak adil;

Hillbert telah menunjukkan bagaimana sebuah sistem aksioma minimal formal untuk aritmatika dapat digunakan untuk

menetapkan semua hasil yang diperlukan. Semua sama, gambar yang mencolok.


8/33

8

Dorongan untuk dasar suara adalah hal kuat, dan secara keseluruhan berbuah,

sangat menarik bahwa itu adalah sebuah episode yang dapat dianggap tertutup,

bahwa matematikawan telah kembali ke kondisi naif asumsi bahwa apa yang

mereka lakukan bekerja (meskipun prosedur fisikawan masih mungkin

mengkhawatirkan mereka). Proses penyidikan, bagaimanapun, membawa dunia

matematika dan filsafat menjadi hubungan yang lebih dekat.

Hubungan itu tidak berarti yang baru, hampir semua filsuf sejak Plato telah

tercermin pada matematika, dan banyak matematikawan (Descartes, Pascal,

Leibniz, Bolzano) adalah filosophers juga. Tapi ketergantungan pada teori

himpunan dan logika memperkenalkan pandangan baru ke keduanya matematika

dan filsafat, dan dalam matematika kembali ragu, untuk mencari yang salah,

Morris Kline bertahun-tahun kemudian menyebut 'hilangnya kepastian' [Kline

1980].

4. KRISIS, KRISIS APA?Tidak layak manusia hidup hanya untuk menghabiskan waktu pada hal-hal

sepele seperti itu. Namun harus bagaimana lagi? Ada sesuatu yang salah, sejak

kontradiksi tersebut tidak dapat dihindari pada premis biasa. (Russell 1967, hal.

147).

Saat ini matematika muncul sebagai bagian dari ekonomi yang

mengerikan. Pada kenyataannya matematika diibaratkan sebagai makanan dalam

ekonomi. Segala sesuatu yang umum, dan semua pernyataan eksistensial secara

tidak langsung mengambil bagian di dalamnya. Namun sebagai matematikawan,

sangat jarang mempertimbangkan hal seperti ini! Bukanlah teorema eksistensial

yang penting, namun penyusunan dilakukan berdasarkan bukti.(Weyl, 'pada

krisis dasar baru dalam matematika' (1921), di Mancosu tahun 1998, hal. 98)

Perilaku banyak matematikawan terkemuka di tahun 19001930 sangat

biasa, pembaca mungkin merasa lebih selaras dengan tujuan matematika Cina

dibandingkan dengan orang-orang seperti Hilbert, Brouwer, Russell dan

sezaman mereka. Mengapa dunia matematika tiba-tiba dipandang sebagai begitu

tidak aman? Bagaimana hal pahit itu terjadi yaitu matematikawan berada dalam


9/33

9

persaingan pemikiran, seperti 'Bolshevist' (Hilbert terhadap Brouwer dan Weyl)

atau 'non-Aryan' (Brouwer terhadap lawannya); dan untuk bertengkar tentang

kehadiran pada konferensi dan redaktur jurnal? Tahun 1900 melihat kesimpulan

Hilbert tentang kemajuan matematika, dan daftar masalah terkenalnya

menunggu solusi di abad baru. Suasana hatinya optimis:

Kemampuan meyakinkan ini dari setiap masalah matematika adalah pendorong yang

kuat untuk pekerja.Kita mendengar diantara kita terus-menerus menyebut: ada masalah.

Cari solusinya. Anda dapat menemukannya dengan alasan berdasarkan teori, karena

dalam matematika tidak ada ignorabimus. (Hilbert 1900)

Namun, perlu dicatat bahwa pertama, dua masalah berkaitan dengan

dasar-dasar: hipotesis kontinum Cantor dan konsistensi aksioma untuk

aritmatika (yang ditentukan). Sehingga, muncul pekerjaan yang perlu dilakukan

pada semua aksioma itu. Ada beberapa perselisihan mengenai apa yang harus

dilakukan, tapi teori himpunan Cantor yang mendasari aritmatika Frege dan

Dedekind tampaknya menyediakan suatu program yang baik.

Meskipun demikian, menurut Gray yang ditunjukkan dalam sebuah artikel

terakhir (2004), ada tanda-tanda sesuatu yang bisa disebut 'kecemasan' tentangdasar-dasar. Mereka dapat ditelusuri kembali lebih awal; pada tahun 1810

Bolzano berkata:

Bagaimanapun para ahli terbesar ilmu ini [yaitu matematika] bahkan selalu menjawab,

tidak hanya, bangunan ilmu pengetahuan mereka masih tidak benar-benar selesai dan

yang terdapat dalam bangunan; tetapi juga, bahwa dinding fondasi bangunan ini

sebaliknya indah sekali namun belum sepenuhnya kokoh dan teratur; atau, untuk

berbicara tanpa gambar, bahwa bahkan dalam pelajaran dasar dari semua disiplin

matematika terdapat banyak kesenjangan dan ketidaksempurnaan ditemukan. (Bolzano,

(1810))

Namun, itu hanya pada penghujung abad yang secara umum optimis

dengan kekuatan matematika yang mulai membuka keraguan dan memang hal

itu akan sulit jika tidak memikirkan pekerjaan yang sedang berjalan dalam upaya

untuk menopang bangunan. Setiap keakraban dengan pekerjaan kritis pada

periode budaya akan menunjukkan bahwa kecemasan dan modernisme bersama-

sama seperti kuda dan kereta. Seberapa jauh matematika dikaitkan dengan


10/33

10

infeksi umum, dan seberapa jauh itu memberikan kontribusi untuk pertanyaan

yang belum diselesaikan.

Krisis datang secara alami: tampaknya bahwa teori himpunan (berikutCantor) sudah bebas menggunakan (a) ketidak-konsistenan dan (b) menuntut

tambahan artikel kepercayaan yang sulit untuk diterima. Ketidak konsistenan

diikuti dari apa yang disebut ' paradoks Russell ' 1903.3Masalahnya-jika Anda

belum melihat sebelumnyayakni sebagai berikut. Dedekind dan Cantor telah

memperkenalkan himpunan yang berhubungan dengan angka. Namun, jika

bilangan real 'itu' himpunan, ada juga yang ingin berurusan dengan himpunan

dari himpunan, dan sebagainya (mungkin) tanpa batas. Dalam teori umum

himpunan Cantor, Dia membayangkan bekerja, diberikan setiap properti P yang

memiliki segala sesuatu dengan properti P ('aksioma pemahaman').

Masalahnya adalah, sejak bahasa menjadi hal yang umum, subjek menjadi

wewenang filsuf, yang dapat memilih untuk mengganti bilangan dengan objek

filosofis seperti Gunung Emas atau angsa hitam. Cara ini terbuka lebar untuk

Russell, berdiri di antara matematika dan filsafat, untuk menyusun contoh

properti sederhana:

P:x adalah sebuah himpunan dan x bukan elemen dirinya sendiri (x x)

Sebagai contoh, himpunan dari semua himpunan merupakan elemen

dirinya sendiri (ini sudah menunjukkan tanda-tanda kemunduran tak terbatas).

Jadi himpunan dari segala sesuatu yang bukan-manusia; atau kumpulan segala

sesuatu yang dapat digambarkan dalam bahasa Inggris yang kurang dari 18 kata.

Di sisi lain, kebanyakan himpunan (bilangan, angsa hitam, siswa di kelas) yang

bukan elemen dari dirinya sendiri. Jika S adalah himpunan ditentukan oleh

properti P, maka seseorang dapat memperoleh suatu kontradiksi baik dari S S

dan S S. Pernyataan pertama kami menunjukkan Russell sendiri, terganggu

pada paradoks, merasa keduanya bahwa kehidupan manusia tidak perlu

khawatir dengan hal-hal seperti itu (tapi kemudian siapa?)

3. Pada saat begitu sering, ada prioritas pertanyaan di sini; Zermelo telah menjelaskan paradoks dalam sebuah surat kepada Husserl.


11/33

11

dan masih mereka selesaikan. Berbagai upaya dilakukan untuk lebih membatasi

bagaimana himpunan digunakan; mereka menjadi terlalu banyak bagian

sehingga para matematikawan terkemuka diperkirakan akan menyerah sama

sekali.

Zermelo sekitar waktu yang sama mencoba untuk menghasilkan suatu

sistem aksioma untuk Teori himpunan yang akan baik menghindari paradoks

dan melakukan apa yang diperlukan matematikawan. Ia datang dengan

mengejutkan paradoks Russell: 'Aksioma pilihan' (1904). Ini dapat dianggap

sebagai analog modern untuk postulat Euclid 5: tidak ada yang menyukainya,

tapi itu menjadi jelas (dan Zermelo menunjukkan) bahwa orang hebat4, tanpa

pemberitahuan, telah menggunakan itu. Pernyataan biasanya adalah:

Diberikan sebuah himpunan dari himpunan {} dimana , terdapat

fungsi f pada himpunan A sedemikian sehingga untuk setiap ,

Dengan kata lain, mengingat setiap kumpulan dari himpunan, Anda dapat

memilihmenganggapnya sebagai 'pemilihan'satu perwakilan dari masing-

masing. Hal ini mudah untuk setuju jika himpunan A terbatas, meskipun

mungkin rumit jika (katakanlah) itu terdiri dari unsur-unsur 1025. Ini adalah

ketika itu tidak terbatas sehingga ia mulai terlihat meragukan.

Pada titik ini, masalah mungkin sangat menggangu beberapa

matematikawan, tetapi mereka tidak serius membagi mereka. Sekali lagi, Gray

menemukan titik di O. Kuliah perdana 1911 Perron menunjukkan keberadaan

argumen yang memang ragu akan prosedur kecukupan:

Memang, ada satu cabang matematika hari ini di mana pendapat dibagi, dan beberapa

mempertimbangkan apa yang orang lain tolak. Ini yang disebut teori himpunan, di mana

kepastian matematika pengurangan tampaknya menjadi benar-benar hilang. (Perron,

dikutip Gray 2004, hal. 41)

Hal mengejutkan yang diprakarsai oleh L. E. J. Brouwer dengan prinsip yang

jauh lebih mendasar, hukum tiada jalan tengah,

4.Terutama di Perancis, dimana oposisi itu terkuat.


12/33

12

yang menciptakan situasi dimana matematikawan melewati batas dan, untuk

jangka pendek, membuat dunia matematika lebih menarik daripada sebelumnyasejak zaman Newton dan Leibniz. Hal ini tidak mengherankan, karena hukum

tiada jalan tengah mendukung jenis matematika yang berasal dari Yunani.

Dari pernyataan sederhana, dan tampaknya pernyataan tidak bermasalah:

Tiap P benar, atau P salah.

diterapkan untuk proposisi P, orang Yunani berdasar pada metode aneh 'bukti

kontradiksi', yang masih difavoritkan. Untuk membuktikan bahwa P benar, anda

andaikan tidak benar. Oleh rangkaian deduksi, Anda memperoleh suatu

kontradiksi ('yang mustahil'). Oleh karena itu asumsi bahwa P tidak benar harus

salah, dan karenanya harus benar.

Prinsip ini digunakan terus-menerus oleh Euclid: untuk mengambil contoh

yang acak, sebagaimana di buku saya dalil 7 pada segitiga samakaki ('jika dalam

sebuah segitiga dua sudut sama satu sama lain, maka sisi berlawanan sudut yang

sama juga sama satu sama lain'). Anda kira salah satu dari dua sisi lebih besar,

dan memperoleh kesimpulan yang masuk akal.

Banyak siswa, untuk memastikannya, merasa tidak nyaman dengan bukti

semacam ini, tetapi mereka belajar untuk mempertimbangkannya. Apa yang

dianggap meragukan, bahkan salah, yang Weyl (di bawah bayang-bayang

mendekati hiper-inflasi German) digambarkan sebagai ' uang kertas' yang

menggunakan hukum pada keberadaan bukti yang diterapkan untuk himpunan

tak terbatas. Ironisnya, salah satu contoh rapi dari bukti tersebut adalah hak

Brouwer sendiri, dan masih merupakan unsur penting dalam memulai pelajaran

topologi. Ini adalah teorema titik tetap Brouwer, yang menyatakan:

Misalkan D menjadi disk {(x, y): x2+y

2 1}, dan f menjadi pemetaan kontinu dari D ke

D (yaitu untuk (x, y) D, f (x, y) juga dalam D, dan terus-menerus tergantung pada (x,

y)). Kemudian ada titik tetap: untuk beberapa (x0, y0), f (x0, y0) = (x0, y0).


13/33

13

Bukti proses ini diandaikan bahwa tidak ada titik tetap (Gbr. 2); kami

mengaitkan setiap f (A) ke A, dan kontinu pada batas lingkaran C, yang

menyinggung di g(A). Pemetaan G, yang menentukan C, ditunjukkan ' mustahil

' dengan metode yang sedikit telah dikembangkan sebelumnya (Lihat 'topologi'

di bawah ini).

Gb 2. Teorema Titik Tetap Brower

Oleh karena itu kami memiliki suatu kontradiksi dari pengandaian bahwa

tidak ada titik tetap. Apakah kita diperbolehkan untuk menyimpulkan bahwa ada

satu? Brouwer sebagai penemu teorema akan mengatakan ya, tapi Brouwer

sebagai filsuf dengan tegas menentang gagasan ini. Teorema (lihat Weyl di atas)

tidak memberi anda ide dimana titik tetap berada.

Tidak seperti aksioma pilihan, hukum tiada jalan tengah patut dimuliakan

dan akan sulit untuk menyerah. Namun hal itu sederhana untuk intuisi

menemukan contoh dimana itu tampaknya tidak bekerja, sering berkaitan

dengan dugaan yang belum terpecahkan seperti teorema terakhir Fermat; contoh

dari Weyl diberikan dalam Apendiks B(i). Hal ini menarik sejak dugaan

digambarkan (apakah bilangan dari 22n

+1 prima untuk n>4) masih belum

terselesaikan, dan obyek dari pencarian yang mengambil tahun waktu komputer

dan program pencarian yang sangat cepat. Oleh karena itu bisa dikatakan masih

ada pertanyaan keyakinan untuk matematikawan, setidaknya untuk mereka yang


14/33

14

tertarik: hal itu terjadi bahwa setiap pernyataan tidak ada bilangan prima atau '

salah satu bilangan adalah prima ' benar? Intuitionist akan mengatakan bahwa

Anda tidak dapat menegaskan hal tersebut benar / tidak, karena secara implisit

itu berarti bahwa Anda dapat mencari melalui semua bilangan bulat dan

memutuskan pertanyaan.

Penting untuk menyadari bagaimana radikal intuitionis berada pada

tujuannya. Ketika pekerjaan membuat kalkulus dengan teliti meninggalkan

semua hasil di tempat, hanya mengubah bukti sehingga mereka masuk akal

sedikit tidak terbatas, Brouwer dan Weyl dipaksa ke dalam situasi di mana

mereka menyatakan sebagian besar matematika jaman sekarang tidak dapat

diterima dan tidak berarti. Program formulasi ringkas Brower, yang ia beri nama

'intuitionist' beberapa waktu setelah tahun 1907, dalam Apendiks B(ii). Catatan

bahwa ia melarang dua hal: penggunaan bebas himpunan dan hukum tiada jalan

tengah.

Masalah bagi intuitionists, seiring berjalannya waktu, adalah bahwa

program mereka merusak yang jauh lebih mudah untuk dipahami daripada

mereka berbagai upaya yang bersifat membangun. Weyl sepakat bahwa bilangan

real 'jujur' adalah sesuatu yang bisa dihitung dengan prosedur yang terdefinisi

dengan baik; contoh yang termasuk 2, , cos(0.5), atau bahkan i=0(1/is)

untuk s rasional; kira-kira apa Turing tidak lama setelah menyebutkan bilangan

yang dapat dihitung'. Namun dia juga ingin untuk menjaga, dalam kata-katanya,

'berkelanjutan ' spasial sup' yang dituangkan antara titik-titik ini [Euclidian]'

(dalam Mancosu tahun 1998, hal. 132). Berhenti dalam upaya untuk

mempertahankan sesuatu yang 'kontinum', bahkan tak terbatas, intuitionistmatematika, yang dipandang sebagai jalan masa depan oleh banyak orang di

tahun 1920-an, menjadi sulit dan agak misterius pada studi tahun 1930an dan

bertahan seperti itu.

Ada percobaan analogi dengan studi terkenal fisika Jerman tahun 1920-an

oleh Paul Forman (1971). Forman berpendapat bahwa fisika, di Republik

Weimar, harus beradaptasi dengan lingkungan di mana presisi dan abstraksi

dipandang sebagai bentuk-bentuk yang miskin berpikir, terkait dengan


15/33

15

kekalahan Jerman; dan bahwa stres pada ketidakpastian dan subjektivitas dalam

Fisika baru Heisenberg dan Schrdinger dibelokkan seperti kritik. Intuisi-yang

bahkan sudah mulai pada beberapa waktu sebelumnya mungkin

memperlihatkan beberapa popularitas untuk reaksi serupa.

5. HILBERTSaya ingat bagaimana terpesonanya saya pada kelas pertama matematika yang

pernah saya hadiri [di Universitas]... Itu adalah pelajaran terkenal Hilbert pada

transendensi e dan . (Weyl, dikutip dalam Reid 1970, hal. 201)

Dalam matematika... .kita menemukan kehadiran dua kecenderungan. Di

satu sisi, kecenderungan ke arah abstraksi berusaha untuk crystallise hubungan

logis yang melekat dalam materi... yang sedang dipelajari, dan untuk

mengkorelasikan materi secara sistematis dan tertib. Di sisi lain, kecenderungan

ke arah pemahaman intuitif menumbuhkan pemahaman yang lebih langsung ke

objek suatu studi, hubungan langsung dengan mereka, sehingga untuk berbicara,

yang menekankan arti konkrit hubungan mereka. (Hilbert 1999)

Kami telah tertunda menyebutkan David Hilbert mungkin lebih lamadaripada yang seharusnya, karena meskipun tokoh sentral dalam krisis, ternyata

ia lebih dari itu. Luas prestasi dan pengaruh besar-nya telah membuat dia

menjadi seorang pahlawan rakyat, setidaknya diantara matematikawan,

meskipun tidak mungkin untuk melihat sebuah film yang hidupnya relatif lancar.

Selama 30 tahun ia mendominasi matematika di Gttingen, dan membuat

Gttingen menjadi pusat dunia; dan seseorang harus pergi jauh hari untuk

menemukan seorang guru yang bisa mengajarkan siswa pada subjek

transendensi e dan , 5terutama pada akhir abad kesembilan belas ketika subjek

tersebut masih diajarkan. Ia telah terlayani baik oleh biografi Constance Reid

(1970), dengan bagian matematika sangat baik oleh murid favorit Weyl. Ramah,

produktif, liberal, ia memberi gaya baru pada matematika dalam aljabar

(khususnya), dan dalam perselisihan dasar yang menjadi sebuah keasyikan, ia

berdiri dalam penentangan intuitionists

5. Itu adalah, bahwa tak satu pun dari mereka memenuhi persamaan aljabar anxn+an1xn1 a0mana,..., a0adalah bilangan bulat.


16/33

16

dan di sini peninggalan Weyl akan menjadi penyebab kesusahan, jika tidak

secara permanen begitu.

Dibanding film Hilbert yang bisa membuat subjek yang baik untuk sebuah

tragedi Yunani, keruntuhan akibat ambisi besar. Kita sudah melihat

pengumuman pada 1900 keyakinannya bahwa masalah dapat diselesaikan, tapi

Brouwer mengambil pengecualian tersebut. Serangan intuitionists dan

kelemahan penting dalam teori himpunan memaksa dia menyusun posisi yang

cerdik; Tapi seseorang yang melihat ke belakang lebih ambisius daripada orang

sebelumnya atau sejak dianggap/mungkin diperlukan. Proposal tersebut adalah

sebagai berikut. Satu akan mendefinisikan matematika untuk (a) sebuah

himpunan rumus dibangun pada garis-garis sederhana dan (b) terbatas

serangkaian axioma yang ditandai beberapa formula tersebut benar; ditambah

standar aturan untuk pengurangan. Jika Anda mengambil semua aksioma

menjadi hal yang menentukan sifat-sifat dasar bilangan asli (dan Hilbert

lakukan, seperti Russell dan Whitehead di Principia matematika (19101913)),

kemudian Anda tentu saja dapat simpulkan aritmatika jenis sederhana; dan jika

Anda menambahkan beberapa proses yang tak terbatas, Anda dapat menetapkan

bilangan real a la Dedekind dan menyimpulkan kalkulus dan geometri. Sampai

batas tertentu, Anda tidak peduli apa aksioma, atau merujuk formula.

Pertanyaannya adalah bukan tentang apa bilangan tersebut, tetapi tentang

bagaimana mereka berperilaku; dan ini adalah mengapa Hilbert (oleh orang lain)

disebut 'Formalist'. 'Sebagai tanda permulaan, ada sebuah kutipan yang khas,

yang telah diterjemahkan dalam berbagai cara. (Bagian) pernyataan tujuan, yangpada waktu itu ia tampaknya percaya selesai, terdapat pada Lampiran C.

Sekarang, pada program Hilbert, beralih ke register yang berbeda yang

disebut 'Metamatematika'. (Sesuatu yang bisa membuat paralel dengan pelajaran

sekitar abad ke-20 dimana aktivitas, sekali dikejar demi kebaikan mereka

sendiri, menjadi objek studi.) Melihat proses pembentukan bukti formula, Anda

mengajukan dua pertanyaan:


17/33

17

1. Kelengkapan. Apakah mungkin, diberikan P formula apapun, untukmenentukan bahwa itu benar atau salah? Contoh nyata adalah rumus:

Ada bilangan asli x, y, z dan p> 2 sehingga xp+yp= zp

harus mampu menjadi bukti benar atau salah? (Benar, kita tahu

jawabannya sekarang, tapi Hilbert tidak.) Jika demikian, sistem disebut

lengkap.

2. Konsistensi. Itu tidak mungkin, dalam sistem, untuk menyimpulkan Pdan 'bukan P'? Jika demikian, sistem disebut 'konsisten'.

Kita telah menekankan ambisi besar program ini, tetapi bidang ini benar-benar baru dan Hilbert memiliki kepercayaan yang sering dibenarkan pada

kemajuan pesat matematika. Di sekitar 1929, muridnya von Neumann

tampaknya memiliki bukti, yang hanya membutuhkan sedikit tambahan untuk

membuatnya bekerja.

Bagian selanjutnya dari cerita terkenal. Pada tahun 1931 seorang Austria

muda, Kurt Gdel, mengumumkan bukti kelengkapan maupun konsistensi yang

dibuktikan; lebih ketat, bahwa mereka tidak dapat dibentuk oleh metode terbatas

(di bawah tekanan dari intuitionists)yang dipandang sebagai hal yang

diperlukan. Itu adalah bagian sempurna golongan matematika-Hilbert dan

Gdel jauh lebih formalist daripada intuitionist- tapi itu secara efektif

memusnahkan program.

Pensiun, dan dengan upaya terakhir nya membuat matematika kokoh

setidaknya mengalahkan untuk sementara, Hilbert harus menonton pada

ketidakpercayaan sebagai rekan dan mahasiswa terbaik Courant, Landau,

Noether, Weyl dan von Neumann, yang dipaksa keluar dari Gttingen oleh Nazi

atau pergi karena mereka tidak dapat bertahan hidup di bawah Reich Ketiga. Ia

bertahan beberapa tahun lagi di Gttingen diantara reruntuhan:

Duduk di samping Nazi baru diangkat menjadi Menteri Pendidikan di

Perjamuan, ia ditanya, 'Dan bagaimana matematika di Gttingen sekarang yang


18/33

18

telah dibebaskan dari pengaruh Yahudi?' 'Matematika di Gttingen?' Hilbert

menjawab. 'Benar-benar tidak ada lagi'. (Reid 1970, halaman 205).

6.

TOPOLOGI

Dalam upaya untuk menunjukkan beberapa hal pada dunia diluar sengketa

yang mendasar, kita mempertimbangkan munculnya topologi. Dapat dikatakan

kisah sukses matematika abad ke-20, hampir tidak ada pada permulaan abad dan

mengganggu ke bidang lainnya sampai akhir. Sementara jelas ada beberapa

alasan untuk ini, hal ini dibagi menjadi dua: pertama, bahwa masalah yang

memerlukan bagian dari pernyataan lokal sederhana sampai hal mengglobal

yang lebih sulit (apa yang membuat medan elektromagnetik menjadi seperti

pada keberadaan arus? apa bentuk ruang-waktu yang dimiliki relativitas

Einstein?) adalah pertanyaan topologi; dan kedua, bahwa sebuah mesin atau bisa

dikembangkan misalnya untuk memecahkan masalah. Banyak masalah besar

dalam topologi yang sulit, tetapi tidak sesulit hipotesis kontinum, atau Dugaan

Langlands pada bentuk-bentuk automorphic; dan banyak matematikawan

berbakat telah mengabdikan waktu mereka untuk itu. Oleh karena itu dapat

dilihat sebagai domain optimisme Hilbertian, di mana pertanyaan berturut-turutdiangkat dan diselesaikan.

Waktu sekarang telah tiba ketika topologis mempertimbangkan subjek

mereka, batapapun muda, memiliki sejarah dan untungnya ada dua pesaing yang

substansial, Dieudonn (1989) dan James (1999). Ini memberikan dasar yang

lebih sejarawan profesional. Normal untuk mempertimbangkan subjek, dianggap

benar, lebih dari seratus tahun. Selain dua penjelajahan terkenal oleh Euler,

yang berasal dari dan diberi nama oleh Mobius dan Listing, mengklasifikasi

permukaan di pertengahan abad kesembilanbelas; tapi studi metode serius

menjadi tersedia pada akhir abad dengan Poincar, yang memperluas lapangan

untuk dimensi yang lebih tinggi dan memberikannya teorema utama yang

pertama ('dualitas Poincar') dan masalah yang paling abadi ('dugaan Poincar').

Pada titik ini, metode argumen tidak seperti yang telah diakui di tempat

lain, misalnya, dalam aljabar; dan topologi mungkin beruntung memiliki


19/33

19

Poincar sebagai pencetus, yang lebih tertarik untuk mencari hasil daripada

dalam mendefinisikan tentang apa yang sedang ia bicarakan. Tujuan studinya

adalah:

(1)arti Riemann akan disebut (dan sekarang kita sebut) 'manifold' kurva,permukaan,... sampai dengan jumlah dimensi (memikirkan bidang unit

dalam Rn+1) 6

(2)di bawah hubungan 'homeomorphisma' (bentuk yang sama); kontinuitasdijaga, tapi tidak untuk jarak.

diberikan contoh-contoh standar: (a) manifold dari dimensi yang berbeda tidak

homeomorphic (misalnya lingkaran C dan torus T dalam Fig. 3); (b) tidak

terdapat lingkup S dan T; (c) tetapi T dan torus diikat T (gambar 4). metode

Poincar's ini menguraikan manifold ke dalam 'sel', agak nampak seperti

polyhedron; dan untuk mendapatkan angka dari dekomposisi sel.

Gbr 4 Sebuah torus dan diikat torus (yang, kebetulan terhubung), adalah

homeomorphic.

6. Bidang benda-benda yang dapat diterima yang kemudian akan secara substansial diperpanjang; tidak lagi manifold, tidak

lagi terbatas dimensi...


20/33

20

Sekali lagi, ini sangat tidak seperti matematika Gttingen. Depan tampak

(tidak seperti yang telah dilakukan sebelumnya) dan belakang (hal ini melawan

peningkatan arus abstraksi dan kebutuhan untuk kepastian).

Bagaimana seseorang yakin bahwa dua sel dekomposisi berbeda

memberikan bilangan yang sama? Butuh beberapa waktu untuk memunculkan

bukti yang memuaskan, tetapi sementara itu beberapa yang tertarik dengan

topologi gembira untuk membuat permulaan dengan ide-ide dan metode

Poincar's, dan 'invarian'nya. Menarik dan penting, pengikut utamanya datang

bukan dari Prancis, tetapi dari Amerika (Veblen, dan kemudian Alexander) dan

Jerman (Dehn, Heegaard, dan kemudian Reidemeister). Di bawah pengaruh

mereka, dan bahwa Alexandrov Rusia, rekan dekat Noether, topologi di tahun

1920-an dan 1930-an menjadi 'aljabar topologi'. Dalam diskusi dengan Noether,

Alexandrov menyadari bahwa Poincare adalah invariants tersembunyi group.7

subjek persamaan intuitif yang bagus telah dipaksa untuk mendefinisikannya

sendiri. Seperti yang akan kita lihat, lebih buruk lagi yang akan datang. Semua

sama, karena kita bertemu di Seifert dan klasik Threlfall's Lehrbuch der

Topologie tahun 1934 (dicetak ulang tahun 1980), bahasa mungkin tampak

aneh, dan hampir semua metode hari ini hilang (grup homotopy , barisan eksak,

Ruang serat,...) tetapi objek dasar dalam tempat.8 apa mungkin yang paling

mengejutkan pembaca hari ini adalah bahwa Lehrbuch dikemas penuh dengan

gambar yang menarik dan mencerahkan (Lihat gambar 5). Sebagai gambaran

jenis pekerjaan yang topologists lakukan (memotong knot dan menempelkan

mereka dengan sebuah simpulan, katakanlah), mereka adalah undangan untuk

membaca lebih lanjut, walaupun teks ini tidak selalu mudah. Sementara topologi

lebih banyak abstrak, itu masih yang paling grafis dari kegiatan matematika.

7. Ada account ini di Corry (2004, ms. 245), dengan menyebutkan mungkin klaim oleh Mayer.

8. Seiring berjalannya waktu aplikasi dimensi- tinggi menjadi lebih penting, sehingga Seifert-Threlfall adalah masih referensi

'termudah' untuk dua dan tiga dimensi.


21/33

21

Gb. 5 'Ruang dodecahedral' dari Seifert dan Threlfall di buku. Ini

diperoleh dari Stackable Piramida padat dengan menempelkan wajah

berlawanan (ditandai I, II, III, IV, V) seperti ditunjukkan pada gambar.

Gb.6. bebal simpul ('pecinta sejati simpul') dengan delapanpenyeberangan.

Perubahan yang terjadi dapat diilustrasikan oleh kasus spesifik knot. Tidak

seperti subjek-materi topologi secara umum, ini mudah dimengerti, dan mereka

adalah, dalam istilah dasar, tetap sama sejak mereka pertama kali secara

sistematis dipelajari oleh Tait (sebagai tanggapan terhadap teori gagal Tuan

Kelvin) di 1870s.9 untuk alasan itu, mereka menyediakan sebuah indeks yang

sangat menarik dari yang berubah. Orang berpikir tentang (gambar 6) simpul

kurva tertutup (' lingkaran') dalam tiga dimensi, dan mendefinisikan dua knot

sama jika satu dapat berubah bentuk ke yang lain; begitu banyak kurang lebih

jelas. Juga segera jelas Tait, dan mungkin pembaca, adalah bahwa satu dapat

mewakili simpul jelas dengan memproyeksikan turun kedalam bidang (seperti

pada gambar) menggunakan garis putus untuk menandai untai yang berjalan di

bawah pada setiap persimpangan.

9. Tait disebutkan sebelumnya bekerja dengan Gauss dan Listing, namun ia biasanya dianggap sebagai pendiri.


22/33

22

Tentu saja, 'diagram' ini adalah jauh dari unik, dan pertanyaan sangat sederhana

adalah bagaimana seseorang memberitahu apakah dua diagram menentukan

simpul sama. Karena itu memerlukan bahasa diagram, hal ini sudah mungkin

terlalu sulit. Tait menentukan semua knots yang memiliki diagram hingga

delapan penyeberangan, dan membuat beberapa dugaan yang penting dan keras.

Ini, harus diingat, tanpa menggunakan alat masih ditemukan alat topologi.

Sekitar tahun 1910, Dehn Wirtinger menyadari tabel knot (atau simpul-proyeksi)

yang disusun oleh Tait dan bisa melihat bahwa di bawah mereka pertanyaan

topologi, bisa dipecahkan dengan metode baru Poincar's, mungkin bohong.

Masalahnya adalah bahwa simpul K hanya lingkaran, daerah ruang hanya R3.

Jawabannya adalah untuk mempertimbangkan 'perbedaan', R3 K. Tidak

'manifold' dalam arti Poincar's, karena itu adalah terbatas, ini masih tampak

subjek yang baik untuk perlakuan. Hal ini menarik dalam falsafah istilah untuk

dicatat bahwa langkah pertama ke depan (agak seperti Dedekind?) diganti

belajar simpul dengan mempelajari lubang yang tersisa ketika Anda menghapus

itu.

Salah satu Poincar's invariants paling menarik adalah grup, yang kini kita

sebut 'grup dasar' X, 1(X); dan dia telah memberikan sarana komputasi dari

dekomposisi sel. Meskipun 'sel' pada R3 K yang tidak jelas, Dehn and

Wirtinger sampai pada pendeskripsian Generator dan relasi untuk grup 1(R3

K).10 tahap pertama yang baik, berlari menghadapi masalah serius yang

berhubungan dengan bagaimana kecilnya yang diketahui tentang presentasi

tersebut.kapan mendefinisikan 2 grup yang sama? Masalahkah ketika (dalam

intuitionist, atau Gdelian syarat) dpat diputuskan? (Hal ini tidak.) Informasidapat dikumpulkan tentang grup ketika Anda beruntung, tetapi bagaimana Anda

menerapkan keberuntungan?

Kemajuan besar berikutnya adalah Alexander dan Reidemeister tahun 1920-an.

Mungkin ada berbagai pertanyaan prioritas untuk menguraikan di sini, di mana

Epple telah berkomentar (2004), tetapi mereka tidak perlu kita perhatikan di sini.

10. Itu adalah, 1 adalah himpunan semua ekspresi (katakanlah) x 1, x1 1,..., xk, x1 k (Generator), hanya tunduk kepada aturan-

aturan yang mengikuti dari memerlukan ekspresi tertentu R1,..., Rl di xs (hubungan) untuk sama dengan 1. Lihat buku teori grup.


23/33

23

Titik pertama adalah bahwa definisi baru dari simpul ditemukan berguna.

'Simplexes' (segitiga, tetrahedra, dll) dilihat, benar, cara yang lebih tepat untuk

menemukan jalan sekitar Anda daripada Poincar's lebih umum 'sel'; dan

sehingga simpul K didefinisikan sebagai sebuah poligon tertutup dalam tiga

dimensi. ' Dasar kesetaraan ' didefinisikan sebagai salah satu jenis yang

ditunjukkan pada gambar 7 dimana Anda menggantikan sisi segitiga AB dengan

sisi AC, CB, atau sebaliknya-asalkan K tidak memenuhi interior segitiga. Dan,

akhirnya, K dan K equivalen jika Anda bisa mendapatkan dari satu ke yang lain

oleh barisan kesamaan dasar.

Ini adalah perubahan besar. Apakah terbukti setara dengan definisi

sebelumnya? Saya tidak yakin, dan dengan cara ini tidak begitu penting sebagai

bahasa baru. Sementara knot baru terlihat cukup banyak seperti yang lama, dan

sebenarnya gambar topologists sering keluar sudut untuk alasan estetika atau

kemalasan, masih ada lebih presisi yang terlibat khusus dalam ' dasar kesetaraan

'. Diberi definisi ini, Reidemeister mampu menunjukkan bahwa dua simpul

proyeksi setara jika dan hanya jika Anda bisa pergi dari satu ke yang lain dengan

serangkaian ' gerak Reidemeister ', seperti ditunjukkan pada gambar 8.

Gb.7 dasar kesetaraan. Bagian segitiga ABC tidak memenuhi untaian

lain dari simpul, sehingga AB dapat digantikan oleh dua sisi AC, CB.


24/33

24

Gb. 8 tiga Reidemeister bergerak. Jenis I membalik loop atas; tipe II menarik

untai diulang satu atas yang lain; Tipe III mengambil seuntai melalui

persimpangan.

Permukaan itu adalah hasil yang agak tidak ambisius; dan memang itu

agak dasar kecil untuk pembangunan lebih banyak dan lebih mudah invariants

oleh Reidemeister dan Alexander. Namun, sekali lagi itu menggambarkan

perubahan besar dalam cara matematikawan memperlakukan subjek-materi

mereka. Untuk Tait, simpul jelas; ia diwakili oleh gambar, dan kita tahu apa

artinya untuk mengatakan bahwa dua knot yang sama. Untuk Reidemeister, kita

harus membangun teliti (dan finitistic!) definisi kedua objek 'simpul' dan

hubungan 'sama'. Akibanya adalah suatu hubungan antara diagram yang

menjamin kesamaan. Ini juga tidak boleh dengan mudah diterima; Namun, jika

kita membangun fungsi dari sebuah diagram simpul (seperti beberapa penulis

yang dilakukan di 1980-an), kita dapat menunjukkan bahwa kita memiliki

'simpul invarian' dengan menunjukkan bahwa fungsi tidak berubah di bawah tiga

Reidemeister bergerak. Studi knot telah menjadi semacam aljabar.


25/33

25

Gb. 9 dua knot, masing-masing dengan empat penyeberangan.

Penyeberangan di simpul 1 dilabel 1, 2, 3, 4 (dan jelas mereka pada simpul 2

bisa dicap sama).

7. ORANG LUARSaya tidak melalui kursus Universitas konvensional, tapi saya mengambil

jalan baru untuk diriku sendiri. Saya telah membuat penyelidikan khusus

seri berbeda secara umum dan hasil yang saya Dapatkan disebut oleh

matematikawan lokal sebagai 'mengejutkan'. (Ramanujan untuk Hardy,

Juli 1958).

Jika salah satu membuktikan kesetaraan dua bilang a dan b denganmenunjukkan pertama bahwa a b dan kemudian bahwa a b itu tidak adil;

sebaliknya harus menunjukkan bahwa mereka benar-benar sama dengan

mengungkapkan kesetaraan mereka. (Noether, dikutip pada tahun 1935 Weyl)

Komunitas matematikawan tahun 1900 dibatasi hampir seluruhnya laki-

laki putih, seperti yang diharapkan. Hari ini, pembatasan kurang lengkap,

meskipun seseorang tidak akan membuat klaim apapun tentang kemajuan yang

telah dicapai. Pada permulaan abad yang berdiri dua angka yang sangat berbeda,

Srinivasa Ramanujan dan Emmy Noether, cerita yang sering diceritakan sebagai

teladan, dan yang pasti menunjukkan cara yang berbeda di mana individu-

individu yang tidak biasa bisa masuk ke dalam dunia tertutup matematikawan;

apa yang bisa mereka capai dan apa batas yang diperlukan untuk pencapaian itu.

Mereka berdua cukup luar biasadan akan menjadi hari ini-untuk alasan yang

sama sekali berbeda.


26/33

26

Ketika Ramanujan datang dari Madras untuk belajar dengan teori bilangan

yang telah terkenal G. H. Hardy di Cambridge pada tahun 1914, ia datang dari

situasi di mana penelitian matematika itu tidak jauh canggih, dan orang India

memiliki sedikit kesempatan untuk membuat kemajuan di dalamnya. (Meskipun

ini, ia telah memiliki artikel yang dipublikasikan dalam Jurnal matematika

masyarakat India.) Dalam cerita terkenal, Dia terpaksa meninggalkan istrinya,

membuat penyesuaian yang tidak diinginkan di Cambridge suasana bermusuhan

dan makanan yang tidak bisa dimakan, dan akhirnya merusak kesehatannya,

untuk belajar bersama matematikawan yang mengambil kesulitan untuk

menanggapi tulisannya yang luar biasa. Alih-alih melihat kembali diluar status

yang ia miliki untuk bertahan sebagai sesuatu termasuk waktu lalu, satu hal yang

bisa mengherankan bagaimana mungkin hari ini bahwa petugas tanpa gelar

sarjana, menulis kepada seorang profesor di Princeton (katakanlah) dalam

istilah-istilah tersebut akan cukup beruntung untuk mendapatkan respons yang

sama.

Itu adalah klise dalam menulis tentang Ramanujan untuk menggambarkan

kesulitan menilai apa yang ia konstribusikan untuk matematika modern

cukup selain kesulitan matematika sendiri.

Untuk mengambil 'tepat' sejarah, pandangan seseorang harus memiliki

beberapa pemahaman apa karyanya dimaksudkan untuk dia, apa artinya teori

bilangan di Cambridge pada waktu itu, dan mengapa hal itu tetap menjadi

penting.11

Dalam kutipan di atas, ia menjelaskan ketertarikannya pada deret

divergen'. Hal ini setidaknya sedikit membatasi bidang, dan membantu untuk

memperbaiki ide-ide (jika tidak ada ide dilingkup pikirannya) untuk mengingatbahwa pada usia 17 ia sedang menyelidiki hal paling sederhana seperti deret,

1/n (Lihat Oresme, Bab 6), dan telah menghitung konstanta Euler

sampai 15 tempat desimal. Sesuatu terlihat menarik tanpa batas, dan kontrol;

dalam keteraturan dengan tak terhingga mendekati. Dan Usaha Hardy


27/33

27

memahami pemikiran temannya antara sekolah umum ateis Cambridge dan

saleh Brahmin menyampaikan gambar Infinity yang mampu menghasilkan

semua bilangan prima.

Ide-ide atau tradisi apa pun mungkin telah mendasari pikiran Ramanujan,

prakteknya tangguh dalam keberhasilan tradisi abad kesembilan belas dari teori

bilangan (modular fungsi) yang kembali ke Dirichlet. Memang, kelemahannya

dalam menyediakan bukti tidak pasti sebagai dugaan dalam waktu Dirichlet

seperti seratus tahun kemudian. Namun, ia memiliki keuntungan khusus bekerja

dengan Hardy (tidak diragukan lagi salah satu yang terbaik di bidangnya) dan

'intuisi'nya sendiri. Kedua hal ini memungkinkan dia untuk pergi lebih jauh

daripada sezamannya. Hal ini juga membantu bahwa bukan petunjuknya, pada

umumnya, orang lain telah memikirkan atau membayangkan hal berharga untuk

dikejar. Contoh terkenal, sejarah pasti yang masih tampak tidak pasti, adalah

rumus untuk jumlah partisi; dan karena ini (tidak seperti beberapa karyanya

yang lain) mudah untuk dijelaskan, itu patut disebutkan.

Setiap bilangan asli n, p(n) fungsi partisi didefinisikan sebagai cara-cara di

mana n dapat ditulis sebagai jumlah dari bilangan asli (tidak terurut): seperti,

p(1) = 1 ((1)), p(2) = 2 ((2), (1, 1)), p(3) = 3 ((3), (2, 1), (1, 1, 1)), dan p(4) = 5

((4), (3,1), (2,2), (2,1,1), (1,1,1,1) notasi jelas). Pekerjaan telah dilakukan sejak

zaman Euler menemukan formula untuk p(n); dan Ramanujan mengklaim bahwa

ia memiliki rumus yang tepat. Hardy tidak bisa percaya ini dengan harapan

terbaik untuk ' formula asimtotik ', yang menggambarkan perilaku yang

membatasi. Tentu saja, juga, Ramanujan tidak mampu menjelaskan, jika dia

tahu, mengapa formula-nya adalah benar. Akibatnya, apa yang kita milikisekarang dikenal sebagai bukti kaku 'HardyRamanujan formula asimtotik ',

ditemukan di 191617:


28/33

28

Di sini 'anbn' berarti bahwa an/bn 1 dimana n . Rumus

setidaknya relatif sederhana, dan memberikan gambaran seberapa cepat

pertumbuhan partisi fungsi. Banyak fungsi yang lebih rumit, yang mungkin atau

tidak mungkin apa yang ditemukan Ramanujan, dibuktikan oleh Rademacher

pada tahun 1937.

Untuk mengatakan bahwa Ramanujan di matematika adalah tangensial,

apalagi marjinal untuk matematika abad 20 akan mustahil memberikan pengaruh

dari terbitan, dugaannya tidak terbukti, apalagi notebook nya diedit. Mungkin

karyanya harus agak berdiri sebagai gambar kapasitas matematika modern untuk

menyerap sesuatu namun 'beda' dan pengaturan untuk bekerja di pabrik teorema

yang luas.

Sementara Ramanujan harus menerima pendidikan yang dipercepat dalam

apa yang kemudian dihitung sebagai hal terbaru teori bilangan, dan banyak lagi,

dari Littlewood dan Hardy, Emmy Noether adalah dalam jauh lebih biasa situasi

di Eropa; terlatih dalam pendekatan yang agak kuno untuk topik utama-kasar,

hubungan aljabar untuk geometridia datang ke dalam kontak dengan Hilbert

dan orang lain yang sedang dalam proses transformasi ini, meninggalkan baris

sebelumnya dia bekerja dan mengambil ide-ide yang dia telah diterima begitu

jauh untuk memiliki pengaruh penting pada generasi berikutnya. Itu akan mudah

untuk menunjukkan seberapa jauh ia adalah menerima semacam pengakuan

yang seorang pria akan menerima dalam kariernya, dan menjadi seorang Yahudi

dan Komunis tidak membantu di tahun 1920-an Jerman. Dipaksa keluar dari

posisinya untenured di Gttingen oleh Nazi, dia menemukan perlindungan di

kampus perempuan Bryn Mawr, dan pada saat kematiannya telah membuatdampak yang menentukan pada perjalanan sejarah matematika. Sekali lagi, ide-

ide sentral tidak mudah untuk dijelaskan; Namun, seseorang harus mencoba

karena mereka begitu banyak di pusat dari apa yang terjadi dalam abad

matematika (dan setidaknya mereka lebih mudah daripada Ramanujan).

Sebagian mereka datang dari pengeditan makalah anumerta Dedekind dengan

itu, sebagian dari saat ini bekerja pada polinomial, tapi dia bersatu dua menjadi

apa, sebagai hasil dari karyanya telah menjadi dikenal sebagai teori umum


29/33

29

'cincin' dan -'cita', yang terakhir yang didefinisikan oleh Dedekind dengan.

[Cincin R terletak di mana penambahan dan perkalian dapat didefinisikan,

memuaskan (untuk menyederhanakan) masuk akal sama aturan seperti yang

mereka lakukan untuk bilangan bulat; subset saya R disebut ideal jika b ()

saya ketika dan b saya, dan (b) ab saya ketika saya (tidak selalu b).

Contoh: kumpulan semua kelipatan dari 6 di Z adalah tempat yang ideal,

biasanya ditulis (6).] Ide-ide ini masuk ke dalam dua wilayah yang tampaknya

berbeda matematika.

1. Dalam geometri aljabar, telah menjadi umum untuk mempertimbangkantidak begitu banyak kurva C (misalnya) didefinisikan oleh persamaan

seperti a2x

2 b2y2 1 = 0 (gambar 10), tapi cincin fungsi polinom semua

di x dan y; fungsi-fungsi yang menghilang pada C yang kemudian yang

ideal. Demikian pula untuk aljabar manifold (varietas) dimensi yang

lebih tinggi. Bukannya belajar objek geometris, (itu datang ke terwujud)

satu sama baiknya dapat belajar yang ideal.

2. Dalam Teori Bilangan, kebiasaan mempertimbangkan Ring bilangan,seperti himpunan semua , dimana m dan n adalah bilangan

bulat. Hal itu untuk mempelajari pembagian dan sifat faktorisasi,

sehingga untuk memecahkan masalah aritmatika yang Kummer dan

Dedekind telah perkenalkan dengan baik, atau bilangan ideal pada

tempat pertama.

Apa yang Noether amati jelas dari uraian di atas- tapi hanya karena

Deskripsi telah dibingkai dalam istilah-istilah yang ia susun: bahwa pertanyaan

dua keluarga ini berkenaan dengan struktur cita-cita pada jenis cincin tertentu(sekarang disebut 'Noetherian').


30/33

30

Gagasan tentang struktur bersatu, dua tampaknya berbeda dari bidang

matematika. Itu menjadi lebih dan lebih penting melalui orang-orang yang

menarik inspirasi dari tulisannya.

Seperti yang telah kita lihat sebelumnya, Noether adalah tokoh aneh dalam

akal 'khas' dalam daftar pendek perempuan dalam matematika. Wanita muncul

untuk mengambil tempat sebagai tokoh-tokoh utama dalam sejarah ini hampir

pada saat yang terakhir. Dan sementara salah satu dapat dan harus menemukan

ruang untuk amatir terampil Ada Byron, Countess of Lovelace sebagai 'perintis

bersama' komputer, atau untuk Sofia Kovalevskaya sebagai penyumbang

berkualitas tinggi analisis abad kesembilan belas, tempat Noether, seperti

Ramanujan, melampaui kategori hadiah dan penghargaan dalam kategori khusus

orang luar. Tanpa dia, dorongan untuk abstraksi yang kita akan rencanakan

kemudian mungkin juga telah mengembangkan ketidakberhentian, tapi

pekerjaannya tahun 1920-an pasti menetapkan bentuk tertentu di atasnya.


31/33

31

Lampiran A. Definisi Potongan

(Dari 'Kontinuitas dan Bilangan irasional' direproduksi dalam Fauvel dan Gray ms.

5756.)

Dari pernyataan terakhir itu adalah cukup jelas bagaimana domain bilangan rasional Rof

diskontinu mungkin diterjemahkan lengkap dalam bentuk domain kontinu. Hal itu

menunjukkan bahwa setiap bilangan rasional a efek pemisahan dari sistem R menjadi

dua kelas seperti bilangan a1pada kelas pertama A1yang kurang dari setiap bilangan a2

pada kelas kedua A2; bilangan a adalah salah satu bilangan terbesar dari kelas A1atau

setidaknya kurang dari kelas A2. Jika sekarang setiap pemisahan dua sistem R ke dalam

kelas A1, A2, hanya memiliki properti karakteristik ini bahwa setiap bilangan a 1di A1

kurang dari a2 di A2, maka untuk singkatnya kami akan menyebutnya seperti

pemisahan dan ditunjukkan oleh (A1, A2). Kita kemudian bisa mengatakan bahwa setiap

bilangan rasional menghasilkan satu bagian atau, tepatnya, dua pemotongan, yang,

bagaimanapun, kita akan tidak memandang sebagai dasar yang berbeda; proses

pemotongan ini, Selain itu, properti yang baik antara anggota kelas pertama terdapat

terbesar atau paling sedikit di antara bilangan kelas kedua. Dan sebaliknya, jika

potongan memiliki properti, kemudian dihasilkan oleh bilangan rasional terbesar atau

terkecil. Tetapi sangat mudah untuk melihat bahwa tak terbatas potongan yang tidak

dihasilkan oleh bilangan rasional.

Lampiran B. Intuisi

(Weyl, di Mancosu tahun 1998, MS 97)

(i) [Weyl] marilah kita, sebagai contoh, anggap bahwa 'n memiliki properti E'berarti bahwa 22n+4 +1 adalah bilangan prima, dan properti itu berarti

sebaliknya (22n+4+1 adalah bilangan komposit). Sekarang pertimbangkan hal

berikut. Pandang bahwa itu sendiri ditentukan Apakah ada bilangan dengan

properti E, atau tidak, tapi didasarkan pada gagasan berikut: bilangan 1, 2,

3,.. .mungkin diuji, satu demi satu, untuk properti E. Jika bilangan tersebut

dengan properti E ditemukan, jawabannya adalah ya. Tetapi jika akhirnya

hal tersebut tidak terjadi, yang mengatakan, setelah selesai berjalan melalui

barisan bilangan yang tak terbatas, tidak ada bilangan semacam E


32/33

32

ditemukan, maka jawabannya adalah tidak. Namun ini pandang jalan

sempurna melalui urutan tak terbatas yang tidak masuk akal.

(ii) (ii) [Brouwer] 1. Aksioma pemahaman, berdasarkan segala sesuatu denganproperti tertentu bergabung menjadi satu himpunan... tidak dapat diterima

dan tidak dapat digunakan sebagai dasar teori himpunan. Sebuah dasar yang

dapat diandalkan adalah hanya menemukannya di dalam definisi konstruktif

himpunan. 2. Aksioma kemampuan semua masalah yang dirumuskan oleh

Hilbert tahun 1900 setara dengan prinsip Logis tiada jalan tengah; oleh

karena itu, sejak tidak ada cukup alasan untuk aksioma ini dan sejak logika

mendasari matematika- dan bukan sebaliknya-tidak dibolehkan

menggunakan prinsip tiada jalan tengah sebagai bagian dari pembuktian

matematika. Prinsip tiada jalan tengah hanya memiliki nilai skolastik dan

heuristic, sehingga teorema bahwa dalam bukti mereka tidak dapat

menghindari penggunaan prinsip ini pada semua konten matematika.

Lampiran C. Program Hilbert

(Hilbert, 'Grounding Baru matematika', di Mancosu tahun 1998, p. 204)

Tetapi kita dapat mencapai sudut pandang analog jika kita bergerak ke tingkat yang

lebih tinggi dari perencanaan, dari mana aksioma, rumus, dan bukti teori matematika

sendiri adalah objek penyelidikan yang saling berhubungan. Tapi untuk tujuan biasanya

kandungan ide teori matematika harus digantikan oleh formula dan aturan, dan ditiru

oleh formalisme. Dengan kata lain, kita perlu memiliki Formalisasi ketat dari seluruh

teori matematika, termasuk bukti-bukti, sehingga mengikuti contoh dari logika

kalkuluskesimpulan matematika dan definisi menjadi bagian formal dari bangunan

matematika. Aksioma, formula, dan bukti-bukti yang menyusun bangunan formal ini

justru menandakan bilangan berada dalam konstruksi dasar teori bilangan... dan dengan

mereka sendiri, seperti dengan tanda bilangan dalam teori bilangan, pemikiran yang

saling berhubungan mengambil tempat-yang hanya dengan mereka sebenarnya

dipraktekkan. Dalam cara berpikir seperti ini (yang tentu saja kita tidak pernah

sepenuhnya dapat melakukan tanpa) dikeluarkan di tempat lain-bidang yang lebih

tinggi, disana; dan pada saat yang sama itu menjadi mungkin untuk menggambar


33/33

perbedaan tajam dan sistematis dalam matematika antara formula dan bukti-bukti

formal di satu sisi, dan ide-ide contentual lainnya.

Dalam tulisan ini tugas saya adalah untuk menunjukkan bagaimana tugas dasar ini dapatdilakukan secara teliti dan disetujui, dan untuk menunjukkan bahwa masalah kita dalam

membuktikan konsistensi aksioma aritmatika dan analisis telah diselesaikan.

modernitas dan kecemasannya

Documents