mo 1412 kalkulus

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus

http://slidepdf.com/reader/full/mo-1412-kalkulus 1/11

MODUL KULIAHPROGRAM KULIAH KARYAWAN & PROFESIONAL

STTI ITECH

Mata kuliah KALKULUS (3 SKS)Semester

Kelas PKKP SISTEM INFORMASI

Dosen Ninuk Wiliani, S.Si, M.Kom

Pertemuan : 14 (empat belas) Waktu : Minggu, 18 Des 2011

Modul 14 (Empat Belas)Topik Fungsi TransendanSub Topik Penurunan fungsi transendanMateri Mengenal turunan tingkat tinggiTujuan 1. Mahasiswa dapat mengenal fungsi transendan

2. Mahasiswa dapat mengenal aplikasi dari turunan fungsi

transendan

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus


Fungsi Transenden

- Logaritma Natural

- Inverse Fungsi dan Turunannya

- Fungsi Eksponensial Natural

- Fungsi Eksponensial Umum

- Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponensial

- Inverse Fungsi Trigonometri dan Turunannya

- Fungsi Hiperbolik dan Inversenya

Logaritma Natural

Bentuk fungsi dari logaritma natural adalah 1/x, namun jika menggunakan

aturan pangkat, tidak dapat memberikan fungsi yang antiturunannya adalah

1/x.

Tetapi dengan meggunakan teorema dasar kalkulus fungsi tersebut dapat di

diferensialkan dengan menggunakan teknik integral dasar.

Fungsi ini disebut logaritma natural dari x, di tulis ln x. Dapat dibuktikan bahwa

fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang sudah lebih dikenal dibangku SMA.

Turunan logaritma natural

Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh

bahwa

Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh

Bahwa

Turunan logaritma natural

Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh

Secara umum, dengan menggunakan Dalil rantai kita peroleh bahwa :

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus


Contoh :

Carilah turunan pertama dari

a. ln 8x

b. ln x3

c. ln ( - 5)

Jawab :

a. x x

xdx

d

x

1)8(

8

1)8(

8

1

b. x

x x

xdx

d

x

3)3(

1)(

1 2

3

3

3

c. x x x x

xdx

d

x 102

1

2

1

5

1)5(

5

1

Sifat sifat Logaritma Natural

1. ln 1 = 0

2. ln ab = ln a + ln b

3. lnb

a= ln a – ln b

4. ln ar= r ln a

Berdasarkan definisi di atas, ln 1 = 0 dan ln ax = ln x + C,

maka untuk sembarang x, khususnya x = 1 --- > Ln a . 1 = ln 1 + C

jadi, C = ln a,

maka untuk x = b -- ln a . b = ln b + ln a

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus


Contoh

1. Tentukan dy/dx jika y = ln2

2

3

x

x

Y = ln2

2

3

x

x= ln (x + 2) – ln 23 X =ln(X + 2) – ½ (x

3+ 2)

Maka

Y’ = 2

2/3

2

13

2

1

2

1

2

13

2

3

x

x

x x

x x

2. Tentukan dy / dx bila y = (x – 2) / x x 43

Pertama tentukan ln y, selanjutnya tentukan turunannya, terhadap x secara

implisit.

Ln y = ln( x -2 ) / x x 43 = ln ( x – 2 ) – ½ (x3 – 4x)

)4)(2(2

)43)(2()4(2

)4(2

43

2

1

2

11

3

23

3

2

x x

x x x

x

x

xdx

dy

y

=)4(2

442

2

x x

x x

Jadi,

)4(2

44

4

2

)4(2

44.

2

2

22

2

x x

x x

x x

x

x x

x x y

dx

dy

=4)2(2

44

22/3

2

x x x

x x

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus


Fungsi eksponen natural

Fungsi eksponen natural, y = exp (x) adalah inverse dari logaritma natural

X = exp (y) - y = ln x

Bilangan basis fungsi ini, dituliskan sebagai : e = exp (1) sehingga ln e = 1

Ekxpansi desimal bilangan ini adalah

e ~ 2,71828182845 ...

Berdasarkan definisi di atas, maka :

1. exp (ln x) = x, bila x > 0

2. ln (exp (x)) = x

Note :

e adalah bilangan transenden ( telah di buktikan oleh euler), yaitu tidak

mempunyai polinom p(x) sehingga p (e) = 0

y = exp (x) adlah sebuah fungsi ekxponensial

er

= exp (ln er

) = exp ( r ln e) = exp (r)

jika x irrasional, maka kembali kepada fungsi eksponensial, yaitu :

ex

= exp (x)

jadi,

1. eln x = x

2. ln (ex

) = x, untuk tiap x

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus


Differensial dari exp (x)

Misalkan y = ex, karena ln x dan exp (x) saling invers, maka x = ln y. Apabila

kedua sisi di deferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai, Diperoleh

bahwa I = (1/y)Dxy atau

Dxy = y

Teorema :

x x eedx

d

Contoh :

Tentukan turunan dari :

1. y = e5-7x

2. y = ex ln x

Jawab

1. Misalkan u = 5 – 7x maka u’ = -7

Maka dengan menggunakan aturan rantai :

Y’ = eu . u’ = e

5-7x(-7) = -7.e

5 – 7x

2. Dengan cara yang sama,

Y’ = ex ln x

Dx (x ln x) = ex ln x

(ln x + x.(1/x)

= ex ln x

(ln x + 1)

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus


Fungsi Logaritma dan Fungsi Eksponen Umum

Definisi

Jika a > 0 dan x adalah sembarang real, maka

ax

= ex ln a

maka

ln (a x) = ln (ex ln a

) = x ln a

Sifat sifat ax

Teorema : Sifat sifat fungsi Eksponen

Berlaku untuk a > 0, b > 0 dan x, y sembarang bilangan real

1. ax

. ay

= ax+y

2. y x

y

x

aa

a

3. (ax)

y= a

xy

4. ( ab )x

= ax. b

x

5. x

x x

b

a

b

a

Bukti (sebagian)

ax

ay

= ex ln a

ey ln a

= ex ln a + y ln a =

e(x +y) ln a =

ax+y

(a/b)x

= ex ln a/b

= ex ( ln a – ln b)

= e

x ln a - x ln b =e

x ln ae

-x ln b= a

xb

-x

= ax

b-x

= ax

b(-1)x

= ax

(b(-1)

)x

= (ab-1

)x

= ax

/ bx

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus


Aturan rantai dapat dimanfaatkan untuk menentukan turunan dari ax

Dx ax

= Dx ex ln a

= ex ln a

Dx ( x ln a ) = ax

ln a

Jadi : Dx ax

= ax

ln a

Contoh

Hitunglah dy / dx bila

a. y = x3

b. y = 5x

ln (2x

)

Jawab :

a. di misalkan u = , maka

Dx x3 = x

3 ln 3 Dx () = x

x

2

3ln3

b. dengan menggunakan aturan rantai dan aturan perkalian

Dx (5x

ln (2x)) = Dx (5

x) ln (2

x) + 5

xDx (ln (2

x))

= 5x

ln 5 ln 2x

+ 5x

(1/2x) Dx (2

x)

= 5x

ln 5 ln 2x

+ 5x

(1/2x) 2

xln 2

Fungsi logax

Fungsi ini merupakan fungsi logaritma berbasis bilangan positif a

1, loga x.

Fungsi ini di definisikan sebagai inverse dari fungsi eksponensial ax

Definisi

Misalkan a > 0 dan a 1 maka

Y = loga x -- x = ay

Note : ln x = loge x

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus


Hubungan dengan logaritma biasa dapat diperoleh secara berikut :

Misalnya y = loga x sehingga x = ay

maka :

Ln x = ln ay

= y ln a sehingga loga x = a

x

ln

ln

Karena loga x adalah kelipatan skalar dari ln x, dengan mudah di peroleh bahwa

a x x

dx

d a

ln

1log

FUNGSI FUNGSI ax, x

adan x

x

Walaupun tampak sama, namun f(x) = ax

adalah fungsi eksponensial,

sedangkan

f(x) = xa

adalah fungsi pangkat

Untuk sembarang a, xa

= ealnx

, maka

Dx Xa

= Dx ea ln x

= ea ln x

Dx a ln x = ea ln x

x

ax

x

a a

Jadi

Aturan Pangkat berlaku umum (termasuk untuk a irrasional) yaitu :

DX Xa = a x a -1

Contoh :

Tentukan Dx Y bila

a. y = xx

b. y = (x2 – 1) cos x

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus


Jawab

a. Karena xx

= ex ln x

, maka

Dxy = Dx ex ln x

= ex ln x

Dx (x ln x)

= ex ln x

(ln x + x . 1/x)

= xx

( ln x + 1 )

b. Pertama kali, kita rubah bentuk (x2 – 1)

cos xmenjadi e

cos x ln (x2 – 1), dengan

demikian :

Dxy = Dx ecos x ln (x2 – 1)

= ecos x ln (x2 – 1)

Dx (cos x ln (x2

+ 1))

= (x2 – 1) cos x

12cos1lnsin2

2

x x x x x

7/27/2019 Mo 1412 Kalkulus


SOAL LATIHAN

Tentukan turunan pertama dari :

1. y = ln (x2 – 5x + 6)

2. y =2

ln

x

x

3. y = 3 124

13

x x

x

4. y = 1

23322 3

2

x x x

5. y = ln (sin x)

6. y + ln (xy) = 1

7. y = x x 42 4

3

8. y = 9log210 x

9. y = xlog

mo 1412 kalkulus

Documents