matriks

*PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012 *PEMBELAJARAN MATEMATIKA KLS XII IPA SMA NEGERI 1 KOTABUMI BY WIDI ASMORO TAHUN 2012

M a t r i k sM E N U

Pengertian Matriks

Notasi Dan Ordo Matriks

Macam Macam Matriks

Transpos Matriks

Kesamaan Dua Matriks

Penjumlahan Matriks

Pengurangan Matriks

Perkalian skalar Matriks

Perkalian Matriks

Pemangkatan Matriks

Soal dan solusi

Determinan Matriks Ordo 2

Detrminan Maatriks Ordo 3

Invers Matriks

Persamaan Matriks

Penerapan Matriks


Matriks

A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks1. Pengertian Matriks Matriks adalah Susunan bilangan berbentuk persegipanjang

yang diatur pada baris dan kolom dan ditulis di dalam tanda kurung baik kurung biasa ( ) maupun kurung siku [ ].

Contoh Matriks :

10498

0165

3095

6642

atau

10498

0165

3095

6642

next

next


• Setiap bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks disebut elemen atau unsur matriks, dan setiap elemen matriks mempunyai tempat kedudukan masing-masing yang ditentukan oleh baris dan kolom.

Baris ke-1

Baris ke-2

Baris ke-3

Baris ke-3

Kolom ke-1

Kolom ke-2

Kolom ke-4

Kolom ke-3

4 adalah elemen pada baris ke-1 kolom ke-2 0 adalah elemen pada baris ke-2 kolom ke-3 8 adalah elemen pada baris ke-1 kolom ke-4 elemen pada baris ke-i kolom ke-j ditulis eij

10498

0165

3095

6642

Perhatikanlah contoh pada matriks berikut :

next

next

next


2. Notasi dan Ordo Matriks

Sebuah matriks diberi nama menggunakan huruf besar dan elemennya dinyatakan dengan huruf kecil. Jika A adalah sebuah matriks maka elemennya dinyatakan dengan aij yang artinya elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan i = 1, 2, 3,..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n. Matriks A dapat dinotasikan dengan A = ( aij ).

jika sebuah matriks A terdiri dari m baris dan n kolom maka m x n menyatakan ukuran atau ordo dari matriks A dan dinyatakan dengan A m x n. Bentuk umum matriks A berordo m x n dapat dinyatakan sebagai berikut :

mnmm

n

n

ij

aaa

aaa

aaa

aAA

...

............

...

...

21

22221

11211Baris ke-1

Baris ke-2

Baris ke-m

Kolom ke-1

Kolom ke-2

Kolom ke-n

next

next

next


Contoh :

Matriks A terdiri dari 4 baris dan 4 kolom, maka ordo matriks A adalah 4 x 4 ditulis A4x4.

Elemen pada baris ke-3 kolom ke-2 = a32 = 6.

Elemen pada baris ke-2 kolom ke-4 = a24 = 3



Catatan : a13 dibaca “ a satu-tiga” bukan dibaca “ a tiga belas “

1243

0165

3095

6642

44xA

next


893

712

054

C

Diagonal utama

Diagonal samping

3. Macam-macam matriks

4532 A

0

3

2

B

Jenis Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Banyak Kolom1) Matriks Baris adalah matriks yang hanya memiliki 1 buah baris tapi banyak kolom.

Contoh :

2) Matriks Kolom adalah matriks yang memiliki banyak baris tetapi hanya memiliki 1 kolom.

3) Matriks Persegi adalah matriks yang memiliki banyak baris sama dengan banyak kolom. Matriks persegi berordo n x n disebut matriks persegi berordo n

Contoh :

Contoh : Matriks C adalah matriks persegi berordo 3

elemen pada diagonal utama adalah 4, 1, 8elemen peda diagonal samping adalah 3, 1, 0

next

next


b. Macam Macam Matriks Berdasarkan pada Pola Elemen

1. Matriks Nol (O) adalah matriks yang semua elemennya Nol (0).

contoh :

2. Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemennya Nol, kecuali elemen pada diagonal utama.

contoh :

3. Matriks Identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.

contoh :

000

000

000

O

Elemen pada diagonal utama tidak nol

Semua elemennya bernilai 0

Semua elemen pada diagonal utama 1

500

020

003

D

100

010

001

I

next

next

next


4) Matriks Segetiga Atas (U) adalah matriks persegi yang semua elemen dibawah diagonal utamanya adalah 0 (nol).

Contoh :

5) Matriks Segetiga Atas (L) adalah matriks persegi yang semua elemen diatas diagonal utamanya adalah 0 (nol).

Contoh :

4. Transpos Suatu Matriks

Transpos dari matriks A adalah suatu matriks baru yang dinyatakan dengan At atau A/ dan elemen-elemennya adalah elemen matriks A dengan cara menukar elemen-elemen baris pada matriks A menjadi elemen-elemen pada metriks At.

Contoh :

Elemen dibawah diagonal utama adalah nol

Elemen diatas diagonal utama adalah nol

8

4

5

7

3

4

6

2

3

5

1

2

B

8

7

6

5

4

3

2

1

5

4

3

2

tB

200

050

131

U

228

053

006

L

next

next

next


5. Kesamaan dua Matriks

Matriks A = ( aij ) dikatakan sama dengan matriks B = ( bij ) jika dan hanya jika :

a. Matriks A dan matriks B memiliki ordo yang sama; danb. Semua elemen yang seletak sama atau aij = bij untuk semua i dan j

Matriks A sama dengan Matriks B dinotasikan dengan A = B.

Contoh :

Diketahui matriks

Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B dan Semua elemen yang seletak dari matriks A dan B bernilai sama, sehinga A = B.

62523222

121064

xx

xxB dan A

next

next


B. Operasi Hitung Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan apabila ordo matrkis A sama dengan ordo matriks B.

Hasil penjumlahan matriks A dan matriks B adalah matriks baru yang berordo sama baik dengan matriks A maupun dengan matriks B.

Hasil penjumlahan matriks A dan matriks B diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B.

Dua buah matriks yang ordonya tidak sama tidak dapat dijumlahkan.

Contoh :

Diketahui matriks

103

485

342

A

136

234

343

Bdan matriks

A + B = + =

=

103

485

342

136

234

343

)1(13063

24)3(845

334432

039

6119

085

next

next

next

next


Sifat-sifat Penjumlahan Matriks

Untuk matriks A, B, C, D, dan O yang berordo sama berlaku sifat-sifat :a. Sifat Komutatif : A + B = B + Ab. Sifat Assosiatif : A + ( B + C ) = ( A + B ) + Cc. Terdapat matriks identitas penjumlahan O sehingga A + O = O + A = A d. Untuk setiap matriks A terdapat lawan matriks A yang diberi notasi – A.

Matriks lawan A (– A) adalah matriks yang semua elemennya sama dengan elemen matriks A, tapi berlainan tanda.Matriks – A disebut juga invers aditif atau invers penjumlahan sehingga berlaku A + (– A) = (– A) + A = O.

Jika

103

485

342

A Maka invers aditif dari A adalah

103

485

342

A

Karena berlaku A + (– A) = (– A) + A = O

e. Transpos jumlah dua matriks sama dengan jumlah transpos dua matriks :

( A + B )t = At + Bt

next

next

next


2. Pengurangan Matriks

Dua buah matriks A dan B dapat dikurangkan apabila ordo matrkis A sama dengan ordo matriks B. Hasil pengurangan matriks A dan matriks B adalah matriks baru yang berordo sama baik dengan matriks A maupun dengan matriks B. Hasil pengurangan matriks A dan matriks B diperoleh dengan cara mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B. Dua buah matriks yang ordonya tidak sama tidak dapat dikurangkan.

Contoh 1 :

Diketahui matriks

103

485

342

A

136

234

343

Bdan matriks

A – B = – =

=

103

485

342

136

234

343

)1(13063

24)3(845

334432

233

251

601

next

next

next

next

next

next


Contoh 2 :

Diketahui matriks

103

485

342

A

136

234

343

Bdan matriks

B – A = – =

=

Dari contoh 1 dan contoh 2 di atas terlihat bahwa A – B ≠ B – A,

Pada pengurangan dua matriks tidak berlaku sifat kumutatif.

136

234

343

103

485

342

110336

42)8(354

334423

233

251

601

next

next

next

next

next

next


3. Perkalian Skalar Matriks

Jika B sebuah matriks dan k adalah bilangan real maka perkalian skalar matriks (kB) adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks B dengan bilangan real k.

Contoh :

Jika :

103

485

342

B

103485342

3

Dan k = 3

=

130333

43)8(353

)3(34323

xxx

xxx

xxx

=

309

122415

9126

Maka kB =

Sifat-sifat Perkalian Skalar Matriks : Untuk matriks A dan B berordo sama, dan k, l є bilangan real, berlaku : a. ( k + l ) A = kA + lA b. k( A + B ) = kA + kB c. k(l B ) = klB

next

next

next


5. Perkalian MatriksPerhatikan illustrasi berikut :

A m x n B n x r = C m x r

Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan dalam bentuk AB apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B yaitu n. Andaikan hasil kali AB adalah C maka ordo C adalah m x r.

Untuk menentukan elemen matriks C yaitu cij perhatikan illustrasi berikut :

Jika diketahui matriks A 3x3 dan matriks B 3x3 maka :

AB =

=

C =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

333323321331323322321231313321321131

332323221321322322221221312321221121

331323121311321322121211311321121111

bababababababababa

bababababababababa

bababababababababa

next

next

next

next


Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks

a be f

g h

a.e + b.g a.f + b.h

1. Perkalian matriks ordo 1 x 2 dan matriks ordo 2 x 2

Perhatikanlah tayangan berikut !

Cobalah berlatih dengan membuat soal sendiri !

2 3

4 5

6 7

2.4 + 3.6 2.5 + 3.7

Contoh :

=

= 8+ 18 10+ 21

= 26 31

=

next


Teknik Mengalikan Dua Buah Matriks

a b

c d

e f

g h

a.e + b.g a.f + b.h

c.e + d.g c.f + d.h




=

Contoh

-1.3 + 2.2 -1.-3 + 2.-4

-2.3 + 3.2 -2.-3 + 3.-4=

-1 2

-2 3

3 -3

2 -4

1 -5

0 -6=

next

next




a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23

a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23

a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22 a31b13 + a32b23


a11 a12

a21 a22

a31 a32

b11 b12 b13

b21 b22 b23

Teknik Mengalikan Dua Buah Matriksnext

next

next

next

next

next

next

next

next

next


333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb



a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22+ a13b32a11b13 + a12b23 + a13b33




Teknik Mengalikan Dua Buah Matriksnext


30238

463714

24197

62451826

30162512104

121210943

Contoh 1 :

Diketahui matriks

CD =

=

1

5

2

6

4

3

C dan matriks Maka :

= =

6

4

5

3

2

1D

6

4

5

3

2

1

1

5

2

6

4

3

)6)(1()4)(6()5)(1()3)(6()2)(1()1)(6(

)6)(5()4)(4()5)(5()3)(4()2)(5()1)(4(

)6)(2()4)(3()5)(2()3)(3()2)(2()1)(3(

next


81515

5567

17134

)1(093012609

)4()16(1512242024)32(15

386)9()12(8)18(166

Contoh 2 :

Diketahui matriks

AB =

=

103

485

342

A

136

234

343

dan matriks Maka :

103

485

342

)1)(1()2)(0()3)(3()3)(1()3)(0()4)(3()6)(1()4)(0()3)(3(

)1)(4()2)(8()3)(5()3)(4()3)(8()4)(5()6)(4()4)(8()3)(5(

)1)(3()2)(4()3)(2()3)(3()3)(4()4)(2()6)(3()4)(4()3)(2(

= =

136

234

343

B

next


Diketahui matriks

54

32C dan matriks

Tentukanlan hasil perkalian CD dan DC !

98

76D

Contoh 3 :

Penyelesaian :

CD =

54

32

98

76=

45284024

27142412=

7364

4136

DC =

98

76

54

32=

45243616

35182812=

6952

5340

Dari contoh di atas ternyata CD ≠ DC. Berarti perkalian dua matriks tidak bersifat komutatif.

next


Sifat-sifat Operasi Matriks

Untuk setiap matriks A, B, dan C serta k ϵ R, dimana semua hasil kali

dan jumlah terdefinisi. Maka berlaku sifat-sifat operasi matriks berikut :

a. Antikomutatif : AB ≠ BA

b. Assosiatif : A(BC) = (AB)C

c. Distributif kiri : A(B + C) = AB + AC

A(B – C) = AB – AC

d. Distributif kanan : (B + C)A = BA + CA

(B – C)A = BA – CA

e. Assosiatif : k(AB) = (kA)B = A(Kb)

f. Terdapat matriks Identitas I, sehingga IA = AI = A

g. Jika AB = O belum tentu A = O atau B = O

h. Jika AB = AC belum tentu B = C

i. Jika At adalah transpos dari A dan Bt adalah transpos dari B, maka

berlaku (AB)t = BtAt

next


5. Pemangkatan matriks

Perhatikan bentuk berikut :A2 = A AA3 = A A A = A A2

A4 = A A A A = A A3

Dengan demikian pemangkatan matriks harus memenuhi syarat perkalian matriks, oleh karena itu pemangkatan matriks hanya berlaku pada matriks persegi.

Contoh :

.54

32

ADiketahui matriks Tentukanlah A2 dan A3 !

Penyelesaian :

A2 = A A =

54

32

54

32 =

2512208

156124 =

3728

2116

A3 = A A2 =

54

32

3728

2116 =

1858414064

111428432 =

269204

153116

next


Soal – soal dan pembahasan

1. Nilai a + b + c yang memenuhi persamaan matriks

32

21

ac

ac

23=

cb

a

916

48

cb

a

52

6– Adalah....

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 (UN 2009/2010)

Penyelesaian :

32

21

ac

ac

23=

cb

a

916

48

cb

a

52

6–

=

5a = 10 → a = 2

7c = 7a → c = a = 2

14b = 7c → 2b = c → 2b = 2 → b = 1

Jadi nilai a + b + c = 2 + 1 + 2 = 5 ( d )

cb

a

414

107

ac

ac

47

57

next


Contoh soal penjumlahan dan pengurangan matriks:

1. Diketahui matriks ,15

3

y

A ,63

5

x

B dan .9

13

yC

Jika A + B – C = ,4

58

x

xNilai x + 2xy + y adalah ....

a. 8 b. 12 c. 18 d. 20 e. 22 ( UN 2008/2009)

Penyelesaian :

A + B – C = ,4

58

x

x↔

15

3 y+

63

5x–

9

13

y= ,

4

58

x

x

↔

42

46

y

yx= ,

4

58

x

x

6 + x = 8 → x = 2

y + 6 = 5x → y + 6 = 5(2) → y = 10 – 6 = 4 atau y didapat dari

2 – y = - x → 2 – y = - 2 → 2 – y = - 2 → - y = - 4 → y = 4

Jadi nilai x + 2xy + y = 2 + 2.2. 4 + 4 = 22 (e)

next


Contoh soal :

1. Diketahui matriks dan .

Jika A = B maka a + b + c = ....

a.-7 b.-5 c.-1 d.5 e.7 ( Ujian Nasional 2009/2010)

Penyelesaian :

935

316

484

c

b

a

A

95

316

4812

b

aB

3a = - 3b ............................................ (2)

Dari (1) didapat : 4a = 12 a = 3

Substitusi a = 3 ke (2) : 3(3) = - 3b 9 = - 3b b = - 3 Substitusi b = - 3 ke (3) : 3c = - 3 c = - 1 Jadi nilai a + b + c = 3 +(- 3) +(- 1)

= - 1 ( C )

A = B

Dari kesamaan matriks diatas diperoleh :4a = 12 ........................................... (1)

3c = b ...............................................(3)

935

316

484

c

b

a

95

316

4812

b

a

next


Contoh soal perkalian skalar matriks:


42

cbA dan ,

7

1232

ba

abcB

Jika Bt adalah tranpos dari B maka nilai c yang memenuhi A = 2Bt adalah....

a.2 b. 3 c. 5 d. 8 e. 10 (UM-UI 2009)

Penyelesaian

,32

42

cbA ,

7

1232

ba

abcB ,

712

32

ba

abcB t

A = 2Bt ↔

cb 32

42= ,

712

322

ba

abc

↔ =

2a = 4 → a = 2

2b = 4a + 2 → 2b = 4.2 + 2 → 2b = 10 → b = 5

3c = 2b + 14 → 3c = 2.5 + 14 → 3c = 24 → c = 8 (d)

cb 32

42,

14224

264

ba

abc

next


dc

ba

C. Determinan dan Invers Matriks

1. Determinan MatriksSebuah matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilagan yang disebut determinan matriks. Determinan matriks A dinotasikan dengan det. (A) atau IAI. a. Determinan Matriks Berordo 2 x 2

jika ,

dc

baA Maka determinan matriks A adalah

Det. (A) = IAI = = a.d – b.c

contoh :

1) jika ,74

32

A maka det.(A) = IAI

=74

32= 2.7 – 3.4 = 2

2) jika ,22

13

B maka det.(B) = IBI

= 22

13 = 6 + 2 = 8

next


b. Determinan Matriks Ordo 3 X 3

jika

ihg

fed

cba

A maka determinan matriks A dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut :

Det. (A) = IAI =

a b c a b

d e f d e

g h i g h

=

+

a.e.i

+

+

b.f.g

+

+c.d.h

+

–

–c.e.g

–

–

–

b.d.i

–a.f.h

next


contoh :

1. Jika

935

316

484

A

maka tentukanlah nilai dari det. (A) dan det. (B) !

Penyelesaian :

Det. (A) =

= 4.(- 1).9 + 8.(- 3).5 + 4.6.3 - 4.(- 1).5 - 4.(- 3).3 - 8.6.9

= - 36 - 120 + 72 + 20 + 36 - 432= - 450

dan

230

312

201

B

Det. (B) =

35

16

84

= 2 + 0 – 12 – 0 + 9 – 0 = – 1

935

316

484

230

312

201

30

12

01

next


c. Jenis – jenis Matriks Menurut Nilai Determinannya

Berdasarkan pada nilai determinan, matriks persegi A ada 2 jenis yaitu :1. Matriks Non singular, yaitu matriks yang nilai determinannya tidak

sama dengan nol (det.A ≠ 0)

2. Matriks Singular, yaitu matriks yang nilai determinannya sama dengan nol (det.A = 0)

d. Sifat- sifat Determinan Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi, maka berlaku sifat- sifat berikut :

1. Det. (A) = det. (At)

2. Det.(kA) = k2 det. (A)

3. Det.(AB) = det.(A) .det.(B)

4. Det.(An) = (det.(A))n

next


Contoh soal dan pembahasan sifat-sifat determinan matriks


13

A tentukanlah :

a. Det (A2)

b. (Det.A)2

c. Apakah Det (A2) = (det.A)2

penyelesaian :

a. Det (A2) = 8.3 – ( - 5 ).5 = 24 + 25 = 49

A2 = A A =

21

13

21

13=

4123

2319=

35

58

,21

13

A Maka det.A = 3.2 – (- 1 ).1 = 6 + 1 = 7

b. (Det (A))2 = 72 = 49

c. (Det (A))2 = Det (A2) = 49

next


2. Invers Matriks

a. Pengertian Invers Matriks

Misalkan matriks A dan matriks B adalah matriks persegi dengan ordo sama, serta memenuhi hubungan AB = BA = I maka dikatakan A dan B adalah dua matriks yang saling invers atau saling berkekebalikan. Matriks B disebut invers perkalian dari matriks A dan diberi lambang A–1. Matriks A disebut invers perkalian dari matriks B dan diberi lambang B–1.Contoh :

Jika dan,31

52

A maka

,

21

53

B

IAB

10

01

21

53

31

52IBA

10

01

31

52

21

53dan

Invers dari matriks A adalah A–1 =

21

53B

Dan Invers dari matriks B adalah B–1 =

31

52A

next


b. Rumus Invers Matriks

dc

baAJika maka invers matriks A adalah

1. Rumus Invers Matriks Ordo 2

a. Jika det. (A) = 1 maka

ac

bdA 1

b. Jika det. (A) = – 1 maka

ac

bdA 1

c. Jika det. (A) = 0 maka A tidak memiliki invers.

,).(det

11

ac

bd

AA

dengan det.(A) = ad – bc , dan secara khusus :

Contoh 1 :

Jika

75

43A Maka det.(A) = 3.7 – 4.5 = 1

Sehingga

35

471A

next


Contoh 2 :

Jika

58

23B maka det.(B) = 3.5 – 2.8 = –1, sehingga

38

251B

84

63C

Contoh 3 :

Jika maka det.(C) = 3.8 – 4.6 = 0, sehingga 1C tidak ada

Contoh 4 :

Jika

62

83D maka det.(D) = 3.(–6) – (–8).2 = –18 + 16 = –2 ,

sehingga

ac

bd

DD

).(det

11

32

86

2

11D

231

43

next


2. Rumus Invers Matriks Ordo 3 ( pengayaan )


c. Sifat-sifat Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi non singular yang berordo sama,

maka berlaku sifat-sifat berikut :

1) AA–1 = A–1A = I

2) (AB)–1 = B–1A–1

3) (A–1)–1 = A

4) (An)–1 = (A–1)n dengan n = 0, 1, 2, 3, ...

5) (kA)–1 =

6) (At)–1 = (A–1)t

7) ( kA–1)n = kn(A–1)n

11 Ak

next


d. Soal dan Pembahasan

Jika diketahui matriks

31

52A dan

52

21B

Tentukanlah :

1. A–1 2. B–1 3.(AB)–1 4. B–1A–1 5. (kA)–1 6. 7.(At)–1 8. (A–1)t

serta k = 2

11 Ak

Penyelesaian :

1.

31

52A det. (A) = 6 – 5 = 1, sehingga

21

531A

2.

52

21B det. (B) = – 5 + 4 = –1 , sehingga

12

251B

3.

1772912

5221

3152

AB det.(AB) = –204 + 203 = –1,

127

29171ABsehingga

next


1272917

2153

122511 AB4.

Dari no 3 dan 4, ternyata ( AB )–1 = 11 AB

5.

62104

3152

2 kA det.(kA) = 24 – 20 = 4, sehingga

21

53

2

1

42

106

4

1)( 1kA

6.

21

53

2

111 Ak

Dari no 5 dan 6, ternyata ( kA )–1 =11 Ak

7.

31

52A →

35

12tA det.(At) = 6 – 5 = 1→

25

131tA

21

531A8. →

25

131 tA

Dari no. 7 dan 8, ternyata ( At )–1 = (A–1)t

next


3. Persamaan Matriks

Perhatikan bentuk persamaan matriks berikut :

1. AX = B, dan

2. XA = B

Jika A adalah matriks persegi yang mempunyai invers yaitu A–1 maka

berlaku hubungan sebagai berikut :

1. AX = B

A–1 AX = A–1B

IX = A–1B

X = A–1B

2. XA = B

XA A–1 = BA–1

XI = BA–1

X = BA–1

RUMUS

RUMUS

next


Contoh 1 :

Diketahui matriks

35

12A dan

65

52B Tentukanlah :

a. Matriks X jika AX = Bb. Matriks X jika XA = B

Penyelesaian :

a. AX = B → X = A–1B

35

12A → det. (A) = 6 – 5 = 1 →

25

131A

X = A–1B =

25

13

65

52

130

91

b. XA = B → X = BA–1

X = BA–1 =

25

13

65

52

1315

819

next


D. Penggunaan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear

1. Sistem Persamaan linear dengan Dua Variabel Perhatikan sistem persamaan linear dengan dua variabel berikut ini :

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Dapat diubah menjadi persamaan matriks sebagai berikut :

a1x + b1y

a2x + b2y

x

y=

c1

c2

↔a1 b1

a2 b2

=c1

c2

A X B

A X = B ↔ X = A–1 B

next

matriks

Documents