SEMINAR MATEMATIKA

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS MENGGUNAKAN

DETERMINAN MATRIKS DAN APLIKASINYA PADA

PERSAMAAN LINGKARAN

Oleh:

Nama : Neneng KhairaniNIM : 06101008013Program Studi : Pendidikan MatematikaDosen Pembimbing : Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si.

JURUSAN PENDIDIKAN MIPAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA2013

1

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS MENGGUNAKAN

DETERMINAN MATRIKS DAN APLIKASINYA PADA

PERSAMAAN LINGKARAN

Oleh:

Nama : Neneng Khairani NIM : 06101008013Program Studi : Pendidikan Matematika

Telah disetujui untuk diseminarkan pada akhir semester genap 2012/2013

Mengetahui Indralaya, Maret 2013Koordinator Seminar Dosen Pembimbing,

Dra. Nyimas Aisyah, M.Pd. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si.NIP. 196411101991022001 NIP. 196908141993022001

2

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS MENGGUNAKAN

DETERMINAN MATRIKS DAN APLIKASINYA PADA

PERSAMAAN LINGKARAN

Neneng Khairani

Mahasiswi Program Studi Pendidikan Matematika

Abstrak

Determinan matriks A didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali bertanda elemen-elemen dari matriks A yang dibentuk dari elemen-elemen pada baris-baris yang berbeda dan kolom-kolom yang berbeda. Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan garis lurus dapat dinyatakan sebagai y=mx+c. Lingkaran ialah himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jaraknya dari suatu titik tertentu sama panjang. Makalah ini berisi penjelasan mengenai cara menentukan persamaan garis dan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik dengan menggunakan determinan matriks. Tujuan makalah ini adalah untuk memberi informasi mengenai cara penyelesaian sistem persamaan linear yang melibatkan tiga variabel atau lebih dengan menggunakan determinan matriks.

Kata Kunci : Determinan Matriks, Persamaan Garis, Persamaan Lingkaran

1. Pendahuluan

Persamaan garis adalah materi yang sering keluar di soal ujian nasional atau

seleksi masuk PTN setiap tahunnya. Materi ini juga dapat digunakan untuk

menyelesaikan beberapa soal bentuk lain. Persamaan garis ini disajikan dalam

bentuk sistem persamaan linear. Banyak persoalan dalam matematika murni

maupun terapan yang disajikan dalam sistem persamaan linear. Misalnya,

penerapan Hukum Kirchhoff dalam rangkaian listrik biasanya akan menghasilkan

sistem persamaan linear dengan variabel arus listrik. Untuk menyelesaikan sistem

persamaan linear dengan dua variabel biasanya digunakan metode substitusi atau

eliminasi. ( Tim LBB UGAMA : 2009)

3

Begitu pula dengan persamaan lingkaran, untuk menyelesaikan persamaan

lingkaran yang melalui tiga titik biasanya digunakan metode substitusi atau

eliminasi. Akan tetapi, untuk sistem persamaan linear yang melibatkan tiga

variabel atau lebih, metode ini ternyata tidak efisien. Oleh karena itu diperlukan

suatu metode khusus untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan linear yang

melibatkan tiga varibel atau lebih, yaitu dengan mengaplikasikan determinan

matriks.

2. Materi Pendukung

a. Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam

bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Bentuk umum

persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam dua bentuk berikut ini.

1. Bentuk Eksplisit

Bentuk umum persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai y=mx+c,

dengan x dan y variabel atau peubah, m dan c konstanta. Bentuk persamaan

tersebut dinamakan bentuk eksplisit. Dalam hal ini m sering dinamakan

koefisien arah atau gradien dari garis lurus.

2. Bentuk Implisit

Bentuk umum yang lain untuk persamaan garis lurus dapat dituliskan

sebagai Ax+B y+C=0 , dengan x dan y peubah serta A, B, dan C konstanta.

Bentuk tersebut dinamakan bentuk implisit.

Gradien garis lurus yang melalui titik A(x1 , y1) dan B(x2 , y2) adalah

mAB=y2− y1

x2−x1

atau mAB=¿ per ubahan nilai yperubahan nilai x

¿

Jika dua garis sejajar maka kedua garis tersebut mempunyai gradien yang sama,

sedangkan jika dua garis saling tegak lurus maka hasil kali gradiennya adalah -1

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik A(x1 , y1) dan B(x2 , y2) adalah

y− y1

y2− y1

=x−x1

x2−x1

(Dhohuri, Atmini dan Markaban: 2011)

4

b. Persamaan Lingkaran

Lingkaran ialah tempat kedudukan titik-titik (pada bidang datar) yang jaraknya

dari suatu titik tertentu sama panjang. Selanjutnya titik tertentu itu dinamakan titik

pusat lingkaran dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.

Dalam bidang kartesius, tiap titik dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut (x,y),

sehingga himpunan titik-titik yang terletak pada lingkaran tertentu memenuhi

persamaan tertentu yang disebut persamaan lingkaran.

1. Persamaan Lingkaran yang Pusatnya (0,0) dan Jari-jari r

Gambar 1. Lingkaran P(0,0) jari-jari r

Misalkan A(x,y) terletak pada lingkaran denga pusat O(0,0) dan jari-jari r

seperti terlihat pada gambar, maka

OA=√( x−0 )2+( y−0 )2

r=√x2+ y2

r2=x2+ y2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusatu di (0,0) dan jari-jari r memiliki

persamaan x2+ y2=r2

(Rawuh, dkk : 1958)

5

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat A(a,b) dan Jari-jari r

Gambar 2. Lingkaran P(a,b) Jari-jari r

Bila pusat lingkaran L tidak berimpit dengan titik pangkal O(0,0), tapi di

titik A(a,b), maka untuk setiap titik P(x,y) yang terletak pada lingkaran L

berdasarkan formula jarak antara dua titik diperoleh :

L= {P (x , y )|AP=r }L= {P ( x , y )|AP2=r2 }L= {P( x , y )|( x−a )2+( y−b )2=r2 }

Persamaan ( x−a )2+( y−b )2=r2 ini merupakan persamaan lingkaran yang

titik pusatnya (a,b) dan jari-jarinya r

3. Persamaan Umum Lingkaran

Persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b) dan jari-jari r adalah

( x−a )2+( y−b )2=r2

Persamaan tersebut dapat juga diuraikan ke bentuk lain, yaitu:

6

( x−a )2+( y−b )2=r2

x2−2 ax+a2+ y2−2 by+b2=r 2

x2+ y2−2 ax−2 by+a2+b2−r 2=0

Bila −2 a=A ;−2 bB ;a2+b2−r 2=C ,

maka persamaan x2+ y2−2 ax−2 by+a2+b2−r 2=0

dapat ditulis sebagai : x2+ y2+ Ax+By+C=0

yang merupakan persamaan umum lingkaran

Perhatikan : A= -2a diperoleh a= A

−2 , B = -2b diperoleh b= B

−2

C=a2+b2−r 2

r2=a2+b2−C

r=√(A−2 )

2

+(B−2 )

2

−C

(Sukino: 2007)

c. Jenis Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL)

Suatu SPL mungkin memiliki tepat satu penyelesaian, tidak memiliki

penyelesaian, atau memiliki banyak (tak hingga) penyelesaian. SPL yang tidak

memiliki penyelesaian disebut inconsistent.

Contoh SPL yang memiliki tepat satu penyelesaian:

x1+x2+2 x3=92 x1+4 x2−3 x3=13 x1+6 x2−5x3=0

Contoh SPL yang tidak memiliki penyelesaian:

x1−2x2+x3−4 x4=1x1+3 x2+7 x3+2 x4=2x1−12 x2−11 x3−16 x4=5

7

Contoh SPL yang memiliki banyak penyelesaian:

5 x1−2 x2+6 x3=0−2 x1+x2+3 x3=1

SPL Homogen

Bentuk umum SPL homogen dengan m persamaan dan n variabel adalah:

a11x1+a12 x2+ .. .+a1 n xn=0a21 x1+a22 x2+. ..+a2n xn=0...am1 x1+am2 x2+. . .+amn xn=0

Jenis Penyelesaian SPL Homogen

Ada dua kemungkinan jenis penyelesaian SPL homogen, yaitu penyelesaian

trivial dan penyelesaian non-trivial. Tak ada satu pun SPL homogen yang

inconsistent, karena minimal memiliki penyelesaian trivial.

Contoh SPL homogen yang mempunyai penyelesaian trivial:

2 x1+x2+3 x3=0x1+2 x2=0x2+x3=0

Contoh SPL homogen yang mempunyai penyelesaian non-trivial:

3 x1+x2+x3+x 4=05 x1−x2+x3−x4=0

d. Determinan Matriks

Setiap matriks bujur sangkar A selalu mempunyai suatu besaran skalar yang

disebut determinan. Sebaliknya, setiap matriks yang tidak bujur sangkar tidak

8

mempunyai determinan. Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan

nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu yang ditulis dengan simbol det

(A) atau |A|. Jika nilai determinan itu nol, matriks bujur sangkar tersebut singular,

artinya tidak memiliki invers. Jika nilai determinan suatu matriks tidak nol, berarti

matriks A tersebut nonsingular, yaitu matriks tersebut mempunyai invers.

1. Determinan Matriks Ordo 2 x 2

Misalkan diketahui matriks A=[a11 a12

a13 a22] Determinan matriks A

didefinisikan sebagai berikut :

det A=|a11 a12

a21 a22|=a11 a22−a21a12

2. Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Misalkan diketahui matriks A=[a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33]

Untuk mencari determinan dari matriks berordo 3 x 3, digunakan metode

Sarrus yang langkah-langkahnya sebagai berikut :

1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua kemudian tempatkan di

sebelah kanan tanda determinan.

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|a11 a12

a21 a22

a31 a32

2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, dan

diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah

hasil kali tersebut A(+).

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|a11 a12

a21 a22

a31 a32

9

A ¿

3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder, dan

diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah

hasil kali tersebut A(-).

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33|a11 a12

a21 a22

a31 a32

A ¿

Determinan matriks A adalah selisih antara A(+) dan A(-), yaitu :

detA=(a¿¿11a22 a33+a12 a23 a31+a13 a21 a32)−(a31 a22 a13+a32 a23a11+a33 a21 a12)¿

3. Minor dan Kofaktor

Didefinisikan bahwa minor dari matriks Aij adalah det ( Aij ) dan kofaktornya

adalah (−1)i+ jdet ( A ¿¿ ij)¿. Disini Aijadalah matriks A dengan elemen-

elemen baris ke-i dan elemen-elemen kolom ke-j dibuang.

4. Determinan Matriks Ordo n x n

Determinan matriks ordo n x n dihitung menggunakan teorema Laplace.

Teorema Laplace :

Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-

elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Secara matematis ditulis sebagai berikut :

=ai1 . koef ( A i1 )+ai 2. koef ( A i2 )+. ..+a in .koef ( Ain )

dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke-i, atau

=a1 j . koef ( A1 j )+a2 j .koef ( A2 j )+.. .+anj . koef ( Anj )

dengan j sembarang disebut ekspansi kolom ke-j. Koef ( A ij ) adalah kofaktor

dari Aij

10

det ( A )=∑j=1

n

aij .koef ( A ij )

det ( A )=∑j=1

n

aij . koef ( A ij)

5. Sifat-sifat Determinan

Beberapa sifat determinan :

1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan.

Jadi, det A=det AT .

2) det(AB) = det (A) det(B)

3) Jika dua baris/kolom dipertukarkan tempatnya, tanda determinan berubah.

4) Bila pada suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka

harga determinan itu = 0.

5) Nilai determinan tidak berubah, jika elemen-elemen sebuah baris/kolom

ditambah atau dikurangi dengan suatu kelipatan nilai real dari elemen-

elemen dari baris/kolom lain.

6) Besar determinan menjadi β kali, bila suatu baris/kolom dikalikan dengan

skalar β.

7) Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka harga

determinan = 0.

8) Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah,

maka hasil determinannya merupakan hasil kali dari elemen-elemen yang

terletak pada diagonal utamanya.

9) Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen-

elemen pada diagonal utama.

(Sutojo, dkk : 2010)

3. Materi Pokok

1. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik yang Berbeda

Misalkan diberikan dua buah titik yang berbeda di dalam bidang masing-

masing (x1 , y1) dan (x2 , y2) maka ada sebuah garis lurus yang melalui titik

(x , y ) dengan persamaan ax+by+c=0

Ingat persamaan garis yang melalui dua buah titik (x1 , y1) dan (x2 , y2)

adalah y− y1

y2− y1

=x−x1

x2−x1

11

Sehingga diperoleh :

Sekarang akan dibuktikan apakah

det [ x y 1x1 y 1 1x2 y2 1 ]=( x1 y2−x2 y 1 )−( xy2−x2 y )+( xy1− x1 y )

Pembuktian :

det [ x y 1x1 y 1 1x2 y2 1 ]=|

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

|H2,1

(−1 )

=

=|x y 1x1−x y1− y 0

x2 y2 1|H

3,1(−1 )

¿|x y 1x1−x y1− y 0

x2−x y 2− y 0|

Dengan menggunakan aturan perluasan kofaktor di sepanjang kolom ketiga,

diperoleh :

12

y− y 1

y2− y 1

=x−x1

x2−x1

(x2−x1) ( y− y 1 )=( y2− y1 )( x−x1)(x2−x1) ( y− y 1 )−( y2− y1 )( x−x1)=0

x2 y−x2 y 1−x1 y+x1 y 1−xy 2+ x1 y2+xy1−x1 y 1=0

(x1 y2−x2 y 1 )−(xy 2−x2 y )+(xy1−x1 y )=0

Sehingga :

|x1 y 1

x2 y2

|−|x yx2 y2

|+|x yx1 y 1

|=0

det [x y 1x1 y 1 1

x2 y2 1 ]

det [x y 1x1 y 1 1x2 y2 1 ]=1 .|

x1−x y1− y

x2−x y2− y|−(0 )|x y

x2−x y2− y|+(0 )|x y

x1−x y1− y|

=|x1−x y1− y

x2−x y2− y|

¿ (x1−x )( y2− y )−( y1− y )( x2−x )¿ x1 y2− x1 y−xy2+xy−( x2 y1−xy1−x2 y+xy )¿ x1 y2− x1 y−xy2−x2 y1+xy 1+x2 y

¿ (x1 y2−x2 y1)−(xy 2−x2 y)+(xy1−x1 y )

Jadi terbukti

det [ x y 1x1 y 1 1x2 y2 1 ]=( x1 y2−x2 y 1 )−( xy2−x2 y )+( xy1− x1 y )

Contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,2) dan (3,5) !

Jawab :

- Cara biasa

y− y1

y2− y1

=x−x1

x2−x1

y−25−2

=x+13+1

y−23

=x+14

4 ( y−2 )=3 ( x+1 )4 y−8=3 x+3−3 x+4 y−11=0

Jadi persamaan garis tersebut adalah −3 x+4 y−11=0

- Menggunakan determinan matriks

13

det [ x y 1x1 y1 1x2 y2 1 ]=det [ x y 1

−1 2 13 5 1 ]

=det [−1 23 5 ]−det [ x y

3 5 ]+det [ x y−1 2 ]

=−11+3 y−5 x+2x+ y=−3 x+4 y−11

Jadi persamaan garis tersebut adalah −3 x+4 y−11=0

2. Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik

Misalkan diberikan tiga titik yang berbeda di dalam bidang masing-masing

( x1 , y1 ), (x2 , y2) dan (x3 , y3) yang tidak semuanya terletak pada sebuah

garis. Menurut ilmu analitis, ada sebuah lingkaran yang melalui titik (x , y )

dengan persamaan a (x2+ y2)+bx+cy+d=0 Dimana a, b, c, dan d adalah

konstanta. Untuk ketiga titik tersebut harus memenuhi persamaan berikut :

{ a ( x2 +y2)+bx+cy+d=0a(x12 +y

12)+bx1+cy1+d=0

a (x22 +y22)+bx 2+cy2+d=0

a(x32 +y32)+bx 3+cy3+d=0

Persamaan di atas merupakan sistem persamaan linier homogen. Agar

sistem mempunyai solusi nontrivial, maka determinan koefisien-koefisien

matriksnya harus nol.

|

x2+ y2 x y 1x

12+ y12 x1 y1 1

x22+ y

22 x2 y2 1

x32+ y

32 x3 y3 1

|=0

Contoh :

14

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1) dan T(2,2)!

Jawab :

- Cara biasa

Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah x2+ y2+ Ax+By+C=0. Karena titik-titik P,Q dan R pada lingkaran ini, maka koordinat-koordinatnya masing-masing memenuhi persamaan tersebut. Sehingga dengan substitusi koordinat-koordinat dari titik tersebut diperoleh

P(1,0) : 1 + 0 + A + 0.B + C = 0

Q(0,1) : 0 + 1 + 0.A + B + C = 0

R(2,2) : 4 + 4 + 2.A + 2.B + C = 0

Kita memperoleh sistem persamaan yang terdiri atas 3 persamaan dengan variabel A, B dan C. Jika persamaan pertama pertama dikurangi kedua diperoleh A – B = 0, yaitu A = B.

Jika persamaan ketiga dikurangi dengan persamaan kedua diperoleh 2A + B

+ 7 = 0. Selanjutnya karena A = B, maka A=B=−73

Substitusi harga A ini

pada persamaan pertama akan diperoleh C=43

Jadi persamaan lingkaran yang dicari adalah

x2+ y2−73

x−73+ 4

3=0

3 x2+3 y2−7 x+4=0

- Menggunakan determinan matriks

15

Masukkan nilai setiap titik pada

|

x2+ y2 x y 1x

12+ y12 x1 y1 1

x22+ y

22 x2 y2 1

x32+ y

32 x3 y3 1

|=0

Sehingga :

|

x2+ y2 x y 11 1 0 11 0 1 18 2 2 1

|=0

Dengan mengekspansi determinan ini menurut kofaktor-kofaktor pada baris pertama, kita memperoleh :

( x2+ y2 )|1 0 10 1 12 2 1

|−( x )|1 0 11 1 18 2 1

|+( y )|1 1 11 0 18 2 1

|− (1 )|1 1 01 0 18 2 2

|=0

−3 ( x2+ y2 )+7 x+7 y−4=03 x2+3 y2−7 x−7 y+4=0

3. Aplikasi Lain dari Determinan Matriks

a. Menentukan Persamaan Bidang Datar yang Melewati Tiga Titik

Misalkan tiga titik A1 = (x1, y1, z1), A2 = (x2, y2, z2), dan A3 = (x3, y3, z3)

terletak pada bidang (tidak pada garis yang sama). Tentukan persamaan

bidang yang melewati ketiga titik tersebut.

Jawab :

Persamaan bidang secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

ax+by+cz+d=0 a ,b , c∈R

16

Jika M = (x, y, z) titik pada bidang tersebut dan setelah ketiga titik

disubstitusi ke persamaan bidang diperoleh sistem persamaan linier

homogen berikut.

{ ax+by+cz+d=0ax1+by1+cz1+d=0ax2+by 2+cz2+d=0

ax3+by 3+cz 3+d=0

Agar persamaan tersebut mempunyai solusi, haruslah :

|

x y z 1x1 y1 z1 1

x2 y2 z2 1

x3 y3 z3 1

|=0

Contoh :

Tentukan persamaan bidang yang melewati tiga titik (1, -1, 3), (0, 1, 7), dan

(4, 0, -1).

Jawab :

|

x y z 11 −1 3 10 1 7 14 0 −1 1

|=0

Setelah dihitung dan disederhanakan diperoleh persamaan bidang berikut :

b. Menentukan Persamaan Umum Irisan Kerucut

Dalam koordinat kartesius, persamaan umum irisan kerucut adalah

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

17

Dimana tidak semua A, B, and C bernilai 0. Nilai diskriminan akan

berpengaruh pada bentuk kurva, berbentuk hiperbola, parabola, elips, atau

lingkaran.

B2 - 4AC > 0, hiperbola

B2 - 4AC = 0, parabola

B2 - 4AC < 0, ellips atau lingkaran (lingkaran, jika B = 0 dan A = C)

Menentukan Nilai A, B, C, D, E, dan F

Misalkan koordinat dari lima poin (m, n), (p, q), (r, s), (u, v), dan (w, z).

Persamaan irisan kerucut ditemukan dengan menghitung determinan matriks

6 x 6. Persamaan matriks adalah:

Dimana

dan seterusnya.

Contoh :

Tentukan persamaan irisan kerucut melalui titik (3, 3), (2, -1), (1, -2), (-2,

1), dan (-3, - 3).

Dengan menghitung determinan matriks diperoleh persamaan kerucut

-1188x2 + 1404xy - 1188y2 + 0x + 0y + 8748 = 0.

4. Kesimpulan

18

Determinan matriks dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis yang

melalui dua titik dan juga menentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga

titik. Aplikasi lain dari determinan matriks adalah menentukan persamaan bidang

yang melalui tiga titik, dan juga menentukan persamaan umum irisan kerucut.

5. Daftar Pustaka

Dhohuri, Atmini dan Markaban. 2011. Pembelajaran Persamaan Garis Lurus di SMP. http:// www.p4tkmatematika.org . Diakses tanggal 20 Maret 2013.

Rawuh, dkk. 1958. Ilmu Ukur Analitis. Bandung : Tarate.

Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta : Erlangga.

Sutojo, dkk. 2010. Teori dan Aplikasi Aljabar Linier & Matriks. Semarang: Andi.

Tim LBB UGAMA. 2009. Logic The Quickest and Easiest Solution. Yogyakarta : LBB UGAMA.

LAMPIRAN

Saran-saran :

1. Dra.Trimurti Saleh, M.A.

Menambahkan jenis penyelesaian SPL Homogen, yaitu trivial dan

nontrivial pada materi penunjang. (Telah ditambahkan pada halaman 5)

2. Septy Sari Yukans, S.Pd.,M.Sc.

Memperbaiki tampilan slide powerpoint (Telah diperbaiki)

3. Haris Kurniawan, M.Pd

Memperbaiki kata-kata pada kesimpulan, dan menambahkan contoh lain

penggunaan determinan matriks yang melibatkan lebih dari tiga variabel.

(Telah ditambahkan pada halaman 14)

19