MATRIK &

VEKTOR

Matrik adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan

MATRIK

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

.....

.........

)( ijnxmaA

Baris=m

Kolom=n

MACAM-MACAM MATRIKS

• Matriks Nol – Adalah matriks dengan semua

elemennya bernilai nol.

– O=(0) • Matriks Bujur Sangkar

– Adalah suatu matriks dimana cacah baris dan cacah kolomnya sama

– A = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3, . . . n j = 1, 2, 3, . . . n

000..........0..000..00

A

231030421

A

MACAM-MACAM MATRIKS

• Matriks Persegi Panjang – Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom

tidak sama. – A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n j = 1, 2, . . m

• Matriks Diagonal – Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen

pada diagonal utama bernilai real dan elemen-elemen lainnya bernilai nol

– A = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i j aij = real untuk i = j

321403123201

A

5000030000800001

A

MACAM-MACAM MATRIKS

Matriks Satuan (identitas) – Adalah matriks bujursangkar dengan elemen-

elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol

– A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i j

Matriks Segitiga Atas – Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-

elemen dibawah diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai real

100010001

A

4300618052101

A

MACAM-MACAM MATRIKS

• Matriks Transpose – Adalah matriks dimana susunan

elemen-elemen berkebalikan antara posisi baris dan kolom

– A=(aij); AT =(aji)

• Matriks Simetris – Adalah matriks dimana susunan

elemen-elemen antara matrik dengan transpose nya sama

– A=AT; maka A adalah matriks simetris

8103656301

A

10974986376504301

A

8631050361

TA

10974986376504301

tA

OPERASI ALJABAR ATAS MATRIKS

• Operasi Perkalian Skalar • Operasi Penjumlahan • Operasi Pengurangan • Operasi Perkalian

9

PERKALIAN DENGAN SKALAR

K = 2

6321

A

k A 6321

2 = 12642

10

PENJUMLAHAN MATRIKS

A + B 1 2

6 3

2 4

6 3 A = B =

+ = 3 6

+ = 6 12

PENGURANGAN MATRIKS

A - B 1 2

6 3

2 4

6 3 A = B =

- = -1 -2

- = 0 0

e

f

g

314211316

423101251

52

14

31

2014

120

11

3

E

D

C

B

AHitunglah : a. 3CD b. (AB)C c. (4B)C d. (3E)D e. A(BC) f. D + E²

812026

214

5813

2y

x

812026

5281143

2y

x

812026

56043

2y

x

812026

21012086

yx

Scalar Multiplication:

6x+8=26

6x=18

x=3

10-2y=8

-2y=-2

y=1

INVERS MATRIKS

Misalkan A matriks bujur sangkar, matriks B yang memenuhi

AB = BA = I , B disebut sebagai invers dari A.

Matriks A yang mempunyai invers disebut sebagai matriks taksingular atau invertible, sedangkan yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Contoh :

4131

A1134

B

IAB

AB

1001

1134

.4131

IBA

BA

1001

4131

.1134

Matriks B merupakan invers dari matriks A sebab berlaku AB = I

2153

B

3152

A

Adalah invers dari

Simbol lain untuk menyatakan invers dari matriks A adalah A-1

IAA 1 IAA 1

Jika A dan B dua matriks tak singular, maka : (i). AB tak singular (ii).AB = BA

Jika :

dcba

A

a cbd

bcadA 11

dan ad – bc 0 , maka

• Jika A adalah sebuah matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1 pada sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pemecahan yaitu X= A-1B

a

b

c

d

e

f

g

h

Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.

DETERMINAN MATRIKS

Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan A det(A) sering dinotasikan |A|

NOTASI DETERMINAN

25 25

Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah : Contoh :

2221

1211

aaaa

A 21122211)det( aaaaA

3152

A 156)det( A

2221

1211)det(aaaa

A

3152

)det( A

METODE SARRUS

26 26

Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

METODE SARRUS

27 27

Contoh : Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus

det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)

= 2 +12+0+6-0-2 = 18

102311322

A

MINOR

28 28

Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Dinotasikan dengan Mij

Contoh Minor dari elemen a

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A3332

232211 aa

aaM

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

A444342

343332

242322

11

aaaaaaaaa

M

MINOR

29 29

Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)

KOFAKTOR MATRIKS

30 30

Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan Contoh :

Kofaktor dari elemen a11

INVERS MATRIX

31 31

Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :

- Cari determinan dari M - Transpose matriks M sehingga menjadi - Cari adjoin matriks - Gunakan rumus

TM

))(()det(

11 MadjoinM

M

INVERS MATRIX

32 32

Contoh Soal :

- Cari Determinannya : det(M) = (1.1.0)+(2.4.5)+(3.0.6)-(5.1.3)-(6.4.1)-(0.0.2) = 1 - Transpose matriks M

065410321

M

043612501

TM

INVERS MATRIX

33 33

- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya

- Hasilnya : ==> ==>

1454152051824

14541520

51824

INVERS MATRIX

34 34

Hasil Adjoinnya : Hasil akhir

145

4152051824

14541520

51824

111M

14541520

51824