BAB 2

KARAKTERISTIK MATEMATIKA

A. Karakteristik Matematika

Pembelajaran Matematika umumnya didominasi oleh pengenalan rumus-

r u m u s s e r t a k o n s e p - k o n s e p s e c a r a v e r b a l , t a n p a a d a p e r h a t i a n

y a n g c u k u p terhadap pemahaman siswa. Disamping itu proses belajar mengajar hampir

selalu berlangsung dengan metode “chalk and talk” guru menjadi pusat dari

seluruhkegiatan di kelas (Somerset, 1997 dalam Sodikin, 2004:1).Pembelajaran

matematika sering diinterpretasikan sebagai aktivitas utamayang dilakukan guru,

yaitu guru mengenalkan materi, mungkin mengajukan satuatau dua pertanyaan, dan

meminta siswa yang pasif untuk aktif dengan memulaimelengkapi latihan dari

buku teks, pelajaran diakhiri dengan pengorganisasianyang baik dan pembelajaran

selanjutnya dilakukan dengan sekenario yang serupa.

Kondisi di atas tampak lebih parah pada pembelajaran

geometri.Sebagiansiswa tidak mengetahui mengapa dan untuk apa mereka belajar

konsep-konsepgeometri, karena semua yang dipelajari terasa jauh dari kehidupan mereka

sehari-hari. Siswa hanya mengenal objek-objek geometri dari apa yang digambar

olehguru di depan papan tulis atau dalam buku paket matematika, dan hampir

tidak   p e r n a h m e n d a p a t k e s e m p a t a n u n t u k m e m a n i p u l a s i o b j e k -

o b j e k t e r s e b u t . Akibatnya banyak siswa yang berpendapat bahwa konsep-konsep

geometri sangatsukar dipelajari (Soedjadi, 1991 dalam Sodikin 2004:2. Secara lebih rinci,

matematika memiliki karakteristitk : matematika memiliki objek kajian yang abstrak,

bertumpu pada kesepakatan, berpola pikir deduktif, memiliki simbol yang kosong dari arti,

memperhatikan semesta pembicaraan dan konsisten dalam sistemnya. Berikut ini

dikemukakan uraian masing-masing karakteristik tersebut.

1. Matematika memiliki objek kajian abstrak.

Obejej abstrak disebut juga objek metal yang ada dalam pikiran

Meliputi objek dasar fakta, konsep, definisi, operasi, prinsip

Dari objek dasar disusun suatu pola dan struktur matematika.

1

a. Fakta (abstrak)

Berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu.

Simbol bilangan “3” bisa dipahami bilangan tiga.

Fakta “3 + 4” dipahami sebagai “tiga ditambah empat”.

Fakta “3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15”

Simbol “//” bermakna sejajar.

(a,b) sebagai pasangan berurutan.

b.Konsep

Ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikan sekumpulan

objek “segitiga” merupakan nama suatu konsep abstrak: bisa digunakan untuk membedakan

contoh segitiga atau bukan Contoh lain: “fungsi”, “variabel”, “konstanta”, “matriks”, vektor,

group, dan ruang metrik” definisi adalah ungkapan yang membatasi sebuah konsep Contoh:

(1) “trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar” atau

(2) ”trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis

yang sejajar salah satu sisinya”.Kedua def inisi memiliki intensi yang berbeda tetapi memiliki

ekstensi yang sama.Untuk menguji kesamaan ekstensi diberikan dengan pertanyaan, “adakah

trapesium menurut definisi 1 yang tdk termasuk dalam trapesium menurut def 2 atau

sebaliknya?”

Def 1 termasuk def inisi analitis: def inisi yang menyebutkan genus proksimum (genus

terdejat) dan diferensia spesifika (pembeda khusus).Def 2 termasuk definisi genetik: def inisi

yang menyebut bagaimana konsep itu terbentuk atau terjadi jenis def 3, def inisi dengan

rumus:

(1) a – b = a + (-b), (2) n! = n(n-1)! 

c. Operasi

Suatu fungsi (aturan) untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang

diketahui. Pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar atau pengerjaan matematika yang

lain.Operasi: unair (melibatkan satu elemen), biner (melibatkan dua elemen), terner

(melibatkan lebih dari dua elemen).Unair: “tambah tiga”, komplemen, akar, dsb.

Biner: “gabungan”, penjumlahan, perkalian, dsb. 2

d. Prinsip

Objek matematika yang kompleks terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep, yang

dikaitkan oleh suatu relasi atau operasi. . Prinsip dapat berupa Aksioma, teorema, sifat.

Contoh:

a. sifat distributif dalam aritmetika

b. teorema Pytagoras

Operasi (abstrak) adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan

matematika yang lain.

Contoh:

1) “penjumlahan”, “perkalian”

2) “gabungan”, “irisan”

3) “sama dengan”, “lebih besar”

4) “konjungsi”, dan “disjungsi” 

2. Bertumpu pada kesepakatan.

Aksioma (postulat): pernyataan pangkal yang sering dinyatakan ttp tdk perlu

dibuktikan; untk menghindarkan berputar-putarnya dalam pembuktian. Konsep primitif:

undefined term (pengertian yang tidak perlu didefinisikan). Beberapa aksioma dapat

membentuk suatu sistem aksioma, yang selanjutnya dapat menurunkan lemma dan teorema .

3. Berpola pikir deduktif

Berpangkal dari hal yang umum diterapkan atau di arahkan ke hal yang bersifat

khusus. Ketika anak sudah mengenal konsep “persegi’, selanjutnya anak mengamati

lingkungan sekitar, dan dapat mengatakan bangun-bangun yang diamati merupakan persegi

atau bukan. Dari hasil pengamatan diperoleh teori pitagoras, tetapi harus dibuktikan secara

umum. Pola pikir deduktif ini dapat terwujud dalam bentuk yang amat sederhana, tetapi juga

dapat terwujud dalam bentuk yang tidak sederhana.

Contoh 3.1 : Pola pikir deduktif yang sederhana

3

- Seorang murid SD sudah mengerti makna konsep “persegi” yang diajarkan oleh

guru. Suatu hari siswa tersebut melihat berbagai bentuk pigura yang terdapat dalam satu

pameran lukisan. Saat itu dia dapat menunjukan pigura yang berbentuk persegi dan yang

bukan persegi. Ini berarti bahwa siswa tersebut telah menerapkan pemahaman umum tentang

persegi kedalam situasi khusus tentang pigura-pigura tersebut. Jadi siswa itu pada waktu

menunjukan pigura persegi, telah menggunakan pola pikir deduktif yang tergolong

sederhana.

Contoh 3.2 : Pola pikir deduktif yang tidak sederhana

Banyak teorema dalam matematika yang “ditemukan” melalui pengamatan-

pengamatan khusus, misalnya teorema Pythagoras. Bila hasil pengamatan tersebut dimasukan

kedalam suatu struktur matematika tertentu dalam bentuk teorema, teorema yang ditemukan

itu harus dibuktikan secara deduktif antara lain dengan menggunakan teorema dan definisi

terdahulu yang telah diterima sebagai kebenaran yang ” benar”.

4. Memiliki symbol yang kosong dari arti.

Bekerja dalam matematika seringkali menggunakan symbol. Rangkaian simbol-

simbol dapat membentuk model matematika. Model matematika dapat berupa: persamaan,

pertaksamaan, bangun geometri. Model z = x + y masih kosong dari arti, tergantung dari

permasalahan yang menyebabkan model itu, bisa bilangan, bisa matriks, bisa vektor dsb.

Kosong dari arti membawa konsekuensi: memungkinkan matematika memasuki medan

garapan dari ilmu yang lain.

5. Memperhatikan Semesta Pembicaraan.

Konsekuensi dari simbol yang kosong dari arti adalah diperlukannya kejelasan dalam

lingkup model yang dipakai. Bila ruang lingkupnya bilangan, berarti x, y, dan z adalah

simbol bilangan. Sebagai contoh: Dalam ruang lingkup bilangan bulat, penyelesaian 2x = 7

adalah tidak ada.

Dalam semesta pembicaraan bilangan bulat, terdapat model 2x=5. Adakah penyelesaiannya?

Kalau diselesaikan seperti biasa, tanpa menghiraukan semestanya akan diperoleh hasil x=2,5.

Akan tetapi, kalau sudah ditentukan bahwa semestanya bilangan bulat, maka jawab x=2,5

adalah salah atau bukan jawaban yang dikehendaki. Jadi, jawaban yang sesuai dengan

4

semestanya adalah “tidak ada jawabannya” atau penyelesaiannya tidak ada. Sering juga

dikatakan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah “himpunan kosong”.

6. Konsisten Dalam Sistemnya.

Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada yang saling terkait dan ada yang

saling lepas. Sistem-sistem aljabar dengan sistem-sistem geometri saling lepas. Dalam sistem

aljabar ada sistem-sistem lagi yang saling terkait. Dalam satu sistem tidak boleh ada

kontradiksi. Tetapi antar sistem ada kemungkinan timbul kontradiksi. Contoh: dalam

geometri Euclides jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180 derajat. Sedangkan di geometri non

Euclides jumlah sudut-sudut segitiga lebih dari 180 derajat.

7. Sistem dan Struktur dalam Matematika

Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam

perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga

kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika:

studi tentang struktur, ruang dan perubahan. Pelajaran tentang struktur dimulai dengan

bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan

operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Ilmu tentang ruang

berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi,

kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran

sentral dalam teori relativitas umum. Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada

kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan

kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk

menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara

alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk

memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial. Untuk merepresentasikan

kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan

sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk

menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks.

Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika

dan teori model dikembangkan. Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah

statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu,

analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Didalam suatu struktur

5

matematika yang lengkap itulah terdapat “konsep primitif atau undefined terms”, “aksioma-

aksioma”, “konsep-konsep lain yang didefinisikan” dan “teorema-teorema”. Unsur yang

terakhir ini sering juga disebut dalam bentuk “lemma” atau “corolly”, bahkan kadang-kadang

juga “kriteria”. Dengan demikian suatu struktur matematika secara umum dapat di tujukan

dengan skema di bawah ini.

Sistem Aksioma Konsep Primitif

Teorema-1

Konsep-1

Teorema-2 (didefinisikan)

Teorema-3 Konsep-2

(didefinisikan)

Dst.

Dst.

Gambar Struktur Matematika

Dalam tulisan ini disajikan seperti di atas bahwa untuk mempermudah melihat bahwa “lajur

kiri” adalah lajur yang memuat pernyataan (sering aksioma sebut “pernyataan pangkal”).

“Lajur kanan” adalah lajur “pengertian” atau “konsep” (sering konsep primitif disebut juga

“pengertian pangkal”).

Beberapa buah aksioma, yang berupa beberapa buah pernyataan , dapat membentuk suatu

sistem apabila memenuhi syarat-syarat tertentu, yaitu:

Independen, artinya tidak ada satupun dari beberapa aksioma itu yang dapat

diperoleh atau diturunkan dari aksioma yang lain. Bila ada satu saja dari beberapa

aksioma itu, maka aksioma terseburt tidak dapat membentuk sistem aksioma. Agar 6

terbentuk sistem aksioma harus dikeluarkan dari strukturnya dan dapat diangkat

menjadi salah satu teorema.

Konsisten, artinya tidak ada satupun dari beberapa aksioma yang bertentangan atau

kontradiksi dengan aksioma yang lain.

Lengkap, artinya dari beberapa aksioma itu dapat dibentuk atau diturunkan teorema-

teorema baru. Suatu teorema bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah.

Berikut ini disajikan penjelasan singkat dari bebrapa jenis kebenaran, yaitu:

a. Teori Korespondensi

Teori Korespondensi(The Correspondence Theory of Thruth) memandang bahwa

kebenaran adalah kesesuaian antara pernyataan tentang sesuatu dengan kenyataan sesuatu itu

sendiri. Contoh: “Ibu kota Republik Indonesia adalah Jakarta.

Teori Koherensi (Coherence Theory of Truth)

Teori kebenaran koherensi adalah teori kebenaran yang didasarkan kepada kriteria

koheren atau konsistensi. Suatu pernyataan disebut benar bila sesuai dengan jaringan

komprehensif dari pernyataan-pernyataan yang berhubungan secara logis. Pernyataan-

pernyataan ini mengikuti atau membawa kepada pernyataan yang lain. Seperti sebuah

percepatan terdiri dari konsep-konsep yang saling berhubungan dari massa, gaya dan

kecepatan dalam fisika. Teori Koherensi/Konsistensi (The Consistence/Coherence Theory of

Truth) memandang bahwa kebenaran ialah kesesuaian antara suatu pernyataan dengan

pernyataan-pernyataan lainnya yang sudah lebih dahulu diketahui, diterima dan diakui

sebagai benar. Suatu proposisi benar jika proposisi itu berhubungan (koheren) dengan

proposisi-proposisi lain yang benar atau pernyataan tersebut bersifat koheren atau konsisten

dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar. Dengan demikian suatu

putusan dianggap benar apabila mendapat penyaksian (pembenaran) oleh putusan-putusan

lainnya yang terdahulu yang sudah diketahui,diterima dan diakui benarnya. Karena sifatnya

demikian, teori ini mengenal tingkat-tingkat kebenaran. Disini derajar koherensi merupakan

ukuran bagi derajat kebenaran. Contoh: “Semua manusia akan mati. Si Fulan adalah seorang

manusia. Si Fulan pasti akan mati.” “Sukarno adalah ayahanda Megawati. Sukarno

mempunyai puteri. Megawati adalah puteri Sukarno”. Seorang sarjana Barat A.C Ewing

(1951:62) menulis tentang teori koherensi, ia mengatakan bahwa koherensi yang sempurna

merupakan suatu idel yang tak dapat dicapai, akan tetapi pendapat-pendapat dapat

7

dipertimbangkan menurut jaraknya dari ideal tersebut. Sebagaimana pendekatan dalam

aritmatik, dimana pernyataan-pernyataan terjalin sangat teratur sehingga tiap pernyataan

timbul dengan sendirinya dari pernyataan tanpa berkontradiksi dengan pernyataan-pernyataan

lainnya. Jika kita menganggap bahwa 2+2=5, maka tanpa melakukan kesalahan lebih lanjut,

dapat ditarik kesimpulan yang menyalahi tiap kebenaran aritmatik tentang angka apa saja.

Teori koherensi, pada kenyataannya kurang diterima secara luas dibandingkan teori

korespondensi. Teori ini punya banyak kelemahan dan mulai ditinggalkan. Misalnya,

astrologi mempunyai sistem yang sangat koheren, tetapi kita tidak menganggap astrologi

benar. Kebenaran tidak hanya terbentuk oleh hubungan antara fakta atau realitas saja, tetapi

juga hubungan antara pernyataan-pernyataan itu sendiri. Dengan kata lain, suatu pernyataan

adalah benar apabila konsisten dengan pernyataan-pernyataan yang terlebih dahulu kita

terima dan kita ketahui kebenarannya.

Matematika adalah bentuk pengetahuan yang penyusunannya dilakukan pembuktian

berdasarkan teori koheren. Sistem matematika disusun diatas beberapa dasar pernyataan yang

dianggap benar (aksioma). Dengan mempergunakan beberapa aksioma, maka disusun suatu

teorema. Dan diatas teorema-lah, maka dikembangkan kaidah-kaidah matematika yang secara

keseluruhan merupakan suatu sistem yang konsisten.

Salah satu dasar teori ini adalah hubungan logis dari suatu proposisi dengan proposisi

sebelumnya. Proposisi atau pernyataan adalah apa yang dinyatakan, diungkapkan dan

dikemukakan atau menunjuk pada rumusan verbal berupa rangkaian kata-kata yang

digunakan untuk mengemukakan apa yang hendak dikemukakan. Proposisi menunjukkan

pendirian atau pendapat tentang hubungan antara dua hal dan merupakan gabungan antara

faktor kuantitas dan kualitas. Contohnya tentang hakikat manusia, baru dikatakan utuh jika

dilihat hubungan antara kepribadian, sifat, karakter, pemahaman dan pengaruh lingkungan.

Psikologi strukturalisme berusaha mencari strukturasi sifat-sifat manusia dan hubungan-

hubungan yang tersembunyi dalam kepribadiannya.

Dua masalah yang didapatkan dari teori koherensi adalah:

(1) Pernyataan yang tidak koheren (melekat satu sama lain) secara otomatis tidak

tergolong kepada suatu kebenaran, namun pernyataan yang koheren juga tidak otomatis

tergolong kepada suatu kebenaran. Misalnya saja diantara pernyataan “anakku mengacak-

acak pekerjaanku” dan “anjingku mengacak-acak pekerjaanku” adalah sesuatu yang sulit

8

untuk diputuskan mana yang merupakan kebenaran, jika hanya dipertimbangkan dari teori

koherensi saja. Misalnya lagi, seseorang yang berkata, “ naruto telah mengacak-acak

pekerjaan saya!”, akan dianggap salah oleh saya karena tidak konsisten dengan kepercayaan

saya.

(2) Sama halnya dalam mengecek apakah setiap pernyataan berhubungan dengan

realitasnya, kita juga tidak akan mampu mengecek apakah ada koherensi diantara semua

pernyataan yang benar.

b. Teori Pragmatik (The Pragmatic Theory of Truth)

Teori kebenaran pragmatis adalah teori yang berpandangan bahwa arti dari ide dibatasi oleh

referensi pada konsekuensi ilmiah, personal atau sosial. Benar tidaknya suatu dalil atau teori

tergantung kepada berfaedah tidaknya dalil atau teori tersebut bagi manusia untuk

kehidupannya. Kebenaran suatu pernyataan harus bersifat fungsional dalam kehidupan

praktis. Teori Pragmatis (The Pragmatic Theory of Truth) memandang bahwa “kebenaran

suatu pernyataan diukur dengan kriteria apakah pernyataan tersebut bersifat fungsional dalam

kehidupan praktis”; dengan kata lain, “suatu pernyataan adalah benar jika pernyataan itu

mempunyai kegunaan praktis dalam kehidupan manusia”.

Pragmatisme menantang segala otoritanianisme, intelektualisme dan rasionalisme.

Bagi mereka ujian kebenaran adalah manfaat (utility), kemungkinan dikerjakan (workability)

atau akibat yang memuaskan (Titus, 1987:241), Sehingga dapat dikatakan bahwa

pragmatisme adalah suatu aliran yang mengajarkan bahwa yang benar ialah apa yang

membuktikan dirinya sebagai benar dengan perantaraan akibat-akibatnya yang bermanfaat

secara praktis. Pegangan pragmatis adalah logika pengamatan dimana kebenaran itu

membawa manfaat bagi hidup praktis dalam kehidupan manusia.

Kata kunci teori ini adalah: kegunaan (utility), dapat dikerjakan (workability), akibat

atau pengaruhnya yang memuaskan (satisfactory consequencies).

Teori ini pada dasarnya mengatakan bahwa suatu proposisi benar dilihat dari realisasi

proposisi itu. Jadi, benar-tidaknya tergantung pada konsekuensi, kebenaran suatu pernyataan

diukur dengan kriteria apakah pernyataan tersebut bersifat fungsional dalam kehidupan

praktis, sepanjang proposisi itu berlaku atau memuaskan.

9

Menurut teori pragmatis, “kebenaran suatu pernyataan diukur dengan kriteria apakah

pernyataan tersebut bersifat fungsional dalam kehidupan praktis. Artinya, suatu pernyataan

adalah benar, jika pernyataan itu atau konsekuensi dari pernyataan itu mempunyai kegunaan

praktis bagi kehidupan manusia” . Dalam pendidikan, misalnya di UIN, prinsip kepraktisan

(practicality) telah mempengaruhi jumlah mahasiswa pada masing-masing Fakultas. Tarbiyah

lebih disukai, karena pasar kerjanya lebih luas daripada fakultas lainnya.

Mengenai kebenaran tentang “Adanya Tuhan” atau menjawab pertanyaan “Does God

exist ?”, para penganut paham pragmatis tidak mempersoalkan apakah Tuhan memang ada

baik dalam ralitas atau idea (whether really or ideally). Yang menjadi perhatian mereka

adalah makna praktis atau dalam ungkapan William James “ ….they have a definite meaning

for our ptactice. We can act as if there were a God”. Dalam hal ini, menurut penganut

pragmatis, kepercayaan atau keyakinan yang membawa pada hasil yang terbaik; yang

menjadi justifikasi dari segala tindakan kita; dan yang meningkatkan suatu kesuksesan adalah

kebenaran. Teori pragmatis meninggalkan semua fakta, realitas maupun putusan/hukum yang

telah ada. Satu-satunya yang dijadikan acuan bagi kaum pragmatis ini untuk menyebut

sesuatu sebagai kebenaran ialah jika sesuatu itu bermanfaat atau memuaskan.

Apa yang diartikan dengan benar adalah yang berguna (useful) dan yang diartikan

salah adalah yang tidak berguna (useless). Karena istilah “berguna” atau “fungsional” itu

sendiri masih samar-samar, teori ini tidak mengakui adanya kebenaran yang tetap atau

mutlak. Pragmatisme memang benar untuk menegaskan karakter praktis dari kebenaran,

pengetahuan, dan kapasitas kognitif manusia. Tapi bukan berarti teori ini merupakan teori

yang terbaik dari keseluruhan teori. Kriteria pragmatisme juga diergunakan oleh ilmuan

dalam menentukan kebenaran ilmiah dalam prespektif waktu. Secara historis pernyataan

ilmiah yang sekarang dianggap benar suatu waktu mungkin tidak lagi demikian. Dihadapkan

dengan masalah seperti ini maka ilmuan bersifat pragmatis selama pernyataan itu fungsional

dan mempunyai kegunaan maka pernyataan itu dianggap benar, sekiranya pernyataan itu

tidak lagi bersifat demikian, disebabkan perkembangan ilmu itu sendiri yang menghasilkan

pernyataan baru, maka pernyataan itu ditinggalkan, demikian seterusnya.

c. Teori Struktural Paradigmatik

Suatu teori dinyatakan benar jika teori itu berdasarkan pada paradigma atau perspektif

tertentu dan ada komunitas ilmuwan yang mengakui atau mendukung paradigma tersebut.

10

Banyak sejarawan dan filosof sains masa kini menekankan bahwa serangkaian

fenomena atau realitas yang dipilih untuk dipelajari oleh kelompok ilmiah tertentu ditentukan

oleh pandangan tertentu tentang realitas yang telah diterima secara apriori oleh kelompok

tersebut. Pandangan apriori ini disebut paradigma oeh Kuhn dan world view oleh Sardar.

Paradigma ialah apa yang dimiliki bersama oleh anggota-anggota suatu masyarakat sains atau

dengan kata lain masyarakat sains adalah orang-orang yang memiliki suatu paradigma

bersama.

Masyarakat sains bisa mencapai konsensus yang kokoh karena adanya paradigma. Sebagai

konstelasi komitmen kelompok, paradigma merupakan nilai-nilai bersama yang bisa menjadi

determinan penting dari perilaku kelompok meskipun tidak semua anggota kelompok

menerapkannya dengan cara yang sama. Paradigma juga menunjukkan keanekaragaman

individual dalam penerapan nilai-nilai bersama yang bisa melayani fungsi-fungsi esensial

ilmu pengetahuan. Paradigma berfungsi sebagai keputusan yuridiktif yang diterima dalam

hukum tak tertulis. Pengujian suatu paradigma terjadi setelah adanya kegagalan berlarut-larut

dalam memecahkan masalah yang menimbulkan krisis. Pengujian ini adalah bagian dari

kompetisi di antara dua paradigma yang bersaingan dalam memperebutkan kesetiaan

masyarakat sains. Falsifikasi terhadap suatu paradigma akan menyebabkan suatu teori yang

telah mapan ditolak karena hasilnya negatif. Teori baru yang memenangkan kompetisi akan

mengalami verifikasi. Proses verifikasi-falsifikasi memiliki kebaikan yang sangat mirip

dengan kebenaran dan memungkinkan adanya penjelasan tentang kesesuaian atau

ketidaksesuaian antara fakta dan teori.

Perubahan dari paradigma lama ke paradigma baru adalah pengalaman konversi yang

tidak dapat dipaksakan. Adanya perdebatan antar paradigma bukan mengenai kemampuan

relatif suatu paradigma dalam memecahkan masalah, tetapi paradigma mana yang pada masa

mendatang dapat menjadi pedoman riset untuk memecahkan berbagai masalah secara tuntas.

Adanya jaringan yang kuat dari para ilmuwan sebagai peneliti konseptual, teori, instrumen,

dan metodologi merupakan sumber utama yang menghubungkan ilmu pengetahuan dengan

pemecahan berbagai masalah.

d. Teori Performatik

Teori ini menyatakan bahwa kebenaran diputuskan atau dikemukakan oleh pemegang

otoritas tertentu. Contoh pertama mengenai penetapan 1 Syawal. Sebagian muslim di

Indonesia mengikuti fatwa atau keputusan MUI atau pemerintah, sedangkan sebagian yang

11

lain mengikuti fatwa ulama tertentu atau organisasi tertentu. Contoh kedua adalah pada masa

rezim orde lama berkuasa, PKI mendapat tempat dan nama yang baik di masyarakat. Ketika

rezim orde baru, PKI adalah partai terlarang dan semua hal yang berhubungan atau memiliki

atribut PKI tidak berhak hidup di Indonesia. Contoh lainnya pada masa pertumbuhan ilmu,

Copernicus (1473-1543) mengajukan teori heliosentris dan bukan sebaliknya seperti yang

difatwakan gereja. Masyarakat menganggap hal yang benar adalah apa-apa yang diputuskan

oleh gereja walaupun bertentangan dengan bukti-bukti empiris.

Dalam fase hidupnya, manusia kadang kala harus mengikuti kebenaran performatif.

Pemegang otoritas yang menjadi rujukan bisa pemerintah, pemimpin agama, pemimpin adat,

pemimpin masyarakat, dan sebagainya. Kebenaran performatif dapat membawa kepada

kehidupan sosial yang rukun, kehidupan beragama yang tertib, adat yang stabil dan

sebagainya.

Masyarakat yang mengikuti kebenaran performatif tidak terbiasa berpikir kritis dan

rasional. Mereka kurang inisiatif dan inovatif, karena terbiasa mengikuti kebenaran dari

pemegang otoritas. Pada beberapa daerah yang masyarakatnya masih sangat patuh pada adat,

kebenaran ini seakan-akan kebenaran mutlak. Mereka tidak berani melanggar keputusan

pemimpin adat dan tidak terbiasa menggunakan rasio untuk mencari kebenaran.

BAB 3

Hakikat Matematika Sekolah

Matematika yang diajarkan di jenjang persekolahan seperti Sekolah Dasar, Sekolah

Menengah Pertama dan Sekolah Menengah Atas disebut matematika sekolah. Penyajian

matematika sekolah disesuaikan dengan karakteristik siswa. pola pikir matematika

sebagai ilmu adalah deduktif, sifat atau teorema yang ditemukan secara induktif ,

selanjutnya harus dibuktikan secara deduktif. Namun dalam matematika sekolah pola

12

pikir induktif dapat digunakan dengan maksud menyesuaikan dengan tahap

perkembangan intelektual siswa.

Dalam National Council of Teachers of Mathematics (2000: 11) terdapat enam

prinsip matematika sekolah mencakup lingkup:

1) Kejujuran. Keunggulan dalam pendidikan matematika memerlukan kejujuran,

harapan, dan dukungan yang kuat bagi siswa.

2) Kurikulum. Kurikulum bukan hanya sekedar kumpulan aktivitas, kurikulum harus

koheren, berpusat pada pentingnya matematika, dan dijabarkan dengan baik pada

tiap kelas.

3) Pengajaran. Pengajaran matematika yang efektif membutuhkan pemahaman tentang

apa yang diketahui siswa dan apa yang diperlukan siswa serta mendukung siswa

mempelajarinya dengan baik.

4) Pembelajaran. Siswa harus belajar matematika dengan pemahaman, membangun

pengetahuannya dari pengalaman.

5) Penilaian. Penilaian harus mendukung belajar dan memberi informasi bagi guru dan

siswa.

6) Teknologi. Teknologi mempengaruhi matematika yang diajarkan dan meningkatkan

belajar siswa.

Ebbut dan Straker (Marsigit, 2007: 5-6) menguraikan hakikat matematika sekolah,

matematika adalah kegiatan penelusuran pola dan hubungan; kreatifitas yang memerlukan

imajinasi, intuisi, dan penemuan; kegiatan problem solving; alat komunikasi. Implikasi

dari pandangan bahwa matematika merupakan kegitan penelusuran pola dan hubungan

adalah: memberikan kesempatan siswa untuk melakukan kegiatan penemuan dan

penyelidikan pola-pola untuk menentukan hubungan; memberi kesempatan kepada siswa

untuk melakukan percobaaan dengan berbagai cara, mendorong siswa untuk menemukan

adanya urutan, perbedaan, perbandingan dan pegelompokan; mendorong siswa menarik

kesimpulan umum; dan membantu siswa memahami dan menemukan hubngan antara

pengertian satu dengan yang lainnya.

Matematika adalah kreatifitas yang memerlukan imajinasi, intuisi dan penemuan.

Implikasi dari pandangan ini terhadap pembelajaran matematika adalah: mendorong

inisiatif dan memberi kesempatan berpikir berbeda; mendorong rasa ingin tahu, keinginan

bertanya, kemampuan menyanggah dan kemampuan memperkirakan; menghargai

penemuan yang di luar perkiraan sebagai hal yang bermanfaat; mendorong siswa

13

menemukan struktur dan desain matematika; mendorong siswa menghargai penemuan

siswa lainnya; mendorong siswa berfikir refleksif; dan tidak menyarankan penggunaan

suatu metode tertentu.

Matematika adalah kegiatan problem solving, maka dalam pembelajaran matematika

guru perlu menyediakan lingkungan belajar matematika yang merangsang timbulnya

persoalan matematika, membantu siswa memecahakan persoalan matematika

menggunakan caranya sendiri, membantu siswa mengetahui informasi yang diperlukan

untuk memecahkan persoalan matematika, mendorong siswa untuk berfikir logis,

konsisten, sistematis dan mengembangkan sistem dokumentasi/catatan, mengembangkan

kemampuan dan keterampilan untuk memecahkan persoalan, membantu siswa mengetahui

bagaimana dan kapan menggunakan berbagai alat peraga/media pendidikan matematika

seperti jangka, kalkulator, dan sebagainya

Impilikasi dari pandangan bahwa matematika sebagai alat komunikasi dalam

pembelajaran adalah: mendorong siswa membuat contoh sifat matematika; mendorong

siswa menjelaskan sifat matematika; mendorong siswa memberikan alasan perlunya

kegiatan matematika; mendorong siswa membicarakan persoalan matematika; mendorong

siswa membaca dan menulis matematika; menghargai bahasa ibu siswa dalam

membicarakan matematika.

2. Matematika SekolahMatematika sekolah adalah matematika yang diajarkan di sekolah, yaitumatematika yang diajarkan pada Pendidikan Dasar dan Pendidikan Menengah.Sering juga dikatakan bahwa matematika sekolah adalah unsur-unsur atau bagian- bagian dari matematika yang dipilih berdasarkan atau berorientasi padakepentingan kependidikan dan perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi(IPTEK). Hal ini berarti, bahwa yang dimaksud dengan kurikulum matematikaadalah kurikulum pelajaran matematika yang diberikan di jenjang pendidikan.

Pendidikan menengah ke bawah, bukan diberikan di jenjang pendidikn tinggi.Dijelaskan, bahwa matematika sekolah tersebut terdiri atas bagian-bagianmatematika yang dipilih guna menumbuhkembangkan kemampuan-kemampuandan membentuk pribadi-pribadi serta mengarah pada perkembangan IPTEK. Halini menunjukkan bahwa matematika sekolah tetap memiliki cirri-ciri yang dimilikimatematika, yaitu memiliki objek kejadian yang abstrak serta bepola pikir deduktif konsisten.Menurut Suraharta. (2005:21) menyatakan bahwa matematika sekolahtidaklah sepenuhnya sama dengan matematika sebagai ilmu. Dikatakan tidak sepenuhnya sama karena memiliki perbedaan antara lain dalam hal:

a. Penyajian Matematika SekolahPenyajian dan pengungkapan matematika di sekolah disesuaikan dengan perkiraan perkembangan intelektual peserta didik. Mungkin dengan mengaitkan butir yang akan disampaikan dengan realitas di sekitar siswa atau disesuaikandengan pemakaiannya. Jadi penyajiannya tidak langsung berupa butir-butir matematika.Tentu dapat dipahami bahwa penyajian matematika

14

pada SekolahMenengah Atas (SMA) berbeda dengan penyajian matematika pada SekolahMenengah Pertama (SMP) atau Sekolah Dasar (SD). Hal ini didasarkan padatahap perkembangan intelektual siswa SMA yang semestinya berada pada tahapoperasiona formal. Jadi tidak banyak butir matematika sekolah disajikan secarainduktif, kecuali bagi siswa yang lemah.

b.Pola Pikir Matematika SekolahPola pikir matematika sebagai ilmu deduktif. Tidaklah demikian halnyadengan matematika sekolah. Meskipun siswa pada umumnya diharapkan mampu berpikir deduktif namun pada proses pembelajarannya dapat digunakan pola pikir deduktif. Pola pikir deduktif yang digunakan dimaksukan untuk menyesuaikandengan tahap perkembangan intelektual siswa.

c.Keterbatasan SemestaSebagai akibat dipilihnya unsur atau elemen matematika sekolah denganmemperhatikan aspek kependidikan, dapat terjadi penyederhanaan yangkompleks. Pengertian semesta pembicaraan tetap diperlukan namun mungkinsekali lebih dipersempit. Selanjutnya semakin meningkat usia siswa, yang berartimeningkatnya juga tahap perkembangannya, maka semesta itu berangsur lebihdiperluas lagi.

c. Tingkat Keabstrakan Matematika Sekolah Sifat abstrak matematika tetap ada pada matematika sekolah. Hal inimerupakan salah satu penyebab sulitnya seorang guru mengajarkan matematikasekolah, karena itu guru matematika harus berusaha mengurangi sifat abstrak dariobjek matematika itu sehingga memudahkan siswa menangkap pelajaranmatematika sekolah.Fungsi matapelajaran matematika sebagai: alat, pola pikir, dan ilmu atau pengetahuan. Ketiga fungsi matematika tersebut hendaknya dijadikan sebagaiacuan dalam pembelajaran matematika sekolah. Belajar matematika bagi para siswa, juga merupakan pembentukan pola pikir dalam pemahaman suatu pengertian maupun dalam penalaran suatu hubungan di antara pengertian- pengertian itu.Dalam pembelajaran matematika, para siswa dibiasakan untuk memperoleh pemahaman melalui pengalaman tentang sifat-sifat yang dimiliki dantidak dimiliki dari sekumpulan objek (abstraksi). Dengan pengalaman terhadapcontoh-contoh dan bukan contoh diharapkan siswa mampu menangkap pengertiansuatu konsep. Selanjutnya dengan abstraksi ini, siswa dilatih untuk membuat perkiraan, terkaan, atau kecenderungan berdasarkan kepada pengalaman pengetahuan yang dikembangkan pola pikir induktif dan pola pikir deduktif. Namun tentu dari semua itu harus diselesaikan dengan perkembangan kemampuansiswa, sehingga pada akhirnya akan sangat membantu kelancaran proses pembelajaran matematika sekolah.Sedangkan tujuan umum diberikannya matematika pada jenjang pendidikan dasar dan menengah meliputi dua hal, yaitu sebagai berikut:

(1) Mempersiapkan siswa agar sanggup untuk menghadapi perubahan keadaandi dalam kehidupan dunia dan di dunia yang selalu berkembang, melaluilatihan bertindak atas dasar pemikiran secara logis, rasional, kritis, cermat, jujur, efektif dan efesien.

(2) Mempersiapkan siswa agar dapat menggunakan matematika dan pola pikir matematika dalam kehidupan sehari, dan dalam mempelajari berbagai ilmu pengetahuan.

Menurut Suraharta, (2003 : 27) adapun tujuan khusus pembelajaranmatematika pada jenjang pendidikan dasar ini terbagi menjadi dua bagian besar.Pertama, tujuan pengajaram matematika di SD dan tujuan pengajaran matematikadi SMP, sedangkan tujuan khusus pembelajaran matematika di SMA secaratersendiri dimuat dalam kurikulum pendidikan menegah.

Tujuan pembelajaran matematika di SD (Depdikbud, 1996) adalah:

15

1. Mempersiapkan siswa agar sanggup menghadapi perubahan keadaan dalam kehidupan melalui latihan bertindak atas dasar pemikiran logis, rasional, kritis, cermat, jujur dan efektif.

2. Mempersiapkan siswa agar dapat menggunakan matematika dan pola pikir matematika dalam kehidupan sehari-hari dan dalam mempelajari berbagai ilmu pengetahuan.

3. Menambah dan mengembangkan keterampilan berhitung dengan bilangan sebagai alat dalam kehidupan sehari-hari.

4. Mengembangkan pengetahuan dasar matematika sebagai bekal untuk melanjutkan ke pendidikan menengah.

5. Membentuk sikap logis, kritis, cermat, kreatif dan disiplin.

Dalam peraturan Menteri Pendidikan Nasional nomor 22 tahun 2006 dikemukakan bahwa, mata pelajaran matematika diajarkan disekolah bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut :

Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau logaritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah.

Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika.

Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh.

Mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah.

Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.

4. Pola Pikir Induktif-Deduktif dalam Pembelajaran MatematikaPrince dan Felder (2006) menyatakan pembelajaran tradisional adalah pembelajaran dengan pendekatan deduktif, memulai dengan teori-teori dan meningkat ke penerapan teori. Di bidang sain dan teknik dijumpai upaya mencoba pembelajaran dan topik baru yang menyajikan kerangka pengetahuan, menyajikan teori-teori dan rumus dengan sedikit memperhatikan pengetahuan utama mahasiswa, dan kurang atau tidak mengkaitkan dengan pengalaman mereka. Pembelajaran dengan pendekatan deduktif menekankan pada guru mentransfer informasi atau pengetahuan. Bransford (dalam Prince dan Felder, 2006) melakukan penelitian dibidang psikologi dan neurologi. Temuannya adalah: ”All new learning involves transfer of information based on previous learning”, artinya semua pembelajaran baru melibatkan transfer informasi berbasis pembelajaran sebelumnya.

Major (2006) menyatakan dalam pembelajaran dengan pendekatan deduktif dimulai dengan menyajikan generalisasi atau konsep. Dikembangkan melalui kekuatan argumen

16

logika. Contoh urutan pembelajaran: (1) definisi disampaikan; dan (2) memberi contoh, dan beberapa tugas mirip contoh dikerjakan siswa dengan maksud untuk menguji pemahaman siswa tentang definisi yang disampaikan. Major (2006) memberi contoh pembelajaran barisan aritmetika sebagai berikut. Guru mulai pembelajaran dengan menulis definisi dipapan tulis: ‘barisan aritmetika adalah barisan yang memiliki beda sama’. Kemudian guru menjelaskan apa maksud ‘memiliki beda sama’. Kemudian guru melanjutnya pembelajaran, misalkan suku pertama barisan adalah a, dan beda b, maka a, a + b, a + 2b + … + (a + (n – 1)b) adalah barisan arimetika. Selanjutnya guru memberi contoh dan memberi soal untuk dikerjakan siswa.Siswa sering mengalami kesulitan memahami makna matematika dalam pembelajaran dengan pendekatan deduktif. Hal ini disebabkan siswa baru memahami generalisasi atau kosep setelah disajikan berbagai contoh. Major (2006) menyarankan dalam pembelajaran dengan pendekatan deduktif: (1) mulailah dengan menyatakan generalisasi secara jelas; (2) tulis definisi dipapan tulis; (3) jelaskan istilah-istilah dalam definisi; (4) secara hati-hati tekankan hubungan-hubungan sifat dalam generalisasi; (5) ilustrasikan dengan contoh; dan (5) berilah kesempatan siswa memberi atau mengerjakan contoh berikutnya.Alternatif pendekatan pembelajaran lainnya selain dengan pembelajaran pendekatan deduktif adalah dengan pendekatan induktif . Beberapa contoh pembelajaran dengan pendekatan induktif misalnya pembelajaran inkuiri, pembelajaran berbasis masalah, pembelajaran berbasis proyek, pembelajaran berbasis kasus, dan pembelajaran penemuan. Pembelajaran dengan pendekatan induktif dimulai dengan melakukan pengamati terhadap hal-hal khusus dan menginterpretasikannya, menganalisis kasus, atau memberi masalah konstekstual, siswa dibimbing memahami konsep, aturan-aturan, dan prosedur-prosedur berdasar pengamatan siswa sendiri.Major (2006) berpendapat bahwa pembelajaran dengan pendekatan induktif efektif untuk mengajarkan konsep atau generalisasi. Pembelajaran diawali dengan memberikan contoh-contoh atau kasus khusus menuju konsep atau generalisasi. Siswa melakukan sejumlah pengamatan yang kemudian membangun dalam suatu konsep atau geralisasi. Siswa tidak harus memiliki pengetahuan utama berupa abstraksi, tetapi sampai pada abstraksi tersebut setelah mengamati dan menganalisis apa yang diamati.

5. Pembelajaran Matematika Beracuan Konstruktivisme yang Melibatkan Penggunaan Pola Pikir Induktif-Deduktif

Dalam pelaksanaan pembelajaran matematika beracuan konstruktivisme masih sulit menentukan pendekatan mana yang lebih baik; pembelajaran matematika dengan pendekatan induktif atau dengan pendekatan deduktif. Menurut Prince dan Felder (2006), guru yang baik adalah yang membantu siswa mempelajari keduanya. Menurut Dameus, A. Tilley, D.S, Brant, M (2004) pendekatan pembelajaran dapat induktif atau deduktif, atau kombinasi dari keduanya. Major (2006) berpendapat dalam pelaksanaan pembelajaran lebih baik memuat keduanya kegiatan induktif dan deduktif meskipun tak dapat dihindari mana yang lebih dominan. Berdasar uraian di atas dan mengacu pendapat dengan Prince dan Felder (2006), Dameus, A. Tilley, D.S, Brant (2004), dan

17

Major (2006); penulis berpendapat pembelajaran matematika beracuan konstruktivisme dapat dirancang mengkombinasikan keduanya memuat kegiatan induktif dan deduktif, sependapat dengan Major (2006) dalam pelaksanaan pembelajaran lebih baik memuat keduanya kegiatan induktif dan deduktif meski tak dapat dihindari salah satu dari kegiatan tersebut lebih dominan.Salah satu alternatif sintaks pembelajaran matematika beracuan konstruktivisme yang melibatkan penggunaan pola pikir induktif-deduktif serta pembelajaran yang memungkinkan mencakup kegiatan pemahaman konsep, penalaran dan komunikasi, dan pemecahan masalah sebagai berikut: fase kegiatan pembukaan, fase kegiatan induktif, fase kegiatan diskusi kelas, fase kegiatan induktif-deduktif dan fase kegiatan penutupan.

6. Matematika Informal

Sekarang ini telah dikenal istilah “Pendidikan Formal” dan “Pendidikan Non-formal”, makna

dari pendidikan formal adalah pendidikan yang dilaksanakan disekolah, sedangkan makna

dari pendidikan nonformal adalah pendidikan yang dilaksanakan diluar sekolah tetapi masih

jelas strukturnya. Pendidikan kejar paket A misalnya dapat digolongkan sebagai pendidikan

nonformal. Pendidikan informal diartikan pendidikan yang terlaksana diuar pendidikan

formal maupun pendidikan non-formal.

Dalam suatu keluarga misalnya, banyak pendidikan informal yang terjadi. Pendidikan anak

dalam keluarga dapat terjadi atau terlaksana hanya dengan memperhatikan kebiasaan bapak

dan ibu dalam keluarga itu. Si anak, mungkin tanpa sadar mengikuti kebiasaan yang ia lihat

setiap hari dirumah. Hal yang serupa dengan istilah pendidikan informal itu juga terdapat

pada makna istilah “ matematika informal”. Pengetahuan matematika yang diperoleh oleh

anak ditingkat “Roudlotul Athfal” atau “Bustanul Atfal” tidak mengikuti struktur

mayematika yang ada di Madrasah Ibtidaiyah atau jenis madrasah yang lain (mungkin ini

penyebab tidak disebut madrasah tetapi roudloh). Pengetahuan matematika yang kini

dimasukan dalam kurikulum RA antara lain adalah “klasifikasi dan seriasi”. Keduanya dapat

dicapai melalui pendidikan informal.

Anak usia TK yang bermain dengan menggolongkan bendabesar dan benda kecil,

membedakan warna merah dan bukan merah dan sebagainya berarti anak tersebut telah

mengawali kemampuan klasifikasi.

Setiap klasifikasi dibidang apapun, tentu memerlukan syarat tertentu. Dalam pendidikan

informal syarat untuk melakukan klasifikasi itu dapat dibuat atau ditemukan sendiri oleh anak

atau memang disiapkan dan disampaikan melalui suruhan guru. Dibagian terdahulu telah 18

dikemukakan tentang anak TK bermain dengan jungkat-jungkit maupun anak tangga.

Kegiatan tersebut dapat mengarah kepada kemampuan melakukan variasi. Hal semacam itu

juga dapat terjadi dengan memberi dua anak sekumpulan kelereng atau gula-gula yang

berbeda banyaknya. Tanpa harus menghitung atau membilang, anak akan dapat membedakan

siapa yamg dapat menerima lebih banyak atau lebih sedikit.tentu saja masih banyak

pengetahuan matematika yang mengarah kepada matematika yang dapat diperoleh anak usia

TK secara informal. Hal yang penting dan perlu diperhatikan adalah bahwa jangan sampai

matematika MI tanpa pertimbangan yang matang lansung diberikan kepada anak TK. Jangan

sampai memaksakan sesuatu pengetahuan yang belum mampu dicerna atau ditangkap anak

TK secara formal.

19