APLIKASI MTK

Download APLIKASI MTK

Post on 25-Nov-2015

56 views

Category:

Documents

0 download

DESCRIPTION

Penerapan aplikasi matematika dalam bidang teknik kimia

TRANSCRIPT

A A. Logaritma dan aplikasinya dalam menentukan pH http://wahyu14dec.blogspot.com/2013/02/aplikasi-kimia.html Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan: Tabel,Kalkulator(yang sudah dilengkapi fitur log). Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.Dalam kimia log digunakan untuk menentukan derajat keasaman atau pH. Rumus dan Sifat Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7. Contoh soal logaritma a)     2log 8 + 3log 9 + 5log 125 b)     b) 2log 1/8 + 3log 1/9 + 5log 1/125 Pembahasan a) 2log 8 + 3log 9 + 5log 125 = 2log 23 + 3log 32 + 5log 53 = 3 2log 2 + 2 3log 3 + 3 5log 5 =3 + 2 + 3 = 8 b) 2log 1/8 + 3log 1/9 + 5log 1/125 = 2log 2−3 + 3log 3−2 + 5log 5−3 = − 3 – 2 – 3 = − 8 Larutan Asam dan Basa Asam adalah zat yang dalam air menghasilkan ion H+ Basa adalah zat yang dalam air menghasilkan ion OH- Untuk mencari nilai pH melalui perhitungan kita dapat menggunakan logaritma 1.     Untuk larutan asam rumusnya : pH = -log[H+] 2.     Untuk larutan basa rumusnya : pH = -log[OH-] a.      Asam kuat Rumus : [H+] = a.Ma b.     Asam lemah Rumus : [H+] = c.      Basa kuat Rumus : [OH-] = b.Mb d.     Basa lemah Rumus : [OH-] = Keterangan a : valensi asam Ka : tetanpan ionisasi asam Ma : molaritas asam b : valensi basa Kb : tetapan ionisasi basa Mb : molaritas basa Larutan penyangga Larutan penyangga adalah larutan yang dapat mempertahankan pH terhadap penambahan sedikit asam,sedikit basa dan pengenceran.Larutan penyangga ada 2 macam yaitu larutan penyangga asam dan larutan penyangga basa. 1.     Larutan penyangga asam Rumus : [H+] = Ka. Keterangan : a = mol asam g = mol basa konjugasinya 2.     Larutan penyangga basa Rumus : [OH-] = Kb= Keterangan : b = mol basa g = mol basa konjugasinya Contoh soal aplikasi logaritma pada soal menentukan nilai pH 1.     Dicampurkan sejumlah HNO2 dengan larutan NaOH membentuk larutan penyangga.Setelah reaksi terdapat 0,02 mol NaNO2 dan 0,47 gram HNO2. PH larutan penyangga tersebut adalah………… (ka HNO2 = 4.10-4,Mr HNO2 = 47) Jawab : Mol HNO2 = = = 0,01 mol [H+] = Ka. = 4.10-4. = 2.10-4 M pH = -log [H+] = -log 2.10-4 = 4-log 2 (aplikasi log) = 4-0,3 =3,7 2.     pH campuran dari 200 mL NH4OH 0,1 M dengan 200 mL NH4Cl 0,1 M adalah………… (Kb = 10-5) Jawab : Mol NH4OH = M.V =0,1.200 = 20 mmol Mol NH4Cl = M.V = 0,1.200 = 20 mmol [OH-] = kb. = 10-5. = 10-5 M pOH= -log[OH-]= -log 10-5 =5 pH=14- pOH=14-5 =9 (aplikasi log) B . Stastika dan aplikasinya dalam proses titrasi Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan dan penyusunan data,pengolahan dan penganalisaan data,serta penyajian data berdasarkan kumpulan dan analisis data yang dilakukan. Statistik adalah hasil-hasil dari pengolahan dan analisis data. Statistik salah satunya mean/rata-rata.Pada kimia terdapat aplikasi mean atau rata-rata untuk mencari titrasi asam basa. Rumus Mean dari Data Tunggal Contoh soal mean Diketahui data sebagai berikut : 5, 6, 4, 8, 7, 3, 8, 9, 4, 10 . Tentukan mean? Jawab : urutan data: 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10 Jawab : = = 6,4 Titrasi merupakan salah satu cara untuk menentukan konsentrasi suatu larutan suatu zat dengan cara mereaksikan larutan tersebut dengan zat lain yang diketahui konsentrasinya. Prinsip dasar titrasi asam basa didasarkan pada reaksi netralisasi asam basa. Titk eqivalen pada titrasi asam basa adalah pada saat dimana sejumlah asa tepat dinetralakan oleh sejumlah basa. Selama titrasi berlangsung terjadi perubahan pH. Contoh soal aplikasi mean/rata-rata pada titrasi 1.     Sebanyak 2 gram cuplikan NaOH dilarutkan dalam 250 mL air kemudian 20 mL dari larutan ini dititrasi dengan larutan HCl 0,1 M diperoleh data sebagai berikut : percobaan Volume HCl 1 24 mL 2 26 mL 3 24 mL Kadar NaOH dalam cuplikan tersebut adalah………………..(Mr NaOH = 40) Jawab Volume rata-rata HCl = = 25 mL (aplikasi mean) Va.Ma = b.Mb.Vb 1.25.0,5 =1.20.Mb Mb = = 0,125 M →n =M.V n=0,125.0,25 n=0,03125mol massa NaOH = 0,03125x 40 = 1,25 gram kadar NaOH dalam cuplikan = x100% = x100% =62,5% C.Eksponen dan aplikasinya dalam laju reaksi Rumus dasar Persamaan Pertidaksamaan Contoh soal eksponen 1.     22x + 2 – 2 x+2 + 1 = 0 22.22x – 22.2x + 1 = 0 Misalkan : 2x = p  22x = (2x)² = p² 4p² -4p + 1 = 0 (2p-1)² = 0 2p – 1 = 0 p =1/2 2x = 2-1 x = -1 2.     3x + 33-x – 28 = 10 3x + 33/3x – 28 = 10 misal : 3x = p p + 27/p – 28 = 0 p² - 28p + 27 = 0 (p-1)(p-27) = 0 p1 = 1 =3x = 30              x1 = 0 p2 = 27 = 3x = 33 x2 = 3 laju reaksi Laju reaksi adalah laju berkurangnya kosentrasi pereaksi persatuan waktu atau laju bertambahnya hasil reaksi persatuan waktu. Faktor-faktor yang mempengaruhi laju reaksi 1.     luas permukaan 2.     konsentrasi pereaksi 3.     tekanan (gas) 4.     katalis 5.     suhu a.      jika suhu dinaikan 10◦C ,maka laju reaksi menjadi 2 kali lebih cepat, maka rumusnya adalah : v2 = 2.v1 dan t2 =( ).t1 b.     jika suhu dinaikkan 20◦C,maka laju reaksi menjadi 3 kali lebih cepat,maka rumusnya adalah : v2 = 3.v1 dan t2 =( ).t1 contoh soal aplikasi eksponen pada laju reaksi : Diketahui suatu reaksi akan berlangsung 3 kali lebih cepat setiap kenaikan 20◦C. jika pada suhu 30◦C reaksi tersebut berlangsung selama 3 menit,maka pada suhu 70◦C reaksi tersebut akan berlangsung selama…… jawab : rumusnya adalah t2 =( ).t1 maka t2 = ( ).3 menit t2 = ( )2.3 menit t2 = menit Persamaan laju reaksi Hubungan kuantitatif antara konsentrasi pereaksi dengan laju reaksi dapat dinyatakan persamaan laju reaksi.untuk reaksi : mA + nB → pC+qD maka,persamaan laju reaksinya : v = k.[A]x.[B]y keterangan : v = persamaan laju reaksi k =tetapan jenis reaksi x =orde reaksi terhadap A y = orde reaksi terhadap B contoh soal aplikasi eksponen dalam kimia Data percobaan laju reaksi 2 CO(g) + O2 (g) → 2CO2(g) Sebagai berikut : [O2] Laju reaksi 0,2 0,1 x 0,2 0,3 3x 0,2 0,1 4x Laju reaksi bila[CO] =0,3 M dan [O2] = 0,2 M adalah………… Jawab : Untuk menentukan orde terhadap CO,kita gunakan data di [O2] yang sama : = x y = x ()y X=2 (aplikasi eksponen) Untuk menentukan orde terhadap O2,kita gunakan data di mana [CO] sama besarnya : Data 1 dan 2 = x y = x ()y = 1xy Y= 1 (aplikasi eksponen) Maka persamaan laju reaksinya : V = k[CO]2 [O2] Karena [CO] = 0,3 M dan [O2] = 0,2 M, maka : V = k[0,3]2 [0,2] D. Diferensial dan aplikasi Asal –usul diferensial Diferensial merupakan ilmu cabang dari kalkulus. Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, yang digunakan untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Turunan Dalam pelajaran matematika terdapat beberapa turunan, di sini akan sedikit di jelaskan mengenai macam-macam turunan: Turunan Parsial Turunan Parsial di gunakan untuk melihat perubahan nilai fungsi jika sebagian nilai variabelnya berubah. Misal  z  = f(x,y) · Untuk  x = x0 tetap, maka  z = f(x0,y) menggambarkan kurva perpotongan antara bidang  x = x0 dengan permukaan  z = f(x,y). · Untuk  y =  y0 tetap, maka  z = f(x, y0) menggambarkan kurva perpotongan antara bidang  y = y0 dengan permukaan  z = f(x,y). Misalkan  z = f(x0, y0) terdefinisi pada interval a < x < b, maka turunan z terhadap x di titik  x = x0 disebut turunan parsial z terhadap x di titik (x0, y0) Turunan Total Turunan Total di gunakan untuk melihat nilai fungsi jika semua nilai variable berubah secara bersama-sama. Misalkan         z = f(x,y) Adalah perubahan nilai x dan y, maka dz = f (x+dx, y+dy) – f(x,y) Adalah perubahan nilai z Jika f (x,y) memiliki turunan parsial yang kontinyu pada sebuah ejaan, maka dz = dof dx + dof dy  + E1 dx + E2 dy dox          doy Di mana E1 = 0 E2 = 0   bila dx = 0 dan dy = 0 Manfaat diferensial Penerapan Turunan 1.     Manfaat Turunan dalam Ilmu Kimia. Salah satu aplikasi diferensial dalam ilmu kimia, yaitu laju reaksi. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan desain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baikuntuk perusahaan yang sedang bersaing. Laju reaksi memiliki kemampuan untuk meramalkan kecepatan campuran reaksi mendekati keseimbangan. Untuk menghitung laju reaksi dalam orde reaksi dapat dgunakan secara praktis persamaan diferensial. Hukum laju reaksi adalah persamaan yang menyatakan laju reaksi v sebagai fungsi dari konsentrasi semua spesies yang ada, termasuk produknya.   2        Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu permasalahan. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan keuntungan yang besar. Seorang dokter ingin memilih dosis terkecil suatu obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya distribusi barangnya. Kadangkala salah satu dari masalah di atas dapat dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman dan peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan yang rinci. Jika f adalah fungsi yang dapat diturunkan pada R (atau interval terbuka) dan x adalah maksimum lokal ataupun minimum lokal dari f, maka turunan dari f di titik x adalah nol; titik-titik di mana f ‘(x) = 0 disebut titik kritis atau titik pegun (dan nilai dari f di x disebut nilai kritis). (Definisi dari titik kritis kadang kala diperluas sampai meliputi titik-titik di mana turunan suatu fungsi tidak eksis.) Sebaliknya, titik kritis x dari f dapat dianalisa dengan menggunakan turunan ke-dua dari f di x: 1.    Jika turunan ke-dua bernilai positif, x adalah minimum lokal; 2.    Jika turunan ke-dua bernilai negatif, x adalah maksimum lokal; 3.    Jika turunan ke-dua bernilai nol, x mungkin maksimum lokal, minimum lokal, ataupun tidak kedua-duanya. (Sebagai contohnya, f(x)=x³ memiliki titik kritis di x=0, namun titik itu bukanlah titik maksimum ataupun titik minimum; sebaliknya f(x) = ±x4 mempunyai titik kritis di x = 0 dan titik itu adalah titik minimum maupun maksimum). Ini dinamakan sebagai uji turunan ke dua. Sebuah pendekatan alternatif lainnya, uji turunan pertama melibatkan nilai f ‘ di kedua sisi titik kritis. Menurunkan fungsi dan mencari titik-titik kritis biasanya merupakan salah satu cara yang sederhana untuk mencari minima lokal dan maksima lokal, yang dapat digunakan untuk optimalisasi. Sesuai dengan teorema nilai ekstremum, suatu fungsi yang kontinu pada interval tertutup haruslah memiliki nilai-nilai minimum dan maksimum paling sedikit satu kali. Jika fungsi tersebut dapat diturunkan, minimal dan maksimal hanya dapat terjadi pada titik kritis atau titik akhir. 1.     Contoh Soal Teorema Selisih Tentukan turunan dari 5x2 + 7x – 6 dan 4x6 – 3x5 – 10x2 +5x +16! Jawab: Dx (5x2 + 7x – 6) = Dx(5x2 + 7x) – Dx(6) = Dx(5x2) + Dx (7x) – Dx(6) = 5 . 2x + 7 . 1 + 0 = 10x + 7 Untuk mencari turunan-turunan berikutnya, kita perhatikan bahwa teorema-teorema pada jumlah dan selisih diperluas sampai sejumlah suku-suku yang berhingga. Jadi, Dx (4x6 – 3x5 – 10x2 + 5x +16) = Dx(4x6) – Dx(3x5) – Dx(10x2) + Dx(5x) – Dx(16) = 4Dx(x6) – 3Dx(x5) – 10Dx(x2) + 5Dx(x) – Dx(16) = 4(6x5) – 3(5x4) – 10(2x) + 5(1) – (0) = 24x5 – 15x4 – 20x + 5 2.     Contoh soal Persamaan Diferensial Biasa orde 2 Linier Selesaikan PD dibawah ini! D2y/dx2 – 5 dy/dx + 6y = 0 Jawab: Misal : y = Am. Emx dy/dx = Am. M. emx d2y/dx2= Am.m2.emx yc = Am1.em1x + Am2.em2x yc = A em1x + B.em2x Persamaan akan menjadi : Am.m2.emx – 5. Am. M. Emx + 6. Am. Emx = 0 Am.emx(m2 – 5m + 6)=0 Am.emx((m-2)+(m-3))=0 Jadi : m1 = 2 m2 = 3 (akar-akar berbeda) yc = A.e2x + B.e3x 10.  Selesaiakan PD dibawah ini! Y’’ + 6y’ + 6y = 0 Jawab: m2 + 6m + 9 = 0 (m + 3)2 = 0 m1 = m2 = -3 (akar-akarnya sama) yc = (Ax + B)e-3x Contoh soal aplikasi diferensial pada kimia 1.      Hitung jumlah panas yang diperlukan untuk menaikkan 8 gram helium dari 298K ke 398 K pada tekanan tetap. Jawab: 8 g helium = 2 mol Cp = Cv + R = 3/2 R + R = 5/2 R = 20.8 J K-1 mol-1 qp = ΔH = nCp ΔT = 2 x 20.8 x (398 – 298) J = 4160 J 2 .      Laju pembentukan NO(g) dalam reaksi: 2NOBr(g) → 2NO(g) + Br2(g) adalah 1,6 x 10-4 ms-1, berapakah laju reaksi dan laju konsumsi NOBr? Jawab: Secara matematis, reaksi itu: 0 = -2NOBr(g) + 2NO(g) + Br2(g) Sehingga v [NO] = +2  . Jadi, laju reaksi diperoleh dari persamaan 1, dengan d[NO]/dt = 1,6 x 10-4 ms-1:  v = ½ x (1,6 x 10-4 ms-1) = 8,0 x 10-5 ms-1 Karena v [NOBr]= -2 , maka laju pembentukan NOBr adalah: d[NOBr]/dt = -2 x  (8,0 x 10-5 ms-1) = 1,6 x 10-4 ms-1:  sehingga laju konsumsinya adalah 1,6 x 10-4 ms-1 E. Sistem persamaan Persamaan- persamaan yang harus diselesaikan secara bersamaan untuk mencari nilai-nilai tunggal dari faktor-faktor yang tidak diketahui, di mana nilai-nilai tersebut benar untuk setiap persamaan, disebut sistem persamaan. Dua metode dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan adalah 1.     Metode subsitusi Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain. 2.     Metode eliminasi Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel, metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama. Contoh soal sistem persamaan 1.     Gunakan metode substitusi, tentukan penyelesaian SPLDV berikut. 3x + y = 7 x + 4y = 6 Jawab: Langkah pertama, tuliskan masing-masing persamaan dalam bentuk persamaan (1) dan (2). 3x + y = 7 …(1) x + 4y = 6 …(2) Langkah kedua, pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (1). Kemudian, nyatakan salah satu variabelnya dalam bentuk variabel lainnya. 3x + y = 7 y = 7 – 3x … (3) Langkah ketiga, nilai variabel y pada persamaan (3) menggantikan variabel y pada persamaan (2). x + 4y = 6 x + 4 (7 – 3x) = 6 x + 28 – 12x = 6 x – 12x = 6 – 28 –11x = –22 x = 2 …(4) Langkah keempat, nilai x pada persamaan (4) menggantikan variabel x pada salah satu persamaan awal, misalkan persamaan (1). 3x + y = 7 3 (2) + y = 7 6 + y = 7 y = 7 – 6 y = 1 …(5) Langkah kelima, menentukan penyelesaian SPLDV tersebut. Dari uraian diperoleh nilai x = 2 dan y = 1. Jadi, dapat dituliskan Hp = {(2, 1)} 2.     Gunakan metode eliminasi untuk menentukan penyelesaian SPLDV berikut. x + y = 7 2x + y = 9 Jawab: Langkah pertama, menghilangkan salah satu variabel dari SPLDV tersebut. Misalkan, variabel y yang akan dihilangkan maka kedua persamaan harus dikurangkan. x + y = 7 2x + y = 9 -x = -2 x = 2 Diperoleh nilai x = 2. Langkah kedua, menghilangkan variabel yang lain dari SPLDV tersebut, yaitu variabel x. Perhatikan koefisien x pada SPLDV tersebut tidak sama. Jadi, harus disamakan terlebih dahulu. x + y = 7 × 2 2x + 2y = 14 2x + y = 9 × 1 2x + y = 9 Kemudian, kedua persamaan yang telah disetarakan dikurangkan. 2x + 2y = 14 2x + y = 9 y = 5 Diperoleh nilai y = 5 Langkah ketiga, menentukan penyelesaian SPLDV tersebut. Diperoleh nilai x = 2 dan y = 5. Jadi, Hp = {(2, 5)}. 3.     Metode Gabungan Kalian telah mempelajari cara menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel dengan metode grafik, eliminasi, dan substitusi. Sekarang kalian akan mempelajari cara yang lain, yaitu dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi. Contoh soal. 1. Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6, jika x, y R. Jawab: Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh 2x - 3y = 3 2x + 3y = 6 3x = 9 x = 3 Selanjutnya substitusikan nilai x ke persamaan x + 3y = 6, sehingga diperoleh x + 3y = 6 3 + 3y = 6 3y = 6 - 3 3y = 3 y = 1 Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 2x – 3y = 3 dan x + 3y = 6 adalah {(3,1)}. Contoh soal aplikasi sistem persamaan pada kimia Kapasitas panas molar dari suatu senyawa padat dinyatakan melalui persamaan c = a + bT, di mana a dan b adalah konstan. Jika c = 52, T = 100 dan ketika c = 172, T = 400. Tentukanlah nilai a dan b jawab ketika c = 52 maka T = 100, sehingga 52 = a + 100b Ketika c = 172 maka T = 400, sehingga 172 = + 400b Persamaan (2) dikurangkan dengan persamaan (1) Memberikan : 120 = 300b b = = 0,4 subsitusikan b = 0,4 ke dalam persamaan (1) 52 = a + 100(0,4) a = 52 -40 = 12 sehingga a =12 dan b = 0,4