makalah mtk mella

43
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Matematika merupakan sebuah ilmu yang sangat penting dalam membantu perkembangan pemikiran dan menciptakan sesuatu yang baru yang membantu segala aktivitas manusia.Matematika merupakan alat yang sangat penting dalam mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan bisnis. Oleh karena itu, mahasiswa dituntut untuk mengetahui berbagai konsep matematika. Mata kuliah Matematika Ekonomi dirancang untuk memenuhi kebutuhan ini, yaitu membekali Anda dengan berbagai konsep matematika dalam mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan bisnis. Penjelasan dan uraian dalam setiap kegiatan belajar dikemukakan dengan penjelasan konsep dan kemudian diikuti dengan contoh serta penggunaannya dalam ilmu ekonomi dan bisnis. Materi pembahasan mata kuliah ini merupakan pendalaman dan perluasan terhadap materi yang telah dipelajari sebelumnya dibangku SMA, yaitu pelajaran Matematika Ekonomi. Tujuan Matematika bisnis adalah untuk memberikan konsep-konsep dan teknik- teknik dalam matematika terapan yang sering digunakan untuk analisis ekonomi, bisnis dan keuangan. Materi yang dibahas adalah masalah matrik,fungsi logaritma dan eksponen,integral,fungsi Linier, fungsi non linier,barisan dan deret B. MAKSUD DAN TUJUAN Penyusunan makalah ini memiliki beberapa tujuan yang ingin di capai, diantaranya: 1. Untuk menyelesaikan tugas matakuliah matematika bisnis 2. Memeberikan pemahaman mengenai materi yang ada dalam makalah ini, semoga kita semua bisa benar-benar memahami tentang materi apa yang dibahas dalam makalah ini dan dapat menjadikan kita lebih giat dan teliti dalam belajar terutama dalam mencapai tujuan apa yang kita inginkan. C. Kegunaan Makalah 1. Bagi kepentingan penulis, makalah ini dapat menambah pengetahuan bagi penulis dalam menyajikan salah satu karya tulis ilmiah yaitu makalah dengan baik dan benar, mengenai pentingnya ”Ringkasan Materi”. 2. Bagi kepentingan pembaca, makalah ini dapat menambah wawasan mengenai ”Ringkasan Materi”, terutama bagi generasi muda sebagai generasi penerus bangsa.

Upload: dewi-sunarti

Post on 09-Jul-2016

185 views

Category:

Documents


7 download

DESCRIPTION

makalah mtk

TRANSCRIPT

Page 1: Makalah Mtk Mella

BAB IPENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANGMatematika merupakan sebuah ilmu yang sangat penting dalam membantu perkembangan

pemikiran dan menciptakan sesuatu yang baru yang membantu segala aktivitas manusia.Matematika merupakan alat yang sangat penting dalam mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan bisnis. Oleh karena itu, mahasiswa dituntut untuk mengetahui berbagai konsep matematika. Mata kuliah Matematika Ekonomi dirancang untuk memenuhi kebutuhan ini, yaitu membekali Anda dengan berbagai konsep matematika dalam mempelajari ilmu-ilmu ekonomi dan bisnis. Penjelasan dan uraian dalam setiap kegiatan belajar dikemukakan dengan penjelasan konsep dan kemudian diikuti dengan contoh serta penggunaannya dalam ilmu ekonomi dan bisnis. Materi pembahasan mata kuliah ini merupakan pendalaman dan perluasan terhadap materi yang telah dipelajari sebelumnya dibangku SMA, yaitu pelajaran Matematika Ekonomi.

Tujuan Matematika bisnis adalah untuk memberikan konsep-konsep dan teknik-teknik dalam matematika terapan yang sering digunakan untuk analisis ekonomi, bisnis dan keuangan. Materi yang dibahas adalah masalah matrik,fungsi logaritma dan eksponen,integral,fungsi Linier, fungsi non linier,barisan dan deret

B. MAKSUD DAN TUJUAN Penyusunan makalah ini memiliki beberapa tujuan yang ingin di capai, diantaranya:

1. Untuk menyelesaikan tugas matakuliah matematika bisnis 2. Memeberikan pemahaman mengenai materi yang ada dalam makalah ini, semoga kita

semua bisa benar-benar memahami tentang materi apa yang dibahas dalam makalah ini dan dapat menjadikan kita lebih giat dan teliti dalam belajar terutama dalam mencapai tujuan apa yang kita inginkan.

C. Kegunaan Makalah1. Bagi kepentingan penulis, makalah ini dapat menambah pengetahuan bagi penulis

dalam menyajikan salah satu karya tulis ilmiah yaitu makalah dengan baik dan benar, mengenai pentingnya ”Ringkasan Materi”.

2. Bagi kepentingan pembaca, makalah ini dapat menambah wawasan mengenai ”Ringkasan Materi”, terutama bagi generasi muda sebagai generasi penerus bangsa.

Page 2: Makalah Mtk Mella

BAB IIPEMBAHASAN

. Polinom atau Suku Banyak

Bentuk Umuman xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0

keterangan :n = derajat suku banyak a0 = konstantaan, an – 1, an – 2, … = koefisien dari xn, xn – 1, xn – 2, …Pangkat merupakan bilangan cacah.

Pembagian Suku BanyakBentuk UmumF(x) = P(x).H(x) + S(x)dimana :F(x) = suku banyakP(x) = pembagi

H(x) = hasil bagiS(x) = sisa

Teorema SisaJika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n Metode Pembagian Suku Banyakcontoh :F(x) = 2x3 – 3x2 + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x2 – x – 1

1. Pembagian Biasa

Sehingga hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4

Page 3: Makalah Mtk Mella

2. Cara Horner/skemacara ini dapat digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1Cara: Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel

yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)Contoh: untuk 4x3 – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x3, x2, x, dan konstanta)

Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)

Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

dan seterusnya

Untuk soal di atas,P(x) = 2x2 – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)P1: 2x + 1 = 0 → x = –½P2: x – 1 = 0 → x = 1Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

3. Koefisien Tak TentuF(x) = P(x).H(x) + S(x)Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, makaH(x) berderajat 3 – 2 = 1S(x) berderajat 2 – 1 = 1Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

Maka:2x3 – 3x2 + x + 5 = (2x2 – x – 1).(ax + b) + (cx + d)Ruas kanan:= 2ax3 + 2bx2 – ax2 – bx – ax – b + cx + d= 2ax3 + (2b – a)x2 + (–b – a + c)x + (–b + d)

Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:x3 → 2 = 2a → a = 2/2 = 1x2 → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4

Page 4: Makalah Mtk Mella

Jadi:H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4 Teorema FaktorSuatu suku banyak F(x) mempunyai faktor (x – k) jika F(k) = 0 (sisanya jika dibagi dengan (x – k) adalah 0)Catatan: jika (x – k) adalah faktor dari F(x) maka k dikatakan sebagai akar dari F(x) Tips1. Untuk mencari akar suatu suku banyak dengan cara Horner, dapat dilakukan dengan mencoba-

coba dengan angka dari faktor-faktor konstanta dibagi faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi yang akan memberikan sisa = 0. Contohnya :untuk x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2untuk 4x3 – 2x2 – x + 2 = 0, faktor-faktor konstantanya: ±1, ±2, faktor-faktor koefisien pangkat tertinggi: ±1, ±2, ±4. Sehingga, angka-angka yang perlu dicoba: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4

2. Jika jumlah koefisien suku banyak = 0, maka pasti salah satu akarnya adalah x = 1.3. Jika jumlah koefisien suku di posisi genap = jumlah koefisien suku di posisi ganjil, maka pasti

salah satu akarnya adalah x = –1

Perhatikan contoh berikut :Tentukan penyelesaian dari x3 – 2x2 – x + 2 = 0?

Jawab :Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2 dan faktor-faktor koefisien pangkat tertingginya, yaitu 1, adalah ±1, sehingga angka-angka yang perlu dicoba: ±1 dan ±2Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x3 – 2x2 – x + 2 = (x – 1)(x2 – x – 2)= (x – 1)(x – 2)(x + 1)x = 1 x = 2 x = –1Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2} Sifat Akar-akar Suku BanyakPada persamaan berderajat 3:ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat: Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat: Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 +

x2.x4 + x3.x4 = c/a Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = –

d/a Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Page 5: Makalah Mtk Mella

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya(amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)

Pembagian Istimewa

APLIKASI SUKU BANYAK DALAM EKONOMI BISNIS Deret dalam Mengukur Pertumbuhan Penduduk

Menurut Robert Malthus, dalam mengukur Pertumbuhan Penduduk mengikuti Barisan Geometri (Ukur), sedangkan Pertumbuhan Pangan mengikuti Barisan Aritmatika (Hitung).

Barisan dalam Usaha BisnisPenerapan barisan bagi dunia bisnis yang lebih sesuai adalah Barisan Aritmatika. Karena apabila diukur dengan barisan geometri, variabel-variabel ekonomi seperti biaya produksi, modal, pendapatan, tenaga kerja akan kesulitan untuk mengikutinya dalam arti segera memenuhinya.

Deret dalam Mengukur Bunga Majemuk Model deret untuk bunga majemuk (Bunga berbunga) ialah baris geometri khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan. Transaksi dengan model ini disebut kredit.

.Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika1) Permutasi Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan

diperhatikan sehingga

Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis

atau .Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !

Cara cepat mengerjakan soal permutasidengan penulisan nPk, hitung 10P4kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri

Contoh permutasi siklis : Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?Jawab :Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

Page 6: Makalah Mtk Mella

2) Kombinasi Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk

Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi

k unsur dari n yang dilambangkan dengan , Contoh :

Diketahui himpunan .Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!

Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasidengan penulisan nCk, hitung 10C4kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya20C5=20C153C2=3C1100C97=100C3

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!Jawab :S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}P = {AAG, AGA, GAA}

Page 7: Makalah Mtk Mella

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka

peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

Contoh :Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!

Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang MatematikaMisalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan

Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:

A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Page 8: Makalah Mtk Mella

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk 1. Gabungan Dua Kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”Contoh :Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas

Untuk setiap kejadian berlaku Jika

. Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan

syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka

Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam

teorema berikut ini :

5. Kejadian saling bebas Stokhastik (i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya

Page 9: Makalah Mtk Mella

atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang 1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang. Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R,

untuk setiap dan setiap maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan Rumus ini dinyatakan sebagai:

untuk n = 0, 1, 2, …. ,n

Dengan P sebagai parameter dan P = Peluang suksesn = Banyak percobaanx = Muncul suksesn-x = Muncul gagal

Aplikasi Matematika (Peluang) pada ilmu Ekonomi A. Statistika Dalam Bidang BisnisSalah satu contoh dari penerapan ilmu statistika terhadap bidang perekonomian yaitu perhitungan pertumbuhan ekonomi, inflasi, jumlah uang beredar, tingkat kemiskinan, jumlah pengangguran dan lainnya, sedangkan dalam bidang industri dapat dicontohkan pada perhitungan jumlah produksi barang atau jasa yang mencapai keuntungan maksimum, kapan waktu yang tepat untuk mengembangkan produk baru atau menambah produksi. Dalam bidang bisnis statistika juga diterapkan pada perhitungan indeks tendensi bisnis, perhitungan dividen, peluang mendapatkan keuntungan jika menanamkan investasi di saham dan lainnya. Salah satu contoh dari penerapan ilmu statistika ekonomi pada bisnis yaitu penggunaan indeks tendensi bisnis (ITB). Indeks Tendensi Bisnis adalah indikator perkembangan ekonomi terkini yang

Page 10: Makalah Mtk Mella

datanya diperoleh dari Survei Tendensi Bisnis (STB) yang dilakukan oleh Badan Pusat Statistik bekerja sama dengan Bank Indonesia dengan variabel pembentuk indeks tendensi bisnis yaitu pendapatan usaha, penggunaan kapasitas produksi / usaha dan rata-rata jam kerja dengan memasukkan 9 sektor yang ada antara lain:1. Pertanian, peternakan, kehutanan, dan perikanan2. Pertambangan dan penggalian3. Industri pengolahan4. Listrik, gas dan air bersih5. Konstruksi6. Perdagangan, hotel dan restoran7. Transportasi dan telekomunikasi8. Keuangan, persewaan dan jasa

FUNGSI EKSPONENSIALFungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x) atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira- kira sama dengan 2.7182818.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik. Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk nilai x yang positif. Fungsi Eksponensial mempunyai rumus umum, yakni:

SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL

Page 11: Makalah Mtk Mella

FUNGSI LOGARITMA

Fungsi Logaritma adalah pangkat dengan suatu basis tertentu harus dipangkatkan untuk mendapatkan bilangan tertentu. Jika bilangan yang dicari logaritmanya adalah bersifat real dan positif maka dapat diterapkan rumus umum logaritma, yakni:

PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA DALAM EKONOMI

Penerapan dalam Bunga Majemuk

Apabila suku bunga yang dibayarkan sebanyak 1 kali dalam setahun, maka dapat dihitung dengan rumus:Dimana :S = nilai yang akan datingP = nilai awal / saat ini

i = suku bungat = waktu

Apabila suku bunga yang diabayarkan sebanyak n-kali dalam setahun, maka dapat dihitung dengan rumus:Dimana :S = Nilai yang akan datangP = Nilai awal / saat inii = Suku bunga

t = Waktu n = Banyak kali pembayaran dalam setahun

INTEGRALA. Integral TertentuKalau ʃf(x).dx disebut integral tak tentu yang merupakan fungsi F (x) + c yang turunannya = F’(x) = f (x) maka yang dimaksud dengan integral tertentu adalah integral yang mempunyai batas bawah dan batas atas, yang tertulis dalam bentukaʃb f(x).dx ; a adalah batas bawah dan b adalah batas atas.

Harga integral ini adalah tertentu yang ditentukan oleh besarnya harga a dan b, yang merupakan selisih antara F (b) dan F (a).Jadi, aʃb f(x)= [F(x)]b

a =F(b) – F(a)Notasi [F(x)]b

a berarti bahwa pada fungsi F(x), harga x harus diganti dengan harga b dan a, kemudian hitunglah selisih antara F(b) dengan F(a).

Dengan demikian pada perhitungan integral tertentu, kita harus menentukan dulu hasil dari integral tak tentu, tetapi tidak lagi memasukkan faktor konstan c pada perhitungan F(b) – F(a) karena dari selisih F(b) – F(a) faktor c akan hilang.

Page 12: Makalah Mtk Mella

Contoh:2ʃ4 (3x2 + 4x – 2).dx = [x3 + 2x2 – 2x]4

2

= (43 + 2.42 – 2.4) – (23 + 2.22 – 2.2)= 88 – 12 = 76 B. Sifat-sifat Integral Tertentu1. aʃbf(x).dx = 02. aʃbf(x).dx = –aʃbf(x).dx3. aʃbf(x).dx + aʃcf(x).dx = aʃcf(x).dx4. aʃb{f(x) + g(x)}.dx = aʃbf(x).dx + aʃbg(x).dx5. aʃbk.f(x).dx = k.aʃbf(x).dx ; (k = bilangan konstan)

C. Aplikasi Integral Tertentu dalam Surplus Konsumen dan Surplus ProdusenOperasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi, misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen.Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibrium atau pada tingkat harga tertentu.1. Surplus KonsumenKonsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih tinggi (mahal) dari harga equilibrium P0

akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga P0. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = P0.X0 yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga P0 akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar X, dan garis ordinat x = x0 (yakni = luas daerah 0ABF).Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut:SK = Luas 0ABF – Luas 0ABC = Luas daerah CBF = oʃxof(x).dx – P0.X0

Jika dari fungsi demand p = f(x) maka hasil dari 0ʃaf(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan.

2. Surplus ProdusenSurplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium P0 maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga po akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari po.Sedangkan, pada saat equilibrium, penjual barang ini akan menerima hasil penjualan barang sejumlah P0 . X0 yang dalam gambar adalah luas empat persegi panjang 0ABC, sedangkan sebenarnya penjual barang ini bersedia menerima sejumlah uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva supply dengan sumbu P, sumbu X dan garis ordinat x = xo (yakni luas daerah 0ABE), maka penjual barang ini akan memperoleh surplus produsen (penjual) sebanyak berikut ini:SP = Luas 0ABC – Luas daerah 0ABE = P0.X0 – oʃxcg(x).dx CONTOH SOAL : Diketahui fungsi permintaan dan penawaranD: p = –1/2 x2 – 1/2 x + 33S: p = 6 + xDapatkan besarnya surplus konsumen pada saat terjadi markwt equilibrium (ME). Penyelesaian:

Page 13: Makalah Mtk Mella

ME terjadi pada saat D = S–1/2 x2 – 1/2 x + 33 = 6 + x–1/2 x2 – 11/2 x + 27 = 0X2 + 3x – 54 = (x + 9) (x – 6) = 0Jadi, kuantitas equilibrium xo = 6 unit price equilibrium po = 6 + 6 = 12 satuan rupiah.Karena market equilibrium terjadi pada xo = 6 dan po = 12 maka; SK = 0ʃ6(-1/2 x2 – 1/2 x + 33).dx – 12.6= [-1/6 x3 – 1/4 x2 + 33x]6

0

= (-1/6 63 – 1/4 62 + 33.6) – (0) – 12.6= (-36 – 9 + 198) – 72= 81 Angka itu adalah selisih antara jumlah uang yang disediakan konsumen dengan jumlah uang yang dibelanjakan. Berdasarkan contoh diatas, surplus produsen adalah: SP = 12.6 – 0ʃ6 (6 + x)dx= 72 – [6x + 1/2 x2]6

0

= 72 – ((6.6 + 1/2 62)-0)= 72 – 54= 18

B.Integral tak tentuManakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.[1]

Apabila

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.

Misalkan terdapat sebuah fungsi , maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam

bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.

Page 14: Makalah Mtk Mella

Teorema dasar kalkulus menyatakan:Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral , daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann, kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.

Anti derivatif dari fungsi adalah . Oleh sebab itu, sesuai dengan

teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu adalah:

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:

LIMITA.LIMIT FUNGSI ALJABAR1. Pengertian Limit Fungsi Secara IntuitifLimit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh berikut:

Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =

x2−x−2x−2

Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) =

00 (tidak dapat ditemukan)

Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :

X 0 1,1 1,5 1,9 1,999 2.000

2,001 2,01 2,5 2,7

f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,999 ??? 3,001 3,01 3,5 3,7

Page 15: Makalah Mtk Mella

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) =

x2−x−2x−2 : mendekati 3. jika x mendekati 2,

baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit

kanan). Dapat ditulis : limx→2

x2−x−2x−2

=3

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai TertentuMenentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:

A.SubtitusiPerhatikanlah contoh berikut!Contoh:

Tentukan nilai limx→3

(x2−8 )!

Penyelesaian : Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)

limx→3

(x2−8 )=32−8=9−8

=1Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1 Dengan ketentuan sebagai berikut:

a) Jika f (a) = c, maka limx→af ( x )=a

b) Jika f (a) =

c0 , maka

limx→af ( x )=~

c) Jika f (a) =

0c , maka

limx→af ( x )=0

B. PemfaktoranCara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.Perhatikanlah contoh berikut!Contoh:

Tentukan nilai limx→3

x2−9x−3 !

Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =

32−93−3

=00 .

Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Ini berarti untuk

menentukan nilailimx→3

x2−9x−3 , kita harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian

dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:

Page 16: Makalah Mtk Mella

( x−3 ) ( x+3 )(x−3 )

= ( x+3 ) . ( x−3x−3 )=1

Jadi, limx→3

x2−9x−3 =

limx→3

( x−3 ) (x+3 )( x−3 )

= limx→3

( x+3 )

= 3 + 3 = 6C. Merasionalkan PenyebutCara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.Perhatikanlah contoh berikut!Contoh:

Tentukan nilai limx→2

x2−3 x+2√ x−2 !

Penyelesaian:

limx→2

x2−3 x+2√ x−2 =

limx→2

x2−3 x+2√ x−2

. √ x−2√ x−2

= limx→2

(x2−3 x+2 ) (√x−2 )(√x−2 )2

= limx→2

( x−1 ) ( x−2 ) (√ x−2 )( x−2 )

= limx→2

( x−1 ) √x−2

= (2−1 ) .√2−2= 1 . 0= 0

D. Merasionalkan PembilangPerhatikanlah contoh berikut!Contoh:

Tentukan nilai limx→1

√3 x−2−√4 x−3x−1 !

Penyelesaian:

limx→1

√3 x−2−√4 x−3x−1

= limx→1

√3 x−2−√4 x−3x−1 .

√3 x−2+√4 x−3√3 x−2+√4 x−3

= limx→1

(√3x−2 )2−(√4 x−3 )2

( x−1 ) (√3 x−2+√4 x−3 )

= limx→1

−x+1( x−1 ) (√3 x−2+√4 x−3 )

Page 17: Makalah Mtk Mella

= limx→1

−( x−1 )( x−1 ) (√3 x−2+√4 x−3 )

= limx→1

−1√3 x−2+√4 x−3

=

−1√3 . 1−2+√4 .1−3

=

−1√1+√1 =

−11+1 =

−12

3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak BerhinggaBentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga,diantaranya:

limx→~

f ( x )g ( x ) dan

limx→~

[ f (x )±g( x )]

Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut:a. Membagi dengan pangkat tertinggi

Cara ini digunakan untuk mencari nilailimx→~

f ( x )g ( x ) . Caranya dengan membagi f(x) dan g(x) dengan

pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x ) atau g (x).Contoh: Tentukan nilai limit dari:

a. limx→~

4 x−12 x+1 b.

limx→~

4 x+1x2−x

Penyelesaian:

a. untuk menentukan nilai dari limx→~

4 x−12 x+1 perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f (x ) = 4x – 1

dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.

limx→~

4 x−12 x+1 =

limx→~

4 xx

−1x

2xx

+ 1x

=

limx→~

4−1x

2+ 1x

=

4−1~

2+ 1~

=

4−02+0

Page 18: Makalah Mtk Mella

=

42 = 2

b. Perhatikan fungsi h (x) =

4 x+1x2−2 ! Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2

yang terdapat pada x2 – 2. jadi, untuk menentukan nilai limx→~

4 x+1x2−x maka fungsi 4x + 1 dan x2 – 2

harus dibagi dengan x2 .

limx→~

4 x+1x2−x =

limx→~

4 xx2

+ 1x2

x2

x2 −2x2

=

limx→~

4x+ 1x2

1− 2x2

=

4~

+ 1(~ )2

1− 2(~ )2

=

0+01−0

=

01 = 0

b. Mengalikan dengan faktor lawan

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan limx→~

[ f (x )±g( x )]. Jika kita dimitai menyelesaikan

limx→~

[ f (x )±g( x )] maka kita harus mengalikan [f (x) + g (x)] dengan

[ f ( x )− g ( x ) ][ f ( x )− g ( x ) ] sehingga

bentuknya menjadi:

limx→~

[ f (x )±g( x )].

[ f ( x )− g ( x ) ][ f ( x )− g ( x ) ]

= limx→~

{[ f ( x )]2−[g ( x ) ]2 }f (x )− g ( x ) ataupun sebaliknya.

Contoh:

Tentukan nilai dari limx→~

√ x2+2x−√x2+x

Penyelesaian:limx→~

√ x2+2x−√x2+x

Page 19: Makalah Mtk Mella

= limx→~

√ x2+2x−√x2+x .

√x2+2 x+√ x2−x√x2+2 x+√ x2−x

= limx→~

(x2+2 )−( x2+1 )√x2+2 x+√x2−x

= limx→~

3 x√x2+2 x+√x2−x

=

limx→~

3 xx

√ x2

x2+2 xx2 +√ x2

x2 −xx2

=

3√1+0+√1−0

=

32

B. TEOREMA LIMITTeorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka:

1.limx→ak=k

2.limx→ax=a

3.limx→ak

f (x) = klimx→a f (x)

4.limx→a [f (x) ± g (x)] =

limx→a f (x) ±

limx→a g (x)

5.limx→a v [f (x) . g (x)] =

limx→a f (x) .

limx→a g (x)

6.

limx→a

f ( x )g ( x )

=limx→af ( x )

limx→ag ( x )

, dimana limx→a g(x) ≠ 0

7.limx→a [f (x) ]n = [

limx→a f (x)]n

limx→a

n√ f ( x )=n√ limx→af ( x )

dimana limx→a f (x) ¿ 0 untuk n bilangan genaplimx→a f (x) ≤ 0 untuk n bilangan ganjil

C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRIRumus limit fungsi trigonometri:a. Limit fungsi sinus

1.limx→0

xsin x

=1 2.limx→0

sin xx

=1

3.limx→0

axsin ax

=1→

limx→0

axsin bx

=ab

Page 20: Makalah Mtk Mella

4.limx→0

sin axax

=1→

limx→0

sin axbx

=ab

b. Limit fungsi tangens

1.limx→0

xtan x

=1

2.limx→0

tan xx

=1

3.limx→0

axtan ax

=1→

limx→0

axtanbx

=ab

4. limx→0

tan axax

=1→

limx→0

tan axbx

=ab

.FUNGSI LINIERFungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel adalah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas : variabel yang menjelaskan variabel lainnya. Adapun Variabel terikat adalah variabel yang diterangkan oleh variabel bebas.Koefisien adalah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan.Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apapun. 1). Pengertian fungsi linierFungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsiyang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebutdengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.:f : x → mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + cm adalah gradien / kemiringan / kecondongan danc adalah konstanta

2). Melukis grafik fungsi linierLangkah-langkah melukis grafik fungsi liniera Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0)b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1)c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus

Persamaan linier juga dapat ditulis ditulis dengan simbol y = ax + b (ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar)Jika b bernilai positif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan atasJika b bernilai negatif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawahJika b bernilai nol : digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar xApabila b bernilai negatif : Y = 10 - 2X maka kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawahApabila b bernilai positif : Y = 2 + 2X maka kurva bergerak dari kiri bawah ke kanan atas

3). Gradien dan persamaan garis lurus

Page 21: Makalah Mtk Mella

a). Garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien m:m = y1-y2 atau m = y2-y1x1-x2 x2-x1

b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah:y-y1 = x-x1y2-y1 x2-x1

c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A(x1, y1) adalah:y = m (x – x1 ) + y1

4). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus (pgl)@ Persamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = - a/b@ Persamaan garis lurus : y = ax + b maka m = a@ Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = 0@ Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradient

5). Titik potong dua buah garisMenentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikanpenyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi,metode substitusi maupun metode grafik

6). Hubungan dua buah garisDua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak lurus jika m1 x m2 = -BerimpitDua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yan lain. Dengan demikian , garis akan berimpit dengan garis, jika

SejajarDua garis lurus akan sejajar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari

garis yang lain. Dengan demikian , garis akan sejajar dengan garis ,

jika

BerpotonganDua garis lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan

Page 22: Makalah Mtk Mella

lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian , garis akan berpotongan

dengan garis , jika

Tegak lurusDua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian , garis

akan tegak lurus dengan garis , jika atau

Penerapan Fungsi Linier dalam Ekonomi Fungsi Permintaan, Fungsi Penawaran dan Keseimbangan Pasar

Fungsi PermintaanFungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang diminta oleh konsumen dengan variabel harga serta variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk itu sendiri, pendapatan konsumen, harga produk yang diharapkan pada periode mendatang, harga produk lain yang saling berhubungan dan selera konsumen

Bentuk Umum Fungsi Permintaan :

Q = a – bP atau

Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity,

Page 23: Makalah Mtk Mella

jumlah) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan, hukum permintaan yaitu apabila harga naikl jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun jumlah yang diminta akan bertambah.

Fungsi PenawaranFungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah barang/jasa yang ditawarkan oleh produsen dengan variabel harga dan variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu. Variabel tersebut antara lain harga produk tersebut, tingkat teknologi yang tersedia, harga dari faktor produksi (input) yang digunakan, harga produk lain yang berhubungan dalam produksi, harapan produsen terhadap harga produk tersebut di masa mendatangBentuk Umum :

Q = -a + bP atau

Dalam bentuk persamaan diatas terlihat bahwa variable P (price, harga) dan variable Q (quantity, jumlah) mempunyai tanda yang sama, yaitu sama-sama positif. Ini mencerminkan,hukum penawaran yaitu apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang.

Keseimbangan Pasar Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.

Syarat Keseimbangan Pasar :Qd = QsQd = jumlah permintaanQs = jumlah penawaran

E = titik keseimbanganPe = harga keseimbanganQe = jumlah keseimbangan

Pengaruh Pajak Terhadap Keseimbangan PasarJika produk dikenakan pajak t per unit, maka akan terjadi perubahan keseimbangan pasar atas produk tersebut, baik harga maupun jumlah keseimbangan. Biasanya tanggungan pajak sebagian dikenakan kepada konsumen sehingga harga produk akan naik dan jumlah barang yang diminta akan berkurang. Keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak dapat digambarkan sebagai berikut.

Page 24: Makalah Mtk Mella

Pengenaan pajak sebesar t atas setiap unit barang yang dijual menyebabkan kurva penawaran bergeser ke atas, dengan penggal yang lebih besar pada sumbu harga. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ + tBeban pajak yang ditanggung oleh konsumen : tk = Pe‘ – Pe

Beban pajak yang ditanggung oleh produsen : tp = t – tk

Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah : T = t x Qe‘

Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan PasarSubsidi yang diberikan atas produksi/penjualan suatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih rendah.Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser. Jika sebelum pajak persamaan penawarannya P = a + bQ, maka sesudah pajak ia akan menjadi P = a + bQ – s

Bagian subsidi yang dinikmati oleh konsumen : sk = Pe – Pe‘Bagian subsidi yang dinikmati oleh produsen : sp = s – sk

Jumlah subsidi yang dibayarkan oleh pemerintah : S = s x Qe‘

Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan Fungsi Biaya Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost). Sifat biaya tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan, biaya tetap merupakan sebuah konstanta. Sedangkan biaya variabel tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar pula biaya variabelnya. Secara matematik, biaya variabel merupakan fungsi dari jumlah barang yang dihasilkan.FC = kVC = f(Q) = vQ

C = g (Q) = FC + VC = k + vQ

Page 25: Makalah Mtk Mella

Keterangan ;FC = biaya tetapVC= biaya variabelC = biaya total

k = konstantaV = lereng kurva VC dan kurva C

Fungsi Penerimaan Penerimaan total (total revenue) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut. R = Q x P = f (Q)

Analisis Pulang Pokok Analisis Pulang Pokok (break-even) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, π = 0 ) terjadi apabila R = C ; perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula menderita kerugian. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C..FUNGSI NON LINIER A. Fungsi KuadratFungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Mengingat pangkat dua dalam persamaan kuadrat sesungguhnya dapat terletak pada baik variable x maupun variable y, bahkan pada suku xy(jika ada) maka bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:

1 LingkaranBentuk Umum persamaan lingkaran ialah : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0Jika i dan j masing-masing adalah jarak pusat lingkaran terhadap sumbu vertikal y dan sumbu horizontal x, sedangkan r adalah jari-jari lingkaran, maka persamaan baku lingkaran menjadi : ( x – i )2 + ( y – j )2 = r2 , dengan

2 EllipsBentuk baku rumus ellips

3 HiperbolaJika sumbu lintang sejajar sumbu x

Jika sumbu lintang sejajar sumbu y

Page 26: Makalah Mtk Mella

4 ParabolaBentuk umum persamaan parabola adalah :y = ax2 + bx + c, jika sumbu simetri sejajar sumbu verticalataux = ay2 +by +c, jika sumbu simetri sejajar sumbu horisontal

B. Penerapan Ekonomi1. Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan PasarSelain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisis keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran yang non linier sama seperti halnya dalam kasus yang linier. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Qd = Qs, pada perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.

Keseimbangan Pasar:Qd = Qs

Qd = jumlah permintaanQs = jumlah penawaranE = titik keseimbanganPe = harga keseimbanganQe = jumlah keseimbangan

Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada kondisi linier. Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang ditawarkan oleh produsen berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.

2 Fungsi Biaya Selain pengertian biaya tetap, biaya variable dan biaya total, dalam konsep biaya dikenal pula pengertian biaya rata-rata (average cost) dan biaya marjinal (marginal cost). Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau keluaran, merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan. Adapun biaya marjinal ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghsilkan satu unit tambahan produkBiaya tetap : FC = kBiaya variable : VC = f(Q) = vQBiaya total : C = g (Q) = FC + VC = k + vQBiaya tetap rata-rata :

Biaya variable rata-rata:

Biaya rata-rata:

Page 27: Makalah Mtk Mella

Biaya marjinal:

Bentuk non linier dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolic dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya secara grafik dapat dilihat sebagai berikut:

Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik

Andaikan C = aQ2 – bQ + c maka danMaka

1. Biaya total merupakan fungsi kubikAndaikan C = aQ3 – bQ2 + cQ + d, maka

dan FC=DMaka

3. Fungsi Penerimaan Bentuk fungsi penerimaan total (total revenue, R) yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka ke bawah.Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang , juga merupakan hasilkali jumlah barang dengan harga barang per unit. Seperti halnya dalam konsep biaya, dalam konsep penerimaanpun dikenal pengertian rata-rata dan marjinal. Penerimaan rata-rata (average revenue, AR) ialah penerimaan yang diperoleh per unit barang, merupakan hasilbagi penerimaan total terhadap jumlah barang. Penerimaan marjinal (marginal revenue, MR) ialah penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dihasilkan atau terjual.Penerimaan total R = Q x P = f (Q)Penerimaan rata-rata AR = R/QPenerimaan marjinalMR =

Page 28: Makalah Mtk Mella

3 Keuntungan, Kerugian dan Pulang Pokok Analisis Pulang Pokok (break-even) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, π = 0 ) terjadi apabila R = C ; perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula menderita kerugian. Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.

Tingkat produksi Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan pulang pokok, sebab penerimaan total sama dengan pengeluaran (biaya) total, R = C. Area disebelah kiri Q 1 dan sebelah kanan Q4 mencerminkan keadaan rugi, sebab penerimaan total lebih kecil dari pengeluaran total, R < C. Sedangkan area diantara Q1 dan Q4 mencerminkan keadaan untung, sebab penerimaan total lebih besar dari pengeluaran total, R > C. Tingkat produksi Q3 mencerminkan tingkat produksi yang memberikan penerimaan total maksimum. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif antara R dan C. Keuntungan maksimum tidak selalu terjadi saat R maksimum atau C minimum.

Contoh soal:Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan R = -0,1Q 2 + 20Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,25Q3 – 3Q2 + 7Q + 20. Hitunglah profit perusahaan ini jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit ?Jawab ;π = R – C = -0,1Q2 + 20Q – 0,25Q3 + 3Q2 – 7Q – 20π = – 0,25Q3 + 2,9Q2 + 13Q – 20Q = 10 π = – 0,25(1000) + 2,9(100) + 13(10) – 20= –250 + 290 +130 – 20 = 150 (keuntungan )Q = 20 π = – 0,25(8000) + 2,9(400) + 13(20) – 20= –2000 + 1160 +260 – 20 = – 600 (kerugian )

.BARISAN DAN DERETBarisan Aritmatika (Hitung)Barisan Aritmatika (Hitung) ialah barisan yang perubahan suku-sukunya mempunyai selisih atau perbedaan (b) yang sama. Barisan aritmatika diperoleh dengan menjumlahkan bilangan tertentu ke bilangan sebelumnya untuk mendapatkan suku berikutnya. Bentuk umum suku ke-n dalam barisan aritmatika ialah:

Dimana : Un = Suku ke n a = Suku pertama

b = Beda atau selisihn = Banyaknya suku

Deret Aritmatika (Hitung)

Page 29: Makalah Mtk Mella

Deret Aritmatika (Hitung) ialah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmatika. Bentuk umum jumlah n suku pertama deret aritmatika ialah:

Dimana : Sn = Suku ke n a = Suku pertama

b = Beda atau selisihn = Banyaknya suku

Barisan Geometri (Ukur)Barisan Geometri (Ukur) ialah barisan bilangan dengan perbandingan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Perbandingan setiap suku berurutannya disebut rasio (r). Bentuk umum dari Barisan Geometri (Ukur) ialah:

Deret Geometri (Ukur) Deret Geometri (Ukur) ialah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan geometri (Ukur). Bentuk umum dari Deret Geometri (Ukur) ialah:

Dimana : Un = Suku ke n a = Suku pertama

r = rasion = Banyaknya suku

APLIKASI DALAM ILMU EKONOMI BISNIS Barisan dalam Usaha Bisnis

Penerapan barisan bagi dunia bisnis yang lebih sesuai adalah Barisan Aritmatika. Karena apabila diukur dengan barisan geometri, variabel-variabel ekonomi seperti biaya produksi, modal, pendapatan, tenaga kerja akan kesulitan untuk mengikutinya dalam arti segera memenuhinya.Contoh: Stok barang PT. X pada bulan 1 sampai dengan 10, setelah dihitung rata-rata permintaan barang tersebut ialah 7. Berapakah stok barang pada bulan ke-6

Deret dalam Mengukur Bunga Majemuk Model deret untuk bunga majemuk (Bunga berbunga) ialah baris geometri khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan. Transaksi dengan model ini disebut kredit.

Rumus:

Page 30: Makalah Mtk Mella

Rumus ini untuk kredit system pembayaran suku bunga yang dibayarkan setahun sekali. Sebaiknya jika suku bunga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun rumusnya menjadi:

MENERAPKAN KONSEP MATRIKS1. Pengertian MatriksDalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut.Jenis Kelamin Kelas Putra Putri JumlahII Ak 1 28 15 43II Ak 2 32 10 42Jumlah 60 25 85Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.

Syarat – syarat suatu matriks :1. Unsur – unsurnya terdiri dari bilangan – bilangan2. Mempunyai baris dan kolom3. Elemen – elemennya berbentuk persegi panjang dalam kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua .

Kegunaan matriks :1. Memudahkan dalam membuat analisis mengenai suatu masalah ekonomi yang mengandung bermacam – macam variable.2. Digunakan dalam memecahkan masalah operasi penyelidikan , misalnya masalah operasi penyelidikan sumber – sumber minyak bumi dan sebagainya.3. Dikaitkan dengan penggunaan program linear, analisis input output baik dalam ekonomi, statistic, maupun dalam bidang pendidikan, manajemen, kimia, dan bidang – bidang teknologi yang lainnya.

Matriks lazimnya akan dinotasikan dengan sebuah huruf besar yang dicetak tebal ( A, B, dan seterusnya ), dan elemen – elemen yang dinotasikan dengan huruf kecil yang dicetak miring ( a, b, dan seterusnya ). Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2.

Page 31: Makalah Mtk Mella

MATRIKS – MATRIKS ISTIMEWA1. Matriks Istimewa Berdasarkan Jumlah Baris dan Kolom Adapun beberapa matriks istimewa yang dilihat berdasarkan jumlah baris dan kolom yaitu matriks baris, matriks kolom, dan matriks persegi( matriks bujur sangkar ).1. Matriks BarisMatriks Baris adalah matriks dengan satu baris elemen. Jadi, matriks baris adalah matriks yang berordo 1 × k, dengan k menunjukkan jumlah elemen matriks tersebut. Contoh : A = merupakan matriks baris berordo 1 × 4

2. Matriks KolomMatriks Kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom elemen. Jadi, matriks kolom adalah matriks berordo l × 1, dengan l menunjukkan jumlah elemen matriks tersebut.Contoh : A = merupakan matris kolom berordo 3 × 1

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur SangkarMatriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolomContoh : A = , jumlah baris = jumlah kolom

2. Matriks Istimewa Berdasarkan Sifat Elemen – ElemennyaDitinjau dari sifat – sifat elemen – elemennya terdapat beberapa matriks istimewa, di antaranya adalah matriks segitiga, matriks diagonal, matriks identitas, dan matriks nol.1. Matriks Segi TigaMatriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .Contoh : C = , D = Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.Matriks segitiga dapat dibagi menjadi matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. Matriks yanga berdiagonal atas dapat dilihat pada contoh matriks D, sedangkan matriks yang memiliki diagonal bawah dapat dilihat pada contoh matriks C.

2. Matriks DiagonalMatriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen bernilai nol kecuali diagonal utamanya.Contoh : E = Keterangan : Angka (5, 7, -2, 8) merupakan diagonal utamanya.

3. Matriks Identitas atau Matriks Satuan Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.Contoh : I3 = , I4 = I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4

4. Matriks NolMatriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo ,ditulis dengan huruf O.Contoh : = merupakan matriks nol yang berordo 2 × 3

TRANSPOSE SUATU MATRIKS ( notasinya At atau A, )Transpose suatu matriks adalah matriks baru yang diperoleh dari suatau matriks asal dengan mempertukarkan antara elemen kolom dan elemen barisannya.

Page 32: Makalah Mtk Mella

Jika diketahui suatu matriks A dengan ordo m × n, maka transpose matriks tersebut adalah matriks berordo n × m. Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A. Misal Matriks A = Maka Transpos A adalah At = Jadi jika ordo matriks A = 3×4 maka ordo matriks transpos adalah 4×3Sifat-sifat matriks transpose :1) ( A + B )t = At + Bt2) ( At )t = A3) ( AB )t = Bt At4) ( kA )t = kAt, dengan k = konstantaDalam pembahasan transpose dikenal istilah matriks simetri, yaitu matriks yang sama transposenya. Matriks Simetri merupakan suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga .Contoh : G = Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.

KESAMAAN MATRIKSKesamaan antara dua matriks tidak hanya ditentukan oleh kesamaan ordo kedua matriks itu. Dua matriks dikatakan sama ( identik ) jika ordo keduamatriks itu sama dan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks sama nilainya. Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B Contoh : A = dan B = Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu Definisi:Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :a. Matriks A dan B mempunyai ordo samab. Unsur-unsur yang seletak pada matriks A dan matriks B sama.

OPERASI ALJABAR PADA MATRIKSPada operasi aljabar dapat berupa penjumlahan atau pengurangan matriks dan perkalian matriks.1. Penjumlahan pada MatriksDua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama. Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapatdijumlahkan atau dikurangkan. Contoh : Jika A = dan B = Maka A + B = = A – B = = Adapun beberapa sifat dasar yang dimiliki operasi penjumlahan pada matriks. Untuk A, B, C, dan 0 ( matriks nol ) yang merupakan matriks – matriks berordo yang sama, berlaku sifat – sifat berikut :1) A + B = B + A ( sifat komutatif )2) A + (B + C ) = ( A + B ) + C ( sifat asosiatif )3) Terdapat matriks identitas penjumlahan, yaitu matrik nol sehingga berlaku A + 0 = 0 + A = A untuk setiap matriks A.4) Terdapat invers penjumlahan sehingga berlaku A + (- A) = – A + A = 0, yang dimaksud dengan matriks – A atau matriks lawan dari matriks A adalah matriks yang elemen – elemennya merupakan negative dari elemen – elemen dari matriks A yang seletak.

Page 33: Makalah Mtk Mella

2. Pengurang pada MatriksPada prinsipnya, operasi pengurangan pada matrik sama dengan operasi penjumlahan pada matrik. Sehingga sifat – sifat pada operasi pengurangan pada matrik sama dengan operasi pengurangan pada metriks, yaitu :1) A – B = A + (- B )2) A – B = C3) A + B = C, maka berarti B = C – A dan A = C – B 3. Perkalian pada MatriksOperasi perkalian pada matriks terdiri dari operasi perkalian antara matriks dengan suatu scalar dan perkalian antarmatriks (matriks dengan matriks).

3. Perkalian antara Matriks dengan SkalarJika A suatu ordo m n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA adalah metriks ordo m n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar.Jadi, jika A , maka: kA Contoh : Misal A = maka 3A = 3 = Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.Jika a dan b bilangan real, maka :1) ( a + b )A = aA + bA2) a ( A + B ) = aA + aB3) a( bA ) = (ab)A4) 1 × A = A5) 0 × A = 06) (- 1) A = – A

4. Perkalian antar MatriksMatriks A yang berordo m p dangan suatu matriks B yang berordo p n adalah matriks Cyang berordo m n.A m p.B p n = C m n.Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.Secara umum jika A = ordo matriks 2 3B = ordo matriks 3 2C = A . B= ordo matriks 2 2

INVERS DAN DETERMINAN1. Menentukan Determinan dan Invers1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2Matriks A = Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonalsamping disebut determinan matriks A.Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad – bcContoh : Jika A = maka det A = = ( 1)(4) – (2)(-3)= 4 +6= 10

Page 34: Makalah Mtk Mella

2). Determinan Matriks Persegi Berordo 33). Invers Matriks Bujur Sangkar Jika A dan B matriks ordo n x n, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas.Contoh : Misal A = dan B = Maka BA = = = I Dengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A-1.Oleh karena BA = I dan B = A-1 maka A-1A = IJika A = maka invers A (ditulis A-1) dan dirumuskan Harga (ad –bc) disebut determinan dari matriks A atau det A.Matriks mempunyai invers jika dan hanya jika (ad – bc) 0. Jika (ad – bc) = 0 maka matriks tidak mempunyai invers.Matriks yangdeterminannya = 0, dinamakan matriks Singular.

Sifat sifat invers matriks dan penggunaanyaa. Sifat sifat invers matriksDiketahui matrik A dan B adalah matriks persegi, A-1 invers dari A dan B-1 invers dari B, serta I matriks identitas, maka berlaku sifat sifat invers matriks sebagai berikut: 1. AA-1 = A-1A = I2. (A-1)-1 = A3. (AB)-1 = B-1A-14. (At)-1 = (A-1)t

Sifat sifat invers matriks matriks hanya berlaku pada matriks non singularPenyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks1). Penyelesaian Persamaan Linier dua variabel dengan cara determinanUntuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti berikutDiubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy denganD = = Dx = = Dy = =

Page 35: Makalah Mtk Mella

BAB IIIPENUTUP

KESIMPULANAplikasi matematika dalam ekonomi dan bisnis merupakan salah satu bagian yang sangat

penting untuk dipelajari, karena model-model ekonomi yang berbentuk matematika biasanya dinyatakan dengan fungsi. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi, maka semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus-menerus ditambah.

SARANDemikian yang dapat saya paparkan mengenai materi yang menjadi pokok bahasan dalam

masalah ini. Tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya, karna terbatasnya pengetahuan dan kurangnya rujukan atau refrensi yang ada hubungannya dengan judul makalah ini. Penyusun banyak berharap pada pembaca dapat memberikan kritik dan saran yang membangun pada penyusun. Demi sempurnanya penyusunan makalah ini, kami berharap kritik dan saran oleh para pembaca.

Page 36: Makalah Mtk Mella

DAFTAR PUSTAKA

Robiyatun, Alifah, Sinar(Siswa Rajin Belajar) (Sinar Mandiri: Klaten. tt)Sudrajat, Asep, Prestasi Matematika 2 (Ganeca Axact: Bandung. 2000)Donald A. McQuarrie (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5James Stewart (2002). Calculus: Early Transcendentals, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39321-2

http://ardiangood.blogspot.com/2011/01/penerapan-suku-banyak-polinom-dalam.htmlhttp://www.scribd.com/doc/131943605/Penerapan-Komposisi-Fungsi-Dan-Invers-Dalam-Kehidupan-Ekonomi https://id.answers.yahoo.com/question/index?qid=20110228022131AAs0vXT http://brainly.co.id/tugas/142555