A.Pengertian Turunan Telah kita ketahui turunan dari fungsi f(x) pada x = a ditentukan dengan rumus. h) a ( f ) h a ( flim ) a ( f0 h' += Jika fungsi f(x) dideferensial untuk semua x maka turunan dari fungsi f(x) untuk sembarang nilai x ditentukan dengan rumus: h) x ( f ) h x ( flim ) x ( f0 h' += ) x ( f' dibaca f aksen x disebut turunan dari fungsi f(x). ) a ( f' diperoleh dari) x ( f' dengan x diganti dengan a. ) x ( f' sering ditulis) x ( fdx ) x ( df'=B. Tafsiran Geometri Dari Turunan

) x ( f2

) x ( f1

1x hh x x1 2+ =Artifisisturunanadalahgradiengarisluruspadatitik) y , x ( dan ) y , x (2 2 1 1 gradiennyaadalah 1 21 2x xy ym= atau 1 21 2x x) x ( f ) x ( fm= maka ) x ( fh) x ( f ) h x ( flim m' 1 10 h= +=.Makadapatdisimpulkanbahwagradiengarislurus sama dengan turunan pertama suatu fungsi pada 2 titik. Untukmenentukanturunanfungsidapatdituliskandengansalahsatulambangsebagai berikut: dxdyataudx) x ( dfatau ) x ( f atau y' ' Rumus garis singgung kurva di suatu titik dirumuskan: ) x x ( f y y1'1 = Contoh: 1.Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi di bawah ini! a.1 x 3 ) x ( F =b.5 x 2 x ) x ( F2+ + =Penyelesaian : a.1 x 3 ) x ( F =maka 1 ) h x ( 3 ) h x ( F + = + 1 h 3 x 3 + = h) x ( f ) h x ( flim ) x ( f0 h' +== 3hh 3h1 x 3 ) 1 h 3 x 3 (lim0 h= = + Jadi turunan pertama 3x-1 adalah 3. b.5 x 2 x ) x ( F2+ + =maka5 ) h x ( 2 ) h x ( ) h x ( F2+ + + + = +5 h 2 x 2 h x . h 2 x ) h x ( F2 2+ + + + + = + h) x ( f ) h x ( flim ) x ( f0 h' +==h5 x 2 x ) 5 h 2 x 2 h x . h 2 x (lim2 2 20 h+ + + + + + + 2 x 2 2 h x 2 limhh 2 h x . h 2lim0 h20 h+ = + + =+ += Jadikesimpulannyaturunanpertamadari5 x 2 x ) x ( F2+ + = adalah 2x+2. B.Rumus-Rumus Turunan 1. f(x) = c maka) x ( f'= 0 2.f(x) = ax maka) x ( f'= a 3.f(x) = axnmaka) x ( f'= a.nxn-1 4.f(x) = u.vmaka) x ( f'=u . v v . u' '+5.f(x) = 2' ''vu . v v . u) x ( f makavu = Contoh : 1.Tentukan turunan dari fungsi dibawah ini dengan rumus fungsi turunan! a.y = 12 b.y = 3x2+x-5 c.y = 2x2x1x 2 +d.y = 4x3+4x-3xjawab : a.y = 12c.y = 2x2x1x 2 +

'y = 0 2 1 2 1x 2 x x 2 y + =

'y = 1 2 1 1 1 2 1x ). 2 .( 2 x . 1 x 3 2 2 1 'x 4 x x y + = b.y = 3x2+x-5 d.y = 4x3+4x-3x 'y = 6x + 1 2 3 3x x 4 x 4 y + =

2 1 2 'x234 x 12 y + = 2.Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini! a.y = (2x + 5).(x2 +6x) b.y = 1 x 3 x1 x 42 + + c.Diketahui fungsi f(x) = x2 -10x +3 tentukan nilai x jika'y = 0 Jawab : a.y = (2x + 5).(x2 +6x) f(x) = u.vmaka) x ( f'=u . v v . u' '+ Misal u= 2x +5maka 2 u'=V = x2 + 6xmaka 6 x 2 v'+ =) x ( f'=u . v v . u' '+ = 2.(x2 +6x) + (2x + 6). (2x + 5) =2x2 + 12x + 4x2 + 10x + 12x +30 =6x2 + 34x + 30 b.y = 1 x 3 x1 x 42 + + f(x) = 2' ''vu . v v . u) x ( f makavu = Misalu = 4x +1maka4 u'=V = x2 +3x -1maka 3 x 2 v'+ = 2 222' '') 1 x 3 x () 1 x 4 ).( 3 x 2 ( ) 1 x 3 x .( 4vu . v v . u) x ( f ++ + +== 2 22 2') 1 x 3 x () 3 x 12 x 2 x 8 ( 4 x 12 x 4) x ( f ++ + + += 2 22') 1 x 3 x (7 x 2 x 4) x ( f + = c.Diketahui fungsi f(x) = x2 -10x +3 tentukan nilai x jika'y = 0 5 x 10 x 2 maka 0 10 x 2 ) x ( f'= = = = F.MENERAPKAN LOGIKA MATEMATIKA DALAM PEMECAHAN DALAM PEMECAHAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN PERNYATAAN MAJEMUKDAN PERNYATAAN BERKUANTOR. A. Mendiskripsikan Pernyataan dan bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka). 1. Pernyataan 1.1. Pengertian Pernyataan . Pernyataanadalahkalimatyanghanyabenarsajaatausalahsaja,akantetapitidak sekaligus benar dan salah.1.2. Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan Dalam matematika , pernyataan-pernyataan dengan huruf kecil,seperti a , b , p dan q.Perhatikan contoh berikut ! 1.3. Kalimat Terbuka. Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Kalimat terbuka tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnyadiganti dengansuatu konstanta. Contoh :a)Kalimat terbuka : x + 5 = 9 Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (pernyataan benar) b)Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 12 (Pernyataan salah) B. Mendeskripsikan, Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi Dan Ingkaranya. B.1. Pernyataan Majemuk. Apabila suatu pernyataan terdiri lebih dari satu pernyataan maka diantara satu pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan suatu kata penghubung sehingga diperoleh suatu pernyataan majemuk. Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jikamaka) dan biimplikasi (jika dan hanya jika). Operasi LogikaPenghubungLambang IngkaranTidak, non~ atau - KonjungsiDan. DisjungsiAtauvImplikasiJika.maka. BiimplikasiJika dan hanya jika

Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut operasi dalam logika.Simbol-simbol dari operasi dalam logika diberikan dalam tabel berikut. Ingkaran atau Negasi atau penyangkalan Nilaikebenarandapatdituliskandalambentuktabelyangdinamakantabelkebenaran seperti berikut. p~ p B S S B 1.2. Operasi Konjungsi Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda .. Dengan operasi ini dua pernyataan dihubungkan dengan kata dan . Jika p dan q dua pernyataan , maka p .q bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar, sebaliknya p .q bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernilai salah atau keduanya salah. Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi. pqp.q B B B S B S S S B S S S 1.3. Operasi Disjungsi Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda v . Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata hubungan atau. Jika p dan q dua pernyataan maka pv q bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya pv q bernilai salah jika keduanya bernilai salah. Tabel nilai kebenaran Disjungsi pqpv q B B S S B S B S B B B S 1.4. Operasi Implikasi. Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang menggunakan kata hubung jika . Maka . Yang dilambangkan . Implikasi dari pernyataan p dan q ditulispq dan dibaca jika p maka q. Pernyataan bersyarat pq juga dapat dibaca p hanya jika q atau p adalah syarat cukup bagi q atau q adalah syarat perlu bagi p. Dalam pernyataan pq p disebut hipotesa / anteseden / sebab q disebut koklusi / konequen / akibat Jika p dan q dua buah pernyataan maka pq salah jika p benar dan q salah,dalam kemungkinan lainnya pq benar. Tabel nilai kebenaran operasi implikasi pqpq BBB B S S S B S S B B 1.5. Operasi Biimplikasi ( Bikondisional). Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubungjika dan hanya jika .. dinotasikan . Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulisp qdibaca p jika dan hanya jika q. Pernyataanp qdapat juga dibaca : 1)p equivalent q 2)p adalah syarat perlu dan cukup bagi q Jikapdan q dua buah pernyatan makap qbenar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p qsalah bila salah satu salah , atau salah satu benar . Tabel nilai kebenaran operasi Biimplikasi. pqpq B B S S B S B S B S S B 1.6. Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk. Daripernyataan-pernyataantunggalp,q,r,...dandenganmenggunakanoperasi-opersi pernyataannegasi(~),konjungsi( .),disjungsi( v ),implikasi( )danbiimplikasi() dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit.Contoh : 1)~( pv~q) 2)~ ( ) | | q p p .3) ( ) | | r q p v Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai kebenaran pernyataanmajemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut . Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk~ ( pv~q ). Jawab: pq~q( pv q )~ ( pv~q ). B B S S B S B S S B S B B B S B S S B S Jadi nilai kebenaran pernyataan majemuk~ ( pv~q ) adalahSS B S C. Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi Dari suatu pernyataan bersyarat pq yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain sebagai berikut : 1) q pdisebut pernyataan Konvers dari pq 2)~p ~qdisebut pernyataan Invers dari pq 3)~q ~pdisebut pernyataan Kontraposisi dari pq Untuksemuakemungkinannilaikebenaranpernyataan-pernyataankomponenpdanq, hubungannilaikebenarankonvers,invers,dankontraposisidenganimplikasisemula, dapat ditunjukkan dengan memakai tabel kebenaran . Tabel hubungan nilai kebenaran q p, ~p ~q , ~q ~pdenganpq ImplikasiKonversInversKontraposisi pq~p~qpq q p~p ~q~q ~p BBSSBBBB BSSBSBBS SBBSBSSB SSBBBBBB Dari tabel diatas ternyata : Suatu implikasi yang salah konversnya benar, tetapi implikasinya yang benar C.1. Negasi Pernyataan Majemuk Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi pernyataan majemuk pada tabel berikut ini: OperasiLambangNegasi Konjungsi q p . q p ~ ~vDisjungsi q p v q p ~ ~.Implikasi q p q p ~ .Biimplikasi q p q p ~ atauq p ~ Contoh : Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut ! D. Menerapkan Modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme Dalam Menarik Kesimpulan Dasar-dasar logika matematika yang telah kita pelajari pada subbab terdahulu akan diterapkan lebih lanjut dalam proses penarikan kesimpulan . Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataanyang dikeahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi. Kalau konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme. D.1. Modus Ponens Jikaq p benar dan p benar maka q benar. Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut : q p . . . . . . premis 1 p. . . . . . premis 2q. . . . .kesimpulan / konklusi Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai ( ) | | q p q p . . Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi ( ) | | q p q p . merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Tabel nilai kebenaran dari( ) | | q p q p . pq q p ( ) q p p . ( ) | | p q p . p BBBBB BSSSB SBBSB SSBSB Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa( ) | | q p q p . merupakan tautologi,jadi argumen tersebut sah. D.2. Modus Tollens Jikaq p benar danq ~benar maka p benarSkema argumen dapat ditulis sebagai berikut: q p . . . . . premis 1 ~q. . . . . premis2 ~p. . . . . . kesimpulan / konlusi Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai( ) | | p q q p ~ ~ . ,sah atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut ! Tabel nilai kebenaran( ) | | p q q p ~ ~ .

pq~p~q q p ( ) q p q ~ . ( ) | | q q p ~ . p ~ BBSSBSB BSSBSSB SBBSBSB SSBBBBB Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwa ( ) | | p q q p ~ ~ . merupakan tautologi. Jadi modus tollens merupakan argumentasi yang sah . D.3. SilogismaDari premis-premisq p danr q dapat ditarik konklusir p . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut : q p . . . . . premis 1 r q . . . . . premis 2 r p . . .kesimpulan / konklusi Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai ( ) ( ) | | ( ) r p r q q p . sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut : Tabel nilai kebenaran( ) ( ) | | ( ) r p r q q p . . pqr q p r q r p ( ) ( ) r q q p . ( ) ( ) | | ( ) r p r q q p . BBBBBBBB BBSBSSSB BSBSBBSB BSSSBSSB SBBBBBBB SBSBSBSB SSBBBBBB SSSBBBBB Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa( ) ( ) | | ( ) r p r q q p . merupakan tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah. Kata pengantar Makalah Matematika ini membantu kita belajar matematika sehari-hari. makalah ini disusun dengan menggunakan bahasa yang mudah kamu pahami. Dengan harapan,kita akan lebih tertarik dan suka belajar matematika.