1

BAB I

PENDAHULUANA. LATAR BELAKANG

Guru matematika pada umumnya setuju akan pentingnya motivasi yang

besar untuk mengajarkan matematika. Kecuali siswa-siswi yang memang secara

alami sudah senang terhadap matematika.

Dalam berinteraksi antara siswa dengan guru, diharapkan guru dapat

menjalankan peranannya sebagai pengajar dan pendidik. Dalam berinteraksi antar

siswa dengan guru biasanya banyak menimbulkan masalah atau kurang terarah,

hal ini dikarenakan guru kurang tepat dalam menggunakan pendekatan dalam

pembelajaran.

Pendekatan yang digunakan dalam proses pembelajaran khususnya pada

pembelajaran matematika akan lebih efektif dan bermakna apabila siswa

berpatisipasi aktif. Salah satu ciri kebermaknaan dalam proses belajar mengajar

adalah adanya keterlibatan atau partisipasi siswa dalam proses belajar mengajar.

Partisipasi merupakan suatu sikap berperan serta, ikut serta, keterlibatan, atau

proses belajar bersama, saling memahami, menganalisis, merencanakan dan

melakukan tindakan.

B. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka dirumuskanlah

beberapa masalah, yaitu:

1. Apa matematika itu?

2. Bagaimana psikologi pembelajaran matematika yang harus diperhatikan

dan diterapkan dalam pembelajaran matematika?

C. TUJUAN

Adapun tujuan pembuatan makalah ini, yaitu untuk memperkenalkan apa

matematika itu dan bagaimana proses pembelajaran matematika yang baik bagi

guru/calon guru dan siswa atau peserta didik.

2

3

BAB II

HAKIKAT MATEMATIKA DAN PSIKOLOGI

PEMBELAJARAN MATEMATIKAA. Hakikat Matematika

1. Pengertian Matematika

Apakah matematika itu?

Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika yang mulanya

diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan

itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu

(knowledge, science). Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya

yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir).

Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu

pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika lebih

menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil

eksperimen atau hasil observasi. Matematika terbentuk karena pikiran-pikiran

manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran (Russeffendi ET,

1980 :148).

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, Matematika adalah ilmu yang

mempelajari tentang bilangan, hubungan antara bilangan satu dengan yang lain,

dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai

bilangan.

Berbagai pendapat muncul tentang pengertian matematika tersebut,

dipandang dari pengetahuan dan pengalaman masing-masing yang berbeda.

1. James dan James (1976) : Matematika adalah ilmu tentang logika

mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang

berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang

terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri.

2. Johnson dan Rising (1972) : Matematika adalah pola berpikir, pola

mengorganisasikan, pembuktian yang logik, matematika itu adalah bahasa

yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas, dan

4

akurat, representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa

simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi.

3. Reys, ddk. (1984) : Matematika adalah telaah tentang pola dan hubungan,

suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa, dan suatu alat.

4. Kline (1973) : Matematika itu bukanlah pengetahuan menyendiri yang

dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu

terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai

permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.

Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir, oleh karena

itu logika adalah dasar untuk terbentuknya matematika.

Masih banyak lagi definisi-definisi tentang matematika, tetapi tidak

satupun perumusan yang dapat diterima umum, atau sekurang-kurangnya dapat

diterima dari berbagai sudut pandang. Matematika itu sendiri bisa memasuki

seluruh segi kehidupan manusia, dari paling sederhana sampai kepada yang paling

kompleks.

2. Matematika sebagai ilmu deduktif

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Artinya proses pengerjaan

(mencari kebenaran) dalam matematika harus bersifat deduktif. Berbeda dengan

ilmu pengetahuan alam apalagi dengan ilmu pengetahuan umum yang

menggunakan metode induktif atau eksperimen. Namun dalam matematika

mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif, tetapi selanjutnya

generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa dibuktikan secara

deduktif.

Contoh1: generalisasi yang dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam

matematika.

Jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap

+ 1 -3 5 7

1 2 -2 6 8

-3 -2 -6 2 4

5 6 2 10 12

7 8 4 12 14

5

Dari tabel di atas, jelas bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan

hasilnya selalu genap. Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi

atau membuktikan dengan cara demikian.

Contoh2: generalisasi yang dibenarkan dalam matematika.

Pembuktian secara deduktif:

Andaikan m dan n sebarang dua bilangan bulat, maka 2m + 1 dan 2n + 1 tentunya

masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika dijumlahkan:

(2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1)

Karena m dan n bilangan bulat, maka (m + n + 1) bilangan bulat, sehingga 2(m + n

+ 1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.

3. Matematika sebagai ilmu terstruktur

Suatu kebenaran dalam matematika dikembangkan berdasarkan alasan

logis, namun cara kerja matematika terdiri dari observasi (benda mati), menebak

dan merasa, menguji hipotesa, mencari analogi, dan sebagainya.

Matematika itu dimulai dari unsur-unsur yang tidak dapat didefinisikan

berkembang ke unsur-unsur yang dapat didefinisikan terus ke aksioma atau

postulat sampai ke dalil atau teorema.

4. Matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu

Matematika sebagai sumber dari ilmu yang lain. Dari kedudukan tersebut,

tersirat bahwa matematika itu sebagai ratu ilmu yang berfungsi juga untuk

melayani ilmu pengetahuan.

B. PSIKOLOGI PEMBELAJARAN MATEMATIKA

1. Rasional

Dalam matematika, salah satu ciri pembelajarannya adalah penyajiannya

yang didasarkan pada teori psikologi pembelajaran. Ada beberapa teori psikologi

pembelajaran matematika yang akan dibahas

Pada pembicaraan mengenai pembelajaran matematika sekolah tidak akan

terlepas dari psikologi pembelajaran yang mendasarinya. Karena proses

6

pembelajaran adalah pembentukan diri siswa untuk menuju pada pembangunan

manusia seutuhnya, tidak melalui trial and eror. Hal ini sejalan dengan salah satu

prinsip penyelenggaraan pendidikan  yang tercantum dalam permen no. 41 tahun

2007, yaitu bahwa pendidikan diselenggarakan sebagai proses pembudayaan dan

pemberdayaan peserta didik yang berlangsung sepanjang hayat.

2. Aliran Psikologi Tingkah Laku

Sebelum psikologi tingkah laku, kita harus tahu dulu pengertian

psikologi belajar mengajar.

Psikologi belajar

atau

Teori belajar

Mempelajari tentang perkembangan intelektual

(mental) siswa. Terdiri atas 2:

Uraian tentang apa yang terjadi dan

diharapkan terjadi pada intelektual anak.

Uraian tentang kegiatan intelektual anak

mengenai hal-hal yang bisa dipikirkan pada

usia tertentu.

Psikologi mengajar

atau

Teori mengajar

Tentang bagaimana semestinya mengajar siswa

pada usia tertentu. Juga prosedur dan tujuan

mengajarnya.

Kedua teori tersebut tidak dapat dipisahkan.

Beberapa teori belajar yang dikemukakan oleh para ahli, sebagai

berikut:

1. Thorndike : Belajar akan lebih berhasil bila respon siswa terhadap suatu

stimulus segera diikuti dengan rasa senang atau kepuasaan. Dengan 3 dalil

atau hukum yaitu: hukum kesiapan (law of readiness), hukum latihan (law of

exercise) dan hukum akibat (law of effect).

2. Skinner : Bahwa ganjaran atau penguatan mempunyai peranan yang amat

penting dalam proses belajar.

3. Ausubel : Belajar bermakna dan pentingnya pengulangan belajar dimulai. Ia

membedakan antara belajar menemukan dengan belajar menerima.

4. Gagne : Dalam belajar matematika ada dua objek yang diperoleh siswa, yaitu

objek langsung (kemampuan menyelidiki dan memecahkan masalah, belajar

7

mandiri, bersikap positif terhadap matematika, dan tahu bagaimana

semestinya belajar) dan objek tak langsung (berupa fakta, keterampilan,

konsep, dan aturan). 8 tipe belajar, yaitu: belajar isyarat, stimulus respon,

rangkain gerak, rangkaian verbal, membedakan, pembentukan konsep,

pembentukan aturan, dan pemecahan masalah.

5. Pavlov : Konsep pembiasaan (conditioning).

6. Baruda : Belajar melalui meniru.

7. Aliran latihan mental : Jika anak ingin pandai maka ia harus di latih otaknya

dengan cara banyak berlatih memahami dan mengerjakan soal-soal.

3. Aliran Psikologi Kognitif

a) Teori Piaget

Piaget merupakan salah satu tokoh yang mengembangkan teori

Konstruktivisme. Menurut Piaget adalah suatu schemata atau kumpulan skema-

skema. Perkembangan schemata ini berlangsung terus-menerus melalui adaptasi

dengan lingkungannya. Proses terjadinya adaptasi schemata yang telah terbentuk

dengan stimulus baru dilakukan ini melalui dua cara, yaitu asimilasi dan

akomodasi.

1. Asimilasi, yaitu proses pengintegrasian stimulus baru ke dalam skema

yang telah terbentuk secara langsung.

2. Akomodasi, yaitu proses pengintegrasian stimulus baru ke dalam skema

yang telah terbentuk secara tidak langsung. Hal ini terjadi karena stimulus

baru tidak dapat diasimilasi, karena tidak ada skema yang sesuai yang

telah dimiliki.

Piaget juga mengemumakan teori mengenai perkembangan kognitif tiap

individu secara rinci, dari mulai bayi hingga dewasa yang disusun berdasarkan

studi klinis terhadap anak-anak dari berbagai usia golongan menengah di Swiss.

Kesimpulannya adalah pola berpikir anak tidak sama dengan pola berfikir orang

dewasa. Tahap perkembangan kognitif atau taraf kemampuan berpikir seseorang

sesuai dengan usianya. Makin Ia dewasa, makin meningkat pula kemampuan

berpikirnya. Jadi, kemampuan anak berbeda dengan kemampuan orang dewasa.

8

Selain itu, perkembangan kognitif seorang individu dipengaruhi pula oleh

dukungan dan transmisi sosialnya. Oleh karena itu agar perkembangan kognitif

seorang anak berjalan maksimal, sebaiknya diperkaya dengan pengalaman

edukatif. Berdasarkan hasil penelitiannya, Piaget mengemukakan bahwa ada

empat tahap perkembangan kognitif dari setiap individu yang berkembang secara

kronologis (menurut usia kalender) :

a. Tahap sensori motor

Tahap ini dimulai dari lahir sampai umur sekitar 2 tahun. Bagi anak yang

berada pada tahap ini, pengalaman diperoleh melalui pengalaman fisik (gerakan

anggota tubuh) dan sensori (koordinasi alat indera).

b. Tahap Pra Operasi

Tahap ini dimulai dari sekitar umur 2 tahun sampai dengan sekitar 7 tahun

dan merupakan tahap persiapan untuk pengoperasian operasi konkrit, yaitu berupa

tindakan-tindakan kognitif, seperti mengklasifikasikan sekelompok objek

(classifying), menata letak benda-benda menurut urutan tertentu (seriation), dan

membilang (counting). Pada tahap ini pemikiran anak lebih banyak berdasarkan

pada pengalaman konkrit daripada pemikiran logis, sehingga jika ia melihat

obyek-obyek yang kelihatannya berbeda, maka ia mengatakannya berbeda pula.

c. Tahap Operasi Konkrit

Anak-anak yang berada pada tahap ini umumnya sudah berada di Sekolah

Dasar, yaitu pada usia sekitar 7 tahun sampai dengan sekitar umur 11 tahun.

Umumnya anak-anak pada tahap ini telah memahami operasi logis dengan

bantuan benda konkrit. Kemampuan ini terwujud dalam memahami konsep

kekekalan, kemampuan mengklasifikasi dan serasi, mampu memandang suatu

objek dari sudut pandang yang objektif, dan mampu berpikir reversible.

d. Tahap Operasi Formal

Tahap operasi formal merupakan tahap akhir dari perkembangan kognitif

secara kualitas, yaitu pada usia 11 tahun dan sterusnya.  Anak pada tahap ini

sudah mampu melakukan penalaran dengan menggunakan hal-hal yang abstrak.

Penggunaan benda-benda konkrit tidak diperlukan lagi. Anak mampu bernalar

tanpa harus berhadapan dengan objek atau peristiwanya langsung. Penalaran yang

9

terjadi dalam struktur kognitifnya telah mampu hanya dengan menggunakan

symbol-simbol, ide-ide, abstraksi, dan generalisasi.

b) Teori Brunner

Jerome S.Bruner seorang ahli psikologi yang dilahirkan tahun 1915,

lulusan dari Universitas Harvard, Amerika Serikat, telah mempelopori aliran

psikologi kognitif yang memberi dorongan  agar pendidikan memberikan

perhatian pada pentingnya pengembangan berfikir. Jerome Brunner dalam

teorinya menyatakan bahwa belajar matematika akan berhasil jika proses

pengajaran diarahkan kepada konsep-konsep dan struktur-struktur terbuat dalam

pokok bahasan yang diajarkan, di samping hubungan yang terkait dengan konsep-

konsep dan struktur-struktur.

Berdasarkan hasil penelitiannya, Brunner mengidentifikasi tiga tahap

perkembangan yang dilewati anak dalam belajar, yaitu :

1. Tahap Enaktif (enactive stage) : Tahap dimana siswa belajar dengan

memanipulasi benda atau objek konkrit.

2. Tahap ikonik (iconic stage) : Siswa belajar dengan menggunakan gambar.

3. Tahap simbolik (symbolic stage) : Siswa belajar matematika melalui

manipulasi lambang atau simbol.

Berdasarkan pengamatan ke sekolah-sekolah, Bruner memperoleh

beberapa kesimpulan yang melahirkan dalil-dalil, yaitu dalil penyusunan

(construction theorem), dalil notasi (notation theorm), dalil kekontrasan dan dalil

keanekaragaman (contras and variation theorm), dan dalil pengaitan (connectivity

theorm).

1. Dalil penyusunan (construction theorem)

Dalil ini menyatakan bahwa jika anak ingin mempunyai kemampuan

menguasai konsep, teorema, definisi dan semacamnya, anak harus dilatih untuk

melakukan penyusunan representasinya. Ini berarti, jika anak aktif dan terlibat

dalam kegiatan mempelajari konsep yang dilakukan dengan jalan memperlihatkan

representasi tersebut, maka anak akan lebih memahaminya.

2. Dalil Notasi

10

Notasi memiliki peranan penting dalam penyajian konsep. Penggunaan

notasi dalam menyatakan sebuah konsep tertentu harus disesuaikan dengan tahap

perkembangan mental anak. Penyajiannya dilakukan dengan pendekatan spiral,

dimana setiap ide-ide matematika disajikan secara sistematis dengan

menggunakan notasi-notasi yang bertingkat.

3. Dalil pengkontrasan dan keanekaragaman

Pengontrasan dan keanekaragaman sangat penting dalam melakukan

pengubahan konsep dipahami dengan mendalam, diperlukan contoh-contoh yang

banyak, sehingga anak mampu mengetahui karakteristik konsep tersebut.

Misalnya, untuk menjelaskan pengertian bilangan prima anak perlu diberi contoh

yang banyak yan sifatnya beranekaragam.

4. Dalil pengaitan (konektivitas)

Dalam matematika itu satu konsep dengan konsep lainnya terdapat

hubungan erat, bukan saja dari segi isi, namun juga dari segi rumus-rumus yang

digunakan. Materi yang satu merupakan prasyarat bagi yang lainnya atau konsep

yang satu diperlukan untuk menjelaskan konsep lainnya.

c) Teori Gestalt

Berbeda dengan teori-teori sebelumnya yang menganggap bahwa belajar

sebagai proses trial and error, teori Gestalt memandang belajar adalah proses yang

didasarkan pada pemahaman (insight). (Baharudin, 2009). Dalam pelajaran guru

jangan memberikan konsep yang harus diterima begitu saja, melainkan harus lebih

mementingkan pemahaman terhadap terbentuknya konsep tersebut daripada hasil

akhir. Untuk hal ini, guru bertindak sebagai pembimbing dan pendekatan yang

digunakan adalah pendekatan proses melalui metode induktif.

Beberapa prinsip belajar penting yang dilahirkan dari Teori Gestalt adalah :

a. Manusia bereaksi dengan lingkungannya secara keseluruhan, tidak hanya

secara intelektual, tetapi juga secara fisik, emosional, sosial dan sebagainya

b. Belajar adalah penyesuaian diri dengan lingkungan.

c. Manusia berkembang sebagai keseluruhan sejak dari kecil sampai dewasa,

lengkap dengan segala aspek-aspeknya.

d. Belajar adalah perkembangan kearah diferensiasi ynag lebih luas.

11

e. Belajar hanya berhasil, apabila tercapai kematangan untuk memperoleh

insight.

f. Tidak mungkin ada belajar tanpa ada kemauan untuk belajar, motivasi

memberi dorongan yang mengerakan seluruh organisme.

g. Belajar akan berhasil kalau ada tujuan.

h. Belajar merupakan suatu proses bila seseorang itu aktif, bukan ibarat suatu

bejana yang diisi.

d) Teori brownell

W. Brownell mengemukakan bahwa belajar matematika harus merupakan

belajar bermakna dan belajar pengertian. Dia juga menegaskan bahwa belajar

pada hakikatnya merupakan suatu proses yang bermakna.

e) Teori Dienes

Zoltan P. Dienes adalah seorang matematikawan yang memfokuskan

perhatiannya pada cara pengajaran. Dienes menekankan bahwa dalam

pembelajaran sebaiknya dikembangkan suatu proses pembelajaran yang menarik

sehingga bisa meningkat minat siswa terhadap pelajaran matematika.

Dienes mengungkapkan bahwa dalam proses pembelajaran sangatlah

penting untuk menyajikan konsep-konsep atau prinsip-prinsip matematika dalam

bentuk yang konkrit. Hal ini dilakukan agar konsep dan prinsip tersebut dapat

dipahami dengan baik oleh siswa. Ini mengandung arti bahwa benda-benda atau

objek-objek dalam bentuk permainan akan sangat berperan dalam pengajaran

matematika

f) Teori Van Hiele

Teori belajar Van Hiele menguraikan tahap-tahap perkembangan mental

anak dalam geometri. Menurut Van Hiele, tiga unsur utama dalam pengajaran

geometri yaitu waktu, materi pengajaran dan metode pengajaran yang diterapkan.

Jika ditata secara terpadu akan dapat meningkatkan kemampuan berfikir anak

kepada tingkatan berfikir yang lebih tinggi.

Van Hiele menyatakan bahwa terdapat 5 tahap belajar anak dalam 

geometri, yaitu:

12

a. Tahap pengenalan (visualisasi) : Anak mulai belajar mengenali suatu

bentuk geometri secara keseluruhan, namun belum mampu mengetahui

adanya sifat-sifat dari bentuk geometri yang dilihatnya itu.

b. Tahap analisis : Anak sudah mulai mengenal sifat-sifat yang dimiliki dan

keteraturan-keteraturan yang terdapat pada benda geometri yang

diamatinya.

c. Tahap pengurutan (deduksi informal) : Anak sudah mampu menarik

kesimpulan atau disebut berfikir deduktif walaupun belum berkembang

secara penuh. Anak juga sudah mampu mengurutkan keteraturan-

keteraturan yang sudah dikenali sebelumnya.

d. Tahap deduksi : Anak sudah mampu menarik kesimpulan secara deduktif.

Anak sudah mulai memahami dalil atau menggunakan aksioma dan

postulat yang digunakan dalam pembuktian.

e. Tahap akurasi : Anak sudah mulai menyadari pentingnya ketepatan dari

prinsip-prinsip dasar yang melandasi pembuktian.

g) Teori Vygotsky

Menurut Vygotsky, belajar adalah sebuah proses yang melibatkan dua

elemen penting. Pertama, belajar merupakan proses secara biologi sebagai dasar.

Kedua, proses secara psikososial sebagai proses yang lebih tinggi dan esesnsinya

berkaitan dengan lingkungan social budaya. Vygotsky sangat menekankan

pentingnya peran interaksi social bagi perkembangan belajar seseorang.

Pentingnya interaksi social dalam perkembangan kognitif telah melahirkan konsep

perkembangan kognitif. Perkembangan kognitif manusia ini berkaitan erat dengan

perkembangan bahasanya. (Baharuddin, 2009).

Vygotsky percaya bahwa belajar dimulai ketika seorang anak dalam

perkembangan zone proximal, yaitu suatu tingkat yang dicapai oleh seorang anak

ketika ia melakukan perilaku social. Zone ini juga dapat diartikan sebagai seorang

anak yang tidak dapat melakukan segala sesuatu sendiri tetapi memerlukan

bantuan kelompok atau orang dewasa. Dalam belajar, zone proximal ini dapat

dipahami pula sebagai selisih antara apa yang bisa dikerjakan seseorang dengan

kelompoknya atau dengan bantuan orang dewasa. Maksimalnya perkembangan

13

zone proximal ini tergantung pada intensifnya interaksi antara seseorang dengan

lingkungan social. (Baharuddin, 2009).

Implikasi teori belajar ini dalam pengajaran adalah meyakinkan bahwa

pengajaran secara konstan dapat mendorong siswa dalam perkembangan kognitif

mereka. Siswa-siswa memerlukan dukungan dari guru dan teman sejawatnya.

Pengetahuan yang siswa peroleh melalui interaksi social dengan guru dan teman

sejawatnya menjadi pengetahuan individu mereka. Siswa-siswa didorong untuk

menggunakan bahasa mereka untuk mengorganisir pemikiran mereka dan

menceritakan apa yang mereka lakukan. (Marsh, 1996)

14

BAB III

PENUTUPA. KESIMPULAN

Berbagai pendapat muncul tentang pengertian matematika tersebut,

dipandang dari pengetahuan dan pengalaman masing-masing yang berbeda.

Matematika adalah ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir

(bernalar).

Matematika sebagai ilmu deduktif, ilmu terstruktur, dan sebagai ratu dan

pelayan ilmu.

Psikologi pembelajaran matematika terbagi dua, yaitu:

Aliran psikologi tingkah laku

Aliran psikologi kognitif

B. SARAN

Kami mengharapkan dengan adanya makalah ini dapat membantu rekan-

rekan mahasiswa/i STKIP Nisel khususnya Prodi Pend. Matematika dapat

memahami apa yang sebenarnya Matematika, dan bagaimana hakekat serta

psikologi Matematika terhadap pembelajaran di Sekolah-sekolah.

15

DAFTAR PUSTAKAhttp://trisniawati87.blogspot.com/2013/01/makalah-psikologi-belajar-matematika.html

http://masih-berbagi.blogspot.com/2012/08/aliran-psikologi-kognitif.html

B. Erman Suherman Ar, Drs., M.Pd, dkk. Strategi Pembelajaran Matematika

Kontemporer: Edisi revisi. JICA