i

DEPAR

TEM

EN

PEN

DID

IKAN

NASIO

NAL

DIR

EKTO

RAT

JEN

DER

AL

PEN

ING

KATAN

MU

TU

PEN

DID

IKD

AN

TEN

AG

AKEPEN

DID

IKAN

PU

SA

TP

EN

GE

MB

AN

GA

ND

AN

PE

MB

ER

DA

YA

AN

PE

ND

IDIK

DA

NT

EN

AG

AK

EP

EN

DID

IKA

NM

AT

EM

AT

IKA

YO

GYAKAR

TA

2008

PA

KE

TF

AS

ILIT

AS

IP

EM

BE

RD

AY

AA

NK

KG

/MG

MP

MA

TE

MA

TIK

A

P PS S

I IK KO O

L LO O

G GI I

P PE E

M MB B

E EL L

A AJ J

A AR R

A AN N

M MA A

T TE E

M MA A

T TI IK K

A AD D

I IS S

M MA A

Penulis:

Fadjar

Sh

adiq,M.A

pp.Sc

Penilai:

Dra.

Sri

Wardh

ani

Editor:

Sri

Pu

rnam

aS

urya,S

.Pd,M

.Si

Desain

:

An

ang

Hen

iT

armoko

2

PsikologiP

embelajaran

Matem

atikadiSM

A

Pu

satP

usa

tP

eng

emb

ang

and

anP

emb

erday

aanP

end

idik

dan

Ten

aga

Kep

end

idik

an(P

PP

PT

K)

Matem

atika

dalam

melak

sanak

antu

gas

dan

fun

gsin

ya

men

gacu

pad

atig

ap

ilark

ebijak

anp

ok

ok

Dep

dik

nas,

yaitu

:1)

Pem

erataan

dan

perlu

asan

akses

pen

did

ikan

;2)

Pen

ing

katan

mu

tu,

relevan

sid

an

day

asa

ing

;3)

Pen

gu

atantata

kelo

la,ak

un

tabilitas,

dan

citrap

ub

likm

enu

juin

sanIn

do

nesia

cerdas

dan

ko

mp

etitif.

Dala

mran

gk

am

ewu

jud

kan

pem

erataan,

perlu

asanak

sesd

an

pen

ing

katan

mu

tup

end

idik

an,

salahsa

tustrateg

iy

ang

dilak

uk

an

PP

PP

TK

Matem

atik

aad

ala

hm

enin

gk

atkan

peran

Kelo

mp

ok

Kerja

Gu

ru

(KK

G)

dan

Mu

syaw

arahG

uru

Mata

Pelajaran

(MG

MP

)serta

pem

berd

ay

aan

gu

ruin

ti/g

uru

pem

and

u/g

uru

pen

gem

ban

gy

ang

ada

pad

asetiap

keca

matan

,k

ab

up

aten

dan

ko

ta.

Seb

ag

ai

up

ay

ap

enin

gk

ata

nm

utu

dim

aksu

dm

aka

lemb

aga

ini

dih

arap

kan

mam

pu

mem

fasilitasik

egiatan

-keg

iatany

ang

terkait

den

gan

imp

lemen

tasip

eng

emb

ang

anp

emb

elajaranm

atematik

ad

ilap

ang

an.

Gu

na

mem

ban

tum

emfasilita

sifo

rum

ini,

PP

PP

TK

Matem

atika

men

yia

pk

anp

ak

etb

erisik

um

pu

lanm

ateri/bah

any

ang

dap

atd

igu

nak

an

sebag

aireferen

si,p

eng

ayaan

,d

anp

and

uan

di

KK

G/M

GM

Pk

hu

susn

ya

pem

bela

jara

nm

atematik

a,

den

gan

top

ik-to

pik

/bah

anatas

masu

kan

dan

iden

tifikasi

perm

asalahan

pem

belajaran

matem

atika

di

lapan

gan

.

KA

TA

PE

NG

AT

AR

PsikologiP

embelajaran

Matem

atikadiSM

A

Berk

atrah

mat

Tu

han

Yan

gM

aha

Esa,

atasb

imb

ing

an-N

ya

pen

yu

sun

anP

ak

etF

asilitasiP

emb

erda

yaan

KK

G/M

GM

PM

atematik

a

dap

atd

iselesaik

and

eng

an

baik

.U

ntu

kitu

tiada

kata

yan

gp

atut

diu

capk

an

kecu

alip

uji

dan

syu

ku

rk

ehad

irat-Ny

a.

Den

gan

segala

keleb

ihan

dan

kek

uran

gan

yan

gad

a,p

aket

fasilitasiin

id

ihara

pk

anb

erman

faatd

alamm

end

uk

un

gp

enin

gk

atan

mu

tup

end

idik

dan

tenag

ak

epen

did

ikan

melalu

ifo

rum

KK

G/M

GM

P

Matem

atika

yan

gd

apat

berim

plik

asip

ositif

terhad

app

enin

gk

atanm

utu

pen

did

ikan

.

Seb

agaim

ana

pep

atah

men

gatak

an,

tiada

gad

ing

yan

gtak

retak,

dem

ikian

pu

lad

eng

anp

aket

fasilita

siin

iw

alaup

un

telahm

elalui

tahap

iden

tifikasi,

pen

yu

sun

an,

pen

ilaia

n,

dan

editin

gm

asihad

ay

ang

perlu

disem

pu

rnak

an.

Oleh

karen

aitu

saran

,k

ritik,

dan

masu

kan

yan

gb

ersifat

mem

ban

gu

nd

emi

pen

ing

katan

keb

erma

kn

aanp

aket

ini,

diterim

ad

eng

an

senan

gh

ati

teriring

uca

pan

terima

kasih

.U

capan

terima

kasih

dan

pen

gh

argaa

nsetin

gg

i-ting

gin

ya

kam

isam

paik

anp

ula

kep

ada

semu

a

pih

aky

ang

mem

ban

tum

ewu

jud

kan

pak

etfasilitasi

ini,

mu

dah

-mu

dah

an

berm

anfa

atu

ntu

kp

end

idik

and

im

asad

epan

.

Yo

gy

akarta,

Kep

ala,

KA

SM

AN

SU

LY

ON

O

NIP

.130352806

ii

D DDa aaf fft tta aar rr

I IIs ssi iiK

ata Pengantar----------------------------------------------------------------------------------i

Dafta

r Isi-----------------------------------------------------------------------------------ii

Bab I

Pendahuluan

-----------------------------------------------------------------1A

.Latar B

elakang---------------------------------------------------------1

B.

Tujuan P

enulisan Paket----------------------------------------------2

C.

Ruang Lingkup P

enulisan-------------------------------------------2

D.

Cara P

emanfaa

tan Paket--------------------------------------------2

Bab II

Psikologi T

ingkah Laku---------------------------------------------------3

A.

Teori P

sikologi Tingkah Laku

---------------------------------------4B

.F

akta,K

onsep,P

rinsip dan Ketram

pilan Mate

matika--------4

C.

Hirarki B

elajar-----------------------------------------------------------6T

ugas -------------------------------------------------------------------------8B

ab IIIT

eori Pem

ahaman S

kemp

-----------------------------------------------9A

.P

emaham

an Relasional dan Instrum

ental--------------------10B

.K

elebihan dan Kekurangannya

----------------------------------11T

ugas -----------------------------------------------------------------------14B

ab IVP

sikologi Perkem

bangan Kognitif P

iaget---------------------------15A

.E

mpat T

ahap Perkem

bangan Kognitif-------------------------15

B.

Proses P

erkembangan K

ognitif---------------------------------17

C.

Faktor yang M

empengaruhi P

erkembangan K

ognitif -----18T

ugas -----------------------------------------------------------------------19B

ab VK

onstruktivisme

-----------------------------------------------------------21A

.A

pa Inti Konstruktivism

e? -----------------------------------------21B

.K

onstruktivisme S

osial Vigotsky

---------------------------------23C

.Im

plikasinya P

ada Pem

belajaran--------------------------------24T

ugas -----------------------------------------------------------------------27B

ab VI

Teori P

resentasi Bruner-------------------------------------------------29

A.

Tiga T

ahap Pada P

roses Belajar -------------------------------29

B.

Em

pat Teorem

a Belajar dan M

engajar------------------------30T

ugas -----------------------------------------------------------------------32B

ab VII

Belajar B

ermakna D

avid P. A

usubel--------------------------------33A

.B

elajar Hafalan ------------------------------------------------------33

B.

Meng

apa Harus B

elajar Berm

akna?---------------------------35

Tugas -----------------------------------------------------------------------37

Bab V

IIIP

enutup---------------------------------------------------------------------39

A.

Rangkum

an ----------------------------------------------------------40B

.T

es ----------------------------------------------------------------------41D

aftar P

ustaka--------------------------------------------------------------------------------42

Lampiran

-----------------------------------------------------------------------------43

Psikologi Pembelajaran Matematika

1

ugas seorang

guru m

atematika

adalah m

embantu

siswanya

untuk m

endapatkan: (1)

pengetahuan m

atematika

yang m

eliputi konsep,

keterkaitan antar konsep, dan algoritma; (2) kem

ampuan bernalar; (3)

kemam

puan m

emecahkan

masalah;

(4) kem

ampuan

mengkom

unikasikan gagasan dan ide; serta (5) sikap m

enghargai kegunaan matem

atika dalam

kehidupan. S

ecara um

um,

tugas utam

a seorang

guru m

atematika

adalah m

embim

bing sisw

anya tentang

bagaimana

belajar yang

sesungguhnya (learning how

to learn) dan bagaimana m

emecahkan setiap m

asalah yang m

enghadang dirinya (learning how to solve problem

s) sehingga bimbingan

tersebut dapat digunakan dan dimanfaatkan di m

asa depan mereka. K

arena itu, tujuan jangka panjang pem

belajaran adalah untuk meningkatkan kom

petensi para sisw

a agar ketika mereka sudah m

eninggalkan bangku sekolah, mereka

akan mam

pu mengem

bangkan diri mereka sendiri dan m

ampu m

emecahkan

masalah yang m

uncul.

Sebagian besar orang m

emaham

i psikologi sebagai ilmu yang m

embahas

tentang bagaim

ana seseorang

belajar, tentang

bagaimana

orang tersebut

melakukan atau m

elaksanakan suatu tugas, dan tentang bagaimana ia bisa

berkembang.

Seorang

guru m

atematika

dapat saja

mengem

bangkan pengetahuan

tentang hal-hal

yang dibahas

psikologi berdasar

pada pengalam

an mengajarnya. N

amun hal itu akan m

emerlukan w

aktu yang lama.

Para guru dapat saja m

empelajari pendapat para pakar psikologi. M

engingat begitu

pentingnya pengetahuan

tentang psikologi

pembelajaran

ini, m

aka salah

satu paket

yang disusun

pada K

egiatan P

enulisan P

aket F

asilitasi P

emberdayaan M

GM

P M

atematika S

MA

adalah: ‘Psikologi P

embelajaran

T

BAB IP

EN

DA

HU

LUA

N

A.

Lata

r Belakan

g

Psikologi Pembelajaran Matematika

2

Matem

atika’. Dengan bahan ini, diharapkan para guru m

atematika S

MA

yang m

engikuti kegiatan

di M

GM

P

Matem

atika S

MA

akan

terbantu dalam

m

elaksanakan proses pembelajaran di kelasnya.

Paket

ini m

embahas

beberapa teori-teori

pembelajaran

matem

atika untuk

mem

bantu para guru matem

atika SM

A dalam

rangka mendukung tercapainya

tujuan pembelajaran m

atematika seperti yang dituntut P

ermendiknas N

omor

22 Tahun 2006.

Paket ini m

embahas tentang psikologi pem

belajaran matem

atika yang berkait dengan: psikologi tingkah laku (behaviourism

), teori pemaham

an relasional (relational

understanding) dan

pemaham

an instrum

ental (instrum

ental understanding) dari S

kemp, psikologi perkem

bangan kognitif dari Piaget,

psikologi sosial

dari V

ygotsky, teori

presentasi B

runer yang

terdiri atas

enaktif, ikonik, dan simbolik; serta teori belajar berm

akna dari Ausubel

Setiap bagian paket ini dim

ulai dengan teori-teori belajar yang dianggap penting bagi para guru m

atematika, selanjutnya diikuti dengan m

embahas

contoh-contoh praktis yang dapat langsung dicobakan para guru di lapangan. U

ntuk lebih mem

antapkan, paket ini dilengkapi dengan tugas untuk bahan diskusi para peserta M

GM

P. S

elanjutnya, para guru matem

atika diharapkan dapat m

engembangkan sendiri contoh-contoh konkret yang pernah dilakukan

ataupun yang akan dilakukan berdasar teori-teori yang ada, sehingga ada dasar pijakan

yang kuat

berkait dengan

praktek

pembelajaran

di kelas.

Pada

akhirnya, jika para pemakai paket ini m

engalami kesulitan atau m

emiliki saran

ataupun kritik yang mem

bangan, sudilah kiranya menghubungi penulisnya,

Fadjar S

hadiq, M.A

pp.Sc (dengan alam

at: PP

PP

TK

Matem

atika Yogyakarta,

Kotak P

os 31 YK

BS

, Yogyakarta 55281 atau em

ail: fadjar_p3g@yahoo.com

m

aupun w

ebsite (blog):

ww

w.fadjarp3g.w

ordpress.com.

Sebelum

nya disam

paikan terima kasih.

D.

Cara P

eman

faatan P

aket

C.

Ru

ang

Lin

gku

p P

enu

lisan

B.

Tu

juan

Pen

ulisan

Paket

Psikologi Pembelajaran Matematika

3

emaham

i teori belajar dari para pakar psikologi sangatlah penting untuk keberhasilan

proses pem

belajaran m

atematika

di kelas.

Dengan

mem

ahami

teori belajar

yang ada,

para guru

diharapkan

dapat m

erancang proses pembelajaran di kelasnya

dengan lebih baik

karena sudah

mendasarkan pada teori-teori belajar (learning theory) sebagai acuannya. Y

ang perlu diperhatikan guru m

atematika S

MA

, setiap teori mem

iliki keunggulan dan kelem

ahan sendiri-sendiri.

Nam

un yang

paling penting

adalah para

guru hendaknya dapat m

enggunakan dengan tepat keunggulan setiap teori tersebut dan m

eminim

alkan kelemahan yang m

ungkin akan timbul.

Terdapat dua m

acam teori belajar yang dikenal, yaitu teori belajar dari penganut

psikologi tingkah

laku (behaviourism

) dan

dari penganut

psikologi kognitif

(cognitive science). Bab II ini akan m

embahas tentang P

sikologi Tingkah L

aku. S

etelah mem

bahas Bab II ini para guru diharapkan dapat:

1.M

enjelaskan pentingnya mem

beri latihan dan PR

kepada para siswanya.

2.M

emberi contoh F

akta, Konsep, P

rinsip, dan Skill. 3.

Mem

buat satu cotoh hirarki belajar dari suatu topik matem

atika tertentu. 4.

Mem

beri contoh kesulitan pembelajaran m

atematika S

MA

yang penyebabnya berkait dengan sifat kehirarkisan m

ateri matem

atika.5.

Menyebutkan beberapa im

plikasi dari teori para penganut psikologi tingkah laku terhadap pem

belajaran matem

atika.

M

BAB II

PS

IKO

LOG

I TIN

GK

AH

LAK

U

Psikologi Pembelajaran Matematika

4

Pernahkan

Bapak

dan Ibu

menyaksikan

sirkus di

Televisi?

Bagaim

ana m

enurut Bapak dan Ibu cara m

engajari binatang-binatang yang ada sehingga m

ereka dapat melakukan tugasnya dengan baik? B

eberapa pertanyaan yang lebih spesifik yang dapat diajukan adalah:

1.M

engapa para pelatih binatang tersebut ada yang mem

bawa cem

eti?2.

Mengapa binatang tersebut diberi sesuatu jika ia dapat m

enyelesaikan tugasnya?

3.D

apatkah keteram

pilan yang

sudah dikuasai

binatang tersebut

dikembangkan binatang tersebut untuk kegiatan lainnya?

Para penganut psikologi tingkah laku m

emandang belajar sebagai hasil dari

pembentukan hubungan antara rangsangan dari luar (stim

ulus) dan balasan dari sisw

a (response) yang dapat diamati. M

ereka berpendapat bahwa sem

akin sering hubungan antara rangsangan dan balasan terjadi, m

aka akan semakin

kuatlah hubungan

keduanya (law

of

exercise). D

i sam

ping itu,

menurut

mereka,

kuat tidaknya

hubungan ditentukan

oleh kepuasan

maupun

ketidakpuasan yang menyertainya (law

of effect). Itulah sebabnya, dua kata kunci

para penganutnya

adalah ‘latihan’

dan ‘ganjaran’

atau ‘penguatan’

dalam

proses pem

belajaran. T

eori belajar

yang dikem

ukakan penganut

psikologi tingkah

laku ini

cocok digunakan

untuk m

engembangkan

kemam

puan sisw

a yang

berhubungan dengan

pencapaian hasil

belajar (pengetahuan)

matem

atika seperti

fakta, konsep,

prinsip, dan

skill atau

keterampilan

yang telah

digagas R

obert M

. G

agne sebagai

objek-objek langsung m

atematika. G

agne sendiri dinyatakan oleh Orton(1987:38) sebagai

neobehaviourist.

Ahli belajar (learning theorist) G

agne telah mem

bagi objek-objek matem

atika m

enjadi objek langsung dan objek-objek tak langsung. Objek langsungnya

adalah fakta, konsep, prinsip, dan keterampilan (F

KP

K). S

edangkan objek tak langsungnya adalah berpikir logis, kem

ampuan m

emecahkan m

asalah, sikap positif terhadap m

atematika, ketekunan, ketelitian, dan lain-lain. Jadi, objek

tak langsung adalah kemam

puan yang secara tak langsung akan dipelajari sisw

a ketika mereka m

empelajari objek langsung m

atematika.

B.

Fakta, K

on

sep, P

rinsip

dan

Ketram

pilan

Matem

atika

A.

Teo

ri Psiko

log

i Tin

gkah

Laku

Psikologi Pembelajaran Matematika

5

Jika Anda dim

inta menentukan hasil dari 5 +

2 10; berapa hasilnya? 70

ataukah 25? Hasil yang benar adalah 25. Itulah suatu contoh fakta yang

disepakati untuk menghindari kekacauan hasil. Jadi, fakta adalah konvensi

(kesepakatan) dalam

m

atematika

seperti lam

bang, notasi,

ataupun aturan

seperti 5 + 2

10 = 5 +

20, di mana operasi perkalian didahulukan dari

operasi penjumlahan. L

ambang “1” untuk m

enyatakan banyaknya sesuatu yang tunggal m

erupakan contoh dari fakta. Seorang sisw

a dinyatakan telah m

enguasai fakta jika ia dapat menuliskan fakta tersebut dan m

enggunakannya dengan benar. K

arenanya, cara mengajarkan fakta adalah dengan m

enghafal, drill, ataupun peragaan yang berulang-ulang.

Jika Anda m

enyebut ’belah ketupat’ di depan para siswa, apa yang seharusnya

dibayangkan di dalam pikiran m

ereka? ’Belah ketupat’ m

erupakan contoh dari konsep. K

apan si siswa disebut telah m

emaham

i konsep ’belah ketupat’ dan kapan ia disebut belum

mem

ahami konsep tersebut? Jika fakta m

erupakan kesepakatan,

maka

konsep adalah suatu

ide abstrak

yang m

emungkinkan

seseorang untuk mengklasifikasi suatu objek dan m

enerangkan apakah objek tersebut

merupakan

contoh atau

bukan contoh

dari ide

abstrak tersebut.

Seorang sisw

a disebut telah menguasai konsep belah ketupat jika ia telah

dapat menentukan bangun-bangun datar yang term

asuk belah ketupat dan yang bukan belah ketupat. U

ntuk sampai ke tingkat tersebut, para sisw

a harus dapat m

engenali atribut atau sifat-sifat khusus dari belah ketupat. Ada em

pat cara m

engajarkan konsep, yaitu: a.

Dengan cara m

embandingkan obyek m

atematika yang term

asuk konsep dan yang tidak term

asuk konsep. b.

Pendekatan

deduktif, di

mana

proses pem

belajarannya dim

ulai dari

definisi dan diikuti dengan contoh-contoh dan yang bukan contohnya. c.

Pendekatan induktif, dim

ulai dari contoh lalu mem

bahas definisinya. d.

Kom

binasi deduktif dan induktif, dimulai dari contoh lalu m

embahas

definisinya dan

kembali

ke contoh,

atau dim

ulai dari

definisi lalu

mem

bahas contohnya lalu kembali m

embahas definisinya.

Pada intinya, ketika seorang guru atau orang lain m

enyatakan bilangan genap ataupun persegi-panjang m

isalnya, maka harus ada bayangan pada benak si

siswa tentang objek yang dim

aksudkan beserta atribut khususnya sehingga ia dapat m

embedakan yang m

asuk konsep tersebut dan yang tidak termasuk

konsep tersebut.

Prinsip (keterkaitan antar konsep) adalah suatu pernyataan yang m

emuat

hubungan antara dua konsep atau lebih. Contohnya, rum

us luas lingkaran berikut:

L

=

rr. P

ada rum

us tadi,

terdapat beberapa

konsep yang

digunakan, yaitu konsep luas (L), konsep beserta nilai pendekatannya, dan

Psikologi Pembelajaran Matematika

6

konsep jari-jari (r). Seorang sisw

a dinyatakan telah mem

ahami prinsip luas

lingkaran jika

ia: (1)

ingat rum

us atau

prinsip yang

bersesuaian; (2)

mem

ahami beberapa konsep yang digunakan serta lam

bang atau notasinya; dan (3) dapat m

enggunakan rumus atau prinsip yang bersesuaian pada situasi

yang tepat.

Sekarang jika sisw

a Anda dim

inta menentukan hasil dari

dx)

7x

2x(

2

?

Langkah-langkah atau prosedur apa saja yang akan dilakukan? A

lgoritma

sendiri berarti

langkah-langkah standar

untuk m

enyelesaikan soal.

Keteram

pilan (skill) adalah kemam

puan untuk menggunakan prosedur atau

langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu soal. L

angkah standar apa saja

untuk menentukan hasil dari

dx)

7x

2x(

2

? Bilam

ana seseorang disebut

telah menguasai keteram

pilan menentukan integral tak tentu bentuk f(x)

g(x)?

Mengapa suatu S

tandar Kom

petensi (SK

) maupun suatu K

ompetensi D

asar (K

D) harus diajarkan m

endahului SK

maupun K

D lainnya? A

tas dasar apa penentuan itu? A

pakah hanya didasarkan pada kata hati para guru dan pakar saja?

Gagne

mem

berikan alasan

cara m

engurutkan m

ateri pem

belajaran dengan selalu m

enanyakan pertanyaan seperti ini: “Pengetahuan apa yang

lebih dahulu

harus dikuasai

siswa

agar ia

berhasil m

empelajari

suatu pengetahuan tertentu?” S

etelah mendapat jaw

abannya, ia harus bertanya lagi seperti pertanyaan di atas tadi untuk m

endapatkan pengetahuan prasyarat yang harus

dikuasai dan

dipelajari siswa

sebelum

ia m

empelajari pengetahuan

tersebut. Begitu seterusnya sam

pai didapat urut-urutan pengetahuan dari yang paling sederhana sam

pai yang paling kompleks. K

arena itu, hirarki belajar harus disusun dari atas ke baw

ah. Dim

ulai dengan menem

patkan kemam

puan, pengetahuan,

ataupun ketrampilan

yang m

enjadi salah satu

tujuan dalam

proses

pembelajaran

di puncak

dari hirarki

belajar tersebut,

diikuti kem

ampuan, keteram

pilan, atau pengetahuan prasyarat (prerequisite) yang harus

mereka

kuasai lebih

dahulu agar

mereka

berhasil m

empelajari

ketrampilan atau pengetahuan di atasnya itu.

Alternatif contoh hirarki belajar yang berkait dengan pem

faktoran ditunjukkan pada diagram

berikut ini.

C.

Hirarki B

elajar

Psikologi Pembelajaran Matematika

7

Dari diagram

di atas jelaslah bahwa tidak m

ungkin seorang siswa S

MP

dan SM

A

dapat mem

faktorkan jika ia tidak menguasai penjum

lahan dua bilangan bulat. Im

plikasi selanjutnya,

jika m

enemui

siswa

yang m

engalami

kesulitan atau

melakukan kesalahan, cobalah untuk berpikir jernih dengan m

enggunakan teori tentang hirarki belajar ini sebagai salah satu acuannya. S

ekali lagi seorang siswa

tidak akan dapat mem

pelajari atau menyelesaikan tugas tertentu jika m

ereka tidak m

emiliki pengetahuan prasyaratnya. K

arena itu, untuk mem

udahkan para siswa

selama

proses pem

belajaran di

kelas, proses

tersebut harus

dimulai

dengan m

emberi kem

udahan bagi para siswa dengan m

engecek, mengingatkan kem

bali, dan m

emperbaiki pengetahuan-pengetahuan prasyaratnya.

Mem

faktorkan Bentuk x

2 + C

x + D

Menentukan D

ua Bilangan B

ulat Yang

Jumlah dan H

asil Kalinya T

ertentuM

enjabarkan Bentuk

Seperti (X

+ A

) (X +

B)

Menentukan F

aktor-Faktor

Suatu B

ilangan Bulat

Menentukan H

asil Kali D

ua B

ilangan Bulat

Menentukan Jum

lah Dua

Bilangan B

ulat

Psikologi Pembelajaran Matematika

8

1.Jelaskan,

mengapa

guru m

atematika

harus m

emberi

latihan dan

PR

kepada para sisw

anya?2.

Berilah contoh fakta, konsep, prinsip, dan skill yang berbeda dengan

contoh yang ada. Bilam

ana seseorang disebut telah menguasai fakta,

konsep, prinsip, dan skill yang Anda contohkan?

3.B

uatlah satu contoh hirarki belajar dari suatu topik matem

atika tertentu! 4.

Berdasar

pada pengalam

an sebagai

guru, beri

contoh kesulitan

pembelajaran m

atematika S

MA

yang penyebabnya berkait dengan sifat kehirarkisan m

ateri matem

atika!5.

Sebutkan beberapa im

plikasi dari teori para penganut psikologi tingkah laku terhadap pem

belajaran matem

atika!

Psikologi Pembelajaran Matematika

9

da tulisan

menarik

yang dikem

ukakan B

ell (1978:97)

berikut ini:

“Understanding of theories about how

people learn and the ability to apply these theories in teaching m

athematics are im

portant prerequisites for

effective m

athematics

teaching.” A

pa yang

dikemukakan

Bell

di atas

menunjukkan kepada para guru m

atematika bahw

a pemaham

an teori-teori tentang bagaim

ana para siswa belajar dan bagaim

ana mengaplikasikan teori tersebut di

kelas masing-m

asing merupakan prasyarat terw

ujudnya pembelajaran m

atematika

yang efektif. Salah seorang di antara pakar psikologi yang m

enulis psikologi yang berkait

langsung dengan

matem

atika adalah

Skem

p. Ia

mem

bedakan antara

pemaham

an relasional dan pemaham

an instrumental. T

eori ini sangat penting bagi para guru m

atematika. S

etelah mem

bahas Bab III ini, para guru diharapkan dapat:

1.M

emberi contoh pem

belajaran yang mengacu pada pem

ahaman instrum

ental dan pem

belajaran yang mengacu pada pem

ahaman relasional.

2.M

enjelaskan perbedaan

antara pem

ahaman

relasional dan

pemaham

an instrum

ental.3.

Menjelaskan

kelebihan dan

kekurangan pem

ahaman

relasional dan

pemaham

an instrumental.

4.M

enjelaskan m

engapa guru

harus m

embantu

siswanya

agar m

emiliki

pemaham

an relasional.

A

TE

OR

I PE

MA

HA

MA

N S

KE

MP

BAB III

Psikologi Pembelajaran Matematika

10

Pertanyaan

pertama

sebagai pem

icu diskusi

kepada para

peserta adalah:

Dim

isalkan ada

siswa

yang dapat

menentukan

hasildx

)7

x2

x(2

.

Apakah sisw

a tersebut sudah mem

iliki pemaham

an relasional ataukah hanya m

emiliki

pemaham

an instrum

ental? Jelaskan

jawaban

Anda

dalam

mem

bedakan dua

pemaham

an, yaitu

pemaham

an relasional

(relational understanding) dan pem

ahaman instrum

ental (instrumental understanding).

Skem

p menyatakan juga bahw

a pemaham

an instrumental sejatinya belum

term

asuk pada

kategori pem

ahaman;

sedangkan pem

ahaman

relasional m

emang

benar sudah

termasuk

pada kategori

pemaham

an; sebagaim

ana dinyatakan sendiri oleh S

kemp (1989:2) sebagai berikut.

... by calling them

‘relational understanding’ and ‘instrumental

understanding’. By the form

er is meant w

hat I, and probably most

readers of

this article,

have alw

ays m

eant by

understanding: know

ing both what to do and w

hy. Instrumental understanding I

would until recently not have regarded as understanding at all. It is

what I have in the past described as ‘rules w

ithout reasons’.

Artinya, “ ... yang disebut dengan pem

ahaman relasional dan pem

ahaman

instrumental.

Yang

pertama

(pemaham

an relasional)

menurut

saya dan

mungkin juga m

enurut pembaca dapat diartikan m

emaham

i dua hal secara bersam

a-sama, yaitu apa dan m

engapanya. Pem

ahaman instrum

ental sampai

saat ini belum dim

asukkan pada pemaham

an secara keseluruhan. Pada m

asa-m

asa lalu hal itu dijelaskan sebagai aturan tanpa alasan”.

Sekali

lagi, jika

dimisalkan

ada sisw

a yang

dapat m

enentukan

hasildx

)7

x2

x(2

. A

pakah siswa tersebut sudah m

emiliki pem

ahaman

relasional ataukah hanya mem

iliki pemaham

an instrumental? B

erdasar pada pendapat

Skem

p di

atas, kem

ampuan

siswa

dalam

menentukan

hasildx

)7

x2

x(2

=

C

x7

xx

3 12

3; dapat dikategorikan sebagai

pemaham

an relasional

dan dapat

juga dikategorikan

sebagai pem

ahaman

instrumental dengan alasan berikut:

1.D

apat dikategorikan

sebagai pem

ahaman

relasional jika

si sisw

a di

samping

ia sudah

dapat m

enentukan hasil

dx)

7x

2x(

2

=

A.

Pem

aham

an

Relasio

nal d

an

Instru

men

tal

Psikologi Pembelajaran Matematika

11

C

x7

xx

3 12

3; nam

un ia juga harus dapat menjelaskan m

engapa

hasilnya adalah seperti itu. Dalam

arti, si siswa harus dapat m

enjelaskan bahw

a integral tak tentu suatu fungsi f(x)dx adalah menentukan suatu

fungsi F(x) yang jika diturunkan hasilnya adalah f(x). Ia harus dapat

meyakinkan orang lain dan dirinya sendiri bahw

a hasil integral di atas

adalah benar

karena jika

F(x)

=

C

x7

xx

3 12

3

diturunkan,

hasilnya akan menjadi f(x) =

7

x2

x2

.2.

Dapat dikategorikan hanya sebagai pem

ahaman

instrumental jika si sisw

a

hanya dapat

menentukan

hasil dx

)7

x2

x(2

=

C

x7

xx

3 12

3;

namun

ia tidak

dapat m

enjelaskan m

engapa

hasilnya adalah seperti itu. Karenanya, kem

ampuan yang seperti ini oleh

Skem

p belum dikategorikan sebagai pem

ahaman. S

edangkan pemaham

an relasional oleh S

kemp sudah dikategorikan sebagai pem

ahaman.

Berkait dengan dua m

acam pem

ahaman di atas, pertanyaan yang m

ungkin dapat diajukan sekarang adalah: (1) Y

ang mana yang lebih baik untuk para

siswa; pem

ahaman instrum

ental ataukah relasional? (2) Jelaskan mengapa

Anda m

emilih pem

ahaman tersebut? (3) A

pa kelebihan ataupun kekurangan yang m

ungkin ada pada pembelajaran yang lebih m

engacu pada pemaham

an instrum

ental dan

pembelajaran

yang lebih

mengacu

pada pem

ahaman

relasional?

Sebagaim

ana di sampaikan di atas, bahw

a seorang siswa S

MA

yang mem

iliki

pemaham

an relasional

dalam

menentukan

hasil dx

)7

x2

x(2

=

C

x7

xx

3 12

3 m

aka ia dapat menjelaskan m

engapa hasilnya adalah

seperti itu. Dalam

arti, si siswa paling tidak harus dapat m

enjelaskan bahwa

integral tak tentu suatu fungsi f(x)dx adalah menentukan suatu fungsi F

(x) yang jika diturunkan hasilnya adalah f(x). D

engan demikian jelaslah bahw

a sisw

a yang mem

iliki pemaham

an relasional mem

iliki fondasi atau dasar yang

B.

Keleb

ihan

dan

Keku

rang

ann

ya

Psikologi Pembelajaran Matematika

12

lebih kokoh

dalam

pemaham

annya tersebut.

Karenanya

ia akan

dapat m

eyakinkan orang lain dan dirinya sendiri bahwa hasil integral di atas adalah

benar karena jika F(x) =

Cx

7x

x3 1

23

diturunkan, hasilnya akan

menjadi f(x) =

7

x2

x2

. Di sam

ping itu, jika siswa dim

aksud lupa rumus

integral bahwa

cx

1n

adx

ax1

nn

maka ia m

asih punya peluang untuk

menentukan hasil

dx)

7x

2x(

2

=

C

x7

xx

3 12

3 dengan cara

mencoba-coba. S

ebagai tambahan, si sisw

a dapat mengecek kebenaran hasil

yang ia

dapatkan, yaitu:

C

x7

xx

3 12

3,

karena jika

hasil

C

x7

xx

3 12

3 ini diturunkan, hasilnya akan m

enjadi .

7x

2x

2

Jelaslah bahwa sisw

a yang mem

iliki pemaham

an relasional akan mem

iliki keuntungan bagi dirinya.

Sebagaim

ana disam

paikan di

depan, bahw

a seorang

siswa

SM

A

yang m

emiliki

pemaham

an instrum

ental dalam

m

enentukan hasil

dx)

7x

2x(

2

=

C

x7

xx

3 12

3 m

aka ia tidak dapat menjelaskan

mengapa

hasilnya adalah

seperti itu.

Dalam

arti,

si sisw

a tidak

dapat m

enjelaskan bahwa integral tak tentu suatu fungsi f(x)dx adalah m

enentukan suatu fungsi F

(x) yang jika diturunkan hasilnya adalah f(x). Dengan dem

ikian jelaslah bahw

a siswa yang m

emiliki pem

ahaman instrum

ental tidak mem

iliki fondasi

atau dasar

yang lebih

kokoh dalam

pem

ahamannya

tersebut. K

arenanya ia tidak akan dapat meyakinkan orang lain dan dirinya sendiri

bahwa hasil integral di atas adalah benar. Ia hanya m

engikuti saja aturan yang ada, nam

un ia tidak dapat menjelaskan m

engapa hasilnya harus seperti itu. S

iswa yang m

emiliki pem

ahaman instrum

ental untuk kasus integral ini tidak dapat m

enjelaskan bahwa hasil tersebut benar adanya; dengan alasan bahw

a

jika F(x) =

Cx

7x

x3 1

23

diturunkan, hasilnya akan menjadi f(x) =

7

x2

x2

. K

emungkinan besar,

ia hanya hafal rum

us integral bahw

a

c

x1

n

adx

ax1

nn

. Jika pada suatu saat kemudian, ia lupa rum

usnya

Psikologi Pembelajaran Matematika

13

maka ia tidak punya peluang untuk m

enentukan hasil dx

)7

x2

x(2

=

C

x7

xx

3 12

3

dengan cara

mencoba-coba.

Sebagai

tambahan,

si

siswa

tidak dapat

mengecek

kebenaran hasil

yang ia

dapatkan, yaitu:

C

x7

xx

3 12

3, karena ia hanya hafal rum

us di atas tanpa ada dasar

yang kokoh tentang konsep integral sebagai anti differensial. Jelaslah bahwa

siswa yang m

emiliki pem

ahaman relasional akan m

emiliki keuntungan yang

jauh lebih besar bagi dirinya dibandingkan dengan jika ia hanya mem

iliki pem

ahaman instrum

ental.

Berdasar pada penjelasan di atas, selam

a proses pembelajaran di kelas; para

guru m

atematika

diharapkan dapat

mem

fasilitasi sisw

anya sedem

ikian sehingga

para sisw

a m

emiliki

pemaham

an relasional.

Itulah sebabnya,

(NC

TM

, 2000) menyatakan dua prinsip untuk m

atematika sekolah (principles

for school mathem

atics) yaitu: Prinsip pengajaran dan prinsip pem

belajaran. P

rinsip pengajaran menyatakan bahw

a pengajaran matem

atika yang efektif m

embutuhkan pem

ahaman terhadap pengetahuan sisw

a dan mem

butuhkan proses belajar, dan setelah itu, m

enantang dan mem

bantunya agar dapat belajar dengan baik (E

ffective mathem

atics teaching requires understanding w

hat students know and need to learn and then challenging and supporting

them to learn it w

ell). Sedangkan prinsip pem

belajaran menyatakan bahw

a sisw

a harus belajar matem

atika dengan pemaham

an, secara aktif mem

bangun pengetahuan

baru berdasarkan

pengalaman

dan pengetahuan

yang sudah

dimilikinya (Students m

ust learn mathem

atics with understanding, actively

building new know

ledge from experience and prior know

ledge).

Psikologi Pembelajaran Matematika

14 1.B

eri contoh pembelajaran dari satu S

K atau K

D yang m

engacu pada pem

ahaman instrum

ental!2.

Beri contoh pem

belajaran dari satu SK

atau KD

yang mengacu pada

pemaham

an relasional!3.

Dari dua contoh pada soal 1 dan 2 di atas, jelaskan perbedaan antara

pemaham

an relasional dan pemaham

an instrumental!

4.Jelaskan

kelebihan dan

kekurangan pem

ahaman

relasional dan

pemaham

an instrumental!

5.Jelaskan m

engapa Anda sebagai guru m

atematika harus m

embantu para

siswa agar m

emiliki pem

ahaman relasional!

Psikologi Pembelajaran Matematika

15

eori dari Piaget yang paling penting diketahui para guru m

atematika adalah

bahwa

perkembangan

kognitif seorang

siswa

sangat bergantung

kepada seberapa jauh si sisw

a itu dapat mem

anipulasi dan aktif berinteraksi dengan lingkungannya.

Menurut

Piaget,

ada tiga

aspek pada

perkembangan

kognitif seseorang,

yaitu: struktur,

isi, dan

fungsi kognitifnya.

Struktur

kognitif atau

skemata (schem

a), merupakan organisasi m

ental tingkat tinggi yang terbentukpada saat orang itu berinterkasi dengan lingkungannya. Isi kognitif m

erupakan pola tingkah

laku seseorang yang tercerm

in pada saat ia m

erespon berbagai m

asalah, sedangkan fungsi kognitif merupakan cara yang digunakan seseorang

untuk mem

ajukan tingkat intelektualnya, yang terdiri atas organisasi dan adaptasi. D

ua proses yang term

asuk adaptasi adalah asimilasi dan akom

odasi. Setelah

mem

bahas Bab IV

, para guru diharapkan dapat:

1.M

enjelaskan empat tahap perkem

bangan kognitif siswa m

enurut Piaget.

2.M

enjelaskan im

plikasi pentahapan

perkembangan

kognitif sisw

a m

enurut P

iaget terhadap pembelajaran m

atematika di S

MA

.3.

Mem

berikan contoh asimilasi dan akom

odasi pada pembelajaran m

atematika.

4.M

emberikan contoh aplikasi teori P

iaget tentang kematangan, pengalam

an, transm

isi sosial, dan penyeimbangan dalam

proses pembelajaran di S

MA

Piaget m

embagi perkem

bangan kognitif seseorang dari bayi sampai dew

asa atas tahap seperti ditunjukkan tabel berikut.

T

A.

Em

pat T

ahap

Perkem

ban

gan

Ko

gn

itif

PS

IKO

LOG

I PE

RK

EM

BA

NG

AN

KO

GN

ITIF

PIA

GE

T

BAB IV

Psikologi Pembelajaran Matematika

16

No

Um

ur (Tahun)

Tahap

1.2.3.4.

0 – 2 2 – 7

7 – 1111 +

Sensori M

otorP

ra-operasionalO

perasional Konkret

Operasional F

ormal

Pada tahap sensori m

otor (0-2 tahun) seorang anak belajar menggunakan dan

mengatur

kegiatan fisik

dan m

ental m

enjadi rangkaian

perbuatan yang

bermakna. P

ada tahap ini, pemaham

an anak sangat bergantung pada kegiatan (gerakan) tubuh dan alat-alat indera m

ereka. Pada tahap pra-operasional

(2-7 tahun), seorang anak m

asihsangat dipengaruhi oleh hal-hal khusus yang

didapat dari pengalaman m

enggunakan indera, sehingga ia belum m

ampu

untuk m

elihat hubungan-hubungan

dan m

enyimpulkan

sesuatu secara

konsisten. Pada tahap ini, anak m

asih mengalam

i kesulitan dalam m

elakukan pem

balikan pemikiran (reversing thought) serta m

asih mengalam

i kesulitan bernalar secara induktif m

aupun deduktif, karena pemikirannya m

asih dalam

tahap transduktif, yaitu suatu proses penarikan kesimpulan dari hal khusus

yang satu ke hal khusus yang lain. Pada tahap operasional konkret (7-11

tahun), seorang anak dapat mem

buat kesimpulan dari suatu situasi nyata atau

dengan menggunakan benda konkret, dan m

ampu m

empertim

bangkan dua aspek dari suatu situasi nyata secara bersam

a-sama (m

isalnya, antara bentuk dan ukuran). P

ada tahap operasional formal

(lebih dari 11tahun), kegiatan

kognitif seseorang tidak mesti m

enggunakan benda nyata. Dengan kata lain,

mereka sudah m

ampu m

elakukan abstraksi, dalam arti m

ampu m

enentukan sifat atau atribut khusus sesuatu tanpa m

enggunakan benda nyata. Pada tahap

ini, kem

ampuan

bernalar secara

abstrak m

eningkat, sehingga

seseorang m

ampu untuk berpikir secara deduktif.

Tahun-tahun yang dicantum

kan oleh Piaget di atas m

emungkinkan dijadikan

sebagai rujukan

oleh para

guru, w

alaupun m

ungkin kondisi

para sisw

a Indonesia agak berbeda dengan sisw

a yang diteliti Piaget. S

ebagai contoh, di suatu daerah sisw

a berumur 7-12 tahun m

asih berada pada tahap operasional konkret. D

i samping itu, ada juga pendapat yang m

enyatakan bahwa m

eskipun seseorang yang telah berada pada tahap operasional form

al sekalipun, untuk hal-hal

yang baru,

mereka

masih

mem

butuhkan benda

nyata ataupun

gambar/diagram

. K

arenanya, faktor

‘nyata’ atau

‘real’ pada

proses pem

belajaran ini akan sangat menentukan keberhasilan ataupun kegagalan

pembelajaran di kelas.

Psikologi Pembelajaran Matematika

17

Proses perkem

bangan kognitif seseorang menurut P

iaget harus melalui suatu

proses yang disebut dengan adaptasi dan organisasi seperti ditunjukkan Piaget

melalui

diagram

di baw

ah ini.

Diagram

tersebut

menunjukkan

bahwa

tanpa adanya pengalam

an baru, struktur kognitif para siswa akan berada dalam

keadaan equilibrium

(tenang dan stabil). Jadi, perkembangan kognitif seseorang ditentukan

oleh seberapa besar interaksinya dengan lingkungan (pengalam

an baru) yang harus dikaitkan atau dihubungkan dengan struktur

kognitif (schema)

mereka,

melalui proses organisasi dan adaptasi. A

daptasi sendiri terdiri atas dua proses yang dapat terjadi bersam

a-sama, yaitu: (1) asim

ilasi, suatu proses dimana suatu

informasi atau pengalam

an baru disesuaikan dengan kerangka kognitif yang sudah ada

di benak

siswa;

dan (2)

akomodasi,

yaitu suatu

proses perubahan

atau pengem

bangan kerangka kognitif yang sudah ada di benak siswa agar sesuai

dengan pengalaman yang baru dialam

i.

B.

Pro

ses Perkem

ban

gan

Ko

gn

itif

Sisw

a dalam

keadaan equili-brium

Sisw

a dihadap-

kan dengan keadaan

atau peng-

alaman

baru

Sisw

a berusaha m

eng-organisasi

pengalaman

baru dengan

mengaitkan

pada yang ada di

schema

Ada schem

ayang sesuai,

sehingga pengalam

an baru itu dapat

diasimilasi

Tidak ada

schema yang

sesuai, sehingga pengalam

an baru tidak dapat

diasimilasi

Anak tidak dapat

menerim

a hal baru itu

Sisw

a berusaha m

engakomodasi

melalui perubahan

schema yang ada atau

mengem

bang-kannya dengan schem

a baru.

Sisw

a tidak dalam

keadaan

equilibrium

Adaptasi

Sisw

a dalam

keadaan equili-brium

Psikologi Pembelajaran Matematika

18 Dengan

demikian

jelaslah bahw

a asim

ilasi terjadi

jika pengalam

an baru

menyesuaikan dengan struktur kognitif yang sudah ada di benak sisw

a; sedangkan pada akom

odasi, struktur kognitif yang sudah ada di benak siswa m

enyesuaikan dengan pengalam

an barunya. Sebagai contoh, perkalian dapat diasim

ilasi sebagai penjum

lahan (berulang). Selanjutnya, akan terjadi juga perubahan pada kerangka

kognitif si siswa. K

erangka kognitifnya tidak hanya berkait dengan penjumlahan

saja, akan tetapi sudah berubah dengan penjumlahan berulang yang dapat disebut

juga dengan perkalian.

Berkait

dengan istilah pem

ahaman relasional

(relational understanding) yang

dikemukakan S

kemp seperti dibahas pada B

ab III di bagian depan, di mana

dijelaskan bahwa pem

ahaman relasional (atau understanding saja) adalah jika

siswa

mem

ahami

dua hal

secara bersam

a-sama,

yaitu apa

dan m

engapanya. S

ebagaimana disam

paikan di depan pada pemaham

an relasional, si siswa dapat

menjelaskan m

engapa ia berbuat seperti itu. Jadi, ia mem

iliki penegetahuan bukan sebagai hasil hafalan saja; nam

un ia mem

iliki fondasi atau dasar yang kokoh dengan pem

ahamannya tersebut. K

arenanya ia akan dapat meyakinkan orang lain

dan dirinya

sendiri bahwa

hasil yang

didapatnya adalah

benar. N

CT

M

juga m

enyatakan prinsip pem

belajaran, yaitu para sisw

a harus belajar

matem

atika dengan

pemaham

an, secara

aktif m

embangun

pengetahuan baru

berdasarkan pengalam

an dan

pengetahuan yang

sudah dim

ilikinya (Students

must

learn m

athematics

with

understanding, actively

building new

know

ledge from

experience and prior know

ledge). Agar hal seperti ini terjadi, m

aka pada proses pem

belajaran di kelas, menurut istilah yang ada pada teori P

iaget, para siswa harus

difasilitasi sehingga proses asimilasi dan akom

odasi dapat terjadi. Sesuai dengan

tuntutan dari teori Piaget, m

aka asimilasi terjadi jika pengetahuan baru dapat

berkait (‘nyam

bung’) dengan

pengetahuan yang

sudah ada

di benak

siswa

(struktur kognitif).

Selanjutnya

dengan adanya

proses asim

ilasi ini,

proses akom

odasi akan terjadi juga.

Piaget m

enjelaskan bahwa perkem

bangan kognitif seseorang dipengaruhi oleh em

pat hal berikut.

1.K

ematangan (m

aturation) otak dan sistem syarafnya.

2.P

engalaman (experience) yang terdiri atas:

a.P

engalaman

fisik (physical

experience), yaitu

interaksi m

anusia dengan lingkungannya.

C.

Fakto

r yang

Mem

pen

garu

hi P

erkemb

ang

an

Ko

gn

itif

Psikologi Pembelajaran Matematika

19

b.P

engalaman

logiko-matem

atis (logico-m

athematical

experience), yaitu kegiatan-kegiatan pikiran yang dilakukan m

anusia. Contohnya,

berpikir bahwa pantulan bola ini lebih tinggi dari itu, karena ....

c.T

ransmisi sosial (social transm

ission), yaitu interaksi dan kerjasama yang

dilakukan oleh manusia dengan orang lain

d.P

enyeimbangan (equilibration), suatu proses, sebagai akibat ditem

uinya pengalam

an (informasi) baru, seperti ditunjukkan diagram

di atas.

1)Jelaskan em

pat tahap perkembangan kognitif m

enurut Piaget!

2)A

pa implikasi dari teori tersebut terhadap pem

belajaran matem

atika di S

MA

?3)

Penulis

pernah bertanya

kepada sisw

a S

MA

pertanyaan berikut:a.

Berbentuk

apakah bangun

datar B

CG

F?

b.A

pa yang dapat Anda katakan tentang

ruas garis BF

dan CD

?A

da siswa S

MA

yang menjaw

ab bahwa

BC

GF

berbentuk jajargenjang dan garis B

F berpotongan dengan C

D.

Berilah kom

entar tentang jawaban sisw

a ini, kaitkan dengan teori P

iaget tentang em

pat tahap perkembangan kognitif

seseorang!

4)B

erilah contoh asimilasi dan akom

odasi yang dapat terjadi pada struktur kognitif sisw

a SM

A ketika terjadi proses pem

belajaran matem

atika di kelas. A

pa yang dapat dilakukan agar proses asimilasi dan akom

odasi ini terjadi dengan baik dan m

ulus?5)

Berilah contoh aplikasi teori P

iaget tentang kematangan, pengalam

an, transm

isi sosial, dan penyeimbangan dalam

proses pembelajaran di S

MA

!

AB

C GH

E

D

F

Psikologi Pembelajaran Matematika

20

Psikologi Pembelajaran Matematika

21

Mengapa ada sisw

a SD

yang menyatakan bahw

a 5 2

3 1

2 1

? M

engapa ada juga

siswa S

MP

yang menyatakan bahw

a (a + b)

2 = a 2 +

b2? S

elain itu, mengapa m

asih terdapat sisw

a SM

A yang m

enyatakan sin (a + b) =

sin a + sin b m

eskipun gurunya telah m

embuktikan bahw

a sin (a + b) =

sin a . cos b + cos a . sin b?

Setelah m

embahas B

ab V ini, para guru diharapkan dapat:

1.M

enjelaskan bahwa suatu

pengetahuan tidak dapat dipindahkan dari otak

seorang guru dengan begitu saja ke dalam otak sisw

a. 2.

Menyebutkan

langkah-langkah pem

belajaran yang

menggunakan

konstruktivisme sebagai acuannya.

3.M

embuat m

odel pembelajaran yang m

engacu pada konstruktivisme.

Ketika penulis m

engajar di salah satu SM

A, penulis sem

pat bertanya kepada salah seorang sisw

a, mengapa ia m

enyatakan (a + b) 2 =

a2 +

b2? Jaw

abannya adalah karena 2(a +

b) = 2a +

2b. Ketika ditanyakan, dari m

ana pendapat itu m

uncul, apakah dari guru SM

P-nya? Iapun m

enjawab bahw

a pendapat itu bukan

dari gurunya

namun

dari dirinya

sendiri. A

lasan yang

sama

kemungkinan besar akan dilontarkan seorang sisw

a SM

A yang m

enyatakan sin (a +

b) = sin a +

sin b. Hal ini telah m

enunjukkan bahwa para sisw

a telah secara aktif m

enanggapi hal-hal yang menarik perhatiannya. N

amun ternyata

juga bahwa tanggapannya tersebut telah didasarkan pada pengetahuan yang

sudah ada pada struktur kognitif mereka. D

engan demikian jelaslah sekarang,

dari contoh di atas, bahwa sisw

a sendiri yang mem

bangun pengetahuan atau

A.

Ap

a Inti K

on

struktivism

e?

KO

NS

TR

UK

TIV

ISM

E

BAB V

Psikologi Pembelajaran Matematika

22

teori dan

teori yang

dikemukakan

siswa

tadi telah

didasarkan kepada

pengetahuan yang sudah ada di dalam benaknya (struktur kognitifnya).

Ternyata

simpulan

terakhir ini

sangat sesuai

dengan pendapat

konstruktivisme yang m

enyatakan bahwa pengetahuan akan tersusun atau

terbangun di

dalam

pikiran sisw

a sendiri

ketika ia

berupaya untuk

mengorganisasikan pengalam

an barunya berdasar

pada kerangka

kognitif yang

sudah ada

di dalam

pikirannya,

sebagaimana

dinyatakan B

odner (1986:873): “…

knowledge is constructed as the learner strives to organize

his or her experience in terms of preexisting m

ental structures”. D

engan dem

ikian pengetahuan tidak dapat dipindahkan dengan begitu saja dari otak seorang guru ke otak sisw

anya. Setiap sisw

a harus mem

bangun pengetahuan itu

di dalam

otaknya

sendiri-sendiri. Istilah-istilah

seperti: organisasi

(organize), pengalam

an (experience),

maupun

kerangka kognitif

(mental

structures) merupakan istilah-istilah baku dari P

iaget. Itulah sebabnya, ada pakar

yang m

enyatakan bahw

a paham

konstruktivism

e sesungguhnya

merupakan kelanjutan dari paham

dan pendapat yang dikemukakan P

iaget.

Para

ilmuw

an pernah

menyatakan

bahwa

benda-benda langit

berputar m

engelilingi bumi. P

endapat yang salah ini dapat bertahan selama dua abad

lamanya. Jika para ilm

uwan saja dapat m

elakukan kesalahan, maka para

siswa S

MA

akan dapat melakukan kesalahan dengan kadar yang jauh lebih

tinggi karena keterbatasan pengalaman, penalaran dan pengetahuan prasyarat

mereka. D

i kelas, ada siswa yang m

enyatakan bahwa 1 : ½

= ½

. Nyatalah

sekarang bahwa 1 : ½

telah diperlakukan seperti mem

perlakukan 1 : 2. Tidak

tertutup kemungkinan, pendapat tadi didasarkan pada suatu keyakinan pada

diri si siswa

bahwa

pada operasi pem

bagian, hasil

pembagiannya

akan m

engecil. C

ontoh ini

sebetulnya telah

menunjukkan

inti dari

teori konstruktivism

e, yaitu

para sisw

a akan

secara aktif

mem

bangun pengetahuannya, dalam

hal ini ia secara tidak sadar telah mem

bangun suatu teori atau pengetahuan bahw

a: 1 : ½ =

½ berdasar pada pengetahuan yang

sudah dimilikinya. H

al yang sama terjadi pada sisw

a yang menyatakan (a +

b) 2 =

a2 +

b2 dan sin (a +

b) = sin a +

sin b berdasar pada pengetahuan bahwa

2(a + b) =

2a + 2b.

Sisw

a tadi jelas melakukan suatu kesalahan yang sangat m

endasar. Meskipun

begitu, seorang siswa tidak akan m

emberikan jaw

aban yang salah itu dengan sengaja. A

rtinya, si siswa akan tetap m

eyakini bahwa jaw

abannya itu benar adanya. Inti dari teori konstruktivism

e lainnya adalah bahwa m

engajar tidak dapat

disamakan

dengan m

engisi air

ke dalam

botol

atau m

enuliskan inform

asi pada

kertas kosong.

Jika pendapat

bahwa

“mengajar

dapat disam

akan dengan mengisi air ke dalam

botol” bernilai benar maka sisw

a

Psikologi Pembelajaran Matematika

23

yang mengikuti proses pem

belajaran gurunya akan ikut menyatakan seperti

gurunya, apalagi rumus ini telah dibuktikan bahw

a sin (a + b) =

sin a. cos b +

cos a. sin b. Nam

un ternyata ia malah m

enyatakan sin (a + b) =

sin a + sin b.

Proses

pembelajaran

akan berhasil hanya

jika para

siswa

tersebut telah

berusaha dengan sungguh-sungguh untuk mengolah dan m

encerna informasi

baru tersebut

dengan m

enyesuaikannya pada

pengetahuan yang

telah tersim

pan di

dalam

kerangka kognitifnya

ataupun dengan

mengubah

kerangka kognitifnya tersebut. P

ertanyaan m

endasar yang

harus dijawab

sekarang adalah:

antisipasi apa

yang harus

dilakukan agar

siswa

tidak m

elakukan kesalahan seperti itu lagi?

Mengapa sebagaian orang Indonesia kesulitan m

empelajari B

ahasa Inggris dan kalah cepat untuk m

empelajarinya dari anak-anak di Inggris? A

pa yang m

enyebabkan anak-anak

di Inggris sangat

cepat belajar

Bahasa

Inggris. B

erdasar fenomena yang disam

paikan ini, tidaklah salah jika Lev V

ygotsky lalu m

enyatakan bahwa interaksi sosial, dalam

arti interaksi individu tersebut dengan orang lain m

erupakan salah satu faktor penting yang dapat mem

icu perkem

bangan kognitif seseorang. Seorang anak kecil di Indonesia akan

dengan cepat belajar Bahasa Indonesia dibandingkan dengan orang dew

asa Inggris

yang kurang berinteraksi dengan

masyarakat yang

menggunakan

Bahasa Indonesia sebagai bahasa sehari-harinya.

Vygotsky juga m

enyatakan bahwa setiap anak m

emiliki zona perkem

bangan proksim

al (Z

PD

atau

Zone

of P

roximal

Developm

ent) yang

merupakan

selisih antara tingkat perkembangan sisw

a yang aktual (sesungguhnya), tanpa bantuan

dan dukungan

orang lain

yang lebih

dewasa

dan lebih

berpengalaman, dengan perkem

bangan siswa jika ia m

endapatkan bantuan atau dukungan dari orang yang lebih kom

peten. Dukungan dan bantuan dari

orang yang lebih berkompeten yang m

enyebabkan terjadinya ZP

D itulah

yang disebut dengan dukungan dinamis atau scaffolding.

Implikasi dari teori Z

PD

dan dukungan dinamis atau scaffolding adalah: para

siswa harus difasilitasi untuk berkem

bang. Untuk itu, ketika para sisw

a akan belajar proses pem

ecahan masalah, para guru seharusnya m

enjadi ‘model’

dalam proses pem

ecahan suatu masalah. Ia harus m

enjadi ‘model’ dan harus

mem

fasilitasi para

siswanya

tentang “bagaim

ana cara

mem

ecahkan m

asalah”. Pada saat sisw

anya belajar, para guru harus mem

fasiliitasi suatu

B.

Ko

nstru

ktivisme S

osial V

igo

tsky

Psikologi Pembelajaran Matematika

24

model tentang “bagaim

ana cara belajar” yang baik sehingga para siswa

mencapai tahap Z

PD

ideal yang sesuai dengan kemam

puan si siswa.

Contohnya, pada saat m

enjadi ‘model’ pada proses pem

ecahan masalah; ia

pura-pura mengajukan pertanyaan, seperti:

A

pa sesungguhnya inti sari yang diketahui pada masalah ini? A

pa saja pengetahuan

yang berkait

dengan yang

diketahui? A

pa lam

bang m

atematikanya ya?

A

pa sesungguhnya yang harus dicari? Apa notasi m

atematika yang akan

dicari?

Mungkin ada saran untuk m

emecahkan m

asalah ini.

Bagaim

ana jika kita buat diagramnya lebih dahulu? A

pa yang terjadi jika kita tidak m

embuat diagram

nya?

Apa

hal ini

akan berlaku

juga jika

x m

erupakan bilangan

negatif? B

agaimana jika x m

erupakan bilangan irasional?

Sam

pai di sini kayaknya buntu ya. Jika buntu begini apa yang harus kita lakukan?

B

agaimana cara m

engecek kebenaran hasil yang didapat ini?

Sebagaim

ana sudah dinyatakan, tidak setiap pengetahuan dapat dipindahkan dengan m

udah dari otak seorang guru ke dalam otak m

urid-muridnya. H

anya dengan

usaha keras

tanpa m

engenal lelah

dari sisw

a sendirilah

suatu pengetahuan dapat dibangun dan diorganisasikan ke dalam

kerangka kognitif si

siswa

tadi. M

enurut paham

konstruktivism

e, seorang

siswa

harus m

embangun sendiri pengetahuan tersebut. K

arenanya seorang guru dituntut m

enjadi fasilitator

proses pem

belajarannya.Berikut

ini adalah

contoh pem

belajaran yang lebih mengaktifkan sisw

a. Mungkin cara ini sudah pernah

dilakukan para guru yang sedang mem

bahas paket ini.

C.

Imp

likasin

ya P

ada P

emb

elajaran

Psikologi Pembelajaran Matematika

25

RE

NC

AN

A P

EM

BE

LA

JAR

AN

Mata P

elajaran: Matem

atikaK

elas: XK

emam

puan Dasar: 10. M

elakukan Kegiatan S

tatistika

A.

Indikator: S

iswa

dapat m

enghitung m

ean data

tunggal dan

menjelaskan

maknanya.

B.

Materi pem

belajaran:

Mean data tunggal

M

akna mean

C.

Metode

Pem

belajaran: tanya

jawab,

penemuan,

pemecahan

masalah,

dan tugas

D.

Alat/B

ahan/Sum

ber Belajar

1.B

atu kecil, mur, kelereng, m

anik-manik, atau yang sejenisnya

2.O

HP

dan transparansi, papan tulis, kapur, dllE

.L

angkah Pem

belajaran1.

Kepada tiga sisw

a pada tiap kelompok diberikan batu kecil sebanyak 10,

10, dan 7. 2.

Minta kepada tiga sisw

a tadi untuk mem

bagi sama batu kecil yang didapat.

3.D

iskusikan secara kelompok cara m

embagi sam

a batu kecil tersebut.4.

Diskusikan

secara pleno

cara m

embagi

sama

batu kecil

tersebut. A

lternatifnya:a

Seluruh batu kecil dikum

pulkan lalu dibagi tiga.b

Menganggap sem

ua sudah mem

iliki 7 batu, kelebihannya dikumpulkan

lalu dibagi kepada 3 orang. c

Sisw

a yang mendapat 10 buah batu kecil m

emberikan salah satu batu

kecilnya kepada siswa yang m

emiliki 7 batu kecil

5.D

ari kegiatan 3 di atas, dibahas pengertian rata-rata hitung sebagai:a. H

asil bagi jumlah sem

ua ukuran dengan banyaknya ukuran untuk

mendapatkan rum

us: n

xx

b. Hasil rata-rata sem

entara ditambah rata-rata sim

pangannya, untuk

mendapatkan rum

us: n

dx

xs

di m

ana d = (x

i s

x)

6.M

embahas m

akna mean dengan sisw

a.7.

Mem

inta siswa m

enentukan rata-rata nilai matem

atika 10 orang siswa

berikut: 8, 8, 7, 7, 5, 7, 6, 7, 7, 6 dengan berbagai cara. Diskusikan cara

mereka m

endapatkan rata-rata nilai tersebut. 8.

Dari kegiatan 5 di atas, dibahas salah satu cara m

endapatkan rata-rata hitung

suatu data,

yaitu dengan

cara biasa,

yaitu

Psikologi Pembelajaran Matematika

26

25

21

28

57

26

15

x

atau

dengan m

enggunakan rataan

sementara.

9.M

eminta sisw

a menentukan rata-rata nilai m

atematika 10 orang sisw

a berikut: 108, 108, 107, 107, 105, 107, 106, 107, 107, 106. D

iskusikan cara m

ereka mendapatkan rata-rata nilai tersebut.

F.

Penilaian H

asil Belajar

1.T

entukan mean (rata-rata), m

edian, dan modus dari data berikut:

a.4, 9, 6, 6, 7, 7, 3, 5, 6, 5.

b.44, 49, 46, 46, 47, 47, 43, 45, 46, 45.

c.40, 90, 60, 60, 70, 70, 30, 50, 60, 50.

Hal m

enarik apa saja yang dapat Anda nyatakan dari hasil itu? A

pakah hal itu terjadi secara kebetulan saja ataukah dapat dibuktikan?

2.H

itunglah nilai rata-rata dari data berikut:

Nilai (x)

67

89

10B

anyak anak (f)5

714

86

Guru

mengam

ati dan

berdiskusi dengan

siswa

atau kelom

pok sisw

a untuk

mem

bantu, dan mengarahkan m

ereka.

Contoh

di atas

menunjukkan

peran guru

sebagai seorang

fasilitator dalam

m

embantu

siswanya

agar dapat

dengan m

udah m

engkonstruksi sendiri

pengetahuan tentang rataan. Sebagai contoh, konsep

mencari rataan dengan

menggunakan dasar rataan sem

entara; guru tidak langsung mem

berikan rumusnya,

namun

siswanya

difasilitasi agar

dapat m

embangun

sendiri pengetahuannya.

Dim

ulai dengan

mem

inta siswa

untuk mem

bagi sama

banyak 10, 10, dan 7

kelereng kepada 3 orang. Dari kegiatan ini, diharapkan ada sisw

a atau kelompok

siswa yang m

endapatkan cara seperti berikut: Menganggap sem

ua sudah mem

iliki 7 batu, kelebihannya

dikumpulkan lalu dibagi kepada 3 orang. A

rtinya, cara m

embagi sam

a 10, 10, dan 7 kelereng adalah:

92

73

03

37

x

Di dalam

matem

atika, 7 inilah yang disebut dengan rataan sementara dengan

notasi atau lambang

sx

; sedangkan 3, 3, dan 0 disebut simpangan nilai data yang

ada dengan rataan sementaranya. C

ara tersebut mengarah kepada rum

us:

Psikologi Pembelajaran Matematika

27

1.A

da pernyataan bahwa suatu pengetahuan tidak dapat dipindahkan dari

otak seorang guru dengan begitu saja ke dalam otak sisw

a. Setujukah

Anda dengan pendapat tersebut? Jelaskan!

2.S

ebutkan langkah-langkah

pembelajaran

yang m

enggunakan konstruktivism

e sebagai acuannya!3.

Buatlah

model pem

belajaran yang berbeda

dari contoh di atas yang

mengacu pada konstruktivism

e!

n

dx

xs

di m

ana d = (x

i s

x)

Agar suatu pengalam

an baru dapat terkait dengan pengetahuan yang sudah ia m

iliki, maka proses pem

belajaran harus dimulai dari pengetahuan yang sudah ada

di dalam

pikiran

siswa

(sudah ada

kerangka kognitifnya)

ataupun m

udah ditangkap sisw

a (mudah dibangun kerangka kognitifnya). N

amun paling penting

dan m

endasar, tugas utama

seorang guru

adalah m

enjadi fasilitator sehingga

proses pembelajaran di kelasnya dapat dengan m

udah mem

bantu para siswa untuk

mem

bentuk (mengonstruksi) pengetahuan yang baru tersebut ke dalam

kerangka kognitifnya. P

embelajaran

di atas

menunjukkan

bahwa

pembelajaran

dimulai

dengan m

engajukan suatu masalah di m

ana ide matem

atikanya diharapkan dapat muncul

dari masalah tersebut, sisw

a mendiskusikan cara m

emecahkan m

asalah yang ada, diikuti

dengan m

enemukan

sendiri (guided

reinvention) pengetahuan

matem

atikanya.

Psikologi Pembelajaran Matematika

28

Psikologi Pembelajaran Matematika

29

erbeda dengan Teori B

elajar Piaget yang telah m

embagi perkem

bangan kognitif seseorang dari bayi sam

pai dewasa atas em

pat tahap berdasar um

urnya, maka B

runer mem

bagi penyajian proses pembelajaran dalam

tiga tahap, yaitu tahap enaktif, ikonik dan sim

bolik. Di sam

ping itu, Bruner juga

mem

bahas teorem

a-teorema

tentang cara

belajar dan

mengajar

matem

atika. K

arena itu, setelah mem

bahas Bab V

I ini, para guru diharapkan dapat:1.

Menyusun proses pem

belajaran yang menggunakan tahapan: enaktif, ikonik,

dan simbolik.

2.M

emberikan contoh penggunaan teorem

a konstruksi, teorema notasi, teorem

a kekontrasan, dan teorem

a konektivitas pada pembelajaran m

atematika S

MA

.

Teori B

runer tentang tiga tahap pada proses belajar yang akan dibahas kali ini berkait dengan tiga tahap yang harus dilalui para sisw

a agar proses belajarnya dapat terjadi secara optim

al. Dalam

arti akan terjadi internalisasi pada diri sisw

a tersebut, yaitu suatu keadaan dim

ana pengalam

an yang baru dapat m

enyatu kedalam struktur kognitif m

ereka. Ketiga tahap pada proses belajar

tersebut adalah:

1.Tahap Enaktif. P

ada tahap ini, para siswa S

MA

dituntut untuk mem

pelajari pengetahuan (m

atematika tentunya) dengan m

enggunakan sesuatu yang “konkret” atau “nyata” yang berarti dapat diam

ati dengan menggunakan

panca indera. Contohnya, K

etika sedang mem

bahas irisan bidang, seorang guru sebaiknya m

enggunakan model kubus dan lidi atau bam

bu (untuk

B

A.

Tig

a T

ahap

pad

a Pro

ses Belajar

TE

OR

I PR

ES

EN

TA

SI B

RU

NE

R

BAB V

I

Psikologi Pembelajaran Matematika

30

melam

bangkan garis) untuk menentukan irisan bidangnya. D

engan cara seperti itu, para sisw

a akan lebih mudah m

empelajari perpotongan salah

satu garis dengan bidang datarnya. Dapat ditam

bahkan tentang pentingya istilah lebih konkret (nyata) bagi sisw

a SM

A. C

ontohnya, 72 ×

73 =

75

akan jauh lebih konkret daripada ma ×

mb =

ma+

b. Dengan dem

ikian cara pem

belajaran matem

atika adalah mem

ulai dengan sesuatu yang benar-benar konkret dalam

arti dapat diamati dengan m

enggunakan panca indera nam

un kalau tidak mungkin dapat m

enggunakan hal-hal yang lebih nyata.2.

Tahap Ikonik. Setelah m

empelajari pengetahuan dengan benda nyata atau

benda konkret, tahap berikutnya adalah tahap ikonik, dimana para sisw

a m

empelajari

suatu pengetahuan

dalam

bentuk gam

bar atau

diagram

sebagai perwujudan dari kegiatan yang m

enggunakan benda konkret atau nyata tadi.

3.Tahap Simbolik.

Dapat m

enjumlahkan

dua bilangan bulat hanya dengan

menggunakan garis-garis bilangan m

aupun koin positif dan negatif, baik secara enaktif (m

enggunakan benda nyata) maupun ikonik (m

enggunakan gam

bar atau diagram), belum

lah cukup. Untuk itu, m

enurut Bruner, para

siswa

harus m

elewati

suatu tahap

dimana

pengetahuan tersebut

diwujudkan dalam

bentuk simbol-sim

bol abstrak. Dengan kata lain, sisw

a harus

mengalam

i proses

berabstraksi. B

erabstraksi terjadi

pada saat

seseorang m

enyadari adanya

kesamaan

di atara

perbedaan-perbedaan yang ada (C

ooney, 1975).

Meskipun pepatah C

ina m

enyatakan “Satu gam

bar sama

nilainya dengan seribu kata”, nam

un menurut B

runer, pembelajaran sebaiknya dim

ulai dengan m

enggunakan benda

nyata lebih

dahulu. K

arenanya, guru

SM

A

ketika m

engajar matem

atika sudah seharusnya menggunakan m

odel atau benda nyata untuk

topik-topik tertentu

yang dapat

mem

bantu pem

ahaman

siswanya.

Bruner m

engembangkan em

pat teori yang terkait dengan asas peragaan ini adalah:1.

Teorem

a kon

str

uksi yang m

enyatakan bahwa sisw

a lebih mudah

mem

ahami

ide-ide abstrak

dengan m

enggunakan peragaan

kongkret (enactive) dilanjutkan ke tahap sem

i kongkret (iconic) dan diakhiri dengan tahap abstrak (sym

bolic). Dengan m

enggunakan tiga tahap tersebut, siswa

dapat mengkonstruksi suatu representasi dari konsep atau prinsip yang

sedang dipelajari.2.

Teorem

a n

ota

si yang m

enyatakan bahwa sim

bol-simbol abstrak harus

dikenalkan secara

bertahap, sesuai

dengan tingkat

perkembangan

kognitifnya. Sebagai contoh:

B.

Em

pat T

eorem

a Belajar d

an M

eng

ajar

Psikologi Pembelajaran Matematika

31

a.S

udah diketahui bahwa jika y =

x2 +

5 maka y’ =

2x.b.

Dikenalkan istilah anti differensial untuk integral. C

ontohnya, jika y’

= 2x, tentukan rum

us fungsi untuk y.c.

Dikenalkan notasi integral sebagai antidifferensial. D

engan demikian,

integral 2x dx berarti menentukan suatu fungsi yang kalau diturunkan

akan menghasilkan 2x.

d.D

engan demikian

dxx2

= x

2 + c

3.Teorem

a k

ekon

trasan

atau variasi yang menyatakan bahw

a konsep m

atematika

dikembangkan

dengan beberapa

contoh dan

yang bukan

contoh. Berikut ini adalah him

punan yang bukan contoh (noncontoh) dan yang m

enjadi contoh dari bilangan bentuk akar dan bilangan bukan bentuk akar.a.

Contoh konsep bilangan bentuk akar:

7; 3; 11;

13; 99; ....

b.N

oncontoh atau bukan konsep bentuk akar: 1;

4; 121;

0,25;

6,25; ...4.

Teorem

a k

on

ektivita

s yang m

enyatakan bahwa konsep tertentu harus

dikaitkan dengan

konsep-konsep lain

yang relevan.

Sebagai

contoh, perkalian

dikaitkan dengan

luas persegi

panjang dan

penguadratan dikaitkan

dengan luas

persegi. P

enarikan akar

pangkat dua

dikaitkan dengan m

enentukan panjang sisi suatu persegi jika luasnya diketahui.

Lebih lanjut, berbagai jenis kegiatan dalam

pembelajaran yang m

enerapkan teorem

a B

runer dapat

diwujudkan

dalam

berbagai kegiatan

seperti yang

dikemukakan oleh E

dgar Dale dalam

bukunya “A

udio Visual M

ethods in T

eaching” sebagai berikut:

1.P

engalaman langsung. A

rtinya, siswa dim

inta untuk mengalam

i, berbuat sendiri, m

engolah dan merenungkan apa yang dikerjakan.

2.P

engalaman yang diatur. S

ebagai contoh dalam m

embicarakan sesuatu

benda, jika

benda tersebut

terlalu besar

atau kecil,

atau tidak

dapat dihadirkan di kelas m

aka benda tersebut dapat diragakan dengan model.

Contohnya m

odel-model kubus, balok, prism

a, dan lain sebagainya.3.

Dram

atisasi. Misalnya: perm

ainan peran, sandiwara boneka yang bisa

digerakkan ke kanan atau ke kiri pada garis bilangan.4.

Dem

onstrasi. Biasanya dilakukan dengan m

enggunakan alat-alat bantu seperti papan tulis, papan flanel, O

HP

, program kom

puter dan lain-lain. B

anyak topik

dalam

pembelajaran

matem

atika di

SM

A

yang dapat

diajarkan dengan demonstrasi, m

isalnya: fungsi invers.5.

Karyaw

isata. K

egiatan ini

sebenarnya sangat

baik untuk

menjadikan

pelajaran m

atematika

disenangi sisw

a. K

egiatan yang

diprogramkan

dengan melibatkan penerapan konsep m

atematika seperti m

engukur tinggi obyek

secara tidak

langsung, m

engukur lebar

sungai, m

endata

Psikologi Pembelajaran Matematika

32

kecenderungan kejadian dan realitas yang ada di lingkungan merupakan

kegiatan yang sungguh sangat menarik dan sangat berm

akna bagi siswa

serta bagi daya tarik pelajaran matem

atika di kalangan siswa.

6.P

ameran.

Pam

eran adalah

usaha m

enyajikan berbagai

bentuk m

odel-m

odel kongkret

yang dapat

digunakan untuk

mem

bantu m

emaham

i konsep

matem

atika dengan

cara yang

menarik.

Berbagai

bentuk perm

ainan matem

atika ternyata dapat menyedot perhatian sisw

a untuk m

encobanya, sehingga jenis

kegiatan ini juga

cukup berm

akna untuk diterapkan dalam

pembelajaran m

atematika.

7.T

elevisi sebagai alat peragaan.

Program

pendidikan m

atematika yang

disiarkan melalui m

edia TV

juga merupakan alternatif yang sangat baik

untuk pembelajaran m

atematika.

8.F

ilm sebagai alat peraga

9.G

ambar sebagai alat peraga

Dengan dem

ikian jelaslah bahwa asas peragaan dalam

pembelajaran m

atematika

adalah sangat bermakna untuk m

eningkatkan pemaham

an dan daya tarik siswa

dalam m

empelajari m

atematika.

1.P

ilih salah satu S

K atau K

D m

atematika S

MA

, lalu tentukan tahap enaktif, ikonik, dan sim

bolik pada proses pembelajarannya!

2.B

erilah contoh penggunaan teorema konstruksi, teorem

a notasi, teorema

kekontrasan, dan teorema konektivitas pada pem

belajaran matem

atika S

MA

! SK

atau KD

yang dipilih boleh sama atau berbeda dengan S

K atau

KD

nomor 1 di atas.

Psikologi Pembelajaran Matematika

33

Pertanyaan yang sering diajukan para guru m

atematika adalah, m

engapa sebagian sisw

a ada yang dapat mengerjakan soal ketika ia belajar di kelas, nam

un ia tidak dapat lagi m

engerjakan soal yang sama setelah beberapa hari kem

udian. Untuk

menjaw

ab pertanyaan itu, tulisan ini disusun. Ausubel sendiri m

embahas dua

macam

pembelajaran yang disebutnya dengan belajar hafalan (rote-learning) dan

belajar bermakna (m

eaningful-learning). Setelah m

enyelesaikan bab ini, para guru diharapkan akan dapat:

1.M

enjelaskan pengertian dan mem

beri contoh pembelajaran yang m

engacu pada ‘belajar hafalan’ atau ‘rote-learning’.

2.M

enjelaskan perngertian dan mem

beri contoh pembelajaran yang m

engacu pada ‘belajar berm

akna’ atau ‘meaningful-learning’.

3.M

enjelaskan pem

belajaranberm

akna ataukah

pembelajaran

hafalan yang

lebih baik digunakan di kelas.4.

Merancang contoh pem

belajaran yang mengacu pada ‘belajar berm

akna’ atau ‘m

eaningful-learning’.

Pada B

ab II di bagian depan telah dibahas teori belajar dari Skem

p yang m

embahas

tentang pem

ahaman

relasional dan

pemaham

an instrum

ental. P

emaham

an relasional terjadi jika siswa m

emaham

i dua hal secara bersama-

sama, yaitu apa dan m

engapanya. Pem

ahaman instrum

ental terjadi jika siswa

hanya mem

ahami apanya nam

un belum m

emaham

i mengapanya. S

ebetulnya, teori

belajar yang

dikemukakan

Ausubel

adalah m

irip dengan

yang dikem

ukakan Skem

p. Keduanya sam

a-sama penganut aliran P

iaget. Istilah

A.

Belajar H

afalan

BE

LAJA

R B

ER

MA

KN

A

DA

VID

P. A

US

UB

EL

BAB V

II

Psikologi Pembelajaran Matematika

34

Piaget yang sering m

ereka gunakan adalah asimilasi dan akom

odasi. Kedua

istilah ini sering digunakan juga oleh para penganut aliran konstruktivisme.

Ausubel sendiri m

embahas dua m

acam pem

belajaran yang disebutnya dengan belajar hafalan (rote-learning) dan belajar berm

akna (meaningful-learning).

Ausubel m

enyatakan hal berikut sebagaimana dikutip B

ell (1978) mengenai

belajar hafalan (rote-learning): “…

, if the learner’s intention is to mem

orise it verbatim

, i,e., as a series of arbitrarily related word, both the learning

process and the learning outcome m

ust necessarily be rote and meaningless”

(p.132). Intinya, jika seorang sisw

a berkeinginan untuk mengingat sesuatu

tanpa mengaitkan hal

yang satu dengan hal

yang lain

maka

baik proses m

aupun hasil pembelajarannya dapat dinyatakan sebagai hafalan (rote) dan

tidak akan bermakna (m

eaningless) sama sekali baginya.

Contoh belajar hafalan yang paling jelas terjadi ketika si N

ani, siswa T

K yang

dapat menjaw

ab soal penjumlahan 2 +

2 ataupun 1 + 1 dengan benar. N

amun

ketika ia ditanya bapaknya mengapa 2 +

2 = 4?, ia-pun hanya m

enjawab: ”Y

a karena 2 +

2 = 4,” tanpa alasan yang jelas. A

rtinya, Nani hanya m

eniru pada apa yang diucapkan tem

an sebayanya. Tidaklah salah jika ada orang yang lalu

menyatakan

bahwa

si N

ani telah

belajar dengan

mem

beo. Jika

si A

ri, tem

annya, menyatakan 2 +

3 = 5 m

aka sangat besar kemungkinannya jika si

Nani akan m

engikutinya Berdasar pendapat S

kemp, yang dilakukan N

ani hanya term

asuk pada pemaham

an instrumental dan belum

termasuk pada

pemaham

an relasional. Mengacu pada pendapat A

usubel di atas, contoh ini m

enunjukkan bahwa si N

ani hanya belajar hafalan, dan

belum term

asuk berlajar berm

akna. Alasannya, ia hanya m

engingat sesuatu tanpa mengaitkan

hal yang satu dengan hal yang lain; baik ketika proses pembelajaran terjadi

maupun pada hasil pem

belajarannya ketika ia ditanya bapaknya; sehingga si N

ani dapat dinyatakan sebagai belajar hafalan (rote) dan belum

belajar berm

akna (meaningless).

Salah

satu kelem

ahan dari

belajar hafalan

atau belajar

mem

beo telah

ditunjukkan Nani bahw

a ia tidak mem

iliki dasar yang kokoh dan kuat untuk m

engembangkan pengetahuannya tersebut. Ia tidak bisa m

enjawab soal baru

seperti 1 + 2 m

aupun 2 + 1 jika tem

annya belum m

engajari hal tersebut.

Psikologi Pembelajaran Matematika

35

Untuk m

enjelaskan tentang belajar bermakna ini, perhatikan tiga bilangan

berikut. Menurut A

nda, dari tiga bilangan ini, manakah yang lebih m

udah dipelajari para sisw

a?89.107.145

(I)54.918.071 (II)17.081.945 (III)

Beberapa pertanyaan yang dapat diajukan adalah:

1.M

engapa bilangan III merupakan bilangan yang paling m

udah diingat atau dipelajari?

2.M

engapa bilangan II merupakan bilangan yang paling m

udah diingat berikutnya?

3.M

engapa bilangan I merupakan bilangan yang paling sulit diingat atau

dipelajari?

Misalkan saja A

nda diminta untuk m

engingat bilangan II. Bagaim

ana cara A

nda mengingatnya? Jika A

nda diminta untuk m

engingatnya dengan mudah;

apa yang

akan A

nda lakukan?

Jika A

nda m

eminta

setiap sisw

a untuk

mengulang-ulang

menyebutkan

bilangan di

atas, m

aka proses

pembelajarannya disebut dengan m

embeo atau hafalan. A

kibatnya, bilangan tersebut

akan hilang

jika tidak

diulang-ulang lagi.

Nam

un jika

Anda

mengajarkan

bilangan II

dengan m

engaitkannya dengan

bilangan III,

sedangkan bilangan III sendiri berkait dengan HU

T K

emerdekaan R

I, maka

proses pembelajaran seperti itu disebut dengan pem

belajaran bermakna dan

hasilnya diharapkan akan tersimpan lam

a.

Materi

pelajaran m

atematika

bukanlah pengetahuan

yang terpisah-pisah

namun m

erupakan pengetahuan yang saling berkait antara pengetahuan yang satu

dengan pengetahuan

lainnya. S

eorang sisw

a S

MP

atau

SM

A

yang m

empelajari

cara m

emfaktorkan,

namun

tidak dikaitkan

dengan proses

perkalian dua suku dua dapat dikategorikan sebagai belajar dengan mem

beo atau

belajar hafalan.

Pada

proses pem

belajaran pem

faktoran, sudah

seharusnya bapak dan ibu guru matem

atika mengaitkan antara perkalian dua

suku dua dengan pembelajaran pem

faktoran seperti ditunjukkan di bawah ini.

(x + 3)(x – 5) =

x2

– 2x –15

B.

Men

gap

a Haru

s Belajar B

ermakn

a?

Psikologi Pembelajaran Matematika

36

Pertanyaan yang dapat diajukan kepada sisw

a adalah: “Darim

ana bilangan –2 dan –15 pada ruas kanan itu m

uncul?” Pertanyaan selanjutnya: “B

agaimana

menentukan bilangan untuk m

engisi titik-titik pada pemfaktoran di baw

ah ini.

(x + ... )(x – ... ) =

x2

– 2x – 15(x – ... )(x – ... ) = x

2– 5x +

6

Hal yang sam

a dapat terjadi pada proses pembelajaran integral di S

MA

. Jika bapak dan ibu guru

mem

bahas integral sebagai antidifferensial

maka

hal tersebut sudah m

engarah kepada pembelajaran berm

akna. Nam

un jika bapak dan ibu guru m

embahas integral sebagai bagian terpisah dari differensial m

aka pem

belajaran tersebut

masih

mengarah

kepada pem

belajaran hafalan.

Berdasar beberapa contoh di atas, dapatlah disim

pulkan bahwa suatu proses

pembelajaran akan lebih m

udah dipelajari dan dipahami para sisw

a jika para guru m

ampu untuk m

emberi kem

udahan bagi siswanya sedem

ikian sehingga para sisw

a dapat mengaitkan pengetahuan yang baru dengan pengetahuan

yang sudah

dimilikinya.

Itulah inti

dari belajar

bermakna

(meaningful

learning) yang telah digagas David P

Ausubel.

Dari apa yang dipaparkan di atas jelaslah bahw

a untuk dapat menguasai

materi

matem

atika, seorang siswa harus m

enguasai beberapa kem

ampuan

dasar lebih dahulu. Setelah itu, si sisw

a harus mam

pu mengaitkan antara

pengetahuan yang baru dengan pengetahuan yang sudah dipunyainya. Ausubel

menyatakan hal berikut sebagaim

ana dikutip Orton (1987:34): “If I had to

reduce all of educational psychology to just one principle, I would say this:

The m

ost important single factor influencing learning is w

hat the learner already know

s. Ascertain this and teach him

accordingly.” Jelaslah, m

enurut A

usubel, bahw

a pengetahuan

yang sudah

dimiliki

siswa

akan sangat

menentukan berhasil tidaknya suatu proses pem

belajaran. Di sam

ping itu, seorang

guru dituntut

untuk m

engecek, m

engingatkan kem

bali ataupun

mem

perbaiki pengetahuan prasyarat siswanya sebelum

ia mem

ulai mem

bahas topik baru, sehingga pengetahuan yang baru tersebut dapat berkait dengan pengetahuan yang lam

a, inilah yang lebih dikenal sebagai belajar bermakna.

Seorang guru dapat belajar dari para sisw

a di kelasnya tentang cara-cara yang dapat dilakukannya untuk m

embantu sisw

anya belajar. Hal tersebut dapat

terjadi hanya jika Bapak dan Ibu G

uru mau m

enggali, menyelidiki lebih jauh,

serta mau m

endengarkan dengan tekun jawaban-jaw

aban mereka. D

i kelas, B

apak dan Ibu akan menem

ui siswa-sisw

a yang belajar dengan cara hafalan. B

elajar hafalan

akan terjadi

jika para

siswa

tidak m

ampu

mengaitkan

pengetahuan yang baru dengan pengetahuan yang lama. T

ugas gurulah untuk

Psikologi Pembelajaran Matematika

37

mem

beri kem

udahan bagi

para sisw

anya sehingga

mereka

dapat dengan

mudah

mengaitkan

pengalaman

atau pengetahuan

barunya dengan

pengetahuan yang sudah ada di dalam pikirannya. B

elajar seperti itulah yang kita harapkan dapat terjadi di kelas-kelas di Indonesia yaitu belajar berm

akna seperti yang telah digagas D

avid P. A

usubel.

1.A

pa yang

dimaksud

dengan ‘belajar

hafalan’ atau

‘rote-learning’? B

erilah contoh pembelajarannya berdasar pada pengalam

an sebagai guru S

MA

! 2.

Apa

yang dim

aksud dengan

‘belajar berm

akna’ atau

‘meaningful-

learning’? Berilah contohnya berdasar pada pengalam

an sebagai guru S

MA

! 3.

Menurut A

nda, pembelajaran

bermakna ataukah pem

belajaran hafalan yang lebih baik digunakan di kelas? Jelaskan m

engapa Anda m

emilih

pembelajaran seperti itu?

4.R

ancanglah pem

belajaran m

atematika

SM

A

yang diharapkan

akan m

enjadi pembelajaran yang berm

akna bagi para siswa!

Psikologi Pembelajaran Matematika

38

Psikologi Pembelajaran Matematika

39

agi sebagian siswa S

MA

, matem

atika telah dikenal sebagai mata pelajaran

yang sulit. Sebagian sisw

a ada yang menganggap dirinya tidak bisa lagi

belajar matem

atika. Inilah tantangan berat yang harus dipecahkan para guru jika hal itu terjadi di kelas bapak dan ibu guru m

atematika. B

ayangkan jika A

nda yang

menjadi

siswa

SM

A

dan sedang

dalam

kesulitan m

empelajari

matem

atika meskipun A

nda sudah berusaha dengan sekuat tenaga. Apa yang akan

terjadi jika seorang guru matem

atika masuk kelas? M

embosankan bukan? P

ada dasarnya, sebesar apapun m

otivasi seorang siswa perlahan akan sirna, jika ia

selalu tidak berhasil mem

pelajarinya. Sebaliknya dorongan dan m

otivasi paling besar

akan terjadi

jika seorang

siswa

berhasil m

elaksanakan tugas

yang dibebankan kepadanya dengan gem

ilang.

Karena

itu, selam

a proses

pembelajaran

sedang berlangsung,

setiap guru

matem

atika harus menanyakan dan berdiskusi dengan sisw

anya tentang kesulitan dan

keberhasilan yang

sudah diperlihatkan

siswanya.

Dengan

tulus, bantulah

mereka sehingga m

ereka merasa diperhatikan gurunya dan m

emiliki kepercayaan

diri yang besar untuk menyatakan bahw

a dirinya mam

pu mem

pelajari matem

atika. P

elajari dan analisislah kesalahan yang dilakukan siswanya, sehingga kekeliruan

itu tidak terjadi lagi di kelas kita. Hanya dengan cara seperti itulah bapak dan ibu

akan menjadi guru berpengalam

an. Paket ini telah m

embahas beberapa teori yang

dikemukakan beberapa pakar, beserta im

plikasinya pada pembelajaran m

atematika

di kelas.

Berdasar

teori-teori yang

ada pada

paket ini,

bapak dan

ibu guru

matem

atika dapat mem

adukannya dengan pengalaman selam

a mengajar. S

eorang guru

dapat belajar dari para siswa

di kelasnya tentang cara-cara yang dapat dilakukannya untuk m

embantu sisw

anya belajar. Hal tersebut dapat terjadi hanya

jika bapak

dan ibu

Guru

mau

menggali,

menyelidiki

lebih jauh,

serta m

au

B

PE

NU

TU

P

BAB V

III

Psikologi Pembelajaran Matematika

40 mendengarkan dengan tekun jaw

aban-jawaban m

ereka. Bapak dan Ibu guru dapat

menggunakan

kelebihan-kelebihan teori-teori

tersebut untuk

diaplikasikan di

kelasnya masing-m

asing sehingga dapat mem

bantu para siswa. B

erikut ini adalah rangkum

an dan tes untuk pembaca.

A.

Ran

gku

man

1.F

akta, m

enurut G

agne, adalah

konvensi (kesepakatan)

dalam

matem

atika seperti lambang, notasi, ataupun aturan. K

onsep adalah suatu ide abstrak. P

rinsip (keterkaitan antar konsep) adalah suatu pernyataan yang m

emuat hubungan antara dua konsep atau lebih. K

eterampilan

(skill) adalah kemam

puan untuk menggunakan prosedur atau langkah-

langkah untuk

menyelesaikan

suatu soal.

Perbedaan

empat

objek tersebut

akan m

empengaruhi

cara pem

belajarannya. C

ontohnya, pem

belajaran suatu

konsep akan

berbeda dengan

pembelajaran

keterampilan.

Hirarki

belajar disusun

untuk m

engetahui urut-urutan

pembelajarannya.

2.P

emaham

an relasional,

menurut

Skem

p, dapat

diartikan sebagai

pemaham

an yang mem

ahami dua hal secara bersam

a-sama, yaitu apa

dan mengapanya. P

ada pemaham

an instrumental, para sisw

a hanya dapat m

elakukan sesuatu (apanya) namun ia tidak dapat m

enjelaskan mengapa

ia harus melakukan sesuatu seperti.

3.M

enurut Piaget, ada tiga aspek pada perkem

bangan kognitif seseorang, yaitu: struktur, isi, dan fungsi kognitifnya. S

truktur kognitif atau skemata

(schema) yaitu suatu organisasi m

ental tingkat tinggi yang terbentuk pada

saat orang

itu berinterkasi dengan

lingkungannya. Isi

kognitif m

erupakan pola tingkah laku seseorang yang tercermin pada saat ia

merespon berbagai m

asalah, sedangkan fungsi kognitif merupakan cara

yang digunakan

seseorang untuk

mem

ajukan tingkat

intelektualnya, yang terdiri atas organisasi dan adaptasi. D

ua proses yang termasuk

adaptasi adalah asimilasi dan akom

odasi. Asim

ilasi adalah suatu proses di m

ana suatu informasi atau pengalam

an baru dapat disesuaikan dengan kerangka kognitif yang sudah ada di benak sisw

a; sedangkan akomodasi

adalah suatu proses perubahan atau pengembangan kerangka kognitif

yang sudah ada di benak siswa agar sesuai dengan pengalam

an yang baru dialam

i.4.

Konstruktivism

e m

enyatakan bahwa pengetahuan akan tersusun atau

terbangun di

dalam

pikiran sisw

a sendiri

ketika ia

berupaya untuk

mengorganisasikan

pengalaman

barunya berdasar

pada kerangka

kognitif yang

sudah ada

di dalam

pikirannya.

Para

penganutnya

Psikologi Pembelajaran Matematika

41

meyakini bahw

a pengetahuan tidak dapat dipindahkan dengan begitu saja dari otak seorang guru ke otak sisw

anya. 5.

Menurut B

runer, ada tiga tahap pada proses belajar, yaitu: (1) tahap enaktif, di m

ana siswa m

empelajari m

atematika dengan m

enggunakan benda “konkret” atau “nyata” yang dapat diam

ati dengan menggunakan

panca indera, (2) tahap ikonik, di mana sisw

a mem

pelajari matem

atika dengan m

enggunakan gambar atau diagram

sebagai perwujudan dari

kegiatan yang menggunakan benda konkret atau nyata tadi, dan (3) tahap

simbolik, di m

ana pengetahuan sudah diwujudkan dalam

bentuk simbol-

simbol abstrak..

6.A

usubel menginginkan proses pem

belajaran di kelas-kelas matem

atika adalah suatu pem

belajaran yang bermakna (m

eningful learning); yaitu suatu pem

belajaran di mana pengetahuan atau pengalam

an baru dapat terkait dengan pengetahuan lam

a.

B.

Tes

1.B

erkait dengan lima

objek matem

atika menurut G

agne, yaitu: fakta, konsep, prinsip, dan keteram

pilan (skill); penekanan apa yang harus diperhatikan

pada pem

belajaran rum

us suku

ke-n suatu

barisan aritm

etika?2.

Jelaskan implikasi proses asim

ilasi dan akomodasi pada pem

belajaran m

atematika!

3.Jelaskan tiga tahap pem

belajaran menurut B

runer!4.

Mengapa pem

belajaran yang Anda lakukan harus berm

akna?

Anda

dinyatakan berhasil

mem

pelajari paket

ini jika

kebenaran jaw

aban tesnya telah m

encapai minim

al 75%.

Psikologi Pembelajaran Matematika

42

Daftar P

ustak

a

Bell, F

.H. (1978). T

eaching and Learning M

athematics. L

owa:W

BC

Bodner,

G.M

. (1986).

Constructivism

: A

theory

of know

ledge. Journal

of C

hemical E

ducation. Vol. 63 no. 10.0873-878.

Cooney,

T.J.;

Davis,

E.J.;

Henderson,

K.B

. (1975).

Dynam

ics of

Teaching

Secondary School Mathem

atics. Boston: H

oughton Mifflin C

ompany.

NC

TM

(2000). Overview

of Principles and S

tandards for School M

athematics.

http://ww

w.standard.nctm

.org. Diam

bil pada 13 Januari 2002.

Orton, A

(1987). Learning M

athematics. L

ondon: Casell E

ducational Lim

ited

Skem

p, R.R

(1989). Mathem

atics in the Prim

ary School.London: R

outledge

Psikologi Pembelajaran Matematika

43

Lam

piran

Altern

atif Ku

nci Jawab

an Tugas B

ab II

1.H

al ini didasarkan pada hukum latihan (law

of exercise)yang menyatakan

bahwa sem

akin sering hubungan antara rangsangan dan balasan terjadi, maka

akan semakin kuatlah hubungan keduanya. Jadi, dengan m

emberi latihan dan

PR

kepada para siswanya diharapkan pengetahuan tersebut akan tahan lam

a.2.

Tergantung S

K atau K

D yang dipilih. N

amun yang perlu diperhatikan bahw

a fakta

harus berkait

dengan kesepakatan,

konsep harus

berkait dengan

pengertian, prinsip harus berkait dengan rumus atau teorem

a, dan skill harus berkait dengan prosedur atau langkah-langkah penyelesaian soal.

3.T

ergantung SK

atau KD

yang dipilih.4.

Tergantung S

K atau K

D yang dipilih.

5.Im

plikasi dari

teori para

penganut psikologi

tingkah laku

terhadap pem

belajaran matem

atika di antaranya adalah:a.

Perlunya latihan.

b.P

erlunya penguatan dan hadiah (reward) bagi yang berhasil

Altern

atif Ku

nci Jawab

an Tugas B

ab III

1.C

ontohnya adalah

pembelajaran

menghitung

median

dari rum

us tanpa

mengaitkan dengan K

D lainnya. S

i siswa hanya dipacu untuk m

enggunakan rum

us saja.2.

Contohnya

adalah pem

belajaran m

enghitung m

edian yang

mengaitkannya

dengan histogram

, sehingga

si sisw

a dapat

menjaw

ab m

engapa cara

mencarinya adalah seperti itu.

11

2

3

4

5

6

4,59,5

19,014,5

24,529,5

Psikologi Pembelajaran Matematika

44

Contoh bahan diskusi untuk sisw

a:

3.P

ada pemaham

an relasional; siswa dapat m

engerjakan sesuatu namun ia tidak

dapat menjelaskan m

engapa harus melakukan seperti itu. P

ada pemaham

an instrum

ental; sisw

a dapat

mengerjakan

sesuatu dan

ia sekaligus

dapat m

enjelaskan mengapa harus m

elakukan seperti itu.4.

Dengan pem

ahaman relasional, pengetahuan para sisw

a menjadi kokoh dan

diharapkan bisa tahan lama.

5.T

ujuan matem

atika diajarkan di SM

A adalah agar para sisw

a mem

iliki di antaranya

kemam

puan untuk

bernalar, berkom

unikasi, dan

mem

ecahkan m

asalah. Dengan pem

belajaran yang mengacu pada pertanyaan “m

engapa ... “ diharapkan kem

ampuan sisw

a akan berkembang.

Altern

atif Ku

nci Jawab

an Tugas B

ab IV

1.E

mpat tahap perkem

bangan kognitif siswa m

enurut Piaget adalah tahap: (1)

sensori m

otor; (2)

pra-operasional; (3)

operasional konkret;

dan (4)

operasional formal. S

iswa S

MA

berada pada tahap operasional formal. P

ada tahap

ini, sisw

a sudah

mam

pu m

elakukan abstraksi,

dalam

arti m

ampu

menentukan sifat atau atribut khusus sesuatu tanpa m

enggunakan benda nyata. P

ada tahap

ini, kem

ampuan

bernalar secara abstrak

meningkat,

sehingga seseorang m

ampu untuk berpikir secara deduktif.

2.D

i antara implikasinya pada pem

belajaran adalah para siswa S

MA

yang sudah pada tahap operasional form

al; sedikit demi sedikit harus dibim

bing untuk m

engembangkan kem

ampuan deduksinya (bernalar deduktif). N

amun untuk

hal-hal tertentu, proses pembelajaran dapat dim

ulai secara induktif dan diikuti dengan deduktif.

3.M

eskipun para siswa

SM

A sudah berada

pada tahap operasional formal;

namun m

asih ada siswa yang m

asih pada tahap operasional konkret; sehingga terjadi hal seperti itu.

4.T

ergantung pada SK

atau KD

yang dipilih. Nam

un contoh asimilasi dan

akomodasi

yang dicontohkan

harus m

enunjukkan adanya

kaitan antara

pengetahuan lama dengan pengalam

an baru; sehingga proses asimilasi dapat

terjadi. Selanjutnya, dengan adanya asim

ilasi maka proses akom

odasi dapat terjadi juga.

5.T

ergantung pada SK

atau KD

yang dipilih.

Perhatikan H

istogram di atas. Jelaskan secara terinci langkah-langkah A

nda untuk m

embuat garis vertikal yang dapat m

embagi banyaknya data di atas

menjadi dua bagian yang sam

a

Psikologi Pembelajaran Matematika

45

Altern

atif Ku

nci Jawab

an Tugas B

ab V

1.Y

a setuju. Alasannya, jika suatu pengetahuan dapat dipindahkan dari otak

seorang guru ke dalam otak sisw

a, maka setiap sisw

a pada akhirnya akan m

enguasai pengetahuan yang dipindahkan tersebut. Menurut konstruktivism

e, agar pem

belajaran dapat berhasil maka para sisw

a harus dapat mem

bangun sendiri pengetahuan berdasar pada pengetahuan yang sudah dim

ilikinya. Yang

perlu diperhatikan adalah jika para siswa tidak m

emiliki pengetahuan yang

akan menjadi dasar.

2.L

angkah-langkah pembelajarannya:

a.M

engemukakan

masalah

yang harus

dipecahkan sisw

a. A

da yang

menyebutnya sebagai m

asalah kontektual atau masalah realistik.

b.S

iswa m

endiskusikan dengan teman proses pem

ecahannya, diikuti dengan m

enampilkan hasil diskusinya.

c.M

endiskusikan ide matem

atika yang muncul dari pem

ecahan masalah

tersebut.3.

Tergantung S

K atau K

D yang dipilih.

Altern

atif Ku

nci Jawab

an Tugas B

ab V

I1.

Tergantung

SK

atau

KD

yang

dipilih. N

amun

pada tahap

enaktif harus

ditunjukkan adanya benda konkret yang dapat diamati, pada tahap ikonik

harus ditunjukkan

adanya gam

bar yang

dapat diam

ati, dan

pada tahap

simbolik ditunjukkan ide abstrak m

atematikanya.

2.T

ergantung SK

atau KD

yang dipilih.

Altern

atif Ku

nci Jawab

an Tugas B

ab V

II1.

Pada

‘belajar hafalan’

atau ‘rote-learning’;

ide m

atematika

yang baru

dipelajari siswa tidak dikaitkan dengan pengetahuan yang sudah ada di dalam

pikiran sisw

a.2.

Pada ‘belajar berm

akna’ atau ‘meaningful-learning’; ide m

atematika yang

baru dipelajari siswa sudah dikaitkan dengan pengetahuan yang sudah ada di

dalam pikiran sisw

a.3.

Pem

belajaranberm

akna yang lebih baik digunakan di kelas. Dengan cara

pembelajaran

seperti itu,

pengetahuan m

atematika

siswa

tidak terpotong-

potong; namun terkait antara yang satu dengan lainnya.

4.T

ergantung SK

atau KD

yang dipilih.

Psikologi Pembelajaran Matematika

46

Altern

atif Ku

nci Jawab

an Tes B

ab VIII

1.R

umus suku ke-n suatu barisan aritm

etika adalah Un =

a + (n 1)b. R

umus

tersebut merupakan contoh prinsip atau keterkaitan antar konsep. Y

ang harus m

enjadi penekanan pada proses pembelajarannya adalah;

a.sisw

a harus mengingat atau dapat m

enurunkan rumus itu

b.sisw

a m

engetahui arti

lambang-lam

bang yang

digunakan. C

ontohnya bahw

a b melam

bangkan beda, sedangkan beda sendiri termasuk konsep

sehingga setiap siswa harus m

emaham

i konsep atau pengertian tentang beda tersebut dan dapat m

enentukannya. c.

siswa dapat m

enggunakan rumus tersebut untuk m

emecahkan m

asalah atau m

enyelesaikan soal 2.

Implikasinya, proses pem

belajaran matem

atika harus mem

fasilitasi terjadinya asim

ilasi dan

akomodasi;

sedemikian

sehingga pengetahuan

baru dapat

disesuaikan dengan

pengetahuan lam

a dan

pengetahuan lam

a dapat

menyesuaikan dengan pengetahuan yang baru. D

engan cara seperti ini, proses pem

belajarannya m

enjadi bermakna

dan para siswa m

emiliki pem

ahaman

relasional.3.

Pada tahap enaktif guru harus m

emfasilitasi adanya benda konkret yang dapat

diamati, pada tahap ikonik harus ditunjukkan adanya gam

bar yang dapat diam

ati, dan

berdasar dua

tahap tadi,

pada tahap

simbolik

guru dapat

mem

fasilitasi muncul atau terbangunnya ide abstrak m

atematika.

4.D

engan pembelajaran berm

akna para siswa akan m

emaham

i dan tidak hanya hafal. D

engan cara seperti itu pengetahuan para siswa m

enjadi kokoh dan diharapkan bisa tahan lam

a. Pengetahuan yang satu dapat berkait dengan

pengetahuan yang lain. S

ekali lagi,

Anda

dinyatakan berhasil

mem

pelajari paket

ini jika

kebenaran jaw

aban tesnya telah mencapai m

inimal 75%

.