makalah matematika
TRANSCRIPT
1
Fungsi
Dalam berbagai aplikasi, korespondensi/hubungan antara dua himpunan sering
terjadi. Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi V= 4
3π r3
.
Contoh yang lain, tempat kedudukan titik-titik ( x , y ) yang jaraknya 1 satuan dari titik
pangkal O adalah x2+ y2=1 . Ada hal penting yang bisa dipetik dari contoh di atas.
Misalkan X menyatakan himpunan semua absis lebih dari atau sama dengan 1 dan kurang
dari atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan ordinat lebih dari atau sama dengan 1 dan
kurang dari atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen pada X berkorespondensi dengan
satu atau lebih elemen pada Y. Selanjutnya, korespondensi x2+ y2=1 disebut relasi dari X
ke Y. Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka
relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosongR⊂A×B .
A B
Relasi dari himpunan A ke B
Jika R adalah relasi dari A ke B dan x∈ A berelasi R dengan y∈B maka ditulis:
(a , b )∈ R atau aRb atau b=R(a )
Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai
perbedaan yang mendasar. Pada contoh yang pertama setiap r>0 menentukan tepat satu
V >0 . Sementara pada contoh yang ke dua, setiap x∈[−1, 1 ] berelasi dengan beberapa
a1
a2
a3
b1
b2
b3
b4
2
(dalam hal ini dua) nilai x∈[−1, 1 ] yang berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut
fungsi.
Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap x∈ A terdapat tepat satu y∈B
sehingga b=R(a ) .
Sebagai contoh, misalkan X={1 , 2 } dan Y={3 , 6 } . Himpunan {(1 , 3 ) , (2 , 3 )} merupakan fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y.
Demikian pula, himpunan {(1 , 6 ) , (2, 3 )} merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan
{(1 , 3 ) , (1 , 6 ) , (2 , 3) } bukan merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang
menentukan lebih dari satu nilai di Y.
Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst. Selanjutnya, apabila f
merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:
f : A B
Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal,
sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi
f ditulis dengan notasi Df, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi
f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:
D f={x∈R : f ( x ) ada ( terdefinisikan ) }Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau
daerah hasil fungsi f, ditulis R f atau Im(f) (Perhatikan Gambar 2.1.2).
Definisi Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap x∈ A berelasi R dengan tepat
satu y∈B maka R disebut fungsi dari A ke B.
A B
3
● ●
●●
●
fR
Gambar
Jika pada fungsi f : A B , sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y
merupakan bayangan x oleh f “ atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).
A B
f fungsi dari himpunan A ke B.
Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas.
Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif
Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu .
Diberikan fungsi f : A→B .
(i). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f
disebut fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).
Gambar 2.1.4 f fungsi surjektif dari himpunan A ke himpunan B
x y
a1●
a2●
a3●
a4●
●b1
●b2
●b3
A B
f
4
(ii). Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal,
maka f disebut fungsi injektif atau fungsi 1-1 (into function).
A B
(iii). Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut
fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah
fungsi surjektif sekaligus injektif.
A B
Operasi Pada Fungsi
Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahan f +g , selisih f−g , hasil
kali skalar α f , hasil kali f . g , dan hasil bagi f /g masing-masing didefinisikan sebagai
berikut:
( f +g )( x )= f ( x )+g( x ) ( f−g )( x )=f (x )−g( x )
(α f )(x )=α f ( x ) ( f . g)( x )=f ( x ).g ( x )
( fg)(x )=
f ( x )g ( x )
, asalkan g (x )≠0
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali
untuk f /g , D f /g= {x∈D f∩Dg : g (x )≠0 }.
a1●
a2●
a3●
●b1
●b2
●b3
●b4
●b5
a1●
a2●
a3●
a4●
●b1
●b2
●b3
●b4
Fungsi injektif dari A ke B
Gambar Korespondensi 1 – 1.
5
x ● ● y
X Y
1f
Gambar
f
Fungsi Invers
Diberikan fungsi f : X→Y . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X.
Pada umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh,
perhatikan Gambar 2.1.7 di bawah ini.
Apabila f : X→Y merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa
invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi f−1
.
Perhatikan Gambar berikut.
Jadi:
x= f−1( y ) ⇔ y=f (x ) denganD
f−1=Rf dan Rf−1=Df
Fungsi Komposisi
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
f
A B
Gambar
6
x ● )(xgy ))(( xgfz g f
gf
gf
Perhatikan fungsi y=√x2+1 . Apabila didefinisikan y=f (u )=√u dan
u=g ( x )=x2+1 maka dengan substitusi diperoleh y=f (u )=f (g ( x ))=√x2+1 , yaitu
rumus fungsi yang pertama disebutkan. Proses demikian ini disebut komposisi. Secara umum
dapat diterangkan sebagai berikut. Diketahui f dan g sebarang dua fungsi. Ambil sebarang
x∈Dg . Apabila g( x )∈D f maka f dapat dikerjakan pada g( x ) dan diperoleh fungsi baru
h( x )=f (g ( x )) . Ini disebut fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f g .
Grafik Fungsi
Diberikan fungsi f. Himpunan {( x , y ) : y=f (x ), x∈D f } disebut grafik fungsi f.
Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius
Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:
(a). Fungsi Aljabar (b). Fungsi Transenden
Definisi Fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f g , didefinisikan sebagai:( f g )( x )=f ( g (x )) ,
dengan domain D f g={x∈Dg : g( x )∈D f }.
7
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan,
selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak. Sebagai
contoh, fungsi f dengan rumus:
f ( x )=3 x−x2( x+1)2/3
√ x2+1
merupakan fungsi aljabar. Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi
transenden. Beberapa contoh fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi
logaritma, dsb.
1. Tentukan domain dan kodomain, dan range dari pemetaan pada gambar di bawah.
Jawab:
Diagram disamping adalah pemetaan f : A→B , dengan:
Domain adalah A = {a, e, i, o};
Kodomain adalah B = {1, 2, 3, 4, 5};
f (a )=1 , f (e )=2 , f ( i)=3 , f (o )=4 , dan
Range adalah H = {1, 2, 3, 4)
a
e
i
o
1
2
3
4
5
8
2. Tentukan domain, kodomain, dan range dari f ( x )=x2+1 , f : R→R
Jawab:
Domain adalah R = himpunan bilangan real,
Kodomain adalah R = himpunan bilangan real,
f (−3 )=10 , f (−2 )=5 , f (−1 )=2 , f (0 )=1 , f (1 )=2 , f (2 )=5 f (3 )=10 ,
Dan range adalah
H = {y y 1 dan y R).
3. Misal f : R→R dengan f ( x )=√1−x2 tentukan domain dari fungsi f
Jawab:
Supaya f : R→R dengan f ( x )=√1−x2 maka haruslah 1−x2≥0 .
1−x2≥0→ x2−1≤0 atau ( x−1)( x+1 )≤0 atau −1≤x≤1 .
Jadi, domain fungsi tersebut adalah −1≤x≤1 .
4. Misal f : R→R dengan f ( x+2 )=x2−x . Tentukan :
a. f ( x ) b) f (k ) c) f (1)
Jawab:
a. Misal y=x+2 maka x= y−2
Karena f ( x+2 )=x2−x maka
f ( y )=( y−2 )2−( y−2 )= y2−4 y+4− y+2= y2−5 y+6
Maka kita peroleh f ( x )=x2−5 x+6
b. f ( x )=x2−5 x+6 maka f (k )=k2−5k+6
c. f (1)=12−5 . 1+6=2
5. Misal f : R→R , g :R→R dengan f ( x )=2 x2+1 dan g( x )=x+2 . Tentukan
a. ( g f )(x ) b. ( f g )(x ) c. ( g f )(1 ) d. ( f g )(1 )
Jawab
9
a. ( g f )(x )=g( f ( x ))=g (2x2+1 )=(2 x2+1 )+2=2 x2+3
b. ( f g )(x )=f (g ( x ))=f ( x+2)=2( x+2)2+1=2( x2+4 x+4 )+1=2 x2+8 x+9
c. ( g f )(1 )=g( f (1))=g(2 . 12+1)=g (3)=3+2=5
d. ( f g )(1 )=f ( g(1))=f (1+2)=f (3 )=2 . 32+1=19
Jadi ( g f )(x )≠( f g )( x )
6. Diketahui h( x )=( gf )( x ) dengan f ( x )=2 x+1
x−3 dan g−1 (x )=x−4 . Tentukan h
−1 ( x )
Jawab :
Jika f ( x )=2 x+1
x−3→ f −1 ( x )=3 x+1
x−2
Jika h( x )=( gf )maka h−1 ( x )=( f −1g−1 )( x )
h−1 ( x )=( f −1g−1 )( x )=( f −1( g−1 (x ))=f−1( x−4 )
=3( x−4 )( x−4 )−2
=3 x−11x−6
7. Jika f ( x )=3x, maka f (a+2 b−c )=. . ..
Jawab :
f ( x )=3x
f (a+2 b−c )=3a+2b−c
=3a . 32 b
3c=
3a . (3b )2
3c
=f (a )( f (b ))2
f (c )
8. Fungsi f dengan rumus f ( x )=√x2−x
x+1 terdefenisi pada himpunan ….
Jawab :
f ( x )=√ x2−xx+1 terdefenisi apabila
x2−xx+1
≤0⇒x (x−1)
x+1≥0
10
Nilai-nilai x yang membuat pembilang dan penyebut nol (akar-akarnya) adalah:
x1=0 ; x2=1 ;dan x3=−1
Garis bilangan :
-1 0 1
Daerah yang memenuhi adalah daerah yang positif, maka penyelesaiannya adalah
−1<x≤0 atau x≥1 .
Untuk x = -1 tidak memenuhi karena nilai ini membuat penyebut nol.
9. Jika f ( x )=x−2 , maka 2 f ( x2 )−3 [ f ( x ) ]2−f ( x )=.. ..
Jawab :
f ( x )=x−22 f ( x2 )−3 [ f ( x ) ]2−f ( x )=2( x2−2 )−3( x−2 )2−( x−2 )
=2 x2−4−3( x2−4 x+4 )−x+2=−x2+11 x−14
10. Diketahui f ( x )=2 x+1dan g( x )=3(4 x−2) .Fungsi ( f +2 g )( x )=. .. .
Jawab :
( f +2 g )( x )=f ( x )+2 g ( x )=2 x+1+2(3( 4 x−2 ))=26 x−11
11. A = {x x< - 1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A→B dengan f ( x )=−x+1
g :B→C dengan g( x )=x2dan
h=g f : A→C
Bila x di A dipetakan ke 64 di C maka x=. .. .
Jawab :
Ambil x = 2, substitusi ke pertidaksamaan
2(2−1)2+1
=23>0 atau ⊕
⊕ΘΘ ⊕
11
f ( x )=−x+1 :g ( x )=x2
h( x )=( gf )( x )=g( f ( x ))=g(−x+1)=(−x+1 )2
h( x )=64⇒(−x+1 )2=64−x+1=±8( i) −x+1=8→x=−7( ii )−x+1=−8→ x=9
Karena A = {x x < -1} maka x = -7
12. Jika f ( x )=2 x dan f (g ( x ))=− x
2+1,
maka g( x )=.. ..
Jawab :
f ( x )=2x→ f (g ( x ))=2 g( x )
f ( g( x ))=−x2+1 (diketahui)
→2 g (x )=−x2+1
g( x )=−
x2+1
2=−
14
x+12=
14(−x+2 )
13. Fungsi invers dari f ( x )=3 x+4
2 x−1 adalah ….
Jawab :
f ( x )=3 x+42 x−1
Misal y= 3 x+4
2 x−1
12
y(2 x−1 )=3 x+42 xy− y =3 x+42 xy−3 x = y+4x (2 y−3 )= y+4
x = y+42 y−3
→ f−1( x )=x+42 x−3
Invers dari fungsi seperti di atas dapat ditentukan dengan menggunakan rumus :
Jika f ( x )=ax+b
cx+d maka f−1( x )=−dx+b
cx−a
f ( x )=3 x+42 x−1
→ f−1( x )= x+42 x−3
14. Jika ditentukan f ( x )=4 x+1
x−4 dengan x∈ R dan x≠4 , maka fungsi invers f−1( x )=.. ..
Jawab :
Ingat bahwa: jika f ( x )=ax+b
cx+d maka f−1( x )=−dx+b
cx−a
Untuk f ( x )=4 x+1
x−4 maka f−1( x )=4 x+1
x−4
15. Invers dari f ( x )=(1−x3 )15+2 adalah ….
Jawab :
f ( x )=(1−x3 )15+2
Misal y=(1−x3 )15+2
⇒ y−2 =(1−x3 )15
( y−2)5=1−x3
( y−2)5−1=−x3
x3=1−( y−2)5
(ruas kiri dan kanan dipangkatkan 5)
(ruas kiri dan kanan dipangkatkan 1/3)
13
x=[1−( y−2 )5]13
⇒ f−1( x )=[1−( y−2)5 ]13
16. Dari gambar di bawah ini yang merupakan grafik fungsi yang mempunyai fungsi invers
adalah….
Jawab :
Fungsi yang mempunyai fungsi invers adalah fungsi yang berkorespondensi satu-satu.
Hanya grafik (D) saja yang merupakan fungsi yang berkorespondensi satu-satu. Cara
memeriksanya yaitu dengan membuat garis sejajar sumbu X dan sumbu Y. apabila garis
tersebut hanya memotong kurva disatu titik, maka fungsinya mempunyai fungsi invers.
17. Fungsi f : R→R dan g : R→R dirumuskan dengan f ( x )= x−1
x, x≠0
dan g( x )=x+3
maka ( g( f ( x ))−1=.. . .
Jawab :
Ingat bahwa :
f ( x )=ax+bcx+d maka
f−1( x )=−dx+bcx−d
g( x )=ax+b maka g−1 (x )=1
a( x−b )
( g f )−1( x )=[ g ( f ( x ))]−1
=f −1 (g−1( x ))
f ( x )= x−1x= x−1
x+0,maka
f−1( x )=0 x−1x−1
= −1x−1
X
Y
14
g( x )=x+3 , maka g−1=x−3
[ g ( f ( x ))]−1=f−1 (g−1( x ))
=f−1( x−3 )
= −1( x−3 )−1
= 14−x
18. Misalkan f ( x )=x+2untuk x > 0 dan g( x )=15
x untuk x > 0 dengan demikian
( f −1g−1)( x )=1 untuk x = ….
Jawab :
f ( x )=x+2⇒ y=x+2x= y−2⇒ f−1( x )=x−2
g ( x )=15x⇒ y=
15x
x=15y⇒g−1( x )=15
x( f −1g−1)( x )=1
f −1 [ g−1( x ) ]=1
f −1(15x)=1
15x−2 =1
15x=3⇒ x=5
Cara lain:
Ingat bahwa : ( f−1g−1)( x )=( gf )−1( x )
Karena ( f−1g−1)( x )=1maka ( g f )−1( x )=1
Jika ( g f )−1( x )=1 maka ( g f )(1 )=x
Dengan demikian:
15
x=(g f )(1 )=g ( f (1 ))=g (1+2)=g=3
=153=5
19. Jika f ( x )=5xdan g( x )=x2+3untuk x≠0 maka f
−1( g( x2 )−3 )=. .. .
Jawab :
f ( x )=5x⇒ y=5x
x=5 log y⇒ f−1( x )=5 log xg( x )=x2+3f−1[ g ( x2)−3 ]= f−1 [( x2 )2+3−3
=f −1 ( x4 )=5 log x4=45 log x
20. Misalkan f ( x )=
Maka f (2) . f (−4 )+ f ( 1
2) . f (3 )=. .. .
Jawab :
f (2) . f (−4 )+ f (12) . f (3 )=(22+1) . ((−4 )2+1 )+(2(
12)−1)(32+1)
=5 . 17+0 . 10=85
21. (57)Diketahui fungsi f ( x )=x−3
2 x+5, x≠−3
2 dan f-1 adalah invers dari f. Nilai f-1(1) = …
Jawaban:
f ( x )= x−32 x+5
f−1 (x )=−5 x−32 x+1
, x ≠12
f−1 (1 )=−5 (1 )−32 (1 )−1
¿−8
2 x−1 , jika 0< x<1x2+1 , untuk x yang lain
16
22. (64)Diketahui f(x – 1) = x−1
2 x−1 , dan x≠−1
2 dan f-1(x) adalah invers fungsi f(x). Tuliskanlah rumus
f-1(2x-1) !Jawaban:
f ( x−1 )= x−12 x−1
f ( x−1 )= (x−1)2 ( x−1 )+1
f ( x )=x
2 x+1
f−1 (2 x−1 )= −(2x−1)2 (2x−1 )−1
¿−2 x+14 x−3
, x ≠34
23. (24) Jika f(x) = x2 dan g(x) = 2x – 1, maka titik (x, y) yang memenuhi y =(f o g)(x) adalah …(1) (-1, 9) (3) (1, 1)(2) (0, 1) (4) (2, 4)
Jawaban:y= ( f o g ) ( x )=f (g ( x ) )=f (2 x−1 )=(2 x−1)2
(1). (-1, 9) 9 = (2 (-1) – 1)2 = 9 (benar)(2). (0, 1) 1 = (0 – 1)2 = 1 (benar)(3). (1, 1) 1 = (2 – 1)2 = 1 (benar)(4). (2, 4) 4 = (4 – 1)2 = 9 (salah)
24. (28) Jika f(x) = √ x2+1 dan (f o g)(x) = 1
x−2√ x2−4 x+5 , maka g(x – 3) = …
Jawaban:
( fog ) ( x )= 1x−2
√ x2−4 x+5
√ g2 ( x )+1= 1x−2
√x2−4 x+5
g2 ( x )+1=(√ x2−4 x+5x−2 )
2
g2 ( x )= x2−4 x+5( x−2 )2
−1
g ( x )= 1x−2
Jadi, g ( x−3 )= 1( x−3 )−2
= 1x−5
25. Tentukan domainnya.
17
a. f ( x )= 1
x+2 b. f ( x )=√ x
x2−1 c. f ( x )= 1
x+5+ ln( x2−x−6)
Jawaban:
a. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,
D f={x∈R :1
x+2terdefinisikan}= {x∈R : x+2≠0 }=R−{−2}
b. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:
D f={x∈R : √xx2−1
ada}={x∈R :xx2−1
≥0}={x∈R : −1<x≤0 atau x>1 }=(−1,0 ]∪(1 ,∞).
c. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:
D f={x∈R :1x+5+ln ( x2−x−6 ) ada}
={x∈R :1x+5
ada dan ln ( x2−x−6 ) ada}={x∈ R : x+5≠0 dan ( x2−x−6 )>0 }={x∈R : x≠−5 dan ( x<−2 atau x>3 )}={x∈R : x≠−5 dan x<−2 } atau {x∈ R : x≠−5 dan x>3)}
=(−∞ ,−5 )∪(5 ,−2)∪(3 , ∞) .
26. Jika f ( x )=3 x2+(1 /x ), maka tentukan:
a. f (−1 ) b. f ( x+2 ) c. f (1/ x ) d. f ( x+Δ x )
Penyelesaian:
a. f (−1 )=3 .(−1)2+(1/−1)=2 .
b. f ( x+2 )=3( x+2 )2+1/( x+2 )=3 x2+12 x+12+1/( x+2 ).
c. f (1/ x )=3 .(1/ x )2+ 1
1/ x=(3/ x2)+x
.
d. f ( x+Δ x )=3.( x+Δ x )2+1/( x+Δ x )=3 x2+6 x . Δ x+(Δ x )2+1/( x+Δ x ) .
18
27. Jika f dan g masing-masing:
f ( x )=√ x−1 g( x )= 1x+5
maka tentukan: f +g , f−g , f . g , dan f /g beserta domainnya.
Penyelesaian:
( f +g )( x )=√x−1+1x+5
( f−g )( x )=√x−1−1x+5
( f . g )( x )=√x−1 .1x+5
( f / g )( x )=√x−1x+5
Karena D f=[ 1, ∞) dan Dg=R−{−5}, maka f +g , f−g , f . g , dan f /g masing-masing
mempunyai domain: [1 , ∞).█
28. Tentukan f−1
jika diketahui f ( x )=1− x−1
3 x+2 .
Penyelesaian:
y=f ( x )=1−x−13 x+2
⇔ 1− y=x−13 x+2
⇔ (1− y )(3 x+2)=x−1⇔3 x−3 xy−2 y+2=x−1⇔ 2 x−3 xy=2 y−3
⇔ x=2 y−32−3 y
=f −1( y )
Jadi, f−1( x )=2 x−3
2−3 x .
29. Tentukan inversnya jika diketahui:
19
f ( x )={−x jika x<0
−1 jika x=0
−1x+1
jika x>0
Penyelesaian: (i). Untuk x<0 , y=f ( x )=−x>0 . Sehingga:
x=− y=f −1 ( y ) y>0
(ii). Untuk x=0 , f (0)=−1 . Sehingga, diperoleh: 0=f −1(−1) .
(iii).Untuk x>0 ,
y=f ( x )= −1x+1< −1
0+1=−1
x=−1y−1=−1− y
y=f−1( y ) y<−1
Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:
f−1( x )={−x jika x>0
0 jika x=−1
−1−xx
jika x<−1.█
30. Jika f(x) = x2 dan g(x) = x1 maka tentukan fungsi-fungsi berikut beserta domainnya.
a. f g b. gf c. f f d. gg
Penyelesaian:
a. ( f g )( x )=f ( g (x ))= f ( x−1 )=( x−1 )2 , dengan domain D f g=R
.
b. (g f )( x )=g( f (x ))=g( x2 )=x2−1 , dengan domain Dg f=R .
20
c. ( f f )( x )=f ( f ( x ))=f ( x2 )=x4, dengan domain
D f f=R.
d. (gg )( x )=g( g( x ))=g( x−1 )=(x−1)−1=x−2 , dengan domain Dgg=R .█
31. Jika f ( x )=√1−x2 dan g( x )=2 x2
maka tentukan fungsi-fungsi berikut ini beserta
domainnya.
a. f g b. gf
Penyelesaian:
a. ( f g )( x )=f ( g (x ))= f (2 x2 )=√1−(2 x2)2=√1−4 x4, dengan domain:
D f g={x∈Dg : g ( x )∈Df }={x∈ R: −1≤2 x2≤1}
={x∈R : 0≤x2≤1 /2 }={x∈R :−12√2≤x≤1
2√2}
.
b. (gf )( x )=g( f (x ))=g( √1−x2 )=2 (1−x2) , dengan domain:
Dg f={x∈D f : f ( x )∈Dg }= {x∈R : −1≤x≤1 } .
32. Tentukan f g jika diketahui:
f ( x )={1+x jika x≥0
1 /x jika x<0
g( x )={ xx−1
jika x>1
2 x−1 jika x≤1
Penyelesaian:
(i). Untuk x>1 , g( x )= x
x−1= x−1+1
x−1=1+ 1
x−1>1>0
. Sehingga:
( f g )(x )=f (g ( x ))=1+g ( x )=1+ xx−1
21
(ii).Untuk x≤1 , g( x )=2 x−1≤2.1−1=1 . Karena g( x )≤1 , maka dapat dibedakan
menjadi 0≤g( x )≤1 dan g( x )<0 . Selanjutnya,
(a). 0≤g( x )≤1 apabila 0≤2x−1≤1 atau 1/2≤x≤1 . Hal ini berakibat, untuk
1/2≤x≤1 ,
( f g )(x )=f (g ( x ))=1+g ( x )=1+(2 x−1 )=2 x
(b). g( x )<0 apabila 2 x−1<0 atau x<1/2 . Jadi, untuk x<1/2 diperoleh:
( f g )(x )=f (g ( x ))=1/g ( x )=1/(2 x−1 )
Dari (i) dan (ii), diperoleh:
( f g )(x )={1+xx−1
jika x>1
2x jika 1/2≤x≤1
12x−1
jika x<1/2