VEKTOR

Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas

Disusun Oleh :

1. Chrisnaldo noel (12110024)

2. Maria Luciana (12110014)

3. Rahmat Fatoni (121100)

PRODI TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

INSTITUT SAINS DAN TEKNOLOGI NASIONAL

Jakarta

2012

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa,

karena atas berkat dan limpahan rahmat-Nya maka penulis dapat menyelesaikan

sebuah karya tulis dengan tepat waktu.

Berikut ini penulis mempersembahkan sebuah makalah dengan judul

"Vektor", yang menurut penulis dapat memberikan manfaat yang besar bagi kita

untuk mempelajari ilmu teknik sipil, khususnya ilmu tentang Matematika Teknik.

Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meminta maaf dan

memohon permakluman bilamana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan

yang penulis buat kurang tepat. Dengan ini saya mempersembahkan makalah ini

dengan penuh rasa terima kasih dan semoga makalah ini dapat memberikan

manfaat.

Jakarta, 25 Mei 2013

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Pada tahun 1827 Mobius mempublikasikan Der Barycentrische Calcul,

sebuah buku geometri yang mengkaji transformasi garis dan irisan kerucut. Fitur

baru dalam hasil karya ini adalah pengenalan koordinat barycentric. Diberikan

sembarang segitiga ABC maka jika garis berat a, b, dan c berturut-turut dilukis

pada A, B, dan C maka dapat ditentukan sebuah titik P, yaitu titik berat segitiga.

Mobius memperlihatkan bahwa setiap titik P pada bidang datar ditentukan oleh

koordinat homogen [a,b,c]. Garis – garis berat yang diperlukan diletakkan pada

A,B, dan C untuk menentukan titik berat P. Yang terpenting disini adalah

pandangan Mobius tentang besaran berarah, sebuah pemunculan awal mengenai

konsep vektor.

Pada tahun 1837 Mobius mempublikasikan buku tentang statika di mana

ia secara gamblang menyatakan idenya tentang penyelesaian masalah besaran

vektor bersama dengan dua sumbu koordinat.

Di antara dua hasil karya Monius ini, sebuah karya tentang geometri oleh

Bellavitis dipublikasikan tahun 1832 yang juga membahas besaran yang

merupakan vektor. Odjek dasarnya adalah segmen garis AB dan ia memandang

AB dan BA sebagai dua objek yang berbeda. Ia mendefinisikan dua segmen garis

sebagai ‘equipollent’ jika keduanya sama panjang dan paralel. Dalam notasi

modern, dua segmen garis adalah equipollent jika keduanya mewakili dua vektor

yang sama. Dengan demikian, Vektor merupakan pengetahuan yang sangat

penting. Hal itulah yang melatar belakangi kami untuk menyusun makalah ini,

agar nantinya dapat memahami dan mengaplikasikannya di kehidupan sehari-hari.

1.2  Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian sebelumnya, dapat dirumuskan masalah sebagai

berikut :

1.      Apakah pengertian dari besaran skalar dan besaran vektor ?

2.      Bagaimana menyatakan besaran vektor secara grafis (Penggambaran

Vektor) ?

3.      Apakah yang disebut dengan kesamaan 2 vektor ?

4. Bagaimana cara menjumlahkan vektor ?

5. Apakah yang disebut dengan komponen sebuah vektor ?

6. Bagaimana mengoperasikan perkalian dalam vektor ?

1.3  Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah :

1.      Untuk mengetahui pengertian dari besaran skalar dan besaran vektor

2.      Untuk mengetahui cara penggambaran vektor

3.      Untuk mengetahui kesamaan 2 vektor

4. Untuk mengetahui jenis-jenis vektor

5. Untuk mengetahui cara penjumlahan dan perkalian vector

6. Untuk mengetahui komponen sebuah vector

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Besaran Vektor dan Besaran Skalar

Besaran-besaran Fisis ditinjau dari pengaruh arah terhadap besaran

tersebut dapat dikelompokkan menjadi :

2.1.1. Besaran Vektor

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, contohnya:

perpindahan, kecepatan , gaya dan percepatan. Vektor dinotasikan

dengan sebuah huruf dengan anak panah diatasnya misal A, atau dicetak

dengan huruf tebal misal A atau yang lain sesuai perjanjian (pada tulisan

ini digunakan huruf biasa tanpa anak panah dan tidak dicetak tebal).

Besar vektor A dinyatakan dengan A atau A. Vektor A dapat pula

dinyatakan dengan OP dan besarnya adalah OP.

Vektor dalam kehidupan sehari-hari salah satu contohnya adalah

gaya dan kecepatan. Sedangkan skalar dalam kehidupan sehari-hari

dicontohkan dengan jarak/ panjang, luas, isi dan temperatur. Besaran

vektor perlu melibatkan arah (direction) di samping besar (magnitude).

2.1.2. Besaran Skalar

Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah.

Contoh besaran adalah: massa, panjang, waktu, suhu, dan sebarang

bilangan riil. Skalar dinyatakan dengan huruf biasa seperti dalam aljabar

elementer. Operasi-operasi pada skalar mengikuti aturan-aturan yang

sama seperti halnya dalam aljabar elementer. Sekali satuannya

ditetapkan, besaran skalar sepenuhnya ditentukan oleh ukuran atau

besarnya (magnitude) saja. Jadi dapat disimpulkan,

1. Laju sebesar 10 km/j adalah besaran skalar, tetapi

2. Kecepatan ‘sebesar 10 km/j ke utara’ adalah besaran vektor

2.2. Penggambaran Vektor

Suatu besaran vektor secara grafis dapat dinyatakan dengan sebuah

garis yang digambarkan sedemikian rupa sehingga :

1. panjang garis,

menyatakan besar vektor.

2. arah garis,

menyatakan arah vektor, penunjukan arah ini dinyatakan dengan

kepala anak panah.

B

a d

Sebagai contoh, sebuah gaya horizontal sebesar 20 N yang

memiliki arah ke kanan dinyatakan dengan garis . Bila

dipilih skala vektor 1cm = 10 N, maka panjang garis tersebut haruslah

2cm.

2.3. Kesamaan 2 Vektor

Jika 2 buah vektor, ā dan ē, dikatakan sama, maka kedua vektor

tersebut memiliki besar dan arah yang sama.

Jika ā = ē, maka : 1) a = e (besarnya sama)

2) arah ā = arah ē, yaitu kedua vektor

tersebut sejajar dan searah.

ā ē

Serupa dengan hal tersebut, jika kedua vektor tersebut memiliki

hubungan ā = - ē apa yang dapat kita katakan tentang :

1) Besarnya sama

2) Kedua vector sejajar tetapi berlawanan arah.

ā ē

2.4. Penjumlahan Vektor

B

A

C

Jumlah dari dua vector, A dan B, didefinisikan sebagai vector

tunggal atau vector ekuivalen atau vector resultan C. Artinya A+B=C

Maka untuk mencari jumlah dari dua vector A dan B, kita

gambar vector-vektor ini sebagai suatu rantai, memulai vector yang

kedua dari ujung vector pertama; jumlah C diberikan oleh vector

tunggal yang menghubungkan pangkal vector pertama dengan ujung

vector kedua.

2.5. Komponen Sebuah Vektor

Seperti halnya AB + BC + CD + DE dapat digantikan dengan AE ,

maka sembarang vektor PT dapat digantikan dengan sejumlah vektor

komponen asalkan komponen- komponen tersebut membentuk rantai

diagram vektor yang berpangkal di P dan berakhir di T.

Contoh : ABCD adalah sebuah segi empat. Titik G terletak di

tengah-tengah DA dan titik H di tengah-tengah BC. Tunjukkanlah bahwa

AB + DC = 2GH .

A B

G

H

D

C

Vektor AB dapat digantikan dengan rangkaian vektor apa saja

asalkan dimulai dari A dan berakhir di B. Jadi dapat kita katakan AB =

AG + GH + HB . Serupa dengan itu, dapat kita katakan juga DC = DG +

GH + HC . Sehingga kita peroleh :

AB = AG + GH + HB

DC = DG + GH + HC

AB+DC = AG+GH +HB+DG+GH +HC

=2HG+ AG+DG +(HB+HC)

G adalah titik tengah AD, karena itu vektor AG dan DG sama

panjang, tetapi berlawanan arah.

DG = −AG;HC = −HB

AB+DC=2GH+ AG−AG + HB−HB =2GH

Latihan :

Dalam segitiga ABC, titik L, M, N berturut-turut adalah titik tengah AB, BC, CA.

Tunjukkanlah bahwa :

(i) AB+BC+CA=0

(ii) 2AB+3BC+CA=2LC

2.6. Komponen-Komponen vektor dalam suku-suku vektor-vektor

satuan

Y

b r

X

a

Dengan kata lain, OP ekuivalen dengan vektor a dalam arah OX

dan vektor b dalam arah OY. Jika kita sekarang mendefinisikan i sebagai

vektor satuan dalam arah OX dan j sebagai vektor satuan dalam arah OY,

maka a = ai dan b = bj. Jadi vektor OP dapat ditulis sebagai: r = ai

+ bj

2.7. Vektor dalam Ruang

Z

P

c

a o b Y

L

X Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX

j = vektor satuan dalam arah OY

Vektor OP didefinisikan oleh magnitudonya (r) dan arahnya (). Vector ini dapat juga didefinisikan oleh kedua komponennya dalam arah OX dan OY.

Vektor OP didefinisikan oleh komponen-komponennya:a di sepanjang OXb di sepanjang OYc di sepanjang OZ

k = vektor satuan dalam arah OZ

Maka: OP = ai + bj + ck

OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + C2

OP2 = a2 + b2 + c2

Jadi, jika r = ai + bj + ck, maka r = a2 + b2 + c2

Ini memberikan kita suatu cara yang mudah dalam mencari magnitude

suatu vektor yang dinyatakan dalam suku-suku vektor satuannya.

2.8. Kosinus Arah

Arah suatu vektor dalam tiga dimensi ditentukan oleh sudut-sudut

yang dibuat oleh vektor dengan ketiga sumbu acuannya.

Z

P

c

a o b Y

L

X

Juga a2 + b2 + c2 = r2

r2 cos2 α+r2 cos2 β+r 2cos2 γ=r2

cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1

Jika l=cos α

m=cos β

Misalkan; OP = r = ai + bj + ckMaka;ar=cos α a=r cos∝

br=cos β b=r cos β

cr=cosγ c=r cos γ

n=cos γ Maka l 2 + m 2 + n 2 =1

2.9. Operasi Perkalian

2.9.1. Hasilkali Skalar dari Dua Vektor

A

B

Jika a dan b merupakan 2 vektor. Hasilkali scalar a dan b

didefinisikan sebagai scalar (bilangan) ab cos . Hasilkali scalar ini

dinotasikan sebagai a.b (hasil kali titik/perkalian dot).

2.9.2. Hasilkali Vektor dari Dua Vektor

 

Perkalian 2 buah vektor lazim disebut dengan perkalian silang

(cross product) dan didefinisikan sebagai vector yang memiliki

magnitude ab sin dengan merupakan sudut antara kedua vector yang

diketahui tersebut.

atau dalam

notasi vektor

diperoleh :

ΙA x BΙ = AB sin

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam perkalian vektor

yakni:

1.      Perkalian silang bersifat antikomutatif, dimana :

A x B ≠ B x A ; A x B = -B x A.

Dalam vektor satuan, misal i x j = k, maka j x i = -k.

2.      Jika 2 vektor saling tegak lurus , sudut apit 90o maka:

ΙA x BΙ = A B Sin α

= A B Sin 90o ; sin 90o = 1

= A B, dalam vektor satuan dapat ditulis dengan :

i x j = k, j x k = i, dan k x i = j.

3. Jika 2 vektor segaris kerja, searah yang membentuk sudut 0o,

ataupun berlawanan yang membentuk sudut 180o, hasil perkalian

silangnya sama dengan nol.

2.10. Sudut antara Dua Vektor

Misalkan a merupakan vektor dengan kosinus arah

A x B = (Y1Z2 – Z1Y2) i + (Z1X2 – Z2X1) j + (Y1X2 – X1Y2) k

2.11. Rasio Arah

BAB III

PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan, yakni

1.      Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah,

contohnya: perpindahan, kecepatan , gaya dan percepatan.

Sedangkan besaran skalar adalah besaran yang mempunyai besar

tetapi tanpa arah. Contoh besaran adalah: massa, panjang, waktu,

suhu, dan sebarang bilangan riil.

2.      Suatu besaran vektor secara grafis dapat dinyatakan dengan sebuah

garis, panjang garis menyatakan besar vektor dan arah garis

menyatakan arah vektor (dinyatakan dengan kepala anak panah).

3.      Dua buah vektor dikatakan sama, apabila kedua vektor tersebut

memiliki besar dan arah yang sama (sejajar dan searah).

4.      Tanda + dalam penjumlahan vektor mempunyai arti dilanjutkan. Jadi

A + B mempunyai arti vektor A dilanjutkan oleh vektor B. Dalam

operasi penjumlahan berlaku hukum komutatif dan hukum asosiatif.

5. Dalam segitiga ABC, titik L, M, N berturut-turut adalah titik tengah

AB, BC, CA. Tunjukkanlah bahwa :

(i) AB+BC+CA=0

(ii) 2AB+3BC+CA=2LC

(i) AB + BC + CA =0

Vektor AB dapat digantikan dengan rangkaian vektor apa saja

asalkan dimulai dari A dan berakhir di B. Jadi dapat kita katakan AB

= AL + BL . Serupa dengan itu, dapat kita katakan juga BC = BM +

CM dan CA = CN + AN. Sehingga kita peroleh :

AB = AL +BL

BC = BM + CM

CA = CN + AN

AB+BC+CA = (AL +BL)+( BM + CM)+( CN + AN)

L adalah titik tengah AB, karena itu vektor AL dan BL sama

panjang, tetapi berlawanan arah. AL = −BL ; BM = −CM ; CN =

−AN. Maka dari itu dapat dikatakan, bahwa :

(BL−BL)+(CM−CM)+(AN−AN)= 0

(ii) 2 AB +3 BC + CA =2 LC

AB = AL + LB

BC = BL + LC

CA = CL + AL

Sehingga kita peroleh :

2AB + 3BC + CA = (2AL + 2LB) + (3BL + 3LC) + (LC + LA)

= 3AL + 5BL + 4LC

= −3BL + 5BL + 4LC

= 2BL + 4LC

= 2 (BL + LC) + 2LC

= 2BC + 2LC

= 2 (BM + CM) + 2LC

= 2 (−CM + CM) + 2LC

= 2(0) + 2LC

= 2LC

2AB+3BC+CA=2LC

6. Operasi Perkalian

6.1. Perkalian vektor dengan skalar

Hasilkali skalar (hasilkali titik) A . B = AB Cos dimana

merupakan sudut diantara a dan b.

Jika A = A1 i + A2 j + A3 k

dan B = B1 i + B2 j + B3 k

maka A . B = A1B1 + A2B2 + A3B3

6.2. Perkalian vektor dengan vektor

Hasilkali vektor (hasilkali silang) ΙA x BΙ = AB Sin α

dalam arah yang tegak lurus terhadap a dan b, sehingga a, b, dan

(a x b) membentuk set tangan-kanan.

3.2. Saran-saran

Adapun saran yang dapat penulis berikan adalah perlunya pengaplikasian

dari pengetahuan tentang vektor ini di masyarakat luas, untuk memudahkan

pekerjaan masyarakat pula tentunya, sehingga secara tidak langsung akan

meningkatkan taraf hidup bangsa

DAFTAR PUSTAKA

• http://en.wikipedia.org/

• http://www.math10.com

• http://www.mathrec.org/vector.html