Soal Penyisihan OMV2011 - SMA/MA

_________________________________________________________________________________________________

Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika “Vektor” Universitas Negeri Malang

Bagian 1BERIKAN JAWABAN AKHIR!

1. Bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari

൫3 − √3൯൫2√5 + √10൯− ൫1 − √3൯൫2√5 + 3√10൯

2 + √6adalah .....

2. Perhatikan gambar!Diberikan persegi ܦܥܤܣ dengan panjang sisinya adalah 1.Lingkaran ܮ berpusat di titik ܤ melewati titik ܣ dan titik .ܥ

Lingkaran ܭ berpusat di titik ܣ berjari-jari√ଷଵ

√ଶ, memotong

sisi ܤܣ di titik dan memotong sisi ܦܣ di titik . Lingkaranܭ dan lingkaran ܮ berpotongan di dalam persegi ܦܥܤܣ di titik. Notasi menyatakan luas daerah di dalam persegi yangdibatasi oleh ruas garis ܦܥ , ruas garis ,ܦ busur , danbusur ,ܥ dan notasi menyatakan luas daerah di dalampersegi yang dibatasi oleh ruas garis ,ܥܤ ruas garis ,ܤ busur, dan busur .ܥ Selisih antara dan adalah .....

3. Untuk 0 < >ݔగ

ଶ, jika = cosݔmaka nilai (dinyatakan dalam ( dari

ቀ2011

1ቁsinଶݔ− ቀ

20112

ቁsinସݔ+ ቀ2011

3ቁsinݔ− ቀ

20114

ቁsinݔ+ ⋯+ ቀ20112011

ቁsinସଶଶݔ

adalah .....

4. Untuk nilai yang tidak lebih dari 2011, diberikan sistem persamaan

൜−ݔ)ݔ 8) + +ݕ)ݕ 6) = − 25

−ݕ2 −ݔ)ݔ 8) = 18�

Paling banyak berapa penyelesaian yang dimiliki sistem persamaan tersebut?

5. Banyak bilangan asli yang tersusun atas digit-digit തതതതതതതത, dimana < < dan > > adalah …..

6. Peluang memperoleh bilangan bulat kelipatan 10ଵଵଶ ketika memilih acak pembagi-pembagipositif dari 10ଶଵଵadalah …..

7. M adalah bilangan asli 4 angka yang tidak berakhiran dengan angka 0 dan ܯ) ) menyatakanbilangan 4 angka dengan me-revers digit-digit ܯ . Dalam kasus ini, revers artinya angkapertama ܯ menjadi angka ke-4, angka ke-2 menjadi angka ke-3, angka ke-3 menjadi angka ke-2, dan angka ke-4 menjadi angka pertama. Sebagai contoh adalah (3275) = 5723. Banyaknyabilangan asli ܯ yang memenuhi ܯ) ) = ܯ4 + 3 adalah …..

8. Banyak pasangan bilangan bulat (ݕ,ݔ) sedemikian sehingga ଶݔ + ଶݕ3 = 8 adalah .....

9. Diberikan matriks-matriks ܣ = ቂ1 1102

2011 909ቃdan ܤ = ቂ

ቃ, dengan dan merupakan

bilangan-bilangan asli yang tidak lebih dari 2011. Banyak matriks ܤ sehingga ܤܣ = ܤ2012adalah .....

Y

X

R

Soal Penyisihan OMV2011 - SMA/MA

_________________________________________________________________________________________________

Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika “Vektor” Universitas Negeri Malang

10. Diberikan matriks sebagai berikut.

ܣ = 0 ଶݔ

ݔ√ 0൨, ܤ = ൦

1 ݔ2ଵ

௫

ݔ2− 0 ݔ

−ଵ

௫ݔ− 1

൪, ܥ = ൦

1ݔ2−

ݔ21

0 ଶݔ−

−1 00 −1 1 ݔ4ଶݔ 0 ݔ4− 1

൪.

Jika (ݔ) = det((ܣଵ)) ∙ ଶݔ + det(ܤ) ∙ −ݔ2 det (ܥ) ∙ 5, maka nilai dari ᇱ(1) adalah ....(keterangan: notasi det() menyatakan nilai determinan dari suatu matriks ).

11. Misalkan ߙ dan ߚ adalah sudut-sudut suatu segitiga sedemikian sehingga berlaku

sinߙcosߚ

cosߙ=

cosߙ sinߚ

cosߚ.

Jika besar salah satu sudut segitiga tersebut adalah 50 maka selisih terbesar dua sudut yanglain adalah .....0 (derajat).

12. Perhatikan gambar!Pada suatu sistem terdapat 2 tabung air kosong dan 4 kran yangdisusun seperti pada gambar. Masing-masing tinggi tabung adalah1 meter dan mempunyai volume 1000 liter. Kran ”c” terpasang 75cm dari alas tabung ”Q” sedangkan debit air pada kran ”a”, ”b”,dan ”d” berturut-turut adalah 80 liter/menit, 50 liter/menit, dan40 liter/menit. Pada saat air tepat akan mengalir melalui kran ”c”,berapa liter air yang terdapat pada tabung P?

(anggaplah sistem dapat berjalan lancar dengan mengabaikansemua asumsi selain informasi yang terdapat pada soal)

13. Untuk bilangan-bilangan bulat positif , , dan , diberikan suatu persamaan kuadratଶݔ + +ݔ = 0. Jika = 2ଶଵଵ maka banyak nilai c yang mungkin agar persamaan kuadrattersebut mempunyai akar kembar (mempunyai tepat satu akar) adalah...

14. Jika =ݔଶ

ଷ+

ଶାଶమ

ଷమ+

ଶାଶమାଶయ

ଷయ+

ଶାଶమାଶయାଶర

ଷర+

ଶାଶమାଶయାଶరାଶఱ

ଷఱ+ ⋯,

maka nilai dariଶ

௫+

ଶାଶమ

௫మ+

ଶାଶమାଶయ

௫య+

ଶାଶమାଶయାଶర

௫ర+

ଶାଶమାଶయାଶరାଶఱ

௫ఱ+ ⋯ = ......

15. Pada tiga perempatan A, B, dan C masing-masing terdapat lampu merah dan hijau saja yangmenyala bergantian selama waktu yang ditentukan. Di sebelah lampu-lampu itu dipasangpapan angka digital untuk menunjukkan berjalannya detikan waktu dengan hitungan majuketika lampu merah atau hijau menyala. Di perempatan A lampu merah menyala selama 90detik sedangkan lampu hijau menyala selama 30 detik. Di perempatan B lampu merah menyalaselama 70 detik sedangkan lampu hijau menyala selama 50 detik. Di perempatan C lampumerah menyala selama 80 detik sedangkan lampu hijau menyala selama 40 detik. Pada pukul02 : 10 : 11 papan digital di perempatan A menunjukkan lampu merah menyala pada detik ke-20, lampu hijau di perempatan B menunjukkan detik ke-10 sedangkan lampu hijau diperempatan C menunjukkan detik ke-30. Sampai dengan pukul 20 : 11 : 00, selama berapadetikkah terjadi kondisi bahwa lampu hijau di semua perempatan menyala secara bersamaan?

16. Paling sedikit 3 dari 9 tiang bendera yang berjajar menyamping akan dicat oleh Budi sehinggatiang-tiang yang dicat itu masing-masing warnanya berbeda satu sama lain. Jika disediakanhanya 7 macam cat dengan warna yang berbeda maka banyak cara mengecat tiang-tiangbendera itu adalah....

Soal Penyisihan OMV2011 - SMA/MA

_________________________________________________________________________________________________

Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika “Vektor” Universitas Negeri Malang

17. Banyak bilangan bulat yang mungkin sedemikian sehinggaଵ− 11− 11ସ− 12ଶ− 11

merupakan bilangan prima adalah .....

18. Perhatikan gambar!Seekor semut berjalan mengikuti garis-garis yangmenghubungkan titik-titik pada gambar dimulaidari titik A hingga kembali lagi ke titik A. Kecuali dititik A, jika setiap titik harus dilalui tepat satu kalimaka banyak cara berbeda yang bisa ditempuh olehsemut tersebut adalah ......

19. Untuk persiapan menghadapi OMV 2011, sebuah sekolah mengadakan seleksi bagi siswanyauntuk memilih delegasi yang akan dikirim. Peserta seleksi adalah 20 siswa dari kelas X, 15siswa dari kelas XI, dan 10 siswa dari kelas XII. Dari 25 peserta laki-laki yang mengikuti seleksi,12 siswa berasal dari kelas X dan 9 siswa dari kelas XI. Diantara 15 peserta yang terpilihsebagai delegasi, 8 siswa berasal dari kelas X dan 4 siswa berasal dari kelas XI. Siswa laki-lakiyang terpilih sebagai delegasi ada sebanyak 5 siswa dari kelas X dan 3 siswa dari kelas XI. Jikasiswa perempuan yang terpilih sebagai delegasi ada sebanyak 6 siswa, maka peserta dari kelasXII berjenis kelamin perempuan yang tidak terpilih sebagai delegasi ada sebanyak ..... siswa.

20. Misalkanܯ = ൫ ൯adalah suatu matriks berukuran × yang entri pada baris ke- dan

kolom ke-adalah . Panjang lintasan ke- , ditulis , didefinisikan sebagai

= ∑ାୀାଵ

,

(yaitu: merupakan jumlahan semua entri di ܯ yang indeknya memenuhi + = + 1).

Jika matriks = ൫ ൯berukuran 2011 × 2011, dengan = + maka nilai dari

ଵଵଶ + ଶଵଵ =…..

Bagian 2BERIKAN JAWABAN SEJELAS MUNGKIN!

(Jawaban soal ini digunakan sebagai pembanding apabila terdapat dua atau lebih peserta denganskor yang sama pada peringkat teratas).

Diberikan matriks = ( ) berukuran 4 × 4, dengan ∈ {1,2,3,4}.

Matriks terbagi menjadi 4 daerah, yaitu ଵܦ = { ଵଵ, ଵଶ, ଶଵ, ଶଶ},ܦଶ = { ଵଷ, ଵସ, ଶଷ, ଶସ},ଷܦ = { ଷଵ, ଷଶ, ସଵ, ସଶ}, dan ସܦ = { ଷଷ, ଷସ, ସଷ, ସସ}. Banyak matriks yang memenuhi semuasyarat berikut:

a. Untuk setiap dan di , jika = maka = .

b. Untuk setiap dan ௦di , jika = ௦maka =ݎ .ݏ

c. Untuk setiap dan ௦di ,ܦ jika = ௦ maka = danݏ = , dimana = 1,2,3,4.

adalah …..

----( ooo0-TimSoal OMV2011-0ooo )----

CB D

A

E

F H

I J

G