geometri vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · geometri vektor kusbudiono jurusan...

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang

Geometri Vektor

Kusbudiono

Jurusan Matematika

1 Nopember 2011

Kusbudiono Geometri Vektor


1 Vektor dan Garis

2 Koordinat

3 Norma Vektor

4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi

5 Hasil Kali Silang



Definisi Vektor

DefinisiJika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya disebut vektordan dinotasikan dengan

−→AB atau

−→CD yang menunjukkan ruas

garis tersebut mempunyai panjang dan arah. Dapat puladinotasikan sebagai huruf kecil tebal.



Definisi Vektor

Dua buah vektor v dan w adalah sama (v = w) jika mempunyaipanjang dan arah sama. Vektor yang mempunyai besar samadengan vektor v tetapi arahnya berlawanan dinyatakan dengan−v. Apabila panjang suatu vektor nol maka disebut vektor noldan dinotasikan dengan 0.



Penjumlahan Vektor

DefinisiJika a dan b adalah dua vektor sembarang, untuk menghitungpenjumlahan a + b: tempatkan ekor ruas garis yang meyatakanb pada ujung ruas garis yang menyatakan a. Vektor a + bdinyatakan oleh panah dengan ekor a dan ujung b(parallelogram rule).



Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor

Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut:1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.

2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u,vdan w.

3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.




Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut:1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u,v

dan w.

3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.





dan w.3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.

4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.





dan w.3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.4 v + (−v) = 0 untuk sembarang vektor v.



Perkalian skalar dengan vektor

DefinisiDiberikan sembarang vektor v dan sembarang bilangan a,perkalian skalar dari v oleh a adalah vektor av dengan besardan arah sebagai berikut:

1 Besar dari av adalah ‖av‖ = |a|‖v‖.2 Arah dari av adalah

sama dengan v jika a > 0 dan v 6= 0tidak dapat ditentukan jika a = 0 atau v = 0berlawanan arah dengan v jika a < 0 dan v 6= 0



Sifat-sifat Perkalian skalar dengan vektor

Sifat-sifat dari perkalian vektor dengan skalar sebagai berikut:1 ‖av‖ = |a|‖v‖ untuk sembarang skalar a dan vektor v.2 1v = v untuk sembarang vektor v.3 (−1)v = −v untuk sembarang vektor v.4 0v = 0 untuk sembarang vektor v.5 a0 = 0 untuk sembarang skalar a.

Suatu vektor disebut vektor satuan jika besar atau panjangnya1. Jika v 6= 0, maka 1

‖v‖v adalah vektor satuan dengan arahsama dengan arah v .



Koordinat Siku-siku

Pada koordinat siku-siku pada ruang terdapat tiga garis salingtegak lurus sebagai sumbu utama yang disebut sumbu X,sumbu Y dan sumbu Z yang ketiganya bertemu disatu titik dandisebut titik asal. Ketiga sumbu merupakan garis bilangan realdengan 0 pada titik asal. Sedangkan bidang yang didapat darisumbu X dan Y disebut bidang X− Y, begitu pula untuk duabidang yang lain. Masing-masing titip P dinyatakan dengantunggal tiga bilangan (x , y , z) yang disebut koordinat. Sehinggatitik P ditulis sebagai P(x , y , z).



Vektor Posisi

DefinisiDiberikan titik P(x , y , z), vektor posisi dari P didefinisikansebagai p =

−→OP dari titik asal ke P, dan dinotasikan dengan

p = (x , y , z)

dan bilangan x , y dan z disebut komponen X ,Y dan Z dari p.Jika P = P(x , y) dalam bidang X− Y, vektor posisi dinotasikandengan

p = (x , y).



TeoremaMisalkan u = (x , y , z) dan u1 = (x1, y1, z1) dua vektro dalambentuk komponen, maka:

1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.

2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1




1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).

3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1




1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.

4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1




1 u = u1 jika hanya jika x = x1, y = y1 dan z = z1.2 u + u1 = (x + x1, y + y1, z + z1).3 au = (ax ,ay ,az) untuk sembarang skalar a.4 u− u1 = (x − x1, y − y1, z − z1



TeoremaDiberikan titik P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2), vektor dari P1 keP2 adalah −−−→

P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)



Norma Vektor dan Rumus Jarak

Panjang vektor sering disebut juga norma vektor

TeoremaMisalkan v = (x , y , z) adalah sebuah vektor. Maka

‖v‖ =√

x2 + y2 + z2

Teorema (Rumus Jarak)

Jarak d anatar titik P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) diberikanoleh √

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2



Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:

TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:

u + v = v + u.

u + (v + w) = (u + v) + w.

u + 0 = u.

u + (−u) = 0.

1u = u.

a(bu) = (ab)u.

(a + b)u = au + bu.

a(u + v) = au + av.



Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yangkita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebutdalam teorema berikut:

TeoremaUntuk sembarang vektor-vektor u, v ,w dan skalar a,b, penjumlahanvektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut:

u + v = v + u.

u + (v + w) = (u + v) + w.

u + 0 = u.

u + (−u) = 0.

1u = u.

a(bu) = (ab)u.

(a + b)u = au + bu.

a(u + v) = au + av.Kusbudiono Geometri Vektor


Hasil kali titik

DefinisiHasil kali dalam u · v dari dua vektor u dan v didefinisikansebagai berikut:

u · v =

{‖u‖‖v‖ cos θ jika u 6= 0 dan v 6= 00 jika u = 0 atau v = 0

Dari definisi diatas, u · v adalah bilangan sehingga seringkalidisebut perkalian skalar u dan v.



Hasil kali titik

Teorema

Misalkan v1 = (x1, y1, z1) dan v2 = (x2, y2, z2) dua vektor dalam bentukkomponen. Maka perkalian titiknya dihitung sebagai berikut:

v1 · v2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

Teorema

Misalkan u, v dan w sembarang vektor.1 u · v adalah bilangan real2 u · v = v · u3 u · 0 = 0 = 0 · u4 u · u = ‖u‖2

5 (ku) · v = k(u · v) = u · (kv) untuk sembarang skalar k6 u · (v±w) = u · v± u ·w



Orthogonal

DefinisiDua vektor u dan v disebut orthogonal jika u = 0 atau v = 0atau sudut dua vektor tersebut adalah π

2

TeoremaDua vektor tak nol u dan v orthogonal jika dan hanya jikau · v = 0



Proyeksi Orthogonal

Diberikan vektor taknol d dan suatu vektor u yang dituliskansebagai penjumlahan dua buah vektor,

u = u1 + u2

dengan u1 sejajar d dan u2 = u− u1 orthogonal pada d.Anggap bahwa u dan d 6= 0 dimulai dari titik awal Q, P ujung u,dan P1 . Maka u1 = QP1 mempunyai sifat:

1 u1 sejajar pada d2 u2 = u − u1 orthogonal pada d3 u = u1 + u2

DefinisiVektor u1 = QP1 disebut proyeksi u atas d dan dinotasikan

u1 = projdu



Proyeksi Orthogonal

TeoremaMisalkan u dan d 6= 0 adalah vektor.

1 Proyeksi u1 dari u atas d diberikan oleh projdu = u·d‖d‖2 d.

2 Vektor u− projdu adalah orthogonal ke d.



Definisi Hasil Kali Silang

DefinisiDiberikan vektor v1 = (x1, y1, z1) dan v2 = (x2, y2, z2), hasil kalisilang v1 × v2 didefinisikan sebagai

v1 × v2 = ((y1z2 − z1y2),−(x1z2 − z1x2), (x1y2 − y1x2))

atau dalam notasi determinan

v1 × v2 =

(∣∣∣∣ x2 x3y2 y3

∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ x1 x3y1 y3

∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ x1 x2y1 y2

∣∣∣∣)



Hasil kali silang

TeoremaJika u,v dan w adalah vektor sembarang.

1 u× v adalah vektor2 u× v orthogonal pada u dan v3 u× 0 = 0 = 0× u4 u× u = 05 u× v = −(v× u)6 (ku)× v = k(u× v) = u× (kv) untuk semabarang skalar k7 u× (v + w) = (u× v) + (u×w)

8 (v + w)× u = (v× u) + (w× u)



Hasil Kali Silang

TeoremaJika u dan v dua vektor, maka

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u× v)2

TeoremaJika u dan v dua vektor dan θ sudut antara u dan v, maka

1 ‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ = luas jajargenjang yang dibangunu dan v.

2 u dan v sejajar jika dan hanya jika u× v = 0


geometri vektor - fajarrizkyashtercytin.files.wordpress.com · geometri vektor kusbudiono jurusan...

Documents