Keterbagian FPB dan KPK

Keterbagian

Sifat-sifat keterbagian merupakan dasar pembagian teori bilangan, sehingga sifat

keterbagian banyak digunakan dalam uraian-uraian selanjutnya. Sifat eterbagian ini juga

merupakan titik pangkal dalam pembahasan kekongruenan.

Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh bilangan bulat lainyang bukan nol maka

hasil baginya adalah bilangan bulan atau bukan bilangan bulat. Misalnya, jika 30 habis

dibagi 5, maka hasil baginya adalah 6; tetapi jika 30 dibagi 4, maka hasil baginya 7,5

adalah bukan bilangan bulat.

Suatu bilangan bulat b adalah habis dibagi oleh suatu bilangan bulat a≠o jika dan

hanya jika ada suatu bilangan bulat x sehingga b = ax.

Notasi:

a | b dibaca a membagi b, b habis dibagi a, a faktor b, atau b kelipatan a.

A b dibaca a tidak membagi b, b tidak habis dibagi a, a bukan faktor b, atau b

bukan kelipatan a.

Contoh 1:

1. 4 |12 sebab ada bilangan bulat 3, sehingga 12 = 4.3

2. 9 15 sebab tidak ada bilangan bulat x sehingga 15 = 9x

3. -7 |-42 sebab ada bilangan bulat 6 sehingga -42 = (-7)6

4. Faktor-faktor dari 6 adalah -1, -2, -3, -6, 1, 2, 3, 6 sebab -1 | 6, -2 | 6, -3 | 6, 1 | 6,

2 | 6

Berdasarkan definisi 1 diatas, pembagian di dalam Z (himpunan ilangan bulat)

dapat dilakukan tanpa memperluas Z menjadi Q (himpunan bilangan rasional). ), yaitu

dengan menggunakan sifat:

Jika a, b z dan 3a = 3b, maka 3a - 3b = 0, 3 (a-b) = 0

3 ≠ 0, maka a – b = 0, atau a = b

Jadi, persamaan 3a = 3b menjadi a = b tidak diperoleh dari mengalikan ruas

kiri dan ras kanan dengan bukan bilangan bulat ()

Selanjutnya, pernyataan a | b sudah mempunyai makna a ≠ 0 meskipun a ≠

0 tidak ditulis. Beberapa sifat dasar adalah:

1. 1 | a untuk setiap a Z karena ada a z sehingga a = 1.a

2. a | a untuk setiap a Z karena a ≠ 0 sehingga a = a.1

3. a | 0 untuk setiap a Z dan a ≠ 0 karena ada 0 Z sehingga 0 = a.0

4. Jika a | b, a ≠ 0 , maka kemungkinan hubungan antara a dan b adalah a < b, a =

b, atau a > b.

Contoh 2:

1. 1 | 2, 1 | 4, 1 | -10 adalah pernyataan-pernyataan yang benar.

2. 4 | 0, 12 | 0, -3 | 0 adalah pernyataan-pernyataan yang benar.

3. 2 | 2, 4 | 4, -7 | -7 adalah pernyataan-pernyataan yang benar.

4. 3 | 6, 3 | 3, 3 | -3 adalah pernyataan-pernyaatn yang benar, di mana 3 < 6, 3 = 3

dan 3 > -3.

Urutan berikutnya adalah dalil-dalil tentang keterbagaian.

Dalil 1

Jika a, b Z dan , a | b, maka a | bc untuk setiap c Z

Bukti

Diketahui a | b, maka sesuai dengan definisi 1, ada suatu x Z sehingga b = ax,

maka diperoleh bc = a x c atau bc = a (cx) untuk setiap c Z.

Ini berarti ada y = cx Z sehingga bc = ay

Jadi: a = bc

Dalil 2

Jika a, b, c Z, a | b, dan b | c maka a | c

Bukti

a | b, maka sesuai dengan definisi 1, ada suatu x Z sehingga b = ax

b | c, maka sesuai dengan definisi 1, ada sautu y Z sehingga c = by

c = by dan b = ax, maka c = (ax)y = a (xy)

x Z dan y Z, maka sesuai dengan sifat ketertutupan operasi perkalian, xy

Z dengan demikan terdapat suatu xy Z sehingga c = a (xy)

jadi a | c

Dalil 3

Jika a, b a | b dan b | a, maka a = b atau a = -b

Bukti

Diketahui a | b dan b | a, maka sesuai dengan definisi 1, ada x, y Z

sehingga b = ax dan a = by

a = by dan b = ax, maka a = (ax)y = a(xy)

a = a (xy), maka a – a (xy) = 0 atau a (1 – xy) = 0

a ≠ 0 dan a ( a- xy ) = 0, maka 1 – xy = 0, atau xy = 1

X, y Z dan xy = 1, maka x = y = 1 atau x = y = -1

Jika x = y = 1, maka a = b; jika x = y = -1, maka a = - b

Jadi: a = b atau a = -b

Dalil 4

Jika a, b Z a |b, b |a, a > 0, dan b > 0, maka a = b

Bukti:

Diketahui a | b dan b | a, maka sesuai dengan definisi 1, ada x, y Z sehingga b

= ax dan a = by

B = ax, a = by, dan diketahui a, b, > 0, maka x > 0 dan y > 0 sesuai dengan dalil

3, xy = 1

X = y = 1, a = by, dan b = ax, maka a = b dan b = a

Jadi a = b

Dalil 5

Jika a, b Z, a | b dan a | c, maka a | b + c dan a | b – c

Bukti

Diketahui a | b dan a | c, maka sesuai dengan definisi 1, ada x, y Z

Sehingga b = ax c = ay, maka:

b + c = ax + ay = a(x+y)

b – c = ax – ay = a(x-y)

x, y Z, maka sesuai dengan sifat ketertutupan operasi penjumlahan dan

pengurangan di dalam Z, (x+y) Z dan (x – y) Z

dengan demikian ada (x+y), (x-y) Z sehingga

b + c = a (x+y) dan b – c = a (x-y)

Jadi: a | b + c dan a|b – c

Dalil 6

Jika a, b, c Z, a | b dan a | c, maka a | bx + cy untuk semua x, y Z

Bukti:

Diketahui a | b ddn a | c, maka menurut dalil 1, a | bx dan a | cy untuk semua x, y

Z

a | bx dan a | cy, maka menurut dalil 5, a | bx + cyuntuk semua x, y Z

Jadi a | bx + cy untuk semua x, y Z

Dalil 7

Jika a, b, c Z, a > 0, b > 0, dan a|b, maka a = b

Bukti:

Diketahui a | b, maka menurut definisi 1, ada x Z sehingga b = ax dan

diketahui a, b > 0, maka x > 0

x Z dan x > 0, maka emungkinan nilai-nilai x adalah 1, 2, 3, ..., yaitu

x = 1 atau x > 1

x = 1 atau x > 1 dan b = ax, maka b = ax, maka b = a atau b > a

Jadi a = b

Dalil 8

a | b jika dan hanya jika ma | mb untuk semua m Z dan m ≠ 0

Bukti:

1. Diketahui a | b, maka menurut definisi 1, ada suatu x Z sehingga b = ax ↔ mb

= m(ax) = (ma)x untuk suatu x Z.Jadi ma | mb

2. Diketahui ma | mb, maka menurut definisi 1, ada suatu x Z sehingga mb =

(ma)x = m(ax) ↔ mb – m (ax) = 0, atau m (b-ax) = 0

m ≠ 0 dan m (b-ax) = 0, maka b – ax = 0, atau b = ax suatu x Z Jadi: a | b

Dalil 9

Jika a, b, c Z a | b dan a| b + c, maka a|c

Bukti:

Diketahui a | b, maka menurut definisi 1, ada suatu x Z sehingga b = ax

Diketahui a | b + c, maka menurut definisi 1, ada suatu y Z sehingga b + c = ay,

berarti c = ay – b

C = ay – b dan b = ax, maka c = ay – ax = a(y-x)

x Z dan y Z, maka menurut sifat ketertutupan operasi bilangan bulat,

(y – z) Z. Ternyata ada suatu (y - x) Z Ternyata ada suatu (y-x) Z sehingga

c = a(y-x)

Jadi : a | c

Uraian berikutnya membahas tentang algoritma pembagian.

Algoritma pembagian merupakan langkah sistem untuk melaksanakan

pembagian sehingga diperoleh hasil pembagian dan sisa pembagian yang tertentu

memenuhi hubungan tertentu.

Peragaan berikut tentang hubungan antara a, b, () dan a > 0 jika b dinyatakan

dalam a.

B A b = q x a + r

27

34

46

-85

-103

5

7

8

9

11

27 = 5 x 5 + 2

34 = 4 x 7 + 6

46 = 5 x 8 + 6

-85 = (-10) x 9 + 5

-103 = )-10) x 11 + 7

Keadaan di atas menunjukkan bahwa jika a, b Z dan a > 0 maka ada q, r Z

sehingga b = qa + r dengan 0 = r < a. Fakta-fakta tentang hubungan a, b, q dan r

di atas merupakan penerapan Dalil Algoritma Pembagian.

Dalil 10 (Dalil Algoritma Pembagian)

Jika a, b Z dan a > 0 maka ada bilangan-bilangan q, r Z yang masing-masing

tunggal sehingga b = qa + r, 0 = r < a

Dari dalil 10 di atas, jika a | b, maka b = qa + 0, berarti r = 0, jika a | b, maka r ≠

0, yaitu 0 < r < a supaya lebih mudah dalam memahami dan mengikuti alur piker dalam

langkah-langkah pembuktian simaklah dengan cermat uraian berikut:

Diketahui dua bilangan bulat 4 dan 7 denagn 4 7, maka dapat dibuat suatu

barisan aritmetika (7 – 4n) dengan n Z yaitu:

Untuk n = 5, 7 – 4n = 7 – 4(5) = -13

Untuk n = 4, 7 – 4n = 7 – 4(4) = -9

Untuk n = 3, 7 – 4n = 7 – 4(3) = -5

Untuk n = 2, 7 – 4n = 7 – 4(2) = -1

Untuk n = 1, 7 – 4n = 7 – 4(1) = 3

Untuk n = 0, 7 – 4n = 7 – 4(0) = 7

Untuk n = -1, 7 – 4n = 7 – 4(-1) = 11

Sehingga diperoleh barisan bilangan:

...., -13, -9, -5, -1, 3, 7, 11, ....

Barisan bilangan di atas mempunyai suku-suku negatif dan suku-suku yang tidak

negatif.

Misalkan S adalah himpunan bilangan suku-suku barisan yang tidak negatif,

yaitu S = {3, 7, 11, ...}

S = {7 – 4n | n (), 7 – 4n = 0}

Karena S N dan N adalah himpunan yang terurut rapi (Weel Ordeed Set), S

mempunyai unsur terkecil, yaitu 3.

3 Z, maka 3 dapat dinyatakan dsebagai (7 – 4n) dengan n = 1, yaitu 3 = 7 –

(1.4), sehingga:

7 = 1.4 + 3 dengan 0 = 3 < 4

7 = q.4 + r dengan q = 1, r = 3, dan 0 = r < 4

Jadi: dari 4, 7 Z sehingga 7 = q.4 + r, 0 = r < 4

Bukti dalil 10

1. Menunjukkan keujudan hubungan b = qa + r

a, b Z, maka dapat dibentuk suatu barisan aritmetika (b – na) dengan n Z

yaitu:

... b – 3a, b – 2a, b – a, b, b + a, b + 2a, b + 3a, ...

Misalkan S adalah himpunan ilangan suku-suku barisan yang tidak negatif,

yaitu:

S = {b – na | n Z b – na ≥ 0}

Maka menurut prinsip urutan rapi (Well Ordering Principle), S mempunyai

unsur terkecil r.

Karena r S, maka r dapat dinyatakan sebagai r = b – qa dengan q Z berarti b =

qa + r.

2. Menunjukkan 0 = r < a

Anggaplah tidak benar bahwa 0 = r = a, maka r = a

(r tidak mungkin negatif sebab r S)

r = a, maka r – a = 0

r = b – qa, maka r – a = (b – qa) – a = b – (q + 1) a

r – a = 0 dan r – a mempunyai bentuk (b – na) maka (r – a) S

diketahui a > 0, maka r – a < r, sehingga (r – a) mempunyai unsur S yang lebih

kecil dari r.

Hal ini bertentangan dengan r sebagai unsur terkecil S.

Jadi: 0 = r < a

3. Menunjukkan keunggulan q dan r

Misalkan q dan r tidak tunggal, yaitu ada q1, q2, r1, r2 Z q1, q2 dan r1 ≠ r2 yang

memenuhi hubungan:

b = q1a + r1, 0 = r1 < a

b = q2a + q2, 0 = r2 < a

dengan demikian dapat ditentuan bahwa:

q1a + r1 = q2a + r2, r1 – r2 = a(q2 – q1), yaitu a | r1 – r2*

r1 ≠ r2, misalkan r1 > r2, maka dari 0 = r1< a dan 0 = r2 < a, dapat dicari (r2 – r1) <

a (untuk r1 < a dan r2 = 0 ) dan r1 – r2 > -a (untuk r = 0 dan r2 < a), sehingga –a <

(r1 – r2) < a

Keadaan –a < (r1 – r2) < a dapat dipisah menjadi 0 < (r1 – r2) < a, -a < r1 – r2 < 0

dan r1 – r2 = 0

a. 0 < (r1 – r2) < a berarti a > (r1 – r2)

A > 0, r1 – r2 > 0, dan a > r1 – r2, maka a | r1 – r2, bertentangan dengan keadaan *,

yaitu a | r1 – r2

Jadi tidak mungkin 0 < (r1 – r2) < a

b. –a < (r1 – r2) < 0, berarti 0 < (r2 – r1) < a

a > 0, r2 – r1 > 0, dan a > r2 – r1 maka a r2 – r1, berarti pula a r1 – r2

bertentangan dengan keadaan *, yaitu dengan a | r1 – r2.

Jadi tidak mungkin –a < (r1 – r2) < 0

c. r1 - r1 = 0 dan a > 0, maka a | r1 – r2, tidak bertetangan dengan keadaan *.

Jadi r-1 – r2 = 0 dan r1 = r2

r1 – r2 = 0 dan r1 – r2 = a(q2 – q1), maka a(q2 – q1) = 0

a > 0 dan a(q1 – q2) = 0 berarti q1 = q2

jadi r1 = r2 dan q1 = q2, yaitu q dan r adalah tunggal

Definisi

Jika a, b, q, r Z = aq + r dan 0 = r < a, maka b disebut bilangan yang digabi

(dividend), a disebut bilangan pembagi (divator), q disbut bilangan hasil bagi (quotient),

dan r disebut bilangan sisa pembagian (remainder).

Dalil Algoritma Pembagian menjami keujudan (eksistensi) dari bilangan hasil

bagi da sisa pembagian dari dua bilangan bulat.

Jika b adalah sembarang bilangan bulat dan a = 2, maka menurut Dalil

Algirutma Pembagian dapat dinyatakan bahwa

B = 2q + r, 0 = r < 2

0 = r < 2, maka r = 0 atau r = 1

Untuk r = 0, b = 2q + 0 = 2q

b = 2q disebut bilngan bulat genap (even integer)

Untuk r = 1, b = 2q + 1

B = 2q + 1 disebut bilangan bulat ganjil atau gasal (odd integer)

Dengan demikian dapat ditentukan bahwa setia[ bilangan bulat merupakan

bilangan bulat genap (dengan bentuk b = 2q) atau merupakan bilangan genap gasal

(dengan bentuk b = 2q + 1)

Dengan jalan yang sama, jika a = 3, 4, 5 dan 6, maka setiap bilangan bulat b

dapat dinyatakan sebagai:

Salah satu dari bentuk 3q, 3q + 1 atau 3q + 2

Salah satu dari bentuk 4q, 4q + 1, atau 4q + 3

Salah satu dari bentuk 5q, 5q + 1, atau 5q + 4

Salah satu dari bentuk 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4, atau 6q + 5

Di sisnlah sesungguhnya letak dari konsep pembagian, suatu konsep mendasa

untuk mengelompokkan, memilah atau mengklasiikasikan semua bilangan bulat

menjadi n kelompok.dengan n = 2, 3, 4, 5, ...

Contoh 3

1. Bilangan-bilangan buat genap 0, 2, 4, 6, .... selalu dapat ditulis menjadi

2.0, 2.1, 2.2, 2.3, ..., yaitu bentu 2q dengan q = 0 1, 2, 3, atau q Z

Bilangan-bilangan bulat ganjil 1, 3, 5, 7, ..., selalu dapat ditulis menjadi

2.0 + 1, 2(-1) + 1, 2.1 + 1, 2(-2) + 1, 2.2 + 1, 2(-3) + 1 2.3 + 1, 2(-4) + 1, ...,

yaitu dalam bentuk 2q + 1 dengan q = 0, 1, 2, 3, ..., atau q Z

2. Buktikan 2 | n3 – n untuk sembarang n Z

Bukti: menuru dalil algoritma pembagian, setiap bilangan n dapat dinyatakan

sebagai n = 2q atau n = 2q + 1

Jika n = 2q, maka:

N3 – n = n(n2 – 1) = n(n - 1)(n + 1) = 2q(2q – 1)(2q + 1)

n3 – n mempunyai faktor 2 sehingga 2 | n3 – n

jadi, 2 | n3 – n untuk semua n Z

3. Buktikan 4 n2 + 2 untuk semua n Z

Bukti:

Anggaplah 4 | n2 + 2

n Z , maka sesuai dalil 10, n = 2q atau 2q + 1

Jika n = 2q, maka:

N2 + 2 = (2q)2 + 2 = 4q2 + 2

4 | n2 + 2 dan n2 + 2 = 4q2 + 2, maka 4 | 4q2 + 2

4 | 4q2 dan 4 | 4q2 + 2, maka menurut dalil 9, 4 | 2

Tidak mungkin 4 | 2, berarti terjadi kontradiksi, sehingga 4 n2 + 2untuk

sembarang bilangan bulat genap n

Jika n = 2q + 1, maka:

n2 + 2 = (2q + 1) + 2 = 4q2 + 4q + 1 + 2 = 4(q2 + q) + 3

4 | n2 + 2 dan n2 + 2 = 4(q2 + q) + 3, maka 4 | 4 (q2 + q) + 3

4 | 4 (q2 + q) dan 4 | 4q2 + 2, maka menurut dalil 9, 4 | 2

Tidak mungkin 4 | 3, berarti terjadi kontradiksi, sehingga 4 n2 + 2 untuk

sembarang bilangan bulat ganjil n.

Jadi, 4 n2 + 2 untuk semua n Z

Ciri-ciri Habis di Bagi

Habis dibagi 2. Bagaimana anda tahu dengan cepat, hanya dengan melihat

angkanya, bahwa sebuah bilangan habis dibagi 2? Gampang! Setiap bilangan yang digit

terakhirnya adalah angka genap dan 0 pasti habis dibagi dua.

Habis dibagi 3. Bagaimana anda tahu bahwa suatu bilangan habis dibagi 3?

Anda bisa menjumlahkan setiap digit dari angkanya. Jika hasilnya habis dibagi tiga,

maka angka yang tadi juga habis dibagi tiga. Contohnya, apakah 25341 habis dibagi

tiga? Jumlahkan digit-digitnya 2+5+4+3+1=15.Sudah terlihat bahwa 15 habis dibagi 3.

Maka 25341 juga pasti habis dibagi 3. (Anda juga boleh menambahkan digit-dgit di

angka 15: 1+5=6. Enam juga habis dibagi tiga).

Habis dibagi 4. Ciri bilangan yang habis dibagi 4 adalah dua digit terakhir pada

bilangan tersebut habis dibagi 4. Jadi 3875920394754924 pasti habis dibagi4,

sedangkan 48923742637807 pasti tidak habis dibagi 4.

Habis dibagi 5. Jika digit terakhir suatu bilangan adaah 0 atau 5, maka bilangan

tersebut pasti habis dibagi 5.

Habis dibagi 6. Bagaimana dengan 6? Kita lihat. Enam memiliki 2 dan 3 sebagai

faktonya. Maka bisa kita pastikan bahwa bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan

yang habis dibagi 2 dan habis dibagi 3, yakni bilangan genap yang jika digit-digitnya

dijumlahkan maka hasilnya habis dibagi 3. Contohnya, 25341 tidak habis dibagi 6 ,

tetapi 25314 habis dibagi 6.

Habis dibagi 7. Bagaimana dengan bilangan habis dibagi 7? Apa ciri-cirinya?

Ambil digit terakhir bilangan tersebut, lalu kalikan dengan 2. Kurangkan hasil-hasilnya

dari digit yang tersisa pada bilangan asal. Jika hasilnya habis dibagi 7, maka bilangan

tadi pasti bisa dibagi 7.

Sebagai contoh, apakah 17192 habis dibagi 7? Ambildigit terakhir dan kalikan

dengan angka 2. (2 x 2 = 4). Kurangkan dengan dgit yang tersisa: (1719 – 4 = 1715).

Apakah 1715 habis dibagi 7? Kita ulangi lagi dengan prosedur yang sama, 171 – (5 x 2)

= 161. Uji lagi: 16 – (1 x 2) = 14. Karena 14 (hasil yang kita dapat) habis dibagi 7, maka

17192 pasti juga akan habis dibagi 7.

Habis dibagi 8. Jika tiga digit terakhir suatu bilangan habis deibagi 8, bilangan

itu pasti habis dibagi 8.

Habis dibagi 9. Karena 9 memiliki faktor 3, maka kita dapat mengetahui apakah

9 habis dibagi dengan cara melakukan hal yang sama saat menguji apakah angka 3 habis

dbagi.

Habis dibagi 10. Suatu bilangan yang memiliki angka 0 pada dgit terakhir pasti

habis dibagi 10.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Jika A adalah himpunan semua faktor a = 8, B adalah himpunan semua faktor b

= 12, dan C adalah himpunan faktor persekutuan dari a dan b, maka :

A = -8, -4, -2, 1, 2, 4, 8, B = -12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12

Dan C = A B = -4, -2, -1, 1, 2, 4

Perhatikan bahwa C memuat faktor persekutuan dari a dan b, serta 4 merupakan

bilangan bulat positif terbesar unsur dari C. Dengan demikian 4 merupakan faktor

persekutuan terbesar dari 8 dan 12, yaitu 4 merupakan bilangan bulat positif terbesar

yang membagi 8 dan membagi 12. Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan bahwa 4

merupakan bilangan bulat positif terbesar yang membagi a = 8 dan b = 12, serta a = -8

dan b = -12. Jika faktor persekutuan terbesar dari a dan b dilambangkan dengan (a,b),

maka :

(8,12) = (8,-12) = (-8,12) = (-8,-12) = 4

Ternyata, faktor persekutuan terbesar dari a dan b, apapun ragam tanda masing-

masing, selalu diperoleh bilangan bulat positif yang sama.

Jika a = 0 dan b = 8, maka :

A = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., B = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... C = A B = ...., -2, -

1, 0, 1, 2, ...

Sehingga (a,b) = (0,0) tidak ada karena C tidak mempunyai unsur tersebar

Definisi

Ditentukan x, y, Z, x dan y keduanya tidak bersama-sama bernilai 0. d Z

disebut faktor (pembagi) persekutuan dari x dan y jika d x (d membagi x) dan d y (d

membagi y). d Z disebut faktor persekutuan terbesar dari x dan y jika d adalah

bilangan bulat positif terbesar sehingga d x dan d y.

Notasi

d = (x,y) dibaca d adalah faktor persekutuan terbesar dari x dan y.

perhatikan bahwa d = (a,b) didefinisikan untuk setiap a, b Z kecuali a = 0 dan b

= 0 dan d = (a,b) selalu merupakan bilangan bulat positif yaitu d Z dan d > 0.

Contoh

Carilah (16,24)

Jawab

A = himpunan semua faktor 16

= -16, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 16

B = himpunan semua faktor 24

= -24, -12, -8, -4, -2, -1, 1, 2, 4, 8, 12, 24

C = A B = -8, -4, -2, -1, 1, 1, 2, 4, 8

1. Cara Mencari FPB dengan Dua Bilangan

Faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan adalah faktor persekutuan

bilangan-bilangan tersebut yang nilainya paling besar.

Contoh

Tentukan FPB dari 12 dan 15

Jawab

Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12

Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15

Faktor persekutuan 12 dan 15 adalah 1, 3

Jadi FPB dari 12 dan 15 adalah 3

2. Cara Mencari FPB dengan Faktor Prima

FPB dari dua bilangan

Seperti halnya pada waktu mencari KPK dengan menggunakan faktor prima,

untuk menentukan FPB dengan menggunakan faktor prima lebih dahulu bilangan-

bilangan yang akan ditentukan FPB-nya diuraikan dahulu menjadi perkalian faktor

primanya.

Misalnya :

Tentukan FPB (18, 30)

Penyelesaian

Langkah pertama, ubah dahulu 18 dan 30 sebagai hasil kali faktor primanya,

yaitu :

18 = 2 . 32

30 = 2 . 3 .5

Langkah kedua, pilih faktor prima yang menjadi faktor persekutuan kedua

bilangan tadi, yaitu 18 dan 30, dalam hal ini adalah 2 dan 3.

Langkah ketiga, kalikan semua faktor persekutuan yang terpilih.

Dengan demikian FPB (18, 30) = 2 . 3 = 6

Sesuai dengan namanya, faktor persekutuan terbesar, maka calon faktor dari

FPB adalah bilangan prima yang merupakan faktor sekutu kedua bilangan yang akan

dicari FPB-nya.

Contoh

1. Tentukan FPB (12, 35)

Penyelesaian

12 = 22 . 3

35 = 5 . 7

Karena tidak mempunyai faktor prima sekutu, maka FPB (12, 35) = 1

Dua bilangan yang tidak mempunyai faktor prima sekutu semacam ini disebut

prima relatif.

Seperti halnya mencari FPB dari dua bilangan, untuk mencari FPB dari tiga

bilangan, nyatakan dulu masing-masing bilangan dalam perkalian faktor primanya,

kemudian pilih faktor prima yang merupakan faktor persekutuan dari ketiga bilangan

tadi dan kalikan.

Contoh

2. Tentukan faktor persekutuan terbesar dari 36, 60, dan 96

Penyelesaian :

36 = 22 . 32

60 = 22 . 3 . 5

96 = 25 . 3

Faktor prima persekutuan dari 36, 60, 96 adalah 22 dan 3.

Jadi FPB (36, 60, 96) = 22 . 3 = 12

Cara Mencari FPB dengan Menggunakan Pohon Faktor

Contoh

24 60

2 12 2 30

2 6 2 15

2 3 3 5

24 mempunyai faktor 1,2,3,4,6,8,12, dan 24.

60 mempunyai faktor 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30, dan 60.

24 dan 60 mempunyai faktor persekutuan 2,3,4,6, dan 12. Yang terbesar diantara

semua faktor persekutuan itu adalah 12. Oleh karena itu, 12 disebut faktor

persekutuan terbesar dari 24 dan 60.

Cara menyusun pohon faktor yang baik adalah sebagai berikut :

1. Cari faktor prima terkecil

2. Cari hasil bagi bilangan itu oleh faktor prima tersebut

3. Kembali ke-1 untuk hasil bagi pada langkah 2

4. Berhenti setelah diperolah hasil bagi prima

Contoh

Buat pohon faktor untuk 72 72

1. Faktor prima terkecil adalah 2

2. 72 : 2 = 36 2 36

1. Faktor prima terkecil dari 36 adalah 2

2. 36 : 2 = 18 2 18

1. Faktor prima terkecil dari 18 adalah 2

2. 18 : 2 = 9 2 9

1. Faktor prima terkecil adalah 3

2. 9 : 3 = 3 3 3

4. berhenti, sebab hasil bagi 9 : 3 yaitu 3, adalah bilangan prima.

Jadi faktor prima ditulis di sebelah kiri, faktor bukan prima disebelah kanan.

Faktor bukan prima yang lain dapat diperoleh dengan mengalikan faktor-faktor prima,

yaitu 2 x 2 = 4, 2 x 3 = 6, 2 x 2 x 2 = 8, 2 x 2 x 3 = 12, 2 x 2 x 2 x 3 = 24, jadi faktor

bukan prima dari 72 adalah 4,6,8,9,12,18,24, dan 36.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

Definisi

Jika a, b Z, a 0, dan b 0, maka :

a. k disebut kelipatan persekutuan dari a dan b jika a k dan b k

b. k disebut kelipatan terkecil dari a dan b jika k adalah bilangan bulat positif

terkecil sehingga a k dan b .

Notasi :

K = a, b dibaca k adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari a dan b

Contoh 14

Carilah {12, 16}

Jawab

Karena {12, 16} bernilai positif, maka {12, 16} dapat dicari dari kelipatan

persekutuan yang positif

A = himpunan kelipatan 12 yang positif = {12, 24, 36, 48, 60, ...}

B = himpunan kelipatan 16 yang positif = {16, 32, 48, 64, ...}

C = himpunan kelipatan persekutuan 12 dan 16 yang positif

= A B = {48, 96, 144, ...}

Unsur C yang terkecil adalah 48, maka {12, 16} = 48

1. Cara Mencari KPK dengan Menggunakan Faktor Prima

Cara mencari KPK dari dua bilangan atau lebih dengan lebih dahulu mencari

kelipatan dari masing-masing bilangan. setelah itu diidentifikasi bilangan-bilangan yang

merupakan kelipatan persekutuannya, selanjutnya barulah ditetapkan mana yang

merupakan KPK-nya.

pada bahasan ini, akan dicari KPK dari dua bilangan atau lebih, dengan

menggunakan factor prima dari masing-masing bilangan.

Misal akan ditentukan KPK (a,b).

Pertama, nyatakan a dan b sebagai hasil kali dari faktor-faktor primanya. Maka

KPK (a,b) adalah hasil kali dari faktor prima yang memenuhi syarat berikut :

1. Jika xn merupakan faktor prima yang hanya terdapat pada a saja atau b saja,

maka xn merupakan calon faktor dari KPK (a,b).

2. Jika yn merupakan faktor prima dari a dan b, maka yn merupakan calon faktor

dari KPK (a,b).

3. Jika zn merupakan faktor dari a, dan zm merupakan faktor dari b dengan m > n,

maka zm merupakan calon faktor dari KPK (a,b).

Contoh

1. Tentukan KPK (12, 18) dengan menggunakan faktor primanya

Penyelesaian :

12 = 22 . 3

18 = 2 . 32

Menurut 3) maka 22 dan 32 merupakan calon faktor dari KPK.

Jadi KPK (12, 18) = 22 . 32 = 4 . 9 = 36

Dengan cara yang sama, dapat ditentukan KPK dari tiga bilangan.

Contoh

1) Tentukan KPK (20, 32, 45)

Penyelesaian :

20 = 22 . 5

32 = 25

45 = 32 . 5

Jadi KPK (20, 32, 45) = 25 32 . 5 = 32 . 9 . 5 = 1.440

2. Cara Mencari KPK dengan Dua Bilangan

Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan adalah kelipatan persekutuan

bilangan-bilangan tersebut yang nilainya paling kecil.

Contoh

Tentukan KPK dari 8 dan 12

Jawab

Kelipatan 8 adalah 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 72, ...

Kelipatan 12 adalah 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...

Kelipatan persekutuan dari 8 dan 12 adalah 24, 48, 72, ....

Jadi, KPK dari 8 dan 12 adalah 24

3. Menyelesaikan Masalah Berkaitan dengan KPK

Ema dan Menik sama-sama mengikuti les matematika. Ema masuk setiap 4 hari

sekali, sedangkan Menik masuk setiap 6 hari sekali. Jika hari ini mereka masuk les

bersama-sama, berapa hari lagi mereka masuk les bersama-sama dalam waktu terdekat?

Ema 4 hari lagi 8 hari lagi 12 hari lagi 16 hari lagi .....

Menik 6 hari lagi 12 hari lagi 18 hari lagi 24 hari lagi .....

Jadi mereka akan kembali masuk les bersama-bersama dalam 12 hari lagi. 12

adalah KPK dari 4 dan 6. Jadi, penyelesaian permasalahan diatas menggunakan KPK.