BAB II KETERBAGIAN

KELOMPOK 2

NAMA KELOMPOK :

1. DEVI WINDA MARANTIKA (1101125015)2. DODI PERDANA PUTRA (1101125017)3. FITRAH BUDI SATRIA (1101125022)4. FITRIAH CHOIRUNNISA (1101125023)5. MEGA PUSPITA DEWI (1101125122)6. MEI PUSPITA WATI (1101125049)7. MOH. FAQIH FEBRIANA (1101125123)8. NOPITA SARI (1101125057)9. NURUL METRIANA (1101125064)10. PANCA ADITHYA (1101125134)11. PITRI YULIANTI (1101125065)12. SHINTYA INDAH PERMATASARI (1101125076)13. VINA ALMIRA AMALIA (1101125083)14. YAYAH SHULHIYYAH (1101125149)15. HANUM SORAYA

1. Cobalah menyatakan kembali makna dari :a. d= (x,y)d adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi x dan y berarti d > 0, d ⃓x dan d⃓y .b. k = [ p , q ]k adalah bilangan bulat positif terkecil sehngga p⃓k dan q⃓k .c. m = (2r,3t)m adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi 2r dan 3t berarti m⃓2r dan m⃓3t.d. m = [3 p ,4q ]m adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 3p⃓m dan 4q⃓m .e. N = [3 p ,−4 q ]N adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga 3p⃓ N dan -4 q⃓N .f. S = (-2q,-3b)S adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi -2 q dan -3b berarti S⃓-2q dan S⃓-3b.2. Nyatakan dengan B (benar) atau S (salah) pernyataan-pernyataan berikut:a. Jika p⃓ q dan r⃓ p maka q⃓ r → Sb. Jika p⃓ q dan r⃓ q maka q = r → Sc. Jika (p+q)⃓ r maka p⃓ r atau q⃓ r → Sd. Jika p⃓ q dan p⃓ r maka p⃓ (q2 + qr + r2) → Se. Jika p⃓ q maka p2⃓ q → Sf. Jika p⃓ q maka p⃓ q2 → Bg. Jika p⃓ q maka p2⃓ q2 → Bh. Jika p⃓ q dan p⃓ r maka q = r → Si. Jika p⃓ q dan p⃓ r maka p⃓ (5q – 3r) → Bj. Jika p⃓ (q + r) maka p⃓ q atau q⃓ r → Sk. Jika p⃓ q dan p⃓r maka p⃓(q3 +r3) → Bl. Jika p⃓ q dan p=tr maka r⃓ q → Bm. Jika a⃓bc maka a⃓ b atau a⃓ c → Sn. Jika a2⃓ b2 maka a⃓ b → So. Jika p⃓ (a2 – b2) maka p⃓(a- b) atau p⃓(a+b) → S3. Nyatakan dengan B (benar) atau S (salah) pernyataan-pernyataan berikut :a. [-4, 6] = 2 → Sb. (-12, -9 )= -3 → Sc. (0,5) = 5 → Bd. (-5, 0) = 0 → Be. (12, 16) = (12 + 32, 16 ) → B

f. [18, -24]= [18, -24 + 54]g. (27, 36) = (27, 171)h. (56,48) = (296, 4) → Si. (3i, 4y) = (3x, 4y + 30x) → Bj. (5s, 7t) = (5s + 56t, 7t)k. jika (a, b) = k maka [5a, 5b] = 5kl. jika [p, q] = t maka [3p, 3q] = 3tm. jika (a, b) = (b, c) maka [a, b] = [b, c]n. jika t = [2x, 3y] maka x | t dan y | to. jika (a, b) = (c, d) maka a = c dan b =dp. jika [a, b] = [c, d] maka a = c dan b = dq. jika (a, b) = (a, c) maka b = cr. jika [p, q] = [r, q] maka p = rs. jika (a, b) = k maka (a2, b2) = k2t. [x, y] = t maka [x2, y2] = t2

4. Nyatakan :a. (3328, 11375) sebagai kombinasi linear dari 3328 dan 11375.Jawab :11375=3 .3328+1391 q (1 )=3 3328=2.1391+546 q (2 )=2

1391=2.546+299 q (3 )=2

299=4.52+39 q (4 )=2

52=1.39+13 q (5 )=1 39=3.13+0 q (6 )=4

q (7 )=1

Jadi (3328, 11375) = 1s (0 )=1 t (0 )=0

s (1 )=0 t (1 )=1

s (2 )=s (0 )−s (1 ) . q (1 ) t (2 )=t (0 )−t (1 ) . q(1)

¿1−0.3 ¿0−1.3

¿1 ¿−3

s (3 )=s (1 )−s (2 ) . q (2 ) t (3 )=t (1 )−t (2 ) .q (2)

¿0−1.2 ¿1−(−3 )(2)

¿−2 ¿7

s (4 )=s (2 )−s (3 ) . q (3 ) t (4 )=t (2 )−t (3 ) . q(3)

¿1— 2(2) ¿−3−7 .2 ¿5 ¿17

s (5 )=s (3 )−s (4 ) . q (4 ) t (5 )=t (3 )−t (4 ) . q (4 )

¿−2−5 .1 ¿7−(−17 )(1)

¿−7 ¿−41

s (6 )=s (4 )−s (5 ) . q (5 ) t (6 )=t (4 )−t (5 ) . q(5)

¿5— (7)(1) ¿−17− (24 ) .¿

¿12 ¿−41s (7 )=s (5 )−s (6 ) . q (5 ) t (7 )=t (5 )−t (6 ) . q (6)

¿−7−12.(4) ¿24— (−41)(4)

¿−55 ¿188

s (8 )=s (6 )−s (7 )q (7 ) t (8 )=t (6 )−t (7 ) . q (7 )

¿12— (−55)(1 ) ¿−41−188.1

¿67 ¿−229

Jadi (3328 , 11375 0 = 13 = 67 . 11375- 229 . 3328b. (7897 , 4399) sebagai kombinasi linear dari 7897 dan 4399

Jawab :7897=1.4399+3498 q (1 )=1 4399=1 .3499+901 q (2 )=1

3498=3.901+795 q (3 )=3

901=1.795+106 q (4 )=1

795=7.106+53 q (5 )=7

106=2.53+0 Jadi (3328, 11375) = 1s (0 )=1 t (0 )=0

s (1 )=0 t (1 )=1

s (2 )=s (0 )−s (1 ) . q (1 ) t (2 )=t (0 )−t (1 ) . q(1)

¿1−0.1 ¿0−1.1

¿1 ¿−1

s (3 )=s (1 )−s (2 ) . q (2 ) t (3 )=t (1 )− t (2 ) .q (2)

¿0−1.1 ¿1−(−1 )(1)

¿−1 ¿2s (4 )=s (2 )−s (3 ) . q (3 ) t (4 )=t (2 )−t (3 ) . q(3)

¿1— (−1)(3) ¿−1−2 .3 ¿4 ¿−7

s (5 )=s (3 )−s (4 ) . q (4 ) t (5 )=t (3 )−t (4 ) . q (4 )

¿−1−4 .1 ¿2− (−7 )(1)

¿−5 ¿9

s (6 )=s (4 )−s (5 ) . q (5 ) t (6 )=t (4 )−t (5 ) . q(5)

¿4— (−5)(7) ¿−7−9.7¿39 ¿−70Jadi (7897 , 4399) = 53 = 39 . 7897 – 70 . 4399

c. (7321 , 3145) sebagai kombinasi linear dari 7321 dan 3145Jawab :7321=2 .3145+1031 q (1 )=2 3145=3.1031+52 q (2 )=3

1031=19 .52+43 q (3 )=19

43=4 .9+7 q (4 )=1

9=1.7+2 q (5 )=4 7=3 .2+1 q (6 )=1

2=2.1+0 q (7 )=3

Jadi (7321, 3145) = 1s (0 )=1 t (0 )=0

s (1 )=0 t (1 )=1

s (2 )=s (0 )−s (1 ) . q (1 ) t (2 )=t (0 )−t (1 ) . q(1)

¿1−0.2 ¿0−1.2¿1 ¿−2

s (3 )=s (1 )−s (2 ) . q (2 ) t (3 )=t (1 )−t (2 ) .q (2)

¿0−1.2 ¿1−(−3 )(2)

¿−2 ¿7s (4 )=s (2 )−s (3 ) . q (3 ) t (4 )=t (2 )−t (3 ) . q(3)

¿1— 1 .3 ¿−2−7 .19 ¿−3 ¿−135

s (5 )=s (3 )−s (4 ) . q (4 ) t (5 )=t (3 )−t (4 ) . q (4 )

¿−3−53 .1 ¿7−(−135 )(1)

¿−61 ¿142

s (6 )=s (4 )−s (5 ) . q (5 ) t (6 )=t (4 )−t (5 ) . q(5)

¿58— (−61)(4) ¿−135−142 .4¿302 ¿−703s (7 )=s (5 )−s (6 ) . q (5 ) t (7 )=t (5 )−t (6 ). q (6)

¿−61−302 .1 ¿142— (−703)(1)

¿−363 ¿845

s (8 )=s (6 )−s (7 )q (7 ) t (8 )=t (6 )−t (7 ) . q (7 )

¿302— (−363)(3 ) ¿−703−845 .3

¿1391 ¿−3238

Jadi, (7321 , 3145) = 1 = 1391 . 7321 – 3238 . 3145d. (9373 , 1768) sebagai kombinasi linear dari 9373 dan 1768

Jawab :9373=5 .1768+533 q (1 )=5 1768=3.533+169 q (2 )=3

533=3.169+26 q (3 )=3

169=6 .26+13 q (4 )=6

26=2.13+0 Jadi (7321, 3145) = 1s (0 )=1 t (0 )=0

s (1 )=0 t (1 )=1

s (2 )=s (0 )−s (1 ) . q (1 ) t (2 )=t (0 )−t (1 ) . q(1)

¿1−0.5 ¿0−1.5

¿1 ¿−5 s (3 )=s (1 )−s (2 ) . q (2 ) t (3 )=t (1 )−t (2 ) .q (2)

¿0−1.3 ¿1−(−5 )(3)

¿−3 ¿16s (4 )=s (2 )−s (3 ) . q (3 ) t (4 )=t (2 )−t (3 ) . q(3)

¿1— (−3).3 ¿−5−16 .3 ¿10 ¿−53

s (5 )=s (3 )−s (4 ) . q (4 ) t (5 )=t (3 )−t (4 ) . q (4 )

¿−3−10 .6 ¿16−(−53 )(6)

¿−63 ¿334

Jadi, (9373 , 1768) = 13 = 334 . 1768 – 63 . 9373e. (1923 , 5290 sebagai kombinasi linear dari 1923 dan 519

Jawab :1923=3.519+336 q (1 )=3 519=1 .366+153 q (2 )=1

366=2.153+60 q (3 )=2

153=2.60+33 q (4 )=2

60=1.33+27 q (5 )=1 33=1.27+6 q (6 )=1

27=4 .6+3 q (7 )=4

6=2.3+0

Jadi (1923 , 519) = 3s (0 )=1 t (0 )=0

s (1 )=0 t (1 )=1

s (2 )=s (0 )−s (1 ) . q (1 ) t (2 )=t (0 )−t (1 ) . q(1)

¿1−0.3 ¿0−1.3

¿1 ¿−3 s (3 )=s (1 )−s (2 ) . q (2 ) t (3 )=t (1 )−t (2 ) .q (2)

¿0−1.1 ¿1−(−3 )(1)

¿−1 ¿4s (4 )=s (2 )−s (3 ) . q (3 ) t (4 )=t (2 )−t (3 ) . q(3)

¿1— (−1 ) .(2) ¿−3−4 .2 ¿3 ¿−11

s (5 )=s (3 )−s (4 ) . q (4 ) t (5 )=t (3 )−t (4 ) . q (4 )

¿−1−3 .2 ¿4− (−11)(2)

¿−7 ¿26

s (6 )=s (4 )−s (5 ) . q (5 ) t (6 )=t (4 )−t (5 ) . q(5)

¿3— (−7)(1) ¿−11−26.1¿302 ¿−37

s (7 )=s (5 )−s (6 ) . q (5 ) t (7 )=t (5 )−t (6 ). q (6)

¿−7−10 .1 ¿26— (−37)(1)

¿−17 ¿63

s (8 )=s (6 )−s (7 )q (7 ) t (8 )=t (6 )−t (7 ) . q (7 )

¿10— (−17) (4 ) ¿−37−63 .4

¿78 ¿−289

Jadi (1923 , 519) = 3 = 78 . 1923 – 289 . 519f. (2689 . 4001) sebagai kombinasi linear dari 2689 dan 4001.

Jawab :4001=1.2689+1312 q (1 )=1 2689=2.1312+65 q (2 )=2

1312=20 .65+12 q (3 )=20

65=5.12+5 q (4 )=5

12=2.5+2 q (5 )=2 5=2.2+1 q (6 )=¿22=2.1+0

Jadi (2689, 4001) = 1s (0 )=1 t (0 )=0

s (1 )=0 t (1 )=1

s (2 )=s (0 )−s (1 ) . q (1 ) t (2 )=t (0 )−t (1 ) . q(1)

¿1−0.1 ¿0−1.1

¿1 ¿−1

s (3 )=s (1 )−s (2 ) . q (2 ) t (3 )=t (1 )−t (2 ) .q (2)

¿0−1.2 ¿1−(−1 )(2)

¿−2 ¿3s (4 )=s (2 )−s (3 ) . q (3 ) t (4 )=t (2 )−t (3 ) . q(3)

¿1— (−2 ) .(20) ¿−1−3 .20 ¿41 ¿−61

s (5 )=s (3 )−s (4 ) . q (4 ) t (5 )=t (3 )−t (4 ) . q (4 )

¿−2−41.5 ¿3−(−61 )(5)

¿−207 ¿308

s (6 )=s (4 )−s (5 ) . q (5 ) t (6 )=t (4 )−t (5 ) . q(5)

¿41— (−207)(2) ¿−61−308 .2¿455 ¿−677

s (7 )=s (5 )−s (6 ) . q (5 ) t (7 )=t (5 )−t (6 ). q (6)

¿−207−455 .2 ¿308— (−677)(2)

¿−1117 ¿1662

Jadi, (2689 , 4001) = 1 = 1662 . 2689 – 1117 . 40015. Carilah nilai-nilai m,n ⋲ Z yang memenuhi hubungan :a. m (44329) + n (140299) = (140299,44329)

140299 = 3 . 44329 + 7321 q(1) = 3 44329 = 6. 7321 + 457 q(2) = 67312 = 16. 457 + 0Jadi (140299,44329) = 457S(0) = 1 t(0) = 0S(1) = 0 t(1) = 1S(2) = S (0) – S (1) q(1) t(2) = t(0)- t(1) q(1)

= 1- 0.3 = 0 – 1.3 = 1 = -3

S(3) = S(1) – S(2) q(2) t(3) = t(1)- t(2) q(2) = 0 - 1 . 6 = 1 – ( (−3 ) .6 )

= -6 = 19Jadi (140299,44329)=457=19(44329) + (-6)(140299)Nilai m = 19 dan nilai n = (-6)

b. m(30745 ) + n (17446) = (30745,17446)m(30745 ) + n (17446) = (30745,17446)30745 = 1 . 17446 + 13299 q(1) = 117446 = 1. 13299 + 4147 q (2) = 113299 = 3. 4147 + 858 q (3) = 34147 = 4. 858 + 715 q(4) = 4 858 = 1. 175 + 143 q(5) = 1715 = 5.143 + 0 Jadi (30745,17446) = 143s(0) = 1 t(0) = 0s(1) = 0 t(1) = 1s(2) = s(0) – s(1) q(1) t(2) = t(0) –t(1) q(1)

= 1 – 0.1 = 0 – 1 . 1 = 1 = -1

s(3) = s(1) – s(2) q(2) t(3) = t(1) – t(2) q(2) = 0 – 1 . 1 = 1 – (-1) (1) = -1 = 2

S(4) = s(2) – s(3) q(3) t(4) = t(2) – t(3) q(3)= 1 – (-1)(3) = -1 – (2) (3)

= 4 = -7S(5) = s(3)- s(4) q(4) t(5) = t(3) – t(4) q(4)

= -1 – (4)(4) = 2 – (-7) (4)= -17 = 30

S(6) = s(4) – s(5) q(5) t(6) = t(4) – t(5) q(5)= 4- (-17) 1 = -7 – (30) (1)

=21 = -37Jadi (30745,17446)=143=21.30745 + (-37) 17446Nilai m = 21 dan nilai n= (-37)

c. m(58553)+n (35354) = (58553,35354)58553 = 1.35354 + 23199 q (1) = 135354 = 1.23199 + 12155 q (2) = 123199 = 1. 11044 + 11044 q (3) = 112155 = 1. 11044 + 1111 q (4) = 111044= 9.1111 + 1045 q (5) = 91111 = 1 . 1045 +66 q(6) = 11045 = 15. 66 + 55 q (7) = 1566 = 1.55 +11 q(8) = 1 Jadi , (58553, 35354) = 11s(0) = 1s(1) = 0s(2) = s(0) – s(1) q(1) = 1 – (0)(1) = 1s(3) = s(1) – s(2) q(2) = 0 – (1) ( 1) = -1s(4) = s(2) – s(3) q(3) = 1 – (-1) (1)= 2s(5) = s(3) – s(4) q(4)= -1 – (2) (1)

= -3s(6) = s(4) – s(5) q(5)= 2 – (-3) (9)= 29s(7) = s(5) –s(6) q(6)= -3 – (29) (1)= -32S(8) = s(6) – s(7) q(7)= 29 – (-32) (15)= 509S(9) = s(7) – s(8) q(8)= -32 – (509) (1)= - 541t(0) = 0t(1) = 1t(2) = t(0) – t(1) q(1)= 0 – (1) (1)= -1t(3) = t(1) – t(2) q(2) = 1 – (-1) (1)= 2t(4) = t(2) – t(3) q(3)= -1 – (2) (1)= - 3t(5) = t(3) – t(4) q(4)= 2 – (-3) (1)= 5t(6) = t(4) – t(5) q(5)= -3 – (5) (9)= - 48t(7) = t(5) – t(6) q(6)= 5 – (-48) (1)= 53t(8) = t(6) – t(7) q(7)= -48 – (53) (15)= - 843t(9) = t(7) – t(8) q(8)= 53 – (-843) (1)= 896Jadi, (-541) 58553 + (896) 35354 = -31677173 + 31677184 = 11Jadi,nilai M = -541 dan nilai N = 896

d. m(67815)+n (21480) = (67815,21480)67815 = 3.21480 + 3375 q (1) = 321480 = 6. 3375 + 1230 q (2) = 63375 = 2 . 1230 + 915 q (3) = 21230 = 1.915 + 315 q (4) = 1915 = 2 . 315 + 285 q (5) = 2315 = 1. 285 + 30 q(6) = 1285 = 9 . 30 + 15 q (7) = 930 = 2.15 + 0 Jadi , (67815,21480) = 15s(0) = 1s(1) = 0s(2) = s(0) – s(1) q(1) = 1 – (0)(3) = 1s(3) = s(1) – s(2) q(2)= 0 – (1) ( 6) = -6s(4) = s(2) – s(3) q(3)= 1 – (-6) (2)= 13s(5) = s(3) – s(4) q(4) = -6 – (13) (1) = -19s(6) = s(4) – s(5) q(5) = 13 – (-19) (2) = 51s(7) = s(5) –s(6) q(6) = -19 – (51) (1) = -70S(8) = s(6) – s(7) q(7) = 51 – (-70) (9) = 681t(0) = 0t(1) = 1t(2) = t(0) – t(1) q(1)= 0 – (1) (3)= -3t(3) = t(1) – t(2) q(2)

= 1 – (-3) (6) = 19t(4) = t(2) – t(3) q(3) = -3 – (19) (2) = -41t(5) = t(3) – t(4) q(4) = 19 – (-41) (1) = 60t(6) = t(4) – t(5) q(5) = -41 – (60) (2) = - 161t(7) = t(5) – t(6) q(6) = 60 – (-161) (1) = 221t(8) = t(6) – t(7) q(7) = -161 – (221) (9) = - 2150Jadi, (681) 67815 + (-2150) 21480 = 46182015 + (-4618200) = 15Jadi, nilai M = 681 dan nilai N = -2150e. m (11023) + n (7957) = (11023, 7957)11023 = 1. 7957 + 3066 q(1) = 1

7957 = 2. 3066 + 1825 q(2) = 2 3066 = 1. 1825 + 1241 q(3) = 1 1825 = 1. 1241 + 584 q(4) =1 1241 = 2. 584 + 73 q(5) = 2 584 = 8.73 + 0

Jadi, (11023, 7957) = 73s(0) = 1 t(0) = 0s(1) = 0 t(1) = 1s(2) = s(0) – s(1)q(1) t(2) = t(0) – t(1)q(1)

= 1 – 0.1 = 0 – 1. 1= 1 = -1

s(3) =s(1) –s(2)q(2) t(3) = t(1) – t(2)q(2)= 1- (1).(2) = 1 – (-1)(2)= -2 = 3

s(4) = s(2) – s(3)q(3) t(4) = t(2) – t(3)q(3)= 1– (-2). 1 = -1 – 3. 1= 3 = -4

s(5) = s(3) – s(4)q(4) t(5) = t(3) – t(4)q(4)= -2 - (3)(1) = 3 – (-4)(1)= -5 = 7

s(6) = s(4) – s(5)q(5) t(6) = t(4) – t(5)q(5)= 3 – (-5)(2) =(-4) – (7)(2)= 13 = - 18

Jadi, (11023, 7957) = 73 = (13)11023 + (-18) 7957Nilai m = 13 dan nilai n = (-18)

6. Buktikan : a. Jika (s , 4) = 2 dan (4 , t) = 2, maka ( s+t ,4 )=4

Jawab : ( s ,4 )=2→ada p ,q∈Z sehingga ps+q4=2

(4 , t )=2→adaa ,b , c∈Z sehingga a4+bt=2

ps+4 t=2→ps=2−q 4

a 4+bt=2→bt=2−a 4

( ps ) (bt )=(2−q4 ) (2−q 4 )

¿4−2a 4−2q4+aq42

¿4−2 (a 4−q4+aq8 )

( st ) ( pb )=4−2 (a4−q 4+aq8 )→ ( pb ) ( st )+2 (a 4−q4+aq8 )=4

Jikau=st danw=2 (a4−q 4+aq8 ) ,makau∈ z danw∈Z danw∈Z ,

sehinggaust+wt=4 karena4merupakanbilanganbulat positif yang

kurang daripada 4danmempunyai bentuk itu ,makaharuslah (st ,4 )=4

b. Tidak ada a ,b∈Z yangmemenuhi hubungana+b=100dan(a ,b)=3

Jawab :a+b=100→pa+qb=100

a .b=3→ra+sb=3

pa+qb=100→pa=100−qb

ra+sb=3→ra=3−sb

( pa ) (ra )= (100−qb ) (3−sb )

¿300−100 sb−3qb+qs b2

karena tidak adaa ,banggota Z yangmemenuhi persamaantersebut !

c. Jika (a ,b )=1dan (c ,b )=1maka (ac ,b )=1

Jawab :(a ,b )=1→ pa+qb=1

(c ,b )=3→rc+sb=3

pa+qb=1→ pa=1−qb

rc+rb=3→rc=3−sb

( pa ) (sc )= (1−qb ) (3−sb )

¿3−sb−3qb+qb2s ¿3−(sb−3qb+qbs )b

( pa ) (rc )=3−( pb−3qb+qbs )b→ (rc ) ( pa )+(sb−3qb+qbs )=3

Jikau=padanw=( sb−3qb+qbs ) ,makau∈Zdan w∈Z ,Sehingga

upa+wb=3karena 3merupakanbilanganbulat positif yang kurang

daripada 3danmempunyaibentuk itu,maka haruslah (ac ,b )=3

d. (a ,a+2 )=1atau (a ,a+2 )=2

Jawab :(a ,a+2 )=1→ pa+qa+2=1

(a ,a+2 )=2→ra+sa+2=2

pa+qa+2=1→ pa=q−qa−2

ra+sa+2=2→ra=2−sa−2

( pa ) (ra )= (−1−qa ) (−sa )

¿ sa+qs a2

¿a ( s+qsa )

Jikau=padanw=( s+qsa )makau∈Z danw∈Z , sehingga

ura+wpa=0 , karena0merupakan bilangan positif ,maka (ra , pa )=0

e. Jika ac∨bcmaka a∨b(a ,b , c∈Z ,dana ,b , c≠0)Karena jika ac dan bc dibagi c, maka :acc

∨bccmaka a∨b

f. x|y jikadanhanya jika x2|y2g. 8∨(t 2−1 ) jika t adalah suatu bilangan ganjilh. Jikat bukanbilangan ganjildan3|t ,maka 6|(r2−1 )i. 8k|(4k )! Dan16k|(6 k )!untuk sebarang k∈Nj. 6∨(n3−n ) jika n∈Nk. 2n∨(n+1 ) (n+2 )… (2n ) jikan∈Nl. 3|(25n−1 )dan17|(28n−1 ) jikan∈Nm. Jikad= (x . y ) , dank ,n ,m∈N danK>1,maka (k x−1 , k y−1 )=kd−1n.Jikak , s , t∈N dan (k2 s+1 , k2 s+1 )=d ,makad=1 jika k adalahbilangangenap ,dand=2 jika k adalahbilanganganjil\o. Jika x , y∈N dan ( x , y )=1;(a).

Dan ( x+ y , x− y )=d maka d=1 jikadanhanya jika x dan y berparitas beda ,dand=2 jika xdan y berapritas sama(b). ( x+ y , x− y , xy )=1(c). dan jika (x+ y , x2−xy+ y2 )=dmaka d=1 jika3+1 ( x+ y ) , dand=3 jika3∨(x+ y)

7. Buktikan atau tunjukan :a. Jika p ,q∈N ,maka ( p ,q )∨[ p ,q]b. Jika p ,q , r∈Zmaka [ p ,q ]|r jikadanhanya jika p|r danq∨rc. Jika padalahbilangan prima dan p|r danq|rd. Jika padalahbilangan prima ,t=Z ,dank∈N sehingga p|t kmaka p|te. Jika p ,q , r∈Z , r|pq makar|( p ,q ) (q , r )f. Jikak , x , y∈N dan ( x , y )=1 ,maka (xk , yk )=1g. 7∨(32n+1+2n+2 ) ,n∈N

n=1→ 33+23

7=27+8

7=3

n=k→ 32k+1+2k+2

7

n=k+1→ 32 (k +1)+1+2k +1+2

7=3

2k+3+2k +3

7¿32k+ 132+2k +2.2

¿32k+1+2k+2 (32+2 )−2.32k+1−2k+1 .32

¿(32k+1+2k +2 )(32+2)

7−

(32k +1+2k+2 )(2−k+33−2k)7

terbukti

8. Carilah nilai t jika t adalah bilangan bulat positif terkecil yang mempunyai bentuk ( pa+qb ) dengan p ,q∈ z , jika :a. a = 1815156 dan b = 686000b. a =2335114danb=253356117132c. a = (144 )569danb=(56 ) (375 )d. a = (1125 ) (290521 )danb= (675 ) (456533 )

9. a. Jika p= (x , y )dan p adalah bilangan prima, maka carilah kemungkinan nilai-nilai (x2 , y ) , (x3 , y )dan (x2 , y3 )b. Carilah harga harga d yang mungkin jika d= ( x+ y , x )c. Carilah nilai d jika (n !+1 ) , [n+1 )!+1¿=d

10. Tunjukanlah bahwa kuadrat sebarang bilangan bulat tidak mempunyai bentuk (3k + 2)n2≠3k+2k=1→1≠5k=n→n2≠3 (n+1 )+2k=n+1→¿

n2+2n+1+n−n+1−1n2+3n+2−n−1n2−n+3n+2−13n+2+3n+2−n−16n+4−n−1≠3 (n+1 )+2