kelompok 2--geometri terurut.pdf

8/15/2019 Kelompok 2--Geometri Terurut.pdf

1/44

1

BAB II

ISI1. URUTAN PADA GARIS

Secara matematika pengertian urutan dinyatakan dalam bentuk suatu sistem

aksioma yang selanjutnya dinamakan Aksioma Urutan, yaitu :

1.

Sifat simetri

(ABC) mengakibatkan (CBA). (ABC) dibaca “Titik B antara titik A dan C”.

2. Sifat antisiklik

(ABC) mengakibatkan ~(BCA). ~(BCA) berarti: tidak (BCA).

3.

Sifat koherensi linier

A, B, C berlainan dan segaris jika dan hanya jika (ABC), (BCA), atau (CAB).

Aksioma ketiga ini dapat diganti oleh aksioma berikut:

3.1.

(ABC) mengakibatkan A, B, C berlainan dan segaris.

3.2. Jika A, B, C berlainan dan segaris maka (ABC), (BCA) atau (CAB).

4.

Sifat pemisahan

Jika P segaris dan berbeda dengan A, B, C maka (APB) mengakibatkan (BPC)

atau (APC) tetapi tidak dua-duanya.

5.

Sifat eksistensi

Jika A≠B, maka ada X, Y, Z sehingga (XAB), (AYB), (ABZ).

2. Sifat-Sifat Elementer ke-antara-an

Dari aksioma ketiga dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut.

i.

(ABC) mengakibatkan garis AB=garis BC=garis AC, atau disingkat

AB=BC=CA.

ii.

(ABC) mengakibatkan bahwa AB memuat C, BC memuat A, AC memuat B.

Teorema 1

(ABC) mengakibatkan (CBA) dan (ABC) mengakibatkan ~(BCA),

~(BAC), ~(ACB), dan ~(CAB).

Bukti:


2/44

2

Menurut aksioma 1, (ABC)→(CBA).

Menurut aksioma 2, (ABC) dan (CBA) mengakibatkan ~(BCA) dan

~(BAC).

Andaikan (ACB), maka menurut aksioma 1 peroleh (BCA). Hal ini

berlawanan dengan ~(BCA). Jadi haruslah ~(ACB).

Andaikan (CAB), maka menurut aksioma 2 diperoleh ~(ABC). Ini

berlawanan dengan (ABC). Jadi haruslah ~(CAB).

3. Ruas Garis

Definisi

.

Teorema 2

Jika A≠B, maka

i. AB = BA

ii. AB ⊂ AB

iii. A ∉ AB , B ∉ AB

iv. AB himpunan tak kosong.

Bukti:

i. Oleh karena (AXB) = (BXA) dan AB = {X|(BXA)} maka AB = BA .

ii.

Andaikan X ∈ AB ; maka (AXB). Ini berarti A, X, B segaris sehingga X ∈ AB .

Jadi AB ⊂ AB.

iii. Andaikan A ∈ AB . Jadi berlakulah (AAB). Ini berlawanan dengan aksioma 3.1.

Jadi A ∉ AB . Begitu pula B ∉ AB .

iv. Oleh karena A ≠ B, menurut aksioma 5, ada X sehingga (AXB). Jadi X ∈ AB.

4. Sinar atau Setengah Garis

Apabila A≠B, maka himpunan H={X|(AXB)} disebut ruas garis AB atau

disingkat AB . A dan B disebut ujung ruas.

Akibat: AB = X AXB .


3/44

3

Definisi

Gambar 1

Dari keterangan di atas, dapat dijabarkan teorema-teorema sebagai berikut.

Teorema 3

Jika A ≠ B, maka

i. A/B⊂ AB; B/A ⊂ AB.

ii.

A ∉ A/B; B ∉ A/B;

iii.

A/B tidak hampa.

Bukti:

ii, iii jelas.

Kita akan membuktikan i.

Ambil X ∈ A/B sehingga (XAB). Ini berarti X ∈ AB. Ambil Y ∈ B/A. Jadi

(YBA). Ini berarti Y ∈ BA atau Y ∈ AB.

5. Dekomposisi suatu garis yang ditentukan oleh dua titiknya.

Teorema 4

Jika A ≠ B, maka

i. AB = A/B ∪ {A} ∪ AB ∪ {B} ∪ B/A.

ii. Himpunan-himpunan pada ruas kanan saling lepas.

X A B

Jika dua titik A dan B, A ≠ B, maka himpunan H={(X|XAB)} dinamakan sinar

atau setengah garis. Sinar itu ditulis sebagai A/B (“A atas B”). Kadang kadang

A/B dinamakan perpanjangan AB melampaui A. Titik A dinamakan suatu ujung

sinar A/B. Gambar 1


4/44

4

Bukti:

Gambar 2

i. Andaikan S= A/B ∪ {A} ∪ AB ∪ {B} ∪ B/A.

Akan dibuktikan S=AB.

Untuk membuktikan S=AB, cukup dengan membuktikan S ⊂ AB dan

AB ⊂ S.

Akan dibuktikan S ⊂ AB.

Berdasarkan teorema 2 dan teorema 3, AB , A/B, B/A, {A}, dan {B} adalah

himpunan bagian dari AB. Jadi, telah terbukti bahwa S ⊂ AB.

Akan dibuktikan AB ⊂ S.

Andaikan X ∈ AB. Apabila X = A atau X = B, jelas X ∈ S. Apabila X ≠ A

dan X ≠ B, maka ada salah satu kemungkinan berikut yaitu (ABX),

(BXA), atau (XAB).

Andaikan (ABX) maka (XBA), ini berarti X ∈ B/A. Jadi X ∈ S.

Andaikan (BXA), ini berarti X ∈ BA = AB sehingga X ∈ S.

Andaikan (XAB), ini berarti X ∈ A/B. Jadi X ∈ S.

Jadi, setiap X ∈ AB ada di S. Ini berarti AB ⊂ S. Oleh karena S ⊂ AB, AB

⊂ S, maka ini berarti bahwa S=AB.

ii.

Diketahui A ≠ B. Menurut teorema 2 dan 3, A ∉ AB

, A ∉ A/B, A ∉ B/A,begitu pula B ∉ AB , B ∉ A/B.

Andaikan AB dan A/B tak lepas , jadi ada X∈ AB ∩ A/B s ehingga X∈

A/B dan X ∈ AB . Ini berarti (AXB) dan (XAB). Dari (AXB) kita peroleh

(BXA) s ehingga~(XAB), menurut aks ioma 2.Jadi, berlawanan dengan

(XAB). Jadi AB ∩ A/B = ∅.

A/B A B B/A


5/44

5

6. Penentuan Garis Berarah

Teorema 5

Jika sinar P/A memotong sinar P/B, maka P/A=P/B.

Bukti:

Gambar 3

Oleh karena P/A memotong P/B, maka ada C ∈ P/A dan C ∈ P/B. Jadi (CPA) dan(CPB). Jadi, P ≠ C, P ≠ A, P ≠ B sedangkan P, C, A, B segaris menurut aksioma

4, (CPA) mengakibatkan (CPB) atau (APB), tetapi tidak bersamaan. Oleh karena

(CPB) maka ~(APB).

Untuk membuktikan P/A = P/B, akan kita buktikan P/A ⊂ P/B dan P/B ⊂ P/A.

Andaikan X ∈ P/A, maka (XPA). Oleh karena P ≠ X, P ≠ A, P ≠ B, dan P, X, A,

B segaris maka menurut aksioma 4, berlaku (XPB) atau (APB). Oleh karena

terbukti bahwa ~(APB), maka (XPB). Ini berarti X ∈ P/B sehingga P/A ⊂ P/B.

Dengan cara yang hampir sama, diperoleh pula P/B ⊂ P/A. Dengan demikianterbuktilah P/A = P/B.

Akibat 1

Jika P≠ A, maka hanya ada 1 sinar dengan ujung P dan yang memuat A.

Bukti:

Oleh karena P≠ A, maka menurut aksioma 5, ada X sehingga (APX). Jadi A ∈ P/X. Sinar P/X ini memenuhi sifat bahwa ujungnya P dan memuat A. Sebuah

sinar dengan ujung P selalu dapat ditulis sebagai P/Y. Andaikan P/Y ini memuat

A. Maka P/X ∩ P/Y = A. Jadi P/X = P/Y menurut teorema 5 di atas.

Definisi

X A BPC

Jika P ≠ A, sinar tunggal dengan ujung P yang memuat A, ditulis sebagai PA (dibaca

“sinar PA”)


6/44

6

Akibat 2

Andaikan R sebuah sinar dengan ujung P. Jika A ∈ R, maka R=PA .

Bukti:

Menurut teorema 3, P ≠ A. R adalah sinar dengan ujung P yang memuat A. Jadi R

satu-satunya sinar dengan sifat demikian (akibat 1). Tetapi PA adalah sinar dengan

ujung P yang memuat A (definisi). Sehingga R=PA .

Akibat 2 dapat dirumuskan sebagai berikut. Kalau A ∈ P/X maka P/X = PA .

Akibat 3

Tiap sinar P/X dengan ujung P dapat ditulis sebagai PA .

Bukti:

Menurut teorema 3, P/X tidak hampa. Jadi mengandung sebuah titik A. Sehingga

P/X=PA .

Akibat 4

(APB) mengakibatkan PA = P/B, dan PB = P/A.

Bukti:

Gambar 4

Oleh karena (APB) maka A ∈ P/B menurut akibat 2, P/B=PA . Berdasarkan

aksioma 1, (APB) mengakibatkan (BPA). Jadi B ∈ P/A. Ini berarti lagi P/A = PB

Akibat 5

Apabila A ≠ B maka AB ⊂ AB.

Bukti:

Andaikan titik C memenuhi (CAB) menurut akibat 4 dan teorema 3 kita peroleh

AB=A/C ⊂ AC=AB.

A B

P


7/44

7

Gambar 5

Akibat 6

Apabila PA =P/B maka PB =P/A

Bukti:

A ∈ PA = P/B. Jadi, (APB) sehingga PB = P/A sebab (APB) mengakibatkan

(BPA).

Akibat 7

PA = PB jika dan hanya jika P/A=P/B.

Bukti:

Andaikan PA = PB = P/X menurut akibat 6, PX =P/A dan PX =P/B. Jadi,

P/A=P/B. Sebaliknya andaikan P/A=P/B=PY menurut akibat 6, PA =P/Y dan

PB = P/Y, sehingga PA = PB .

7. Garis Berarah yang Berlawanan

Definisi

Teorema 6

Andaikan R dan R’ dua sinar dengan titik ujung yang P yang sama. Andaikan

A∈R dan B ∈ R’ sehingga (APB). Maka P terletak antara tiap titik R dan tiap titik

R’ berlawanan.

Bukti:

A B A/B

Sinar R dan sinar R’ dinamakan berlawanan (arah) apabila memiliki titik ujung P

yang sama dan P terletak antara tiap titik R dan tiap titik R’.


8/44

8

Gambar 6

Andaikan X ∈ R, Y ∈ R’. Kita akan membuktikan bahwa (XPY). Oleh karena

A∈R dan B∈R’ kita peroleh.

R=PX = PA (1)

R’=PY = PB (2)

Oleh karena (APB) maka

PA=P/B (3)

Sehingga PX =P/B (4)

Jadi PB =P/X (5)

Juga dari (APB) kita peroleh

PB =P/A (6)

Sehingga PY =P/A (7)

Jadi, PA =P/Y (8)

Menurut (1)

PX =P/Y

Sehingga X terkandung dalam sinar P/Y atau X ∈ P/Y. Ini berarti (XPY).

Akibat 1

Sinar PA dan sinar P/A berlawanan dan P terletak antara tiap titik sinar PA dan

titik sinar P/A.

Bukti:

X Y

= = A P B

′ = =


9/44

9

Ambil X ∈ P/A, jadi (XPA). Oleh karena X ∈ P/A dan A ∈ PA maka menurut

teorema di atas P terletak antara tiap titik di P/A dan tiap titik di PA . Jadi menurut

definisi P/A dan PA dua sinar yang berlawanan arah.

Akibat 2

Andaikan (APB) maka P/A dan P/B berlawanan dan P ada di antara tiap dua titik

masing-masing sinar itu.

Bukti:

Diketahui (APB) maka A ∈ P/B dan B ∈ P/A maka menurut teorema 6, P terletak

di antara tiap titik P/A dan tiap titik P/B. Jadi, P/A dan P/B berlawanan arah.

Akibat 3

Tiap pasang dua sinar yang berlawanan arah saling lepas.

Bukti:

Andaikan R dan R’ dua sinar yang berlawanan arah dan andaikan X ∈ R dan X ∈

R’ menurut ketentuan sinar-sinar yang berlawanan maka (XPX) apabila P ujung R

dan R’. Ini tak mungkin sebab bertentengan dengan aksioma 3.1

Akibat 4

Sebuah sinar tidak berlawanan dengan diri sendiri.

Bukti:

Andaikan berlawanan, menurut akibat 3 di atas sinar itu dan dirinya sendiri saling

lepas. Ini hanya mungkin apabila sinar hampa. Hal ini bertentangan dengan

ketentuan sinar.

8. Pemisahan Garis

Untuk memperkenalkan konsep pemisahan perhatikan gambar berikut

Gambar 7

S’S

Pl


10/44

10

Andaikan l sebuah garis (gambar 7). Kita tentukan “pemisahan” sebagai berikut:

Definisi

9.

Pemisahan garis oleh salah satu titiknya

Teorema 7: (Pemisahan Garis)

Andaikan (APB) maka P memisah garis AB menjadi sinar P/A dan P/B.

Bukti:

P/A dan P/B masing-masing tak hampa (teorema 3).

Untuk itu, harus membuktikan

i. AB=P/A ∪ {P} ∪ P/B

ii. P terletak antara tiap titik P/A dan tiap titik P/B.

iii. P tidak di antara dua titik P/A atau tidak di antara dua titik P/B.

iv. P/A, P/B dan {P} saling lepas.

Bukti:

i. Andaikan P/A ∪ {P} ∪ P/B = S. Akan dibuktikan AB=S. Maka perlu

dibuktikan S⊂AB dan AB⊂S. Diketahui (APB), jadi AB=PA=PB menurut

teorema 3, P/A⊂PA, P/B⊂PB. Jadi pula P/A⊂AB, P/B⊂AB. Oleh karenaP∈PA=AB, diperoleh bahwa P/A ∪ P/B ∪ {P} ⊂ AB. Terbukti S⊂AB.

Sebaliknya, andaikan X∈AB. Apabila X=P jelas X∈S. Apabila X≠A,

maka (APB) mengakibatkan P≠A, P≠B, P≠X dan segaris dengan A, B,

X. Menurut aksioma 4, (APB) mengakibatkan (APX) atau (XPB) jadi

(XPA) atau (XPB). Ini berarti X∈P/A atau X∈P/B. Ini berarti bahwa X∈S.

Sehingga AB⊂S, maka terbuktilah AB=S.

ii. Menurut akibat 2 teorema 6, (APB) mengakibatkan P terletak antara tiap

titik P/A dan tiap titik P/B.

Sebuah titik P memisah himpunan titik A pada sebuah garis menjadi dua

himpunan S dan S’ apabila dipenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

i.

A = S ∪ S’∪{P}

ii.

P terletak antara tiap titik S dan tiap titik S’

iii.

P tidak terletak antara dua titik S atau antara dua titik S’

iv. S, S’ dan {P} saling lepas.


11/44

11

iii.

Andaikan X∈P/A dan Y∈P/A dan andaikan P antara X dan Y menurut

teorema 6, P/A berlawanan dengan P/A. Ini bertentangan dengan akibat 4,

teorema 6. Begitu pula untuk P/B.

iv. P∉P/A, P∉P/B sedangkan P/A dan P/B berlawanan arah, jadi saling lepas.

Jadi ketika himpunan {P}, P/A dan P/B saling lepas.

Akibat 1 Pemisahan Garis

Teorema di atas berlaku apabila P/A dan P/B masing-masing diganti dengan PA

dan PB .

Bukti: Dari (APB) kita peroleh P/A = PB dan P/B = PA .

Akibat 2 Kemanunggalan Pemisahan

Andaikan l sebuah garis dan P ∈ l. Maka P memisahkan l menjadi dua himpunan

yang tunggal. Kedua himpunan ini berujung di P dan merupakan sinar.

Bukti:

Andaikan P memisah l menjadi dua himpunan S dan S’ menurut ketentuan

l =S∪S’∪{P}.

Himpunan pada ruas kanan saling lepas dan ≠ Ø, ′ ≠ Ø. Andaikan A∈S danB∈S’, maka (APB) menurut akibat 1, P memisah l menjadi PA dan PB . Akan kita

buktikan = PA dan = PB . Andaikan X∈S oleh karena B∈S’ maka berlakulah

(XPB). Jadi, X ∉ PB sebab P tidak terletak antara dua titik sinar PB . Oleh karena

X≠P maka haruslah X ∈ PA . Jadi S⊂PA. Andaikan Y ∈ PA . Oleh karena B ∈ PB

dan PA dan PB berlawanan arah maka (YPB). Oleh sebab B∈S’ maka tak

mungkin Y∈S’ dan tak mungkin Y∈{P}. Jadi haruslah Y∈S. Ini berarti PA ⊂ .

Sehingga terbukti bahwa = PA . Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa

′ = PB

. Dengan demikian terbukti bahwa S dan S’ telah ditentukan secaratunggal dan berbentuk sinar denagn ujung P dan P memisah l menjadi 2 dua

himpunan.

Akibat 3 Dekomposisi Garis

Apabila A≠B maka AB=A/B∪{A}∪ AB . Himpunan A/B, {A} dan AB saling

lepas.

Bukti:

Menurut aksioma 5, ada X sehingga (XAB). Jadi menurut teorema:


12/44

12

AB=XB=A/B∪{A}∪A/X. Dengan A/B, {A}, A/X himpunan yang lepas. Oleh

karena (XAB) maka A/X=AB . Jadi AB=A/B∪{A}∪ AB .

Akibat 4 (Dekomposisi Sinar)

Jika A≠B maka AB = AB ∪ {B} ∪ B/A. Himpunan pada ruas kanan saling lepas.

Gambar 8

Bukti:

Menurut akibat 3 dan teorema 4, diperoleh berturut-turut: AB=A/B∪{A}∪ AB dan

AB=A/B∪{A}∪ AB ∪{B}∪B/A sehingga

A/B∪{A}∪ AB = A/B∪{A}∪ AB ∪{B}∪B/A.

Oleh karena himpunan pada ruas kiri dan ruas kanan saling lepas. Ini berarti

bahwa AB = AB ∪ {B} ∪ B/A

Akibat 5

Andaikan A≠B maka X∈ AB jika dan hanya jika (AXB) atau X=B dan (ABX).

Bukti:

Kalau X∈ AB maka berhubung AB ∪ AB ∪{B}∪B/A diperoleh X∈ AB atau

X∈{B} atau X∈B/A. Kalau X∈ AB maka (AXB). Kalau X∈{B} maka X=B.

Kalau X∈B/A maka (XBA) yang beraarti juga (ABX).

Sebaliknya:

Kalau (AXB) maka X∈ AB sehingga X∈ AB .

Kalau X=B maka X∈{B}, sehingga X∈ AB .

Kalau (ABX) maka X∈B/A, sebab (XBA) = (ABX). Jadi X∈ AB .

Akibat 6

(ABC) mengakibatkan AB = AC dan A/B=A/C.

A B

A/B

B/A


13/44

13

Bukti:

Menurut akibat 5, (ABC) mengakibatkan B∈ AC . Jadi AB = AC (teorema 5, akibat2) dan A/B=A/C (teorema 5, akibat 7)

Teorema 8 (Pemisahan Ruas Garis)

Andaikan (APB) maka P memisah ruas menjadi ruas AP dan PB .

Bukti:

Gambar 9

Perhatikan bahwa AP dan PB tidak hampa.

Harus dibuktikan;

i. AB = AP ∪ PB ∪ {P}

ii. P terletak antara tiap titik di AP dan tiap titik di PB

iii.

Tidak terletak antara dua titik dalam AP maupun antara dua titik dalam

PB

iv. AP , {P} dan PB saling lepas

Akibat 1

Apabila P∈ AB maka PA ⊂ AB dan PB ⊂ AB

Akibat 2

Tiap ruas garis adalah sebuah himpunan tak hingga.

Bukti:

Andaikan himpunan AB berhingga dan mengandung tepat n titik.

Andaikan P, salah satu di antaranya. Sebab AB himpunan tak hampa. Maka

PB ⊂ AB . P ∈ AB tetapi P ∉ PB. Jadi, PB mengandung paling banyak n-1 titik-

titik.

Dengan cara yang serupa PB memuat sebuah himpunan bagian PB dengan

paling banyak n-2 titik-titik. Dengan demikian kita peroleh ruas-ruas garis.

A B

P


14/44

14

AB ⊃ PB ⊃ PB … …… ⊃ PB

Tiap himpunan mengandung paling sedikit satu titik kurang dari himpunan yangsebelumnya. Sedangkan AB mengandung n titik. Ini berarti bahwa PB tidak

mengandung titik sama sekali, yang berlawanan dengan teorema 2.

Akibat 3

Setiap garis dan setiap sinar adalah himpunan yang tak hingga.

Bukti:

Tiap garis atau sinar mengandung sebuah ruas garis sebagai himpunan bagian.

10. Himpunan Konveks

Definisi

Akibat

Kalau A dan B dua titik berlainan maka garis AB adalah konveks.

Teorema 9

Tiap sinar adalah konveks.

Bukti:

Gambar 10

Perhatikan P/A. Andaikan X≠Y dan X∈P/A dan Y∈P/A. Kita akan membuktikan

XY ⊂ P/A. Andaikan Z∈ XY . Sehingga (XZY). Juga (XPA), (YPA). Jadi (APX)

dan (APY).

Perhatikan P, A, X, Y. P segaris dengan A, X, Y dan P≠A, P≠X, P≠Y menurut

aksioma 4, (APX) mengakibatkan (APY) atau (XPY) tetapi tidak dua-duanya.

Oleh karena (APY) maka ~(XPY).

YZA XP

Suatu titik-titik S dikatakan konveks, apabila X∈S, Y∈S dan X≠Y

mengakibatkan XY ⊂ S.


15/44

15

Perhatikan P, A, X, Z. P segaris dengan A, X, Z dan P≠A, P≠X, P≠Z. Oleh

karena (APX) maka menurut aksioma 4 mengakibatkan (APZ) atau (XPZ) tetapi

tidak dua-duanya. Andaikan (XPZ). Jadi P∈ XZ ⊂ XY , sehingga (XPY).

Bertentangan dengan ~(XPY). Ini berarti ~(XPZ) sehingga haruslah (APZ). Jadi

Z∈P/A dan terbukti bahwa XY ⊂ P/A.

Teorema 10

Tiap ruas garis adalah konveks.

Bukti:

Gambar 11

Perhatikan AB menurut teorema 7, akibat 4, diperoleh

(1). AB = AB ∪ {B} ∪ B/A

(2). BA = BA ∪ {A} ∪ A/B

Berhubung AB = BA maka AB ⊂ AB dan pula AB ⊂ BA . Ini berarti bahwa

AB = AB ∩ BA . Ambil X ∈ AB dan Y∈ AB dengan X≠Y maka X∈AB dan

Y∈AB sehingga XY ⊂ AB . Begitu pula X ∈ BA dan Y∈ BA jadi XY ∩ AB .

Terbuktilah bahwa XY ⊂ AB = AB . Jadi AB konveks.

11. URUTAN PADA BIDANG DAN RUANG

Aksioma urutan 1-5 yang berlaku pada garis kurang mencukupi untuk bidang.

Oleh karena itu harus dilengkapi dengan aksioma 6 yang lazim digunakan

Aksioma Pasch. Aksiomanya sebagai berikut.

Aksioma 6 (Aksioma Pasch)

Andaikan g sebuah garis yang sebidang dengan titik A, B, C tetapi g tidak melalui

A, B atau C. Apabila g memotong AB maka g memotong BC atau AC tetapi tidak

dua-duanya.

Aksioma 6 juga berlaku apabila A, B,C berlainan dan segaris atau apabila C=A

atau C=B.

A B


16/44

16

Definisi

Definisi

Catatan

Setengah bidang itu serupa dengan sebuah sinar P/A. Sebab P/A={X|(XPA)}.

Jadi, himpunan semua X sehingga ruas XA memotong P.

(a) (b)

Gambar 12

Teorema 1

Apabila A∉g maka

i.

g/A ⊂gA; gA adalah bidang yang melalui g dan A

ii. g, g/A dan {A} saling lepas

iii. g/A ≠ ∅

X

Q

g

Ag/A

A X

P/A

P

Sebuah geometri insidensi yang di dalamnya telah didefinisikan konsep

urutan yang memenuhi aksioma 1-6 dinamakan geometri insidensi urutan

Jika A∉g himpunan semua titik X hingga XA memotong g dinamakan

setengah bidang yang dilambangkan dengan g/A (dibaca “g atas A”); garis

g disebut tepi setengah bidang.


17/44

17

Bukti:

Gambar 13

i.

Andaikan X∉g/A. Jadi XA memotong g di misalnya P’. Sehingga (XPA)

dan X∈PA⊂gA. Jadi g/A⊂gA.

ii. Andaikan X∉g/A dan X∉g. Jadi XA memotong g di P dan (XPA). Ini

berarti A∈ XP. Oleh karena X∈g dan P∈g maka XP∈g. Sehingga A∈g

berlawanan dengan yang diketahui bahwa A∉g. Jadi g/A∩g=∅.

Andaikan A∈g/A ini akan berarti bahwa AA memotong g. Ini tidak

mungkin sebab diketahui bahwa A∉g.

iii. Oleh karena memuat aksioma 5 ada X sehingga (APX) maka X∈g/A, di

sini P∈G.

Teorema 2

Apabila g/A memotong g/B, maka g/A=g/B.

Bukti:

Gambar 14

Andaikan C∈g/A dan C∈g/B, maka CA memotong g dan CB memotong g. A∈g/C

dan B∈g/C (C∉g sebab C∈g/A). Titik-titik A, B, dan C∈g/C sedangkan g⊂g/C.

Selanjutnya A, B, dan C tidak pada garis g, maka menurut aksioma 6, AB tidak

memotong g sebab CA dan CB memotong g.

B

g

A

C X

Xp

g

Ag/A


18/44

18

Andaikan X∈g/A. Jadi XA memotong g, menurut teorema 1. X∈g/A⊂gA=gC.

Dengan demikian titik X, A, B⊂gC dan g⊂gC dan X, A, B dan garis g. Oleh

karena XA memotong g, AB tidak memotong g maka XB memotong g. Jadi,

X∈g/B, ini berarti bahwa g/A⊂g/B. Dengan cara serupa dapat dibuktikan bahwa

g/B⊂g/A sehingga g/A=g/B.

Akibat 1

Apabila A∉g, maka hanya ada tepat satu setengah bidang dengan tepi g dan yang

memuat A.

Bukti:

Menurut teorema 1, g/A tidak hampa, jadi ada B∈g/A dan B∉g. Ini berarti AB

memotong g, sehingga A∈g/B, jadi ada setengah bidang dengan tepi g dan yang

memuat A.

Definisi

Jika A∉g, gA berarti setengah bidang bertepi g yang memuat A; gA dibaca

“setengah bidang gA”.

Akibat 2

Andaikan H setengah bidang bertepi g. Kalau A∈H maka H= gA .

H setengah bidang bertepi g dan memuat A; gA juga setengah bidang bertepi g

memuat A, menurut akibat 1 hanya ada satu setengah bidang bertepi g yang

memuat A. Jadi haruslah H=gA .

Catatan

Apabila H kita sajikan sebagai g/X kita peroleh

Jika A∈g/X maka g/X=gA .

Akibat 3

Setiap setengah bidang g/X bertepi g dapat disajikan sebagai gA .

Bukti:

g/X tidak hampa, andaikan A∈g/X jadi g/X adalah setengah bidang bertepi g yang

memuat A. Oleh karena setengah bidang ini dapat pula disajikan sebagai gA dan

setengah bidang ini tunggal maka g/X=gA .


19/44

19

Akibat 4

Jika AB memotong g dan A∉g, B∉g maka gA =g/B dan gB =g/A.

Bukti:

Gambar 15

AB memotong g dan B∉g. Ini berarti A∈g/B. Jadi gA =g/B. Begitu pula A∉g

sehingga B∈g/A sehingga gB =g/A.

Akibat 5

Jika A∉g, maka gA ⊂ gA = gA

Andaikan C∈g/A, maka gA =g/C ⊂gC=gA

12. Setengah Bidang yang Berhadapan

Seperti pada setengah garis yang berlawanan (arah), pada setengah bidang ada

pula pengertian sepasang setengah bidang yang berhadapan.

Definisi

= g/B

B

g

A

= g/A

Dua setengah bidang S dan S’ dinamakan berhadapan apabila S dan S’

memiliki tepi yang sama sedangkan tiap titik S dapat dihubungkan dengan

tiap titik S’ oleh sebuah ruas garis yang memotong g.


20/44

20

Teorema 3

Andaikan S dan S’ dua setengah bidang yang bertepi g. Andaikan titik A∈S danB∈S’ sehingga AB memotong g, maka tiap ruas garis yang menghubungkan

sebuah titik di S dengan sebuah titik di S’ akan memotong g.

Bukti:

Andaikan titik X∈S, titik Y∈S’ kita akan membuktikan XY memotong g. Oleh

karena A∈S, B∈S’ maka

1). S = gX = gA

2).

S′ = gY = gB

Kita peroleh berturut-turut gA = g/B. Jadi, gX = g/B, sehingga gB = g/X dan

gY = g/X. Ini berarti Y∈g/X yang mengakibatkan bahwa XY memotong g.

Menurut definisi S dan S’ dua setengah bidang yang berhadapan.

Gambar 16

13. PEMISAHAN BIDANG

Andaikan g sebuah garis; g memisah sebuah himpunan titik-titik B menjadi dua

himpunan S dan S’, apabila syarat-syarat berikut telah dipenuhi:

(i) B = S S’ g.

(ii) Tiap ruas garis yang menghubungkan sebuah titik di S dan sebuah titik

di S’ memotong g.

(iii) Tiap ruas garis yang menghubungkan dua titik di S atau dua titik di S’

tidak memotong g.

=

Y

B

g

A

X

=


21/44

21

(iv) S, S’ dan g saling lepas.

Teorema 4

Andaikan titik A, B V dan garis g V (V bidang); A g, B g. Andaikan

AB memotong g, maka g memisah bidang V menjadi setengah bidang g/A dan

g/B.

Bukti:

Jelas g/A dan g/B tidak kosong menurut definisi pemisahan. Yang harus

dibuktikan adalah ;

(i) V = g/A g g/B

(ii) Jika X g/A dan Y g/B maka XY memotong g

(iii) Jika X g/A dan Y g/B atau X g/B, Y g/B maka XY tidak

memotong g

(iv) g/A, g/B, dan g himpunan lepas.

Gambar 17

Bukti (i)

Andaikan S= g/A g g/B . oleh karena A V, B V, dan g V sedangkan A

g, B g maka:

V gb B g V gA A g /;/

g/A

X

g/B

V

BA

g


22/44

22

Jadi

V B g g A g S //

Sebaliknya andaikan X V. Kalau X g jelas X V. Ambillah X g, maka A

g, B g, Xg;g V, A V, B V, X V. Oleh karena AB memotong g

maka g memotong AX atau BX , tetapi tidak dua-duanya. Ini berarti X g/A

atau X g/B, sehingga X g/A g/B. jadi X S. dengan demikian maka V

S. Sehingga V=S.

Bukti (ii)

Oleh karena AB memotong g, A g, B g maka g/A dan g/B dua setengah

bidang yang berhadapan, sehingga tiap ruas garis yang menghubungkan sebuah

titik X di g/A dan sebuah titik Y di g/B akan memotong g menurut teorema 3.

Bukti (iii)

Andaikan X g/A, Y g/A dan andaikan XY memotong g. jadi g/A berhadapan

g/A. ini tak mungkin berdasarkan sifat.

Bukti (iv)

Menurut teorema 1; g, g/A, g dan g/B adalah himpunan yang saling lepas.

Menurut (ii) g/A dn g/B dua setengah bidang yang berhadapan. Jadi saling lepas.

Akibat 1

Teorema di atas berlaku pula apabila g/A diganti gA dan g/B diganti dengan gB

Bukti:

Memotong g dan A g, B g, maka g/A, g/B = gA

maka g/A = gB , g/B = gA


23/44

23

Akibat 2

Andaikan garis g pada bidang V, maka g memisah V menjadi dua himpunan

secara tunggal; kedua himpunan ini adalah setengah bidang dengan tepi g.

Bukti

Andaikan g memisah V menjadi himpunan S dan S’ menurut definisi:

V = S S’ g.

Himpunan pada ruas kanan saling lepas dan tak hampa. Andaikan titik A S dan

B S’; maka AB memotong g dan g memisah Y menjadi gA dan gB .

Andaikan X S. Oleh karena B S’, maka memotong g, sehingga X gB . jadi

X gA . ini berarti S. Ambil sebarang X gA , sehingga XA tidak memotong g;

oleh karena B S’ dan A S maka AB memotong g, sehingga XB memotong g.

jadi X S. ini berarti gA S. Jadi S = gA .

14. Kekonveksan Setengah Bidang

Teroema 5

Tiap setengah bidang adalah konveks.

Bukti:

Bukti ini mirip dengan bukti kekonveksan setengah garis atau sinar. Perhatikang/A. Andaikan X g/A, Y g/A dan X Y. kita akan membuktikan XY g/A.

ambil Z XY . Kita gunakan Aksioma Pasch, jelas A,X,Y terletak pada bidang

g/A sedangkan A g, Xg, Yg. Oleh karena g memotong XA dan YA . Maka g

tidak memotong XY .


24/44

24

Gambar 18

Perhatikan g, A, X, Z terletak pada bidang gA, sedangkan A g, X g, Z g.

Oleh karena g memotong AX maka g memotong AZ atau XZ tetapi tidak dua-

duanya. Andaikan memotong XZ , oleh karena XZ XY , ini akan

mengakibatkan bahwa g memotong XY, ini tak mungkin. Jadi haruslah g

memotong AZ , jadi Z

g/A. Ini berarti XY

g/A.

Kalau ada setengah bidang mungkinkah ada setengah bidang yang berhadapan

sebanyak lebih dari satu? Ternyata dalam uraian dibawah ini, bahwa setengah

bidang demikian adalah tunggal. Intuk membuktikan teroema ini, diperlukan

terlebih dahulu dua dalil bantu atau lemma

Dalil Bantu 1

Jika P g, maka PA gA , asal saja Ag.

Bukti

Andaikan X PA , maka X gA =g/A g gA . jika X g/A maka XA

memotong g, misalnya Q. Jadi Q XA PA , sehingga Q P.

X

Y

A

Z

g


25/44

25

Gambar 19

Ini berarti bahwa g memotong PA di P dan Q. Jadi g = PA sehingga A g.

Bertentangan dengan yang diketahui bahwa A g.

Andaikan X g. Ini berarti bahwa PA memotong g di dua titik, yaitu di P dan X

dengan X P. Tak mungkin sebab akan diperoleh lagi. Jadi haruslah X gA dan

PA gA .

Dalil Bantu 2

Tiap setengah bidang termuat dalam bidang tunggal.

Bukti:

Perhatikan setengah bidang gA . Telah kita buktikan bahwa gA gA. Untuk

membuktikan bahwa gA adalah satu-satunya bidang yang memuat gA , kita

cukup membuktikan bahwa gA memuat tiga titik tak segaris. Andaikan P g, Q

g dan P Q. Menurut dalil bantu 1 gA PA dan gA QA

Andaikan R PA , S QA maka R gA , S gA dan A gA . Ketiga titik R,

S, A berlainan dan segaris.

AQP

X

g


26/44

26

Teorema 6

Tiap setengah bidang tepinya tunggal.

Bukti:

Andaikan setengah bidang memiliki dua tepi g dan g’. Akan kita buktikan bahwa

g = g’. Andaikan g g’. Andaikan A H, maka H = gA = g, maka pula gA

gA, gA g’A. Sehingga gA g’A. Berhubung g g’, maka ada P sehingga P

g dan P g’ sehingga P gA = g’A = g’/A g’

Andaikan P gA . jadi P gA . ini tak mungkin sebab P g dan g dan gA

saling lepas. Oleh karena P g’ maka haruslah P A g . Ini mengakibatkan PA

memotong g’, misalnya di Q sehingga Q PA gA = A g . oleh karena Q g’,

maka hal ini berlawanan dengan sifat bahwa g’ dan A g saling lepas. Jadi

haruslah g = g’.

Teorema 7

Tiap setengah bidang meiliki setengah bidang yang berhadapan yang tunggal.

Bukti:

Perhatikan setengah bidang gA . telah kita buktikan bahwa gA dan gA

berhadapan. Andaikan H berhadapan dengan gA . Akan kita buktikan H = gA

menurut definisi bidang yang berhadapan H dan gA bertepi yang sama sedangkan

g tepi tunggal dari gA . Jadi g tepi bersama H dan gA dan satu-satunya tepi.

Andaikan B H. Oleh karena A gA , maka meotong g, jadi B g/A, sehingga

H g/A. Andaikan sekarang C g/A. Oleh karena memotong g, A gA dan H

dan gA berhadapan, maka C H, jadi g/A H sehingga H = g/A.

Untuk memperluas konsep urutan ke ruang, kita perlu memperluas Aksioma

Pasch ke ruang. Perluasan ini dituangkan dalam teorema berikut:


27/44

27

Teorema 8

Andaikan V sebuah bidang. Apabila A, B, C titik-titik yang tidak pada bidang V

dan apabila V memotong AB maka V memotong BC atau AC , tetapi tidak

memotong keduanya.

Bukti:

Kita akan menggunakan aksioma U6. kita membuat bidang W yang memuat A, B,

dan C. Dari yang diketahui A B. Apabila C AB bidang W tersebut melalui A,

B, C yang tak segaris, sehingga dengan demikian W itu tunggal. Kalau C AB

maka A, B, C yang tak segaris. Dalam hal ini kita ambil titik D V dan yang

tidak pada AB. Kita ambil titik W memuat A, B, C dan W V. Oleh karena AB

W, W memotong V sepanjang garis g. Jadi A, B, C dan g terletak pada W dan

A, B, C tidak pada g oleh karena g V. Selanjutnya g memotong AB menurut

U6, maka g memotong BC atau AC , tetapi tidak dua-duanya. Ini berarti kalau V

memotong AB maka V memotong BC atau AC tetapi tidak dua-duanya. Seperti

halnya ada sinar atau setengah garis dan setengah bidang, kita dapat

mendefinisikan konsep setengah ruang berikut:

Definisi

Andaikan V sebuah bidang yang tidak memuat titik A. Dengan V/A

dimaksud himpunan semua titik X (dalam ruang), sehingga memotong V.

(V/A dibaca sebagai V atas A). Jadi V/A = V memotong XA X . V/A

dinamakan setengah ruang dan V dinamakan tepi setengah ruang itu.


28/44

28

URUTAN SINAR DAN SUDUT

KONSEP SUDUT

Sisi Garis

Pengertian sudut menyangkut berbagai konsep yaitu:

a. Sebuah gambar yang terdiri atas dua garis

b.

Daerah pada bidang yang dibatasi oleh dua garis yang berpotongan

c. Sebuah ukuran yang dinyatakan dengan bilangan real yang

menggambarkan selisih arah dua garis yang berpotongan.

Secara kasar, konsep yang pertama menyangkut gambar dimensi satu; yang

kedua menyangkut daerah dalam sebuah sudut (interior) sedangkan yang

ketiga menyangkut ukuran sudut.

Sebelum kita meningkat ke pengertian dan definisi sudut, terlebih dahulu kita

akan memperdalam sifat setengah bidang.

Definisi.

Setengah bidang dengan tepi g disebut sebuah sisi dari g. Dua setengah bidang

yang berhadapan dengan sisi g dinamakn sisi yang berhadapan. Dua titik atau

dua himpunan titik dikatakn terletak pada sisi g yang sama apabila mereka

terletak pada setengah bidang bertepi g yang sama, mereka terletak pada sisi g

yang berhadapan apabila mereka terletak pada dua setengah bidang bertepi g

yang berhadapan.

Oleh karena itu setiap titik yang tidak pada g terletak pada tepat satu setengah

bidang g, sedangkan setiap setengah bidang bertepi g memiliki setengah

tunggal yang berhadapan, dapatlah kita menarik kesimpulan sifat berikut

(ingat Aksioma Pasch).

a.

Andaikan titik A dan B terletak pada sisi g yang sama dan B dan C pada

sisi g yang sama maka A dan C juga pada sisi yang sama.


29/44

29

b. Andaikan A dan B pada sisi g yang sama dan B dan C pada sisi g yang

berhadapan maka A dan C terletak pada sisi g yang berhadapan.

c. Andaikan A dan B terletak pada sisi g yang berhadapan dan B dan C

terletak pada sisi g yang berhadapan, maka A dan C terletak pada sisi g

yang sama.

Teorema : 1. Dua titik yang berbeda terletak pada sisi garis g yang sama jika

dan hanya jika:

1.

kedua titik itu sebidang dengan g

2.

tidak terletak pada g, dan

3. ruas garis yang menghubungkan kedua titik itu tidak

memotong g.

Bukti :

Andaikan A dan B dua titik

yang berbeda dan yang terletak pada sisi g yang sama. Jadi ada

setengah bidang g/x

Gambar 20

Sehingga A g/x dan B g/x. jadi A X memotong g dan B X

memotong g. oleh karena g/x gx maka A, B, X dan g terletak

pada bidang gX. Berhubung A, B, X tidak pada g kita dapat

menggunakan aksioma Pasch. Maka AB tidak memotong g.

Sebaliknya: andaikan A, B, g sebidang dan A, B g; sedangkan

AB tidak memotong g. Andaikan X gA; sehingga A X

memotong g. Oleh karena g/A gA maka X,A,B,g terletak pada

bidang gA. Berhubung A, B, X tidak pada g kita dapat

x

g

A

B


30/44

30

menggunakan Aksioma Pasch. Jadi B X memotong g. Ini berarti

bahwa B

g/X dan A

g?X. jadi menurut ketentuan, titik A dantitik B terletak pada sisi g yang sama.

Teorema : 2. Dua titik yang berbeda terletak pada dua sisi garis g yang

berhadapan jika dan hanya jika dua titik itu tidak terletak pada g dan ruas garis

kedua titik tersebut memotong g.

Bukti :

1.

Andaikan A dan B terletak pada dua sisi garis g yang berhadapan.

Andaikan A g/X dan B g/Y; g/X dan g/Y adalah dua setengah

bidang bertepi g yang berhadapan. Jadi A dab B tidak terletak pada g

dan AB memotong g.

2. Andaikan A g dan B g sedangkan AB meotong g. Oleh karena

A gA dan B gB , maka gA dan gB adalah dua setengah bidang

bertepi g yang berhadapan. Jadi A dan B terletak pada dua sisi g yang

berhadapan.

Teorema : 3. Jika P g dan Ag maka P/A g/A dan PA gA

Bukti :

Gambar 21

AB P

g

X


31/44

31

1. Andaikan X P/A maka (XPA) dan P XA ; jadi XA memotong g di P.

Ini berarti bahwa X g/A, sehingga P/A g/A.

2. Ada B sehingga (BPA). Ini mengakibatkan bahwa PA = P/B. Oleh karena

B g/A maka gA = g/B. Berhubung P/B g/B, maka PA = P/B g/B=

gA , sehingga PA gA .

Teorema Akibat 1.

Andaikan Pg dan Ag maka

1. semua titik pada PA pA terletak pada sisi g yang sama dengan A.

2. semua titik pada pa yang terletak pada sisi g yang berhadapan dengan sisi

g tempat letaknya.

Bukti :

1. PA gA

2. P/A g/A, sedangkan g/A dan gA sisi-sisi yang berhadapan.

Teorema Akibat 2

Jika Pg dan Ag maka semua titik ruas PA terletak pada sisi g yang sama

dengan A.

Bukti :

Berhubung PA PA terbuktilah sifat.

Teorema Akibat 3 :

Jika P g dan Ag maka PA (P/A)kedua atau semua titik pada PA yang

terletak pada sisi g yang saa (berhadapan) dengan A dan sebaliknya.

Bukti :

Kita buktikan untuk sinar PA , berdasarkan teorema akibat 1, tiap titik

Paterletak pada sisi g yang sama dengan sisi letaknya titik A. Titik-titik ini


32/44

32

terletak pada PA, sebab PA PA. Sebaliknya, andaikan XPA dan X

terletak pada sisi g yang sama dengan sisi tempat letaknya A.

Berhubung PA = P/A {P} PA dan andaikan X P/A, menurut teorema

akibat 1, X akan terletak pada sisi g yang berhadapan dengan sisi g tempat

letaknya titik A. Ini tak mungkin. Begitu pula X{P}, sehingga haruslah X

PA .

Kedudukan Antar Sinar

Pengertian ke-antara-an titik dapat diperluas ke pengertian ke-antara-an sinar

Gambar 22

Definisi:

Andaikan OC danOBOA ,, tiga sinar yang berpangkalan sama di titik O.

Andaikan OC danOA, berlainan dan tidak berlawanan (gambar diatas)

Andaikan ada titik A1,B1, dan C1 sehingga A1 OA , B1OB , C1OC dan

andaikan (A1,B1,C1)maka dikatakan bahwa sinar OB terletak antara OC danOA, .

Ditulis ( OC OBOA )

B

A’

A

C’ C

O


33/44

33

Catatan:

Persyaratan bahwa OC danOA harus berlainan dan tidak berlawanan arah, adalah

untuk menjamin sinar-sinar dalam suatu relasi antara, agar sinar-sinar itu

berlainan.

Pernyataan itu dapat pula dituangkan dalam bentuk yang setara sebagai berikut:

1. O, A, C berlainan dan tidak kolinear

2.

OAC

3.

OC danOA tak kolinear

dari definisi tersebut kita dapat enjabarkan beberapa teorema mengenai ke-

antara-an sinar-sinar.

Teorema 4:

( OC OBOA ) mengakibatkan ( OAOBOC )

Teorema 5 :

( OC OBOA ) mengakibatkan bahwa tiap pasang sinar dalam ganda

OC OBOA ,, berlainan dan tidak berlawanan.

Bukti:

Gambar 23

B

A’

A

C’ C

O


34/44

34

Oleh karena ( OC OBOA ) , maka ada titik A1 OA , B1OB , C1OC

sehingga (A1B1C1).

Jadi OC OC OBOBOAOA 111 ,, . oleh karena OC danOA berlainan dan

tidak berlawanan arah, maka11 OC danOA berlainan dan tidak berlawanan

arah. Sehingga OA1C1;(A1B1C1) mengakibatkan A1B1 = A1C1.

Jadi O A1B1 ini berarti 11 OBdanOA berlainan dan tidak berlawanan arah.

Begitu pula OBdanOA dan . dengan jalan serupa OC danOB berlainan dan

tidak berlawanan arah (gambar 4).

Teorema 6:

( OC OBOA ) mengakibatkan,

1.

A, B terletak pada sisi OC yang sama

2. B, C terletak pada sisi OA yang sama

3.

A, C terletak pada sisi OB yang berhadapan.

Bukti:

Berhubung ( OC OBOA ) maka ada A1 OA , B1OB , C1OC sehingga

(A1B1C1). Menurut teorema 5, OC danOA berlainan dan tidak berlawanan

arah. Sehingga O, A1C tidak segaris dan AOC. Oleh karena A1OA ini

berarti bahwa A1 dan A terletak pada sisi OC yang sama (teorea akibat 1).

Begitu pula B1 Dan B terletak pada sisi OC yang sama. Oleh karena B1 11C A

maka A1 dan B1 terletak pada sisi OC yang sama. Jadi A dan B terletak pada

sisi OC yang sama. Dengan jalan yang serupa dapat dibuktikan bahwa B dan

C terletak pada sisi OA yang sama. Dengan demikian terbuktilah bagian (1)

dan (2) teorema 6.

Untuk membuktikan bagian (3), perhatikan bahwa dengan cara yang serupa

dapat ditarik kesimpulan bahwa A1 dan A terletak pada sisi OB yang sama,


35/44

35

begitu pula C1 Dan C terletak pada sisi OB yang sama. Oleh karena A1C1

memotong OB di B, maka A1 dan C1 terletak pada sisi OB yang berhadapan.

Jadi A dan C terletak pada sisi OB yang berhadapan. Dengan demikian

terbuktilah bagian (3).

Teorema Akibat:

Andaikan ( OC OBOA ) maka

1. Tiap titik OA dan OB terletak pada sisi OC yang sama

2. Tiap titik OB dan OC terletak pada sisi OA yang sama

3. Tiap titik OA dan OC terletak pada sisi OB yang berhadapan.

Teorema 7:

Andaikan ( OC OBOA ) dan A1 OA , C1OC maka OB memotong 11C A .

Bukti :

Berdasarkan teorema akibat di atas, dapat ditarik kesimpulan bahwa A1 dan B1

terletak pada sisi OC yang sama. Sedangkan A1 dan B terletak pada sisi OC

yang sama pula. Sehingga B1 dan B terletak pada sisi OC yang sama. Oleh

karena B1 OB maka B1OC . Jadi OB memotong 11C A

Catatan:

Dari teorema 7 di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa tiap ruas garis yang

menghubungkan sebuah titik OA dengan sebuah titik OC akan memotong

OB .

Hubungan Antara Urutan Titik dan Urutan Sinar

Dengan menggunakan teorema 7 diatas, kita dapat memperluas sifat ke-antara-an

titik ke sifat ke-antara-an sinar.untuk ini pilihlah dua sinar OA dan OB yang

berbeda dan tidak berlawanan arah (gambar 5).


36/44

36

Gambar 24

Padankan pada setiap titik X AB suatu sinar OX . Dengan demikian terdapatlah

suatu padanan satu-satu antara himpunan titik-titik pada AB dan himpunan sinar

antara OA dan OB . Sebuah relasi urutan (PQR) untuk tiga titik pada AB

menimbulkan sebuah relasi ( OROQOP ) untuk sinar yang bersangkutan.

Hubungan titik sinar ini, atau X OX adalah sebuah keisomorfan

antara AB , dianggap sebagai himpunan titik terurut pada AB dan himpunan sinar

antara OA dan OB yang ada aturan urutan.

Oleh karena keisomorfan inilah kita dapat enterjemahkan banyak teorema yang

berlaku dalam himpunan titik, menjadi teorea yang berlaku dalam kehidupan sinar

yang terurut.

Teorema 8:

( OC OBOA ) mengakibatkan ~ ( OAOC OB ).

Bukti :

(gambar 5) Menurut definisi ada A1 OA , B1OB , C1OC sehingga (A1B1C1).

Andaikan ( OAOC OB ) menurut teorema 7, 11 A B memotong disebuah titik,

yaitu C1; jadi C1 11 A B sehingga (B1C1 A1). Akan tetapi (A1B1C1)

P Q R

BA

O


37/44

37

mengakibatkan ~(B1C1 A1) . jadi pengandaian bahwa berlaku ( OAOC OB ) tidak

benar. Atau berlakulah hubungan ~ ( OAOC OB ).

Catatan:

Bandingkan teorema ini dengan teorema titik, yaitu bahwa (ABC) mengakibatkan

~(BCA).

Teorema Akibat:

Andaikan diketahui (abc) di sini a, b, c melukiskan sinar yang sepangkal, makaakan berlaku (cba) dan (bca) , (bac), (acb), (cab) tidak benar, dengan kata lain ~

(bca) , ~ (bac), ~ (acb), ~ (cab).

Bukti :

Kita tahu bahwa (abc) mengakibatkan (cba) juga (abc), (cba) mengakibatkan ~

(bca) , ~ (bac), masing-masing. Andaikan (acb),maka (bca) ; ini tak mungkin

sebab (abc) Jadi haruslah ~ (acb). Andaikan (cab) maka ~ (abc). Padahal diketahui

(abc). Jadi pengandaian (cab) tidak benar. Ini berarti haruslah ~ (cab).

Teorema 9:

( OC OBOA ) dan ( ODOC OA ) mengakibatkan ( ODOBOA ) dan ( ODOC OB ).

Bukti : (lihat gambar 6)

Gambar 25

B’ C’

DA

O

B C


38/44

38

Dari ( ODOC OA ) dapat kita tarik kesimpulan bahwa OC memotong AD

disebuah titik misalnya di C1. Jadi berlakulah (AC1D). Begitu pula ( OC OBOA )

dan C1 mengakibatkan bahwa OB memotong AC1, misalnya titik B1 sehingga

(AB1C1). Jadi (AB1C1), (AC1D) mengakibatkan (AB1D) dan (B1C1D1) oleh karena

O AD maka (AB1D) mengakibatkan ( ODOBOA ). Begitu juga (B1C1D)

mengakibatkan ( ODOC OB ).

Catatan:

1. tidak sama sifat urutan untuk titik berlaku untuk sinar, misalnya untuk titik

berlaku sifat : Apabila diketahui (ABD) dan (BCD), maka (ABD)

ditetapkan pada sinar, kita akan memperoleh: apabila (abc) dan (bcd) maka

(abd). Sifat ini tidak benar.

2. Walaupun teori mengenai urutan sinar berpangkal pada teori urutan titik,

namun kedua teori itu tidak sama.disamping contoh di atas ada pula

teorema urutan untuk sinar, yang tidak ada teorema serupa untuk titik.

BEBERAPA SIFAT SUDUT YANG SEDERHANA

Teorema 10:

Apabila ( OC OBOA ) maka ( OAOC OB ); AO adalah sinar yang berlawanan

arah dengan OA .

Gambar 26

AA’

B

C’

C

O


39/44

39

Bukti:

Oleh karena AO sinar yang berlawanan arah dengan sinar , maka (AOA’)

mengakibatkan bahwa A’ O/A dan A’ letaknya pada sisi garis OC yang

berhadapan dengan sisi tempat letaknya sisi A

Oleh karena A dan B letaknya pada sisi OC yang sama, maka B dan A’ terletak

pada sisi OC yang berhadapan. Jadi BA’ memotong OC di sebuah titik, misalnya

C1. untuk menentukan letaknya titik C1, perhatikanlah terlebih dahulu kedudukan

B dan C. Kedua titik ini terletak pada sisi OA yang sama dan B dan C1, juga

terletak pada sisi OA yang sama. Jadi C dan C1 Terletak pada sisi OA yang sama

pula sehingga C1 OC .

Oleh karena berlainan dan tidak berlawanan arah, maka berlainan dan tidak

berlawanan arah. Jadi (BC1A’) mengakibatkan ( OAOC OB ).

Teorema akibat:

( OAOC OB ) mengakibatkan ( OC OBOA ) , dengan OA sinar yang berlawanan

arah dengan AO

Bukti:

Kita tahu bahwa ( OAOC OB ) mengakibatkan ( OBOC OA' ). Oleh karena (

OBOC OA' ) mengakibatkan ( OAOBOC ' ) maka ( OC OAOB ' ) mengakibatkan (

OC OBOA ).

Teorema 11:

Andaikan titik B dan titik C terletak pada sisi OA yang berhadapan; andaikan AO

berlawanan arah dengan OA , maka berlakulah ( OC OAOB ) dan ( OC OAOB ' )

atau OB dan OC berlawanan arah.


40/44

40

Bukti

Teorema berlaku apabila OB dan OC berlawanan arah. Andaikan sekarang OB

dan OC tidak berlawanan arah.

Jelas OB OC . oleh karena OA dan AO berlawanan arah, maka (AOA’).

Himpunan titik pada garis OA dapat disajikan sebagai gabungan berbagai

himpunan, yaitu

OA’ = AA’ = OA OA’ {O}

Oleh karena B dan C pada sisi OA yang berhadapan, maka BC memotong OA.

dari gabungan himpunan diatas, dapat kita tarik kesimpulan bahwa:

a. BC memotong OA

b. BC memotong 'OA , atau

c. BC {O}

Kalau yang berlaku (a), maka ini berarti bahwa ( OC OAOB ). Kalau yang berlaku

(b), maka akan berlaku ( OC OAOB ' ). Apabila (c) yang berlaku maka (BOC). Ini

berarti bahwa OB dan OC berlawanan arah yang bertentangan dengan

pengumpamaan kita.

Teorema berikut berlaku hanya dalam suatu geometri insidensi terurut yang afin.

Jadi dalam geometri ini berlaku konsep kesejajaran 2 garis yang memenuhi

aksioma kesejajaran bentuk playfair, yaitu bahwa :

Melalui sebuah titik T diluar sebuah garis g hanya ada satu garis yang sejajar

dengan garis g itu.

Teorema 12:

Apabila AB//DC dan AD//BC maka AC memotong BD .

Bukti:


41/44

41

Oleh karena AB//DC maka titik A,B,C dan D terletak pada satu bidnag dan AB

tidak memotong DC. Jadi C,D terletak pada satu sisi AB. Begitu pula B dan C

terletak pada sisi yang sama garis AD. Sehingga ( AD AC AB ). Sehingga AC

memotong BD dan pula BD memotong AC . Oleh karena AC BD, ini

engakibatkan bahwa AC memotong BD .

Definisi:

Andaikan ada tiga titik O, A, B yang berlainan dan tidak segaris himpunan titik

}{OOBOA

Disebut sudut dan ditulis sebagai AOB. Jadi,

AOB = }{OOBOA

Sinar OA dan OB dinamakan sisi sudut dan O dinamakan titik sudut.

Akibat:

1. Dari definisi diatas mudah dilihat bahwaAOB = BOA dan AOB

AOB; disini AOB menggambarkan bidang yang melalui A, O, dan B.

2.

Sebuah sudut adalah himpunan titik yang terletak pada sebuah bidang

tungga.

3. Apabila OA dan OB berlainan dan tidak berlawanan arah dan apabila A’

OA, B’ OB maka AOB = A’OB’.

Definisi:

Daerah dalam sebuah AOB, yang dilambangkan dengan D ( AOB) adalah

himpunan titik X sehingga OX antara OA dan OB .

Dengan rumus : D ( AOB) = {X (OA OB OX )}


42/44


43/44

43

Teorema 13:

Dua garis yang berpotongan membentuk tepat empat buah sudut.

Gambar 28

Bukti:

Andaikan l dan m berpotongan di P dan lm. Ambil A, A’ l, sehingga (APA’)

dan B, B’ e m sehingga (BPB’) maka A, P, B, tidak segaris.

Jadi PA dan PB berlainan dan tidak berlawanan arah. Jadi ada sudut APB yang

digabungkan oleh l dan m. Begitu pula ada sudut APB’, A’PB, A’PB’ .

akan dibuktikan bahwa keempat sudut tersebut semua berlainan.

Andaikan APB = APB’, maka : (1) B APB’ = PA {P} PB’

B PA ini disebabkan A, P, B tidak segaris sedangkan B P berhubung (BPB’).

Juga B PB’ oleh karena berlawanan arah, jadi saling lepas. Jadi (1) tak benar

sehingga berlaku APB APB’. Begitu pula dengan cara yang serupa sudut-

sudut yang lain juga berlainan semuanya.

Andaikan ada CPD yang dibentuk oleh PC l dan PD m. Andaikan dan.

A

A’

B

B’

P


44/44

Jadi:

'}{ PA P PAl C

Ini berarti C PA atau C ' PA ; jadi PC = PA atau PC = ' PA . begitu pula PD

= PB atau PD = ' PB hingga CPD adalah salah satu dari APB, APB’,

A’PB, A’PB’.

kelompok 2--geometri terurut.pdf

Documents