geometri -...

BUKU AJAR

GEOMETRI

PenulisDra. Kusni, M.Si

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MIPA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2008

2

KATA PENGANTAR

Pada buku ajar ini dimulai dengan kongruensi,dilanjutkan dengan sifat-sifat segiempat, luas, teorema Pythagoras,Perbandingan sehargagaris,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran.Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiriadalah merupakan materi dasar yang digunakan pada materi yang lainnya.Contoh : kalkulus..

Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini pesertapelatihan diharapkan :

1. Memahami konsep Geometri2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat Geometri3. Mampu mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas Geometri4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan Geometri

Dengan segala keterbatasannya, penulis tetap berharap buku ajar inidapat bermanfaat. Lebih dari itu, buku ajar ini diharapkan dapat digunakansebagai bahan diskusi.

Semoga Allah melipat gandakan amal baik kita semua.

3

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN SAMPUL …... ………………………………………………………….. 1HALAMAN FRANCIS ………………………………………………………………. 2KATA PENGANTAR …………………………………………………………………. 3DAFTAR ISI …………………………………………………………………………. 4PETA KOMPETENSI ………………………………………………………………. 6

BAB I PENDAHULUAN ……………………………………………………………. 7A. DeskripsiB. PrasyaratC. Petunjuk BelajarD. Kompetensi dan Indikator

BAB II SAMA DAN SEBANGUN PADA SEGITIGA ……………………………… 9A. Kompetensi dan IndikatorB. Uraian MateriC. LatihanD. Lembar Kegiatan MahsiswaE. RangkumanF. Tes Formatif

BAB III SEGI EMPAT ………………………………………………………………. 15A. Kompetensi dan IndikatorB. Uraian MateriC. LatihanD. Lembar kegiatan MahsiswaE. RangkumanF. Tes Formatif

BAB IV PERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN …………….. 29A. Kompetensi dan IndikatorB. Uraian MateriC. LatihanD. Lembar Kegiatan MahsiswaE. RangkumanF. Tes Formatif

BAB V BEBERAPA TEOREMA PADA SEGITIGA ……………………………… 38A. Kompetensi dan IndikatorB. Uraian MateriC. LatihanD. Lembar Kegiatan MahsiswaE. Rangkuman

4

F. Tes Formatif

BAB VI BEBERAPA TEOREMA PADA LINGKARAN …………………………… 41A. Kompetensi dan IndikatorB. Uraian MateriC. LatihanD. Lembar Kegiatan MahsiswaE. RangkumanF. Tes Formatif

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF ………………………………………………. 54GLOSARIUM …………………………………………………………………………56DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………………. 57

5

PETA KOMPETENSI BUKU AJAR

SAMA DAN SEBANGUN SEGI EMPATKONGRUENSI * SIFAT

* LUAS

TEOREMA PERBANDINGAN SEHARGA PYTHAGORASMENELAOS GARISCEVA KESEBANGUNAN

TEOREMA PROYEKSI

STEWART

TEO. GARIS ISTIMEWAPADA SEGITIGA

TEOREMA PADALINGKARAN

6

BAB IPENDAHULUAN

Deskripsi

Geometri adalah struktur matematika yang membicarakan unsure danrelasi yang ada diantara unsure tersebut. Titik, garis, bidang, dan ruangmerupakan benda abtra yang menjadi unsure dasar geometri. Berdasarkanunsur-unsur inilah,didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar padapengertian bru sebelumnya.

Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitu sifat-sifat pertamayang tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaitu aksioma danpostulat.Berdasarkan sifat pokok tersebut dapat diturunkan sifat-sifat yangdisebut teorema. Teorema tersebut dapat juga dibentuk berdasarkan teoremayang ada sebelumnya.

Pada buku ajar ini dimulai dengan kongruensi,dilanjutkan dengan sifat-sifat segiempat, luas, teorema Pythagoras,Perbandingan sehargagaris,sebangun,teorema pda garis istimewa pada segitiga,dan lingkaran.Penulisan buku ajar ini dimulai dari hal yang paling dasar. Geometri sendiriadalah merupakan materi dasar yang digunakan pada materi yang lainnya.Contoh : kalkulus.

Kompetensi yang akan dicapai setelah mempelajari buku ajar ini pesertapelatihan diharapkan :

1. Memahami konsep geometri2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri3. Mampu mandiri dalam menyelesaikn tugas-tugas geometri4. Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri.

Prasyarat

Pada buku ajar Geometri tidak diperlukan prasyarat, karena dapatdikatakan bahwa geometri adalah materi dasar, sehingga dibutuhkan padamateri lain.

Petunjuk Belajar

Mempelajari geometri berarti harus menggambar dan menyelesaikan soal.Pada saat menggambar yang harus diperhatikan adalah ;

1. Jika gambar itu tidak menolong penyelesaian, maka umumnya tidak perlumenggambar

2. Bila dijumpai banyak pertanyaan pada suatu soal, maka seringkali gambaritu penuh dengan banyak garis, sehingga tidak lagi mempermudah

7

penyelesaan soal. Sebaiknya, apabila gambar itu sudah penuh, dibuatgambar lain, kalau perlu untuk setiap pertanyaan satu gambar saja.

Pada saat menyelesaikan persoalan :1. Soal geometri perlu diselesaikan secara pasti. Oleh karena itu perlu

mengenal teorema-teorema yang dapat digunakan sebagai pijakan.Jangan ingin menyelesaikan geometri hanya dengan “mengarang”.

2. Geometri hanya dapat dipelajari secara intensif, jika bangun yang kitatinjau itu kita selidiki sendiri.

Kompetensi dan Indikator

Kompetensi :1. Memahami konsep geometri2. Mampu menggunakan dan menerapkan sifat-sifat geometri3 .Mampu mandiri dalam menyelesaikan tugas-tugas geometri4 .Mampu menyelesaikan masalah yang terkait dengan geometri.

Indikator:1. Memahami tentang kongruensi dan mengembangkannya2. Memahami tentang segi empat, sifatnya,luas, dan teorema Pythagoras.3. Memahami perbandingan seharga garis-garis dan kesebangunan4. Memahami beberapa teorema pada garis-garis istimewa pada segitiga5. Memahami tentang perbandingan seharga garis dalam lingkran,lingkaran

luar dan dalam pada segitiga, segiempat talibusur dan segiempatgarissinggung

8

BAB IISAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI)

A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR

KOMPETENSI :1. Memahami konsep dan prinsip tentang kongruensi2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan kongruensi

INDIKATOR :1. Memahami tentang dua segitiga yang kongruen2. Dapat menurunkan teorema kongruensi pada teorema dasar yang lainnya.

B. URAIAN MATERISAMA DAN SEBANGUN (KONGRUENSI) PADA SEGITIGA

DEFINISIDua segitiga dikatakan sama dan sebangun ( ) atau kongruen bila segitigayang satu dapat menutupi segitiga yang lain dengan tepat atau sebaliknya.

TEOREMADua segitiga kongruen bila dua sisi dan sudut yang diapitnya sama (s.sd. s)

Diketahui: ABC dan PQRAC = PR C = RCB = PQBuktikan ABC PQRBukti:Letakkan A pada P dan C pada R.Karena C = R maka kaki CB menutupi RQDan karena CB = RQ maka B berada di Q.Jadi ABC menutupi PQR dengan tepatatau ABC PQRAkibatnya semua unsur yang seletak sama.

TEOREMA Dua segitiga kongruen bila satu sisi dan 2 sudut pada sisi iyu sama (

sd. s. sd )

x

BA

C

x

QP

R

9

Dua segitiga kongruen bila satu sisi sama, 1 sudut pada sisi itu samadan sudut di depan sisi itu sama juga ( s. sd. sd )

Dua segitiga kongruen bila ketiga sisi sama ( s.s.s)

Dua segitiga siku-siku kongruen bila hypotenusa dan 1 pasang sisisiku-siku sama.

TEOREMAPada segitiga samakaki, kedua sudut alasnya sama besar.

Diketahui : ABC samakaki. CA = CBBuktikan : A = BBukti:Tarik garis bagi CD dan tinjau ACD dan BCDAC = BC (diketahui) C1 = C2 (CD garis bagi)CD = CD (berimpit)Jadi ACD BCD (s.sd.s) ak: A = BPerhatikan semua unsur yang seletak akan samayaitu AD = BD D1 = D2 AD garis berat

Juga didapat sifat bahwa pada segitiga samakakigaris bagi itu juga menjadi garis berat (karena AD = BD )Karena D1 = D2 dan D1 + D2 = 1800 maka D1= D2 = 900.Sehingga garis bagi itu juga menjadi garis tinggi (karena D1= D2 = 900 )

KESIMPULAN:Pada samakaki, garis tinggi, garis bagi dan garis berat yang ditarik daripuncak, dan sumbu alas berimpit.

TEOREMAJika dalam suatu segitiga, ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbualas berimpit maka segitiga itu sama kaki (buktikan sendiri).

C. LATIHAN

1. Buktikan teorem berikut.Dalam segitiga siku-siku, garis berat ke sisi miring sama dengan setengansisi miring (Buat dari titik B garis // AC dan memotong perpanjangan AD diE, jika diketahui ABC siku-siku ( A = 900) dan AD garis berat ke sisimiring).

2. Buktikan bahwa T.K. titik titik yang berjarak sama ke kaki-kaki sudut,merupakan garis bagi suatu sudut.

A D B

C

21

1 2oo

10

3. Diketahui ABC. AD garis berat. E pada perpanjangan AD sehinggaBEAD. F pada AD sehingga CF AD. Buktikan CE = BF

4. Diketahui ABC samakaki. M sembarang pada alas AB garis g dan hadalah sumbu AM dan BM. Garis g memotong AC di K, garis kmemotong BC di L. Buktikan AK=CL.

5. Diketahui ABC, A = 600, AD garis bagi, E dan F pada garis bagiini,sehingga CE dan BF garis bagi ini.

Buktikan : CE + BF =2

1 (AB + AC).

6. Diketahui ABC samakaki. AC = BC, D pada perpanjangan AB, E padaCD sehingga BE = DE, F pada CD sehingga AF//BE. Buktikan ACF CBE!

D. LEMBAR KEGIATAN

1.Alat dan BahanPeserta pelatihan membawa dengan lengkap alat-alat yang dibutuhkanyaitu : pinsil, bolpoint, jangka, penghapus, penggaris, penggaris siku-siku,kertas garis ,kertas gambar, buku sumber, diktat Geometri

B

A

C

F

ED

A B D

E

F

C

11

2.Keselamatan dan Kesehatan KerjaPeserta pelatihan membawa sendiri alat dan bahan dengan lengkap, tidakboleh meminjam alat dan bahan dengan peserta pelatihan yang lain,sehingga tidak mengganggu konsentrasi dan kenyamanan pesertapelatihan yang lain.

3.PrasyaratPeserta pelatihan telah menguasai tentang garis dan sudut

4.Langkah KegiatanKegiatan Awal Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungan

dengan garis dan sudut. Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan garis,melukis

garis,macam-macam sudut, dan klasifikasi segitiga ditinjau dari sisi dansudutnya(dengan menggunakan alat peraga).

Kegiatan Inti Menjelaskan definisi kongruensi dan teorema kongruensi dari dua

segitiga,dan memberikan contohnya. Menjelaskan teorema yang lain dengan menggunakan kongruensi Diskusi kelas.Kegiatan Akhir Kesimpulan Penilaian Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.5.Hasil

Peserta pelatihan memahami tentang kongruensi dua segitiga danteorema dasar tentang segitiga samakaki.

E. Rangkuman1. Dua buah segitiga disebut kongruen jika salah satu segitiga

dapatditranformasikan dengan tranlasi,releksi, atau rotasi atau ketiganyasehingga mereka dapat disusun tepat sama.

2. Untuk melihat dua segitiga kongruen cukup diselidiki salah satu dari syaratberikut :

a. Kedua segitiga mempunyai tiga pasang sisi yang sama panjang(s,s,s).

b. Kedua segitiga mempunyai dua pasang sisi sama panjang dansudut yang diapitnya sama besar (s,sd,s)

c. Kedua segitiga mempunyai dua sudut sama besar dan sisi yangdiapitnya sama panjang (sd,s,sd)

d. Kedua segitiga mempunyai satu sisi sama, sudut pada sisi itu dansudut dihadapan sisi itu sama juga.

3. Pada segitiga sama kaki mempunya sudut alas sama besar.4. Pada segitiga samakaki ketiga garis istimewa dari puncak dan sumbu alas

12

berimpit.

F. Tes Formatif 1

I. Pilih satu jawaban yang paling tepat

1. Pada ABC yang sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BE.Maka:a. AD = BEb. CD = CEc. CED = CDEd. Semua jawaban salah.

2. Pada ABC sama kaki dan alasnya AB, ditarik garis bagi AD dan BEyangberpotongan di T. Maka :a. TD TEb. AT = TBc. AT = TCd. BT = CT

3. Pada ABC samakaki. Pernyataan yang benar adalah :a. Sudut alasnya sama besarb. Hanya garis bagi dan garis berat dari puncak yang berimpitc. Hanya garis tinggi dan garis bagi dari puncak yang berimpitd. Ketiga garis istimewa dari puncak yang berimpit.

4. Pada ABC siku-siku (A = 900) ,jika panjang BC = 8 cm, maka panjanggaris berat dari A adalah :a. 8 cmb. 6 cmc. 4 cmd. 3 cm

5. Diketahui trapezium ABCD dengan AB // CD dan AD = BC. Pernyataanyang salah adalah :a. AC = BDb. A = Bc. ABC ABDd. ABP CDP ( P perpotongan AC dengan BD)

6. Segitiga ABC dan PQR adalah segitiga siku-siku, A = P = 900. JikaAB= PQ dan BC = PR, maka ABC PQR sebab komponen yang samaadalah :

13

a. (s,s,sd)b. (sd,s,s)c. (s,sd,s)d. (s,s,s)

7.Segitiga ABC siku-siku (A= 900), Jika AC = 8 cm dan C = 300, makaAB =a. 3V3 cmb. 5V3 cmc. 6V3 cmd. 7V3 cm

8.Segitiga ABC siku-siku (A= 900), Jika AC = 8 cm dan C = 300, makaBC =a. 8/3V3 cmb. 5V3 cmc. 6V3 cmd. 7V3 cm

II. Kerjakan semua soal dibawah ini :

1. Segitiga ABC siku-siku (A= 900), Jika C = 300, buktikan bahwa BC =2AB.

2. Diketahui ABC samakaki, AC = BC. Ttitik P sembarang pada alas AB. Qdan R pada BC dan AC sehingga PQ BC dan PR AC. Buktikan : PQ +PR = AS(garis tinggi ke salah satu kaki segitiga).

3. Melalui C dan B pada persegi ABCD dibuat garis yang membentuk sudut150 dengan sisi BC sehingga berpotongan dititik P. Buktikan bahwa APDadalah segitiga samasisi.

14

BAB IIISEGIEMPAT

A. KOMPETENSI DAN INDIKATOR

KOMPETENSI :1. Memahami konsep dan prinsip tentang segi empat,luas, dan teorema

Pythagoras2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan segi empat,luas,

dan teorema Pythagoras

INDIKATOR :1. Memahami tentang jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah ketupat,

layang-layang, dan trapezium.2. Memahami tentang luas jajar genjang, persegi panjang, persegi, belah

ketupat, layang-layang, dan trapezium.3. Memahami tentang teorema Pythagoras

B. URAIAN MATERI

Bila pada bidang datar terdapat 4 titik sembarang yang tidak segaris dankeempatnya dihubungkan dengan garis lurus, maka terjadilah segi empat.Ada beberapa segi empat yang akan dibicarakan, yaitu segi empatsembarang, jajar genjang, persegi panjang belah ketupat, persegi, trapesium,dan segi empat layang-layang.

Beberapa batasan:1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak

sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar.2. Jajaran genjang (paralellogram), adalah segi empat yang sepasang-

sepasang sisinya yang berhadapan sejajar.3. Persegi panjang (rectangle), adalah jajar genjang yang salah satu

sudutnya 900.4. Belah ketupat (rhombus), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang

berurutan sama panjang.5. Persegi (square), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 900.6. Trapesium (trapezoid), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang

sisi berhadapan yang sejajar.7. Segi empat layang-layang (kite), adalah segi empat yang diagonalnya

saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjangoleh yang lain.

TEOREMA

15

Dalam jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar dansebaliknya bila dalam segi empat yang berhadapan sama, segi empat ituadalah jajar genjang.

Diketahui : ABCD jajar genjang.Buktikan : A = CBukti : Tarik diagonal BD

Sebaliknya: A = C B = D A + B = C + D = 1800 atau AD // BC dan AB // DCatau ABCD jajaran genjang.

TEOREMADalam jajaran genjang, sisi yang berhadapan sama panjang dansebaliknya bila sisi-sisi yang berhadapan dalam segi empat samapanjang, maka segi empat itu adalah jajaran genjang.

Diketahui : ABCD jajaran genjang.Buktikan : AB = DC dan AD = BC.Bukti : tarik diagonal BD, maka :

Sebaliknya tetap berlaku, yaitu: ABD CDB, sebab:

A B

CD2 1

12

ABD CDB, sebab:

BDBD

BD

DB

22

11

CA

A B

CD2 1

12

ABD CDB, sebab:

22

11

BD

DB

BDBD

AB = DC dan AD = BC

16

BDBD

BCAD

CDAB

B1 = D1 AB // DC ABCD jajaran genjang. B2 = D2 AD // BC

TEOREMAKedua diagonal dalam jajaran genjang potong memotong di tengah-tengah dan sebaliknya bila dalam segi empat, kedua diagonalnyapotong memotong di tengah-tengah maka segi empat itu adlah jajarangenjang.

Diketahui : ABCD jajaran genjang. AC dan Bd berpotongan di S.Buktikan : AS = CS dan BS = DS.Buktikan : ABS CDS, sebab:

Sebaliknya: ABS dan CDS tetap sama dan sebangun, sebab:

)1.(....................//11

34

DCABCA

SS

DSBS

SCAS

CSBASD , sebab:

)2....(....................//atau22

21

BCADBD

SS

SCSA

SBSD

Dari (1) dan (2) ABCD jajaran genjang

TEOREMA

C

A B

D2 1

12

1

1

2

2

2134

S

11

11

DB

CA

DCAB

AS = SC dan BS = SD

17

Bila dalam segi empat sepasang sisi yang berhadapan sama dansejajar, maka segi empat itu adlah jajaran genjang.

Diketahui : AB // DCBuktikan : ABCD jajaran genjang.Bukti : Tarik diagonal BD

ABD CDB, sebab:

BCADDB

BDBD

DB

DCAB

//22

11

Karena sudah diketahui AB //DC, maka ABCD jajarangenjang.

Persegi panajng, adalah jajaran genajng yang salah satu sudutnya 900.

TEOREMADalam persegi panjang kedua diagonalnya sama panjang dansebaliknya bila dalam jajaran genjang kedua diagonalnya sama panjang,maka jajaran genjang itu adalah persegi panjang.

Diketahui : ABCD persegi panjang.Buktikan : AC = BDBukti : ABC BAD, sebab:

AB = AB

A = B = 900

AD = BC

AC = BD

Sebaliknya : AC = BD maka AS = SB = SD. ABS dan ADS samakaki. A1 = B1, A2 = D2 2 ( A1 + A2 ) = 1800. A1,2 = 900 ABCD persegi panjang.

Belah ketupat, adalah jajaran genjang yang 2 sisi berdekatan sama panjang.

A B

CD2 1

12

A B

CD

S

21

2

1

18

TEOREMADalam belah ketupat, diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudutnyamenjadi 2 bagian yang sama dan kedua diagonalnya itu saling tegaklurus.

Diketahui : ABCD belah ketupat.Buktikan : a. A1 = A2

b. B1 = B2c. AC BD

Bukti : ABS ADS, sebab :

AB = AD

AS = AS

BS = DS

A1 = A2 dan S1 = S2

Karena S1,2 = 1800, maka S1 = S2

= 900

AC BD

ABS CBS, sebab :

AB = CB

SB = SB

AS = SC

B1 = B2

TEOREMABila dalam jajaran genjang diagonalnya membagi sudut menjadi 2bagian yang sama, maka jajaran genjang itu adalah belah ketupat.

Diketahui : ABCD jajaran genjang dan A1 = A2Buktikan : ABCD belah ketupat.Bukti : ABC ADC, sebab :

A1 = A2

AC = AC

C1 = C2

21

21

21

A B

CD

S

A

C

B

D1

2

12

19

AB AD ABCD belah ketupat.

TEOREMABila dalam jajaran genjang, kedua diagonalnya saling tegak lurus, makajajaran genjang itu adalah belah ketupat.

Diketahui : ABCD jajaran genjang dan AC BD.Buktikan : ABCD belah ketupat.Bukti : ABS CBS, sebab:

AS = CS

S1 = S2 = 900

BS = BS

AB = CB ABCD belah ketupat

Persegi (bujur sangkar), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 900.Jadi, persegi adalah segi empat beraturan.

TEOREMAGaris yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga akansejajar dengan sisi yang ketiga dan panjangnya setengah sisi yangketiga itu.

Diketahui : ABC. Titik D dan titik E tengah-tengah AC dan BC.

Buktikan : DE // AB dan DE =2

1 AB.

Bukti : Sambung DE dengan EF = ED. Hubungkan BD dan CF dan BF.

A

C

21

B

D

S

20

DBFC jajaran genjang, sebab:DE = EF; CE = EB.Jadi BF // AC atau BF # AD atau ABFD jajaran genjang sehingga AB //DE.

AB = DF AB = 2 DE. Jadi, DE // AB dan DE =2

1 AB.

DE disebut paralel tengah segitiga ABC.

TEOREMAGaris berat ke sisi miring suatu segitiga siku-siku setengah sisi miringitu.

Diketahui : ABC siku-siku. A = 900, AM garis berat.

Buktikan : AM =2

1 BC.

Bukti : Sambung AM dengan MN = MA, makaABNC jajaran genjang, tetapi A = 900

ABNC persegi panjang.

AN = BC atau AM =2

1 BC.

Trapesium, adalah segi empat yang sepasang sisinya yang berhadapansejajar. Ada tiga macam trapesium, yaitu trapesium sembarang, trapesiumsiku-siku, dan trapesium sama kaki.

TEOREMADalam trapesium samakaki, kedua diagonal sama panjang dan sudut-sudut alas sama besar.

Diketahui : ABCD trapesium samakaki.Buktikan : A = B dan AC = BD.Bukti : Tarik CE // DA, maka AECD jajaranGenjang, AD = CE, AD = BC

A B

B

D E F

A B

C N

M

21

A E B

CD

21

Jadi CE = BC atau BCE samakakiE = B; E = A (sehadap) A = B. ABC BAD, sebabAB = AB ; BC = AD; A = B. AC = BD.

TEOREMAGaris yang menghubungkan pertengahan-pertengahan kaki suatutrapesium sejajar deagan sisi-sisi sejajarnya dan panjangnya setengahjumlah sisi yang sejajar.

Diketahui : Trapesium ABCD. AE = ED ; BF = FC.Buktikan : a. EF // AB // DC.

b. EF =2

1 (AB + DC).

Bukti : sambung DF dan AB hingga berpotongan di G.BGF CDF, sebab:BF = CF; F1 = F2; D1 = G1DC = BG dan DF = FGAtau EF paralel tengah AGD sehingga

EF // AG dan EF =2

1 AG

Atau EF // AB // DC dan EF =2

1 (AB + DC).

LUAS

TEOREMALuas persegi panjang sama denganpanjang dikali lebar

TEOREMALuas jajaran genjang sama dengan alasdikali tingginya.

TEOREMA

A B

CD

E F

G

1

1

1

2

lA B

CD

p

A BE

C D

t

A E B F

CD

22

Luas segitiga sama dengan setengah darialas dikali tingginya.

TEOREMALuas trapesium sama dengan jumlah sisi-sisi sejajar dikali tingginya dibagi dua.

TEOREMALuas segiempat yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus, samadengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya.

Melalui C ditarik garis // AB. Tentukan c1, c2,dan c3 pada garis tersebut.Maka luas ABC1 = luas ABC2 = luasABC3 karena mempunyai garis tinggi yangsam dan satu sisi persekutuan.

TEOREMA PYTAGHORAS

A B

CDG

F

tt

D

A

B

CE

c3 c2 c c1

G

B

FLJ

I

K

H C

D

E

M

A

23

Dengan menggunkan gambar diatas buktikan teorema pytaghoras.

C. LATIHAN1. Gambar dibawah adalah persegi panjang ABCD dan DEFG diketahui AB

= 10 cm, AD = 24 cm, EF = 12 cm, dan ED = 18 cm. Berapakah selisihluas bangun yang diarsir.

I

I

II

II

III

IIIIV

IV

V

V

G

F

E

CB

A D

24

2. Dalam ABC, AB diperpanjang dengan BF = c BC dengan CD = a danCA dengan AE = b. Buktikan luas DEF = 7 x luas ABC.

3. Lukis sebuah segitiga yang sama dengan sebuah segiempat ABCD yangdiketahui

4. Dalam jajaran genjang ABCD ditentukan sembarang titik P dan titik inidihubungkan dengan titik sudut.Buktikan : Luas PAB – luas PCB = luas PAD – luas PCD.

5. AB adalah alas ABCPada sisi AC dan BC dilukiskan kesebelah luar sembarang jajar genjangACDE dan BCFG. ED dan GF setelah diperpanjang berpotongan di P.Ditarik PC seterusnya di sebelah bawah AB ditarik garis AH # PC dandisudahkan dengan jajar genjang BAHK.Buktikan : Luas BAHK = luas ACDE + luas BCFG

6. Kubus ABCD. EFGH. CB diperpanjang dengan BP = CB, buktikan PFDadalah siku-siku.

D. LEMBAR KEGIATAN



A B

C

D

25

3.PrasyaratPeserta pelatihan telah menguasai tentang kongruensi


dengan kongruensi. Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kongruensiKegiatan Inti Menjelaskan definisi jajar genjang, persegi panjang, persegi,

belahketupat, layang-layang, trapezium, dan luas jajar genjang, persegipanjang, persegi, belahketupat, layang-layang, dan trapezium ,sertamemberikan contoh dan bukan contoh.

Menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, dan aplikasinya. Diskusi kelas.Kegiatan Akhir Kesimpulan Penilaian Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.5.Hasil Peserta pelatihan memahami tentang jajar genjang, persegi panjang,

persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium. Luas jajar genjang,persegi panjang, persegi, belahketupat, layang-layang, trapezium,sertadapat memberikan contoh dan bukan contoh.

Dapat menjelaskan teorema Pythagoras, triple Pythagoras, danaplikasinya

E. Rangkuman1. Segi empat sembarang adalah segi empat yang keempat sisinya tidak

sama panjang dan keempat sudutnya tidak sama besar.2. Jajaran genjang (paralellogram), adalah segi empat yang sepasang-

sepasang sisinya yang berhadapan sejajar.3. Persegi panjang (rectangle), adalah jajar genjang yang salah satu

sudutnya 900.4. Belah ketupat (rhombus), adalah jajar genjang yang dua sisinya yang

berurutan sama panjang.5. Persegi (square), adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya 900.6. Trapesium (trapezoid), adalah segi empat yang memiliki tepat sepasang

sisi berhadapan yang sejajar.7. Segi empat layang-layang (kite), adalah segi empat yang diagonalnya

saling tegak lurus dan salah satu diagonalnya terbagi dua sama panjangoleh yang lain.

F. Tes Formatif

26

I. Pilih satu jawaban yang paling tepat

1. Bangun datar dibawah ini adalah segiempat yang mempunyai dua pasangsisi yang sejajar, kecualia. jajargenjangb. persegipanjangc. belahketupatd. layang-layang

2. Dalam suatu belah ketupat ABCD garis tegaklurus dari B pada sisi ADmembagi dua sama panjang. Maka besar A :a. 1200

b. 900

c. 600

d. 450

3. Trapesium ABCD, dengan AB = 10 cm, CD = 7 cm, sedangkan AD = BC=3 cm. Maka besar A :a. 1200

b. 900

c. 600

d. 450

4.Pertengahan-pertengahan sisi-sisi trapezium sama kaki merupakan titik-titik sudut suatu :a. jajargenjangb. persegic. persegipanjangd. belahketupat.

5.Diagonal laying-layang ABCD berpotongan di P. AP = PD dan ABD =300.Jika AD = 10V2, maka luas ABCD =a. 100b. 100(1 + V3)c. 100V3d. 300

6. Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD BC,makaluas jajargenjang ABCD adalah :a. 48 cm2

b. 60 cm2

c. 80 cm2

d. 86 cm2

7.Pada jajargenjang ABCD, AB = 10 cm, BD = 6 cm. Jika BD BC, makapanjang jarak AB dan CD adalah :a. 4,8 cm

27

b. 6 cmc. 8 cmd. 8,6 cm

8.Diketahui belahketupat ABCD dan BFDE dengan E, F terletak pada AC.JikaBD = 50 cm dan AE = 24 cm . Maka luas daerah BCDF + ABED adalah :a. 50 cm2

b. 100 cm2

c. 600 cm2

d. 1200 cm2

II. Kerjakan semua soal dibawah ini

1. Dalam persegi panjang ABCD terdapat titik P. Buktikan bahwa : PA2 + PC2

= PB2 + PD2

2.Diketahui jajar genjang ABCD. AB = 20. Garis bagi dalam A dan Dberpotongan di E. AE = 16, DE = 12.Hitung luas ABCD.

3. Diketahui jajar genjang ABCD. Garis l memotong AB dan AD sehinggaE,F,G dan H pada l. AE,BF, CG, DH l. Buktikan : BF + DH = CG - AE

28

BAB IVPERBANDINGAN SEHARGA GARIS DAN SEBANGUN

A. Kompetensi dan IndikatorKompetensi1. Memahami tentang perbandingan seharga garis dan sebangun2. Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan perbandingan

seharga garis dan kesebangunan

Indikator1. Memahami perbandingan seharga garis.2. Memahami tentang bangun-bangun yang sebangun.

B. URAIAN MATERI

TEOREMABila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atas potongan-potongan yang sama, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garispotong yang lain atas potongan-potongan yang sama juga.

Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong di A, B, dan C sehingga AB = BCBuktikan : garis m memotong a, b, c di D, E, dan F sehingga DE = EF.Bukti :Tarik dari D (lihat gambar) garis // l, memotong garis b di G dan tarik dari Egaris EH sejajar l, maka ABGD dan BCHE jajaran genjang hingga AB = BC =DG = EH. DGE EHF sebab DG = EH; G1 = H1 = B1 = C1, dan E1 =F1 jadi DE = EF.

a

b

c

l m

A

B

C

G

D

E

FH1

1 1

1 1

1

29

TEOREMABila beberapa garis sejajar dipotong oleh sebuah garis atasperbandingan tertentu, maka garis-garis sejajar itu dipotong oleh garispotong yang lain atas perbandingan yang tertentu juga.

Diketahui : garis-garis a // b // c dipotong oleh garis l atas perbandingan 2 : 3,maka garis potong m akan memotong a, b, c atas perbandingan 2 : 3 juga.Bukti :Tarik dari titik-titik bagi G, H, K garis-garis // a // b // c didapat L, M, N padagaris m maka : AG = GB= BH = HK = KC,Menurut dalil 44 maka DL = LE = EM = MN = NE, maka DE : EF = 2 : 3 juga.

BEBERAPA BATASAN : bila satu titik dikalikan terhadap satu titik lain dengan satu faktor k,

maka hasilnya sebuah titik yang jaraknya k kali jarak titik itu kepusatperkalian (pusat dilatasi).

bila sepotong garis dikali dengan faktor k terhadap satu titik,hasilnya sebuah garis sejajar garis semula dan panjangnya k kalipanjang garis semula.Bila faktor perkalian positif, hasilnya sejajar dan searah, bila negatifhasilnya sejajar berlawanan arah.

dua segitiga disebut sebangun jika segitiga yang satu dapatdidilatasikan sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangundengan bangun yang lain.

TEOREMADua segitiga sebangun bila sisi-sisi segitiga yang satu sebandingdengan sisi-sisi segitiga yang lain.

c

b

a

l m

A

B

C

D

E

F

G

H

K N

M

L

30

Diketahui : ABC dan PQR dengan AB : BC : CA = PQ : QR : RPBuktikan : ABC PQR

Bukti : Kalikan ABC terhadap O dengan faktorAB

PQk maka didapat

A1B1C1

A1B1 PQABAB

PQ . , begitu juga B1C1 =QR dan C1A1=RP

A1B1C1 PQR atau ABC PQR

TEOREMADua segitiga sebangun bila dua sudut-sudutnya sama besar.

Diketahui : ABC dan PQR dengan QBPA ;Buktikan : ABC PQRBukti :

Kalikan ABC denganAB

PQk maka A1B1 PQAB

AB

PQ .

11; BBAA PA 1 dan QB 1

A1B1C1 PQR atau ABC PQR

OA

B

C

C1

B1

A1

R

P

Q

A

B

C

C1

B1

A1

R

P

QO

31

TEOREMADua segitiga sebangun bila sepasang sudut sama besar dan sisi-sisiyang mengapit sebanding.

Diketahui : ABC dan PQR dengan PA dan AB : AC = PQ : PRBuktikan : ABC PQR

Bukti :

Kalikan ABC denganAB

PQk maka A1B1 PQAB

AB

PQ . dan

A1C1 PRACAC

PR . sebab

AC

PR

AB

PQ

A1B1C1 PQR atau ABC PQRDalil-dalil mengenai sebangun ini dapat dipergunakan untuk membuktikansudut-sudut sama besar atau sisi-sisi sebanding.

TEOREMALuas segitiga yang sama alasnya berbanding seperti tingginya dansebaliknya bila tingginya sama, luasnya berbanding seperti alasnya.

Diketahui : ABC dan PQR dan AB = PQ

Buktikan :2

1

t

t

PQRLuas

ABCLuas

A

B

C

C1

B1

A1

R

P

QO

P S Q

R

t2

A D B

C

t1

32

Bukti :

Luas ABC = 1...2

1..

2

1taCDAB ………………………………….(1)

Luas PQR = 2...2

1..

2

1taRSPQ ………………………………….(2)

2

1

2

1

..2

1

..2

1

t

t

ta

ta

PQRLuas

ABCLuas

Sebaliknya jika t1=t2 maka2

1

2

1

..2

1

..2

1

a

a

ta

ta

PQRLuas

ABCLuas

TEOREMALuas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama,berbanding seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.

Diketahui : ABC dan PQR dengan PA

Buktikan :PRPQ

ACAB

PQRLuas

ABCLuas

.

.

Bukti :Tarik CDAB dan RSPQ, maka ACD PRS, jadi AC : PR = t1 : t2

PRPQ

ACAB

tPQ

tAB

tPQ

tAB

PQRLuas

ABCLuas

.

.

.

.

..2

1

..2

1

2

1

2

1

Berlaku juga bila 2 sudut itu berpelurus sesamanya

A BD

C

t1

P QS

R

t2

33

TEOREMAPerbandingan luas 2 segitiga yang sebangun adalah sama dengankuadrat dari perbandingan sepasang sisi seletak.

Diketahui : ABC PQR

Buktikan :2

2

2

2

2

2

QR

BC

PR

AC

PQ

AB

PQRLuas

ABCLuas

Bukti :ABC PQR maka PA

PR

AC

PQ

AB

2

2

.

.

.

.

PQ

AB

PQPQ

ABAB

PRPQ

ACAB

PQRLuas

ABCLuas

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa perbandingan luas kedua

segitiga akan sama dengan2

2

2

2

QR

BC

PR

AC juga.

C. LATIHAN1. Titik M pada pertengahan hipotema BC suatu segitiga siku-siku ABC.

Melalui M dibuat garis tegak lurus BC yang memotong AB dan AC di Pdan Q. Buktikan MA2 = MP xMQ

2. Diketahui trapesium ABCD. AB//DC, AB=a, DC=b. E pada BC sehinggaEF//AB, AE : ED = p : q. Nyatakan EF dengan a, b, p, dan q!

3. Diketahui ABC, AB=c; CD = t. sebuah persegi PQRS ada di dalamsegitiga itu dengan P dan Q pada AB, R pada BC dan S pada AC.Nyatakan sisi bujursangkar itu dengan c dan t!

4. Diketahui jajargenjang ABCD. Titik T pada DC (DT<TC). Tariklah melaluiT sebuah garis yang membagi jajargenjang itu menjadi 2 bagian yangsama luas!

P Q

R

A B

C

34

5. Pada sebuah dengan sudut 900 dan 600 ditarik garis tinggi pada sisimiring dan garis bagi sudut lancip yang besar. Buktikan garis yangmenghubungkan titik ujung garis-garis itu membagi segitiga itu menjadidua bagian sama besar.

D. LEMBAR KEGIATAN



3.PrasyaratPeserta pelatihan telah menguasai tentang kesejajaran


dengan kesejajaran. Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kesejajaranKegiatan Inti Menjelaskan tentang perbandingan seharga garis-garis Menjelaskan tentang kesebangunan dan aplikasinya. Diskusi kelas.Kegiatan Akhir Kesimpulan Penilaian Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.

5. Hasil* Peserta pelatihan memahami tentang perbandingan seharga garis.* Peserta pelatihan memahami tentang bangun yang sebangun.

E. Rangkuman Dua bangun disebut sebangun jika segitiga yang satu dapat didilatasikan

sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangun dengan bangun yanglain.

* Luas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama,berbanding seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.

35

* Perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun adalah sama dengan kuadratdari perbandingan sepasang sisi seletak.

F. Tes Formatif

I Pilih satu jawaban yang paling tepat

1. Diketahui jajar genjang ABCD. E pada AC, sehingga AE : EC = 1 :3ditarikdari E garis sejajar AB memotong BD di F. Jika AB = 24 , maka EF=a. 12b. 10c. 8d. 6

2. Persegi ABCD diketahui panjang sisinya =8. P pada AD dan Q pada ABsehingga DP = AQ = 6. CP dan DQ berpotongan di R. Maka panjang DR=a. 6b. 4,8c. 4d. 3,8

3. Diketahui ABC . AB = 24. Pada AB terletak titik P sehingga AP = 2/3AB. Q pada CP hingga CQ : QP = 3 : 1.Perpanjangan AQ memotong BCdi R. Diarik dari R garis sejajar AB dan memotong CP di S. Panjang RS =a. 8b. 6c. 5 1/3d. 5

4. Pada jajargenjang ABCD diketahui P pada DC. Garis yang melalui A danP memotong BD dan perpanjangan BC di Q dan R. Jika AQ = 12 dan PR= 10. Maka PQ =a. 12b. 10c. 8d. 6

5. Diketahui ABC. AB = 28, P pada AB sehingga AP = 12. Q pada BC danPQ//AC. R pada AC dan PR//BC. S pada BC dan RS//AB. PQ dan RSberpotongan di T. Bila QS = 4, maka PR =a. 12b. 10c. 8d. 6

36

6. Diketahui ABC. D dan E di tengah-tengah AB dan AC. Sebuah garismelalui E memotong CD dan CB di F dan G. Jika BG = 16 dan EF : FG =3 : 2, maka CG =a. 12b. 10c. 8d. 6

7. Diketahui ABC. Pada BC terletak titik D, sehingga CD = 2/5 BC danpada AB titik E, sehingga AE = 1/3 AB. AD dan CE berpotongan di S.Maka : AS : SD =a. 2 : 3b. 3 : 4c. 4 : 5d. semua jawaban salah

8. Diketahui ABC. Pada BC terletak titik D, sehingga CD = 2/5 BC danpada AB titik E, sehingga AE = 1/3 AB. AD dan CE berpotongan di S.Maka : CS : SE =a. 2 : 3b. 3 : 4c. 4 : 5d. semua jawaban salah


1. Diketahui panjang ruas garis a ,b,dan c. Lukiskanlah ruas garis x dan y,jika

x + y = a dany

x =c

b

2. Diketahui ABC siku-siku (A = 900),B = 600 Buktikanlh bahwa garistinggi ke hypotenuse memotong garis bagi B di tengah-tengah.

3. Lukislah sebuah segitiga, jika diketahui dua sudut dan kelilingnya.

37

BAB VBEBERAPA TEOREMA PADA SEGITIGA

A. Kompetensi dan IndikatorKompetensi1. Memahami tentang beberapa teorema pada garis-garis istimewa segitiga2.Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan teorema -

teorema pada garis-garis istimewa segitiga

Indikator1. Memahami teorema proyeksi pada segitiga siku-siku.2. Memahami tentang teorema proyeksi pada segitig lancip dan tumpul3. Memahami tentang teorema Stewart4. Memahami tentang teorema garis bagi pqda segitiga5. Memahami tentang teorema garis berat pqda segitiga.6. Memahami tentang teorema garis tinggi pqda segitiga7. Memahami tentang teorema Menelaos dan Ceva

B. URAIAN MATERI

Beberapa teorema dan Garis Istimewa Pada Segitiga1. Teorema Proyeksi pada Segitiga Siku-siku

Lihat GambarP disebut proyeksi sisi siku-siku c pada sisi a.q disebut proyeksi sisi siku-siku b pada sisi a.

TEOREMA

C

A

D

B

ba

c

q

t p

Kuadrat sisi siku-siku sama dengan hasil kali proyeksinya kesisi miring dan sisi miring sendiri.

Kuadrat garis tinggi ke sisi miring sama dengan hasil kalibagian sisi miring.

Hasil kali sisi siku-siku sama dengan hasil kali sisi miring dangaris tinggi ke sisi miring itu.

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisiyang lain.

38

Buktinya sebagai berikut.

Diketahui : ABC, A= , AD BCBuktikan :1.2.3.4.

Buktinya adalah sebagai berikut.1. Lihat Lihat

maka maka2. Lihat

maka3. Karena

Maka

4. Dari hasil No. 1 :

2. Teorema Proyeksi pada Segitiga Lancip / Tumpul

Buktinya sebagai berikut.Diketahui :

q proyeksi a pada c

Buktikan :

C

A

D

B

ba

c

q

t p1

1

2

2

+

C

DA B

b t a

p qc

39

Bukti : Pada ; dan pada

Jika tumpul maka buktikan bahwa.

Bukti :;

TEOREMA

TEOREMA STEWARTTeorema Stewart

Diketahui :dengan danBuktikan :Bukti :

Tarik garis CE AB, misal DE = m maka

1. Pada (lancip) 2. Pada (

Dari (1) dan (2) didapat :

Kuadrat sisi di hadapan sudut lancip (tumpul) sama dengan jumlahkuadrat kedua sisi yang lain dikurangi (ditambah) dua kali sisiyang satu dan proyeksi sisi yang kedua ke sisi yang pertama

Jika garis x yang ditarik dari titik C dan membagi sisi c dalamdan maka

BD

C

Ap

ta

b

c

DA B

E

C

a

m

xb

c2c1

40

GARIS ISTIMEWA DALAM SEGITIGA

TEOREMA

Diketahui :

Berpotongan di ZBuktikan : AZ = ZD = BZ : ZE = 2 : 1Bukti :

Hubungkan D dengan E maka DE // AB. Karena E dan D berturut-turut

tengah-tengah AC dan BC maka ED =2

1 AB (AB : DE = 2 : 1).

Lihat dan : ZED (dalam bersebrangan)DZE (bertolak belakang)

Jadi AZ : ZD = BZ : ZE = AB : DE = 2 : 1Dengan cara yang sama dapat dibuktikan untuk garis berat melalui titik C.

TEOREMA

Diketahui : garis berat (AD = )Buktikan :Bukti : Menurut Teorema Stewart

Dengan cara yang sama untuk dan .

TEOREMA

Garis-garis berat dalam segitiga berpotongan atas bagianyang perbandingannya 2 : 1.

A

Z

B

C

E D

Jika , dan berturut-turut garis berat ke sisi a, b, danc maka

Garis yang membagi sisi di depannya menjadi dua bagianyang berbanding seperti sisi-sisi yang berdekatan.

B

A

CD

bc

xa

41

Diketahui : garis bagidan

Buktikan : : = c : bBukti :Tarik garis DE AB den DF AC, makaDE = DF (

Lihati. Luasii. Jika garis tinggi dari A adalah maka :

LuasDari (i) dan (ii) dapat disimpulkan

Rumus itu juga berlaku untuk garis bagi luar, buktinya sbb :Diketahui : garis bagi luar DA = p dan

DB = qBuktikan : p : q = b : aBukti :Tarik garis DE BC dan DF AC, maka DE =DF ( )

Lihati. Luasii. Luas

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan

TEOREMA

Diketahui : garis bagi dalam AD = pdan DB = q

Buktikan :Bukti :

CD garis bagi maka a : b = q : p atau ap =bq

Menurut teorema Stewart :

BA

C

D

E

F

b

c

Kuadrat garis bagi dalam sama dengan hasil kali sisi sebelahdikurangi hasil kali bagian sisi di hadapannya.

E

D A

C

B

ab

cpq

DBA

C

b a

p q

42

Untuk garis bagi luar, . Buktinya sebagai berikut.Diketahui : garis bagi luar AD = p

dan BD = qBuktikan :Bukti :

Menurut teorema Stewart :

TEOREMA

Diketahui :garis tinggi pada sisi agaris tinggi pada sisi b

Buktikan : a:bt:t ba Bukti :

btABCluasatABCLuas ba 21;2

1

Sehingga didapat :

abtt

btat

btat

ba

ba

ba

21

21

Dua garis tinggi dalam segitiga berbanding terbalik terbalikdengan sisinya

A B

C

D p q c

ab

b a

A B

C

tbta

43

TEOREMA

Bukti :

)(2222

)(2222

)(2222

2

asasacbacba

bsbsbcbacba

cscsccbacba

scba

a

bacc

a

bacct

a

bacct

a

bacp

pct

a

a

a

22

2

2

2222222

222222

222

222

)()()(2

)()()(4

4

)(2)(2)(224

)()()()(

2

)(

2

)(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22222

2222222

csbsassa

t

csbsassa

t

a

ascsbsst

a

cabcabbcabcat

a

cab

a

bcat

a

bacac

a

bacact

a

a

a

a

a

a

Demikian pula untuk bt dan ct .

Jika diketahui cbasABC 2, dan cba ttt ,, berturut-turutgaris tinggi pada a, b, dan c maka :

)()()(2

)()()(2

)()()(2

csbsassc

t

csbsassb

t

csbsassa

t

c

b

a

44

)()()()()()(2

21 csbsasscsbsass

aABCLuas

Jadi )()()( csbsassABCLuas

TEOREMA MENELAOS

TEOREMA

Bukti :

1

)()()(

c

a

a

b

b

c

RA

RC

QC

QB

PB

PACARBCQABP

TEOREMA CEVA

TEOREMA

Bukti :Dibuat garis l melalui C dan sejajar AB.

1

(CAR)(ABP)(BCQ)

p:qc:c

c:pb:b

c:qa:a

21

21

21

c

p

q

c

p

q

RA

RC

QC

QB

PB

PA

Jika sebuah transversal ABC memotong sisi-sisi Ab, BC, danCA berturut-turut di titik-titik P, Q, dan R maka(ABP)(BCQ)(CAR) =1

A

a

b

RQ

c

C

PB

Dalam ABC dibuat tiga transversal sudut yang memotong Ab,BC, CA berturut-turut di P, Q, dan R, jika ketiga transversalsudut tadi melalui satu titik (konruen) maka (ABP)(BCQ)CAR)=1

A BP

CS

RQ

l

c2c1

b2 a2

a1b1

45

C. LATIHAN

1. Diketahui jajar genjang ABCD. AD = 14, E pada AD sehingga AE = 2 ED.BE dan AC berpotongan di F. g titik tengah FC atau FG : GC = 1 : 1. EGmemotong BC di H. Hitung CH.

2. Diketahui : ABC

Pada AB terletak titik D sehingga AD =2

1 DB dan pada AC terletak titik E

sehingga AE = 3 EC. BE dan CD berpotongan di F. Hitung CF : FD danBF : FE.

3. Pada ABC , D dan E ditengah BC dan AB. g pada AC dan Dg memotongCE di F sehingga DF : FG = 2 : 3. Luas CgF = 56. Hitung luas ABC .

4. Pada ABC , AC = 4 dan BC = 5 CD garis bagi, AE garis berat dan luas

ADEC =2

16 . Hitung luas BDE .

5. Pada ABC ( A = tumpul ) ditarik garis tinggi AD dan BE. Buktikan

EC

BCDCAC

dan BDEC .

6. Garis-garis tinggi AD dan BE sebuah ABC berpotongan di titik T.Buktikanlah 2ABBEBTATAD . (Gunakan teorema Stewart).

D. LEMBAR KEGIATAN



3.PrasyaratPeserta pelatihan telah menguasai tentang kesejajaran dan kesebangunan


dengan kesejajaran dan kesebangunan Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan kesejajaran dan

kesebangunanKegiatan Inti Menjelaskan tentang teorema proyeksi pada segitiga siku-siku

46

Menjelaskan tentang teorema proyeksi pada segitig lancip dan tumpul Menjelaskan tentang teorema Stewart Menjelaskan tentang teorema garis bagi pqda segitiga Menjelaskan tentang teorema garis berat pqda segitiga Menjelaskan tentang teorema garis tinggi pqda segitiga Menjelaskan tentang teorema Menelalos dan Ceva Diskusi kelas.Kegiatan Akhir Kesimpulan Penilaian Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.

5. Hasil* Peserta pelatihan memahami teorema proyeksi pada segitiga siku-siku.* Peserta pelatihan memahami tentang teorema proyeksi pada segitiga

lancip dan tumpul* Peserta pelatihan memahami tentang teorema Stewart* Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis bagi pada segitiga* Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis berat pada segitiga.* Peserta pelatihan memahami tentang teorema garis tinggi pada segitiga* Peserta pelatihan memahami tentang teorema Menelaos dan Ceva

.E. Rangkuman

* Teorema Proyeksi pada segitiga lancip/tumpulKuadrat sisi di hadapan sudut lancip (tumpul) sama dengan jumlah kuadratkedua sisi yang lain dikurangi (ditambah) dua kali sisi yang satu dan proyeksisisi yang kedua ke sisi yang pertama

* Teoreme Stewart:Jika garis x yang ditarik dari titik C dan membagi sisi c dalam danmaka

F. Tes Formatif


1.Diketahui ABC siku-siku. A = 900. P pada AC dan Q pada BC sehinggaPQ //AB. PQ = PA = 8. PQB = 1350. R pada BC sehingga QR = 4 (Rdiantra B dan Q). Perpanjangan AR memotongperpanjangan PQ di S. AR =a. 12b. 10c. 8d. 6

2. Dengan menggunakan soal no 1, maka panjang QS =

47

a. 2b. 22c. 22 + 1d. 16/7(22 + 1)

3.Diketahui ABC CF garis berat. BZ CF( Z titik berat) D pada BZ sehinggaBD = DZ. Panjang FD = 62. Maka panjang BC =a. 2b. 122c. 142d. 242

4. Diketahui ABC. AB = 46 dan BC = 26. Jika B = 2 A,maka panjangAC =a. 123b. 103c. 83d. 8

5. Diketahui ABC. AD, BE, dan CF adalah garis berat. AD= 6; BE = 9 danAB = 8. Panjang CF =a. 6b. 8c. 9d. 310

6.Dari trapezium ABCD (AB//DC),AB = 30, CD = 18, BC = 10, dan AD = 8.Panjang garis tegaklurus dri pertengahan BC ke AD =a. 71/2 7b. 7c. 8d. 6

7.Diketahui ABC siku-siku di C. Z adalah titik berat. CZ = 12dan BZ CD.Panjang AB, BC dan AC adalah :a. 36,123, dan 291b. 36, 12, dan 91c. 12, 123, dan 912d. 12 3,36, dan 291

8. Dari trapezium ABCD (AB//DC), AC BD.AB = 2CD; AD = 8 dan BC =11.Panjang AB =a. 8b. 11c. 37

48

d. 237


1. Lukis ABC jika diketahui panjang ketiga garis berat AD = 6 cm; BE = 9cm dan CF = 310cm.

2. Buktikanlah, bahwa jumlah kuadrat kedua diagonal sebuah jajar genjang =jumlah kuadrat keempat sisinya.

3. Diketahui ABC, AB = 14, BC =, dan CA = 13 cm. Dibuat garis tinggi BEdan CF. Tentukan luas AEF.

49

BAB VIBEBERAPA TEOREMA PADA LINGKARAN

A. Kompetensi dan IndikatorKompetensi1. Memahami tentang beberapa teorema pada lingkaran2.Trampil menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan teorema -

teorema pada lingkaran

Indikator1. Memahami teorema tentang perbandingan seharga garis-garis dalam

lingkaran.2. Memahami teorema tentang segitiga dan lingkaran luarnya.3. Memahami teorema tentang segitiga dan lingkaran dalamnya4. Memahami tentang teorema lingkaran singgung5. Memahami tentang teorema segiempat talibusur.6. Memahami tentang teorema segiempat garis singgung

B. URAIAN MATERIPERBANDINGAN SEHARGA GARIS-GARIS DALAM LINGKARANTEOREMA

Diketahui : (M, R)AB garis tengahCD AB

Buktikanlah ABADCD 2

Bukti : Pada 90CABCMaka AD : CD = CD : BD (teorema)atau ABADCD 2

TEOREMA

Garis tegak lurus dari sebuah titik lingkaran ke garistengahnya ialah pembanding tengah antara bagian-bagiangaris tengah itu.

.

Jika dari sebuah titik lingkaran ditarik sebuah tali busur dansebuah garis tengah, maka tali busur ini pembandingtengah antara garis tengah dan proyeksinya pada garis ini.

AD

C

BM

50

Diketahui : (M, R)AB garis tengahCD AB

Buktikanlah ABADCD 2 (Buktikan sendiri)

TEOREMA

Diketahui : (M, R)AB dan CD berpotongan di P

Buktikan : PA X PB = PC X PD(Buktikan Sendiri!)

TEOREMA

Diketahui : (M, R)P di luar lingkaran

Buktikan : PA X PB = PC X PD.

(Buktikan Sendiri!)

TEOREMA

.

AD

C

BM

Jika dua buah tali busur berpotongan didalamlingkaran, maka perkalian kedua bagian padatali busur yang pertama sama dengan perkalianbagian-bagian pada tali busur yang kedua.

.

A

BC

D

M

P

Jika dari sebuah titik di luar lingkaran ditarik 2 garispotong maka perkalian bagian-bagian garis potong yangpertama = perkalian bagian-bagian garis potong yangkedua.

.A

B

CD

PM

Jika dari sebuah titik di luar sebuah lingkaran ditariksebuah garis potong, maka garsi singgung ini menjadipembanding tengah antara bagian-bagian tengah garispotong.

51

C Diketahui : (M, R)B P di luar lingkaran

Buktikan : PCPBPA2 P (Buktikan sendiri!)

A

CATATAN :1. Ketiga teorema terakhir di atas dapat juga dikatakan sebagai berikut :

hasil perbanyakan jarak-jarak P ke titik potong-titik potong A dan B darisuatu garis yang berputar pada P dengan sebuah lingkaran, mempunyaiharga konstan.

2. Jika hasil perbanyakan PA x PB diberi tanda positif atau negative, makahasil perbanyakan dianggap positif jika P di luar lingkaran, dan negativejika P di dalam lingkaran.

Hasil perbanyakan tadi ditulis

PBPA .

A dan B adalah titik potong lingkaran itu dengan sebuah garis yangmelalui P. Kuasa ini positif, jika P di luar lingkaran, nol jika P padalingkaran dan negatif jika P terletak di dalam lingkaran.

TEOREMA

Bukti :

Kuasa P terhadap (M,r) =

PBPA

22

22

222

222

22

)(

)()(

))((

rPM

AMPM

ACMCPM

ACMCPM

ACPC

ACPCACPA

CBPCACPA

.

Yang disebut Kuasa )P,( L dari suatu titik P terhadap lingkaran L

ialah hasil perbanyakan

PBPA .

Kuasa sebuah titik P terhadap lingkaran (M,r) = 22 r-PM .

.

AB CP

M

r

52

LINGKARAN LUARTEOREMA

Diketahui : ABC dengan lingkaran luar O.AB = c, AC = b, BC = a.

Buktikan :L

abcR

4 .

Bukti : Dari titik B telah kita tarik garis tinggi BD =bt dan garis tengah BE = 2R. E dihubungkan dengan

C.Maka ABD ~ EBC , karena 2

1 EA BC dan 90BCED .

Dari kesebangunan ini diperoleh :

aRtc b :2: atau acRtb 2 , jadibt

acR2 atau

bbt

abcR2 atau

bbt

abcR

2 .

ABCluastb b 2 . Jadi .

LINGKARAN DALAMTitik pusat lingkaran dalam sebuah kita namakan I dan jari-jari lingkarandalam = r.

TEOREMA

Diketahui : ABC

Buktikan :S

LR .

Bukti : Luas AIB = 21 c x r

Luas BIC = 21 a x r

Luas CIA = 21 b x r

Luas ABC = 21 (a + b +c) r

Jari-jari R lingkaran luar sebuah segitiga sama denganperkalian sisi-sisinya dibagi oleh 4 kali luas segitiga itu,

atauL

abcR

4

Jari-jari R lingkaran dalam sebuah = Luas dibagi 21

keliling, atauS

LR

AB

C

D

E

F

a

b

c

Ir+

L

abcR

4

A CD

B

E

Oc

b

atb

53

Luas ABC = 21 s x r

Atau r =s

L

s

ABC

luas

Lihat gambarAF = AD (mengapa?)BF = BE (mengapa?)CD = CE (mengapa?)

AF + BF + CD = AD + BE + CEAF + BF + CD = s atau AB + CD = s, jadi CD = s – c.

(buktikan : AF = s – a dan BF = s – b.

CATATAN :

CCCBAAIBatau

CBABACBABAAIB

21902

1)21

21

21(

21

21

21

21

21)(2

1180

Jika dari sebuah ABC diketahui alas c, sudut puncak C, dan jari-jarilingkaran dalam R, maka dapat kita lukiskan AIB, karena dari segitiga inidiketahui; alas sudut puncak dan tingginya (mengapa?). Setelah AIBdilukiskan, maka lukisan ABC mudah sekali. (Bagaimana?).

LINGKARAN SINGGUNGLingkaran singgung suatu segitiga ialah lingkaran yang menyinggungpada sisi segitiga itu dan pada kepanjangan-kepanjangan kedua sisi yanglain.

Sudah jelas bahwa sebuah segi tiga mempunyai tiga buahlingkaran singgung.1. Lingkaran aI yang menyinggung pada BC dan

mempunyai jari-jari ar .2. Lingkaran bI yang menyinggung pada AC dan

mempunyai jari-jari br .3. Lingkaran cI yang menyinggung pada AB dan

mempunyai jari-jari cr .

cI ialah titik potong garis bagi luar A dan garis bagi C. Garis bagi luarB juga harus melalui cI . Telah kita buktikan bahwa cI D = cI F. Jadi cI

+

A

B

C

D

E

Fcr

cr

cr

cI

P

Q

54

A B

C

DE

GHL

crcrcI

bIaI

terletak pada tk sekalian titik yang sama jauh letaknya dari kaki-kakiABQ dan itu ialah garis bagi luar B.

TEOREMA

Buktikan :cs

Lrc

Bukti :Luas AC cI = 2

1 b x cr

Luas CB cI = 21 a x cr

Luas segi 4 CA cI B = 21 (a + b) cr

Luas segi 3 AB cI = 21 c x cr

Luas ABC = 21 (a + b - c ) cr

Telah kita buktikan,bahwa 21 (a + b - c ) = s – c

Jadi ABC =(s-c) x cr ataucs

Lrc

(buktikan :bs

Lr

as

Lr ba

, )

Lihat gambar, kemudian jawablah pertanyaan berikutMengapa CD = CE ?Mengapa CD + CE = AC + BC + AB ?Mengapa CD = s dan AD = s –b ?Berapakah panjang AF, BF, dan BE ?Nyatakanlah AK, AL, CK, CG, BG, dan BH dengan sisi-sisi ABC.

A cI B = 18 0 - cI AB - AB cI

= 18 0 - ( 21 B + 2

1 C) – ( 21 A + 2

1 C).

=18 0 - 21 B - 2

1 C - 21 A - 2

1 C.

=9 0 - 21 C.

A cI B dapat dilukiskan jika diketahui cr , c dan C.Karena dari segi tiga itu sekarang diketahui alas, sudut puncak dantingginya.Jika A cI B telah dilukiskan maka mudah kita memperoleh ABC.

Dalam ABC jari-jari lingkaran-lingkaran singgungnyaialah :

cs

Lr

bs

Lr

as

Lr cba

,,

+

-

55

KESIMPULAN : , ,

Jika O pusat lingkaran luar ABC, I pusat lingkaran dalamdan aI , bI , cI pusat lingkaran singgung, maka :

AOB = 2C, BOC = 2 A, AOC = 2 B AIB = 9 0 + 2

1 C, AIC = 9 0 + 21 B,

BIC = 9 0 + 21 A

A cI B = 9 0 - 21 C, A bI C = 9 0 - 2

1 B,

B aI C = 9 0 - 21 A

SEGIEMPAT TALI BUSURDEFINISI

TEOREMA

Diketahui : ABCD segiempat tali busur.Buktikan : A + C =18 0

Bukti : A = 21 BCD

C = 21 BAD

A + C = 21 ( BCD + BAD)

AtauA + C = 2

1 keliling linkaran = 18 0

AKIBAT : Sudut luar sebuah sudut pada segiempat tali busur = sudutdalam berhadapan (mengapa?) . A = 1C .

TEOREMA

Diketahui : B + D = 18 0Buktikan : A, B, C, dan D terletak pada satu lingkaran.Bukti :Melalui A, B, dan C senantiasa dapat digambarkansebuah lingkaran.

L

abcR

4 s

Lr

cs

Lr

bs

Lr

as

Lr cba

,,

Segiempat tali busur ialah sebuah segiempat yangkeempat titik sudutnya terletak pada lingkaran.

Dalam segiempat tali busur sudut-sudut yang berhadapanberpelurus sesamanya.

+A

BC

D

Jika dua buah sudut yang berhadapan dalam sebuahsegiempat berpelurus sesamanya maka segiempat ituialah sebuah segiempat tali busur.

A

BC

D

56

Kita umpamakan bahwa titik D tidak terletak pada lingkaran ini, makalingkaran ini memotong garis AD di P.Akan tetapi tentu B + P = 18 0 . Sedangkan diketahui bahwa B +D = 18 0Jadi ini akan mengakibatkan, bahwa P =D. Akan tetapi P = 1C +D(mengapa?)Perandaian bahwa D tidak terletak pada lingkaran itu, terbukti salah,jadi D harus terletak pada lingkaran; dengan perkataan lain ABCD ialahsegiempat tali busur.

TEOREMA PTOLEMEUS

Diketahui : ABCD segiempat tali busur.Buktikan : AC x BD = AB x DC + BC x ADBukti : Kita lukiskan CDE = ADB.Maka DEC ~ DAB,Karena ABD = ACD = 2

1 AD dan ADB =

EDCAkibat :EC : AB = DC : DBEC x DB = AB x DC .......................(i)

ADE ~ BDC, karena ADE = BDC (mengapa?) dan DAE=DBC = 2

1 DC. Dari kesebangunan ini diperoleh : AE : BC = AD :BD

atau AE x BD = BC x AD..................(ii)Jika (i) dan (ii) dijumlahkan maka diperoleh :

EC x BD = AB x DCAE x BD = BC x AD(AE + EC) x BD = AB x DC + BC x AD atauAC x BD = AB x DC + BC x AD.

PENGGUNAAN SEGIEMPAT TALI BUSURa. menentukan kepanjangan dua sisi yang berhadapan dengan sisi

segiempat tali busur adalah a, b, c, dan d.Pada gambar BCE = A (mengapa?). E= E. Jadi ADE ~ CBE. Akibat :

x : (a + y) = b : d atau dx = ab + by (1)juga y : (c+ x) = b : d atau dy = bc + by (2)

Dalam segiempat tali busur perkalian diagonal-diagonalnyasama dengan junlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan

+

A

B

C

D

E

12

3

A B

C

D

a

b

cd

x

y E

57

Ini adalah dua persamaan dengan dua variabel

)2(

)1(2

22

dbcyddbxataubcdybx

abybdbxatauabbydx

22

22

)(

)()(

bd

dcabbyatau

dcabbybd

Dengan cara yang sama22

)(

bd

bcadby

Soal :Dari sebuah segiempat tali busur sisi-sisinya ialah AB = 52, BC = 25, CD= 39 dan AD = 60. Hitunglah BE dan CE.

b. Juga dapat kita hitung perbandingan diagonal-diagonal.Dari gambar mudah dapat dibuktikan, bahwa DBE ~ACE (mengapa?)Jadi : AC : DB = CE : BE atau

AC : DB = x : y = (ad + bc) : (ab + dc) (lihat pada a)c. Perhitungan diagonal-diagonal.

Sekarang kita ketahui perbandingan diagonal-diagonal dan denganpertolongan dalil (pendirian) Ptolemeus juga kita ketahui, perkaliannya.Jadi dapat kita hitung diagonal-diagonal itu.AC : DB = (ad + bc) : (ab + dc) (lihat di atas) .......................(1)AC x DB = (ac +bd) (Ptolemeus) .................................................(2)

dcab

bcadbdacAC

)()(2 atau

)(

)()(

dcab

bcadbdacAC

Soal :Hitunglah diagonal-diagonal sebuah segiempat tali busur ABCD jika AB =16, BC = 25, CD = 33, dan AD = 60.

d. Untuk menghitung jari-jari lingkaran luar sebuah segiempat tali busur, kitabekerja sebagai berikut. Hitunglah sebuah diagonal ump. AC. Hitunglahsekarang jari-jari lingkaran luar ADC dengan pertolongan rumus

L

abcR

4 . Ini juga jari-jari lingkaran luar segiempat tali busur itu.

e. Bila kita harus membuktikan suatu segiempat adalah segiempat tali busur,perhatikan gambar-gambar di bawah ini; segiempat ABCD adalahsegiempat tali busur, jika memenuhi salah satu :

+

DA

B C.

.A + C = 18 0

DA

B C1

A = 1C

DA

B

C

..

A = C

58

SEGIEMPAT GARIS SINGGUNGDEFINISI

TEOREMA

Diketahui : ABCD segiempat garis singgung.Buktikan : AB + CD = AD + BC.Bukti : Untuk membuktikan ini kita pergunakanteorema yang menyatakan, bahwa garis-garissinggung yang ditarik dari sebuah titik padasebuah lingkaran, sama panjangnya.Jadi : AE = AH

BE = BFCG = CFDG = HD

( AE + BE ) + (CG + DG ) = ( AH + HD ) +(BF+CF)atau AB + CD = AD + BC

TEOREMA

A

D

C

B

B = D = 9 0

DA

B

C

p

qr

s

p x q = r x s

D

A

B

Cp

q

rs

pq = rs

Sebuah segiempat, yang sisi-sisinya menyinggung sebuahlingkaran yang dapat dilukiskan dalam segiempat itu, namanyasegiempat garis singgung

Jumlah dua buah sisi yang berhadapan sebuah segiempatgaris singgung sama dengan kedua sisi yang lain.

+

Jika pada segiempat jumlah sisi yang berhadapan sepasang-sepasang sama, maka segiempat itu ialah sebuah segiempatgaris singgung.

B

AD

C

F

E

H

G

59

C. LATIHAN1. Jika p dan q ruas garis yang diketahui dan

x + y = pxy = q2

Lukislah x dan y.2. Jika p dan q ruas garis yang diketahui dan

x – y = pxy = q2

lukislah x dan y.3. Lukis 4 44 qpx p dan q ruas garis yang diketahui4. Lukis ABC jika diketahui: C, c, dan r (jari-jari lingkaran dalam5.

6. Dalam trapesium ABCD (AB = alas) ditarik garis AE BC dan BFADbuktikan F, D, C, dan E terletak pada sebuah lingkaran.

7. Pada trapesium ABCD mempunyai lingkaran singgung dan lingkaran luar.Jika AB = 28, CD = 8. tentukan diagonal trapesium tersebut

D. LEMBAR KEGIATAN



3.PrasyaratPeserta pelatihan telah menguasai tentang sifat sederhana padalingkaran,garis singgung pada lingkaran, sudut pusat, sudut keliling.

4.Langkah KegiatanKegiatan Awal

C

D

B

A

7 cm

12 cm

10 cm AD =

60

Menggali pengetahuan prasyarat peserta pelatihan yang berhubungandengan sifat sederhana pada lingkaran,garis singgung pada lingkaran,sudut pusat, sudut keliling.

Berdiskusi dengan peserta pelatihan tentang penjelasan sifat sederhanapada lingkaran,garis singgung pada lingkaran, sudut pusat, sudut keliling.

Kegiatan Inti Menjelaskan tentang teorema perbandingan seharga garis-garis dalam

lingkaran. Menjelaskan tentang teorema segitiga dan lingkaran luarnya. Menjelaskan tentang teorema lingkaran dalam segitiga. Menjelaskan tentang teorema lingkaran singgung Menjelaskan tentang teorema segiempat talibusur Menjelaskan tentang teorema segiempat garissinggung Diskusi kelas.Kegiatan Akhir Kesimpulan Penilaian Penguatan dalam bentuk pemberian tugas secara individu.

5. Hasil Peserta pelatihan memahami teorema. perbandingan seharga garis-

garis dalam lingkaran. Peserta pelatihan memahami tentang teorema segitiga dan lingkaran

Luarnya. Peserta pelatihan memahami tentang teorema lingkaran dalam segitiga Peserta pelatihan memahami tentang teorema lingkaran singgung Peserta pelatihan memahami tentang teorema segiempat talibusur. Peserta pelatihan memahami tentang teorema segiempat garissinggung.

E. Rangkuman* Yang disebut Kuasa )P,( L dari suatu titik P terhadap lingkaran L ialah

hasil perbanyakan

PBPA .* Teorema Ptelemeus :

Dalam segiempat tali busur perkalian diagonal-diagonalnya samadengan junlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan

* Teorema pada segi empat garis singgung:Jumlah dua buah sisi yang berhadapan sebuah segiempat garissinggung sama dengan kedua sisi yang lain.

F. Tes Formatif

61


1. Dari P di luar lingkaran M ditarik sebuah garis singgung PA = 6,garis potongPC memotong lingkran itu menurut talibusur BC yang 12 cm panjangnya.Panjang PB =a. 10b. 8c. 6d. 4

2. Dari P diluar lingkaran M ditarik dua garis potong PAB dan PCD. PA = 3,AB= 29. PC dan CD berbanding sebagai 1 dan 5.Panjang PC dan PD =a. 4 dan 24b. 8 dan 24c. 4 dan 20d. Semua jawaban salah

3.Dalam sebuah segitiga yang mempunyai besar dua sudutnya adalah 750

dan 400, digambarkan lingkaran yng menyinggung sisi segitiga tsb., diD,E,dan F. Besar sudut-sudut DEF adalah :a. 50,50, 770, dan 52,50

b. 57,50, 700, dan 52,50

c. 57,50, 710, dan 51,50

d. Semua jawaban salah

4. Dari siku-siku ABC ssi miringnya AB = c. I adalah pusat lingkaran dalamdan IC pusat lingkaran singgung pada sisi miring. Panjang IIC =a. cb. c3c. c2d. c5

5.Diketahui ABC, alas AB = 7, BC = 6 dan AC = 8.Garis yangmenghubungkan C dengan pusat lingkaran singgung pada sisi a Iamemotong perpanjangan AB di D. Panjang DIa =a. 4 2/3b. 5c. 415d. 4 2/3 15

6.Lingkaran dengan jari-jari R dan garis tengah AB, dibuat ABC siku-sikudan ABD siku-siku dengan salah satu sudut lancipnya 300 . C dan Dterletak pada pihak yang sama terhadap AB. Panjang CD dinyatakandengan R adalah :a. ½ R (6 - 2)b. ½ R

62

c. ½ R 6d. ½ R 2

7.Trapesium ABCD merupakan segiempat garis singgung dan segiempattalibusur. AB = 28 dan CD = 8. Panjang diagonal AC =a. 137b. 2 137c. 137d. Semua jawaban salah

8. Tiga lingkaran dengan jari-jari R saling bersinggungan. Maka luas daerah“Segitiga” yang dibatasi oleh ketiga lingkaran tsb. adalah :a. 1/7 R2(73 – 11)b. 1/7 R23c. 11/7 R2

d. Semua jawaban salah


1. Dua lingkaran yang berpusat di M dengan jari-jari 3a dan N berjari-jari abersinggungan di A. Dilukiskan garis singgung dalam persekutuan dan garissinggung luar persekutuan BC yang berpotongan di D .Buktikan bahwa ADgaris berat dan tentukan luas ABC.

2.Melalui P pada talibusur persekutuan 2 lingkaran M danN yang berpotongan,ditarik dalam masing-masing lingkaran sebuah taliusur, yang berturut-turut pada MP dan NP. Buktikan kedua talibusur itu sama panjang.

3. Hitunglah luas sebuah segiempat talibusur, jika sisi-sisinya adalah a,b,c,dan d.

63

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

KEGIATAN BELAJAR 1

I . 1.a2.b3.a4.c5.d6.d7.a8.c

II 1.Menggunakan teorema : pada segitiga siku maka panjang garis beratkesisi miring = ½ panjang sisi miring ( bobot 3)

2.Menggunakan sifat persegi panjang ( bobot 1)Menggunakan kongruensi (bobot 2)

3.Buat garis pertolongan dengan cara : buat sudut 600 dari BC.(bobot 1)Lihat keistimewaan y ang terjadi (bobot 1)Gunakan kongruensi (bobot 2)

KEGIATAN BELAJAR 2

I 1.d2.c3.c4.d5.b6.a7.a8.c

II 1. Dengan menggunakan teorema Pythagoras ( bobot 3)2. Dengan menggunakan sifat belah ketupat ( bobot 3)3. Buat diagonal AC dan BD yang berpotongan di E (bobot 1)

Gunakan sifat jajar tengah (bobot 3)

KEGIATAN BELAJAR 3

I 1.a2.b3.c4.c5.a6.c

64

II 1.Dari persamaan yang ke 2 substutusikan ke persamaan yang 1 (bobot3)2.Gunakan keistimewaan sudut. (bobot 3)3.Sebelum melukis analysa dahulu

Gunakan teorema : Besar sudut luar = 2 sudut dalam yang lain(bobot 1)Selanjutnya dapat dilukis (bobot 3)

KEGIATAN BELAJAR 4

I 1.a2.d3.b4.a5.d6.a7.a8.d

II 1.Dengan menggunakan teorema garis berat, panjang alas AB dapat. Se-Lanjutnya segitiga dapa dilukis.(bobot 3)

2.Dengan menggunakan teorem Pythagoras (bobot 3)3.Gunakan teorema proyeksi (bobot 1)

Gunakan teorem:perbandingan luas 2 segitiga yang sebangun (bobot3)

KEGIATAN BELAJAR 5

I 1.c2.a3.b4.c5.d6.a7.b8.a

II. 1.Dengan menggunakan teorem bahwa panjang garis singgung dari suatuTitik adalah sama (bobot 1)Dengan menggunakan Pythagoras, dan rumus luas. (bobot 2)

2.Dengan menggunakan kuasa (bobot 3)3.Dengan menggunakan kesebangunan (bobot 1)

Menggunakan rumus luas (bobot 3).

65

GLOSARIUM

AAksioma : pernyataanyang tidak perlu dibuktikan lagi kebenarannya.Apotema : ruas garis yang ditarik dari pusat lingkaran tali busur.

BBangun- bangun kongruen : bangun-bangun yang sama dan sebangun

CCeva : (teorema)

DDiameter: garis tengah

GGaris bagi sudut : T.K titik yang berjarak sama kekaki-kaki sudut tsb.

HHipotenusa : sisi miring suatu segitiga siku-siku

KKolinear : 3 titik kolinear berarti 3 titik tsb. terletak pada sebuh garis

MMenelaos ; (teorema)

PParallelogram : jajargenjangPostulat : pernyataan yng harus kita anggap atau terima sebagai kebenaran agar

Kita bisa mereduksi pernyataan yang lainPythagoras: (teorema)Ptelemeus : (teorema)Proyeksi : (teorema)

RRectangle : persegipanjangRhombus : belahketupat

SSquare : persegiStewart : (teorema)

TTranversal: Suatu garis yang memotong sebuah bangun

66

DAFTAR PUSTAKA

1.Ahsanul In,am, 2003, Pengantar Geometri.Bayu media Malang

2 Barnett Rich, 2005, Geometry. The MCGRaw-Hill Companies

3 Kurniawan,2007, Olympiade Matematika. Penerbit Erlangga Jakarta

4 Kusni, 2003, Geometri. Penerbit : unnes

5 Kristianto, 2002, Kapita Selekta. Penerbit : Erlangga Jakarta

6.Wijdenes, 1959, Planimetri . Noordhoff- Kolff N.V. Jakarta

7.Wono Setya Budhi, Ph.D. 2003, Matematika Untuk SLTP Jilid IA,IB,IIA,IIB,IIIA.Penerbit ; Erlangga Jakarta.

8.Wono Setya Budhi, Ph.D. 2004, Langkah Awal Menuju Ke OlimpiadeMATEMATIKA. Penerbit :C.V. Ricardo Jakarta

geometri -...

Documents