ATIK RODIAWATI A1C009054

METALIA FRANSISKA A1C009071

OKTIFA HARMANINGSIH A1C009077

WISNU YAHYA A1C009092

A 1. Aksioma Archimedes atau Aksioma Ukuran

Misalkan dan dua segmen garis, maka ada bilangan

berhingga titik-titik pada garis lurus sehingga

segmen-segmen kongruen terhadap

dan titik B di antara A dan

AB CD

nAAAA ,,,, 321

nn AAAAAAAA 1321 ,,,, CD

nA

…………..... AnB

C D

A A1A2A3.............................

AKSIOMA KEKONTINUAN

AB

A 2. Aksioma Kelengkapan

Himpunan titik-titik pada garis lurus yang memenuhi aksioma urutan,aksioma pertama kekongruenan dan aksioma archimedes adalahlengkap, yaitu tidak ada titik lain yang dapat ditambahkan padahimpunan tersebut, sehingga semua aksioma ini adalah sama benar

Aksioma urutan 1

Jika titik B diantara titik A dan C, maka A, B dan C adalah titik – titik yang berbeda dan B juga terletak diantara C dan A

AKSIOMA KEKONTINUAN

ABC

Aksioma urutan 2

Untuk sebarang dua titik A dan C, ada sedikitnya sebuah titik B pada garis . Sehingga C diantara A dan B.

AC

AC B

A B C

Aksioma urutan 3

Dari sebarang tiga titik pada garis lurus, tidak lebih dari satu terletak diantara keduanya.

α

A

B

C

a a

Aksioma urutan 4

Aksioma PaschMisalkan A, B, dan C tiga titik tidak pada satu garis dan a suatu garis terletak di bidang α yang tidak melalui sebarang titik A, B, dan C. Maka, apabila a melalui titik pada segmen , garis a juga akan melaui titik pada segmen AC atau titik pada segmen .

AB

BC

A1.Jika A dan B dua titik berbeda pada garis lurus a dan A’ sebarang titik padagaris yang sama atau garis berbeda a’ , maka ada suatu titik B’ pada sisi yangsama pada a’ terhadap A’ sehingga segmen kongruen terhadap

A BA’ B’

a

a’

AB A’B’

Aksioma Kekongruenan

B’A’

Misalkan dan dua segmen garis, maka ada bilangan

berhingga titik-titik pada garis lurus sehingga

segmen-segmen kongruen terhadap

dan titik B di antara A dan

AB CD

nAAAA ,,,, 321

nn AAAAAAAA 1321 ,,,, CD

nA

A1A2A3……………................... …………..... AnB

C D

A

aksioma Archimedes atau Aksioma Ukuran

AB

Unsur-unsur (titik-titik, garis-garis dan bidang-bidang) dari sistem

geometri tidak dapat diperluas menjadi titik-titik, garis-garis dan bidang-

bidang karena kekontinuan aksioma insidensi, aksioma urutan, aksioma

kekongruenan serta aksioma Archimedes.

Bukti

i. Kita asumsikan bahwa unsur-unsur dari sistem geometri dapat

diperluas.

ii. Misalkan unsur-unsur yang ada sebelum diperluas kita sebut

sebagai unsur lama, sedangkan unsur-unsur yang telah diperluas

kita sebut sebagai unsur baru.

Teorema Kelengkapan

(Sekarang kita gunakan contoh)

iii. Terdapat segitiga FGH , segmen FG dan titik I pada bidang lama.

iv. Menurut aksioma urutan (4) Jika sebuah titik baru L dihubungkan

dengan titik I maka garis IL dan FH atau garis IL dan GH

berpotongan di titik K.

v. Jika K adalah titik baru maka sebuah titik baru K berada pada garis

lama FH atau GH . Sedangkan jika K adalah titik lama maka L

adalah titik baru yang berada pada garis lama IK .

vi. Semua asumsi ini bertentangan dengan aksioma kelengkapan

karena tidak ada titik yang dapat ditambahkan pada himpunan titik-

titik yang telah ada.

vii. Asumsi bahwa unsur-unsur dari sistem geometri dapat diperluas

tidak dapat diterima maka dapat disimpulkan bahwa unsur-unsur

dari sistem geometri tidak dapat diperluas.

F G

H LL

I

KK

Referensi

Hilbert, David. 1992. Foundation of Geometry. e/2. open

Court Publishing Company Illinois – USA.

Kusno. 2004. Geometri. Universitas Jember : Jember.