TUGAS KELOMPOKGEOMETRI BANGUN DAN RUANG

Tentang :

LINGKARAN

Oleh:

Kelompok 5:

Ainil Huda 12 105 036Arya Danur Khadafi 12 105 039Deni Ardilla 12 105 040Diana Novita 12 105 042Eva Mursyida 10 105 037Nilla Nafion 12 105 058

Dosen Pengampu:

Nola Nari, S.Si, M.Pd.

PROGRAM STUDI TADRIS MATEMATIKA JURUSAN TARBIYAH

SEKOLAH TINGGI AGAMA ISLAM NEGERI (STAIN)

BATUSANGKAR

2013

A

P

LINGKARAN

A. PENGERTIAN LINGKARAN

Lingkaran adalah garis lengkung yang tertutup, semua titik yangterletak

pada garis lengkung tersebut sama jauhnya dari sebuah titik tertentu. Titik

tertentu itu disebut dengan pusat lingkaran, dan garis lengkung tersebut

dinamai lingkaran.

Dari gambar di atas didapat:

P= pusat lingkaran

AP=r=jari-jari

Garis lengkung dari titik A dan kembali ke A disebut lingkaran.

Jadi dapat disimpulkan bahwa :

“lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang letaknya sama jauh

dari sebuah titik tertentu.”

Dalam menamai sebuah lingkaran disebutkan menurut titik pusat dan

jari-jarinya. Misalnya lingkaran dengan titik pusat p dan jari-jari r diberi

nama O (p,r) .

B. Hal-hal yang berhubungan dengan lingkaran

1. Beberapa istilah dalam lingkaran :

a. Garis tengah(diameter), yaitu garis lurus dalam lingkaran yang melalui

pusat lingkaran,

b. Tali busur, yaitu garis lurus yang menghubungkan dua titik pada

lingkaran.

c. Aphatema, yaitu garis dari pusat tegak lurus pada tali busur.

d. Anak panah, yaitu perpanjangan dari aphatema sampai busur.

e. Juring (vektor) bagian lingkaran antara dua buah jari-jari dan busur.

f. Tembereng, yaitu bagian lingkaran antara tali busur dan busur

G H

Juring

A p r B

C F D

Tembereng

2. Hubungan garis dan lingkaran

Ada 3 kemungkinan hubungan antara garis dan lingkaran, yaitu :

a. Garis tidak memotong lingkaran atau garis berada diluar lingkaran

b. Garis memotong lingkaran, jika g> r.Disini garis dan lingkaran

mempunyaidua titik sekutu, yaitu A dan B.

g

P r

c. Garis menyinggung lingkaran, jikad = r. Disini garis dan lingkaran

B

A

Mempunyaisatu titik sekutu yaitu titik A.

C. Dalil- Dalil dalam Lingkaran :

Dalil 1 : “sebuah apothema membagi dua tali busur atas bagian-bagian

yang sama panjang.”

Bukti :Diketahui : AB = tali busur

PD = apothema

Akan dibuktikan: AD = DB

Bukti : perhatikan Δ ADP dan ΔBDP,∠ADP = ∠ BDP = 90 ͦ

Sehingga DP = DP (sama-sama dipakai)

AP=BP=jari-jari

Jadi, Δ ADP sama dan sebangun dengan ΔBPD(s,s,sd)

Sehingga terbukti AD = DP.

Dalil 2 : “ jika dalam sebuah lingkaran dua buah tali busurnya sama

panjang, makaapothemanya sama panjang pula, demikian juga

kebalikannya.”

Bukti :

Dari gambar di atas diketahui AB=CD

PQ dan PR apothemanya.

Akan dibuktikan PQ = PR

Bukti :

AB =CD (diketahui)

CR= ½ CD AQ = CR

AQ =½ AB

AP=CP (jari-jari)

Δ AQP sama dan sebagun dengan Δ CRP

Jadi terbukti PQ = PR

Dalil 3 : “ sebuah garis singgung tegak lurus pada jari-jari yang melalui

titik singgungnya.”

Bukti :

Dari gambar diatas diketahui:

l = garis singgung

R = titik singgung

Akan dibuktikan : PR tegak lurus dengan l

Bukti :

ΔPQR merupakan segitiga sama kaki, karena PR + PQ = jari-jari.

∠R = ∠ Q

∠P = 180˚ - (∠R+∠Q)

Atau ∠R=∠Q=90˚

Jika RQ menjadi garis singgung, yaitu dengan jalan memutar garis

RQ dengan titir tetap R.

Jika R berimpit dengan Q, maka RQ berimpit dengan garis l

Jadi ∠P=0, sehingga ∠R=∠R=90˚-0˚

Dan disimpulkan bahwa PR tegak lurus terhadap l.

D. Hubungan dua lingkaran

1. Dua lingkaran tidak sama

Dua lingkaran dikatakan tidak sama apabila :

a. jika s>R+r maka o(Q,r) terletak diluar O(P,R), kedua lingkaran tidak

memiliki titik potong

b. jika s< R-r maka o(Q,r) terletak didalam o(P,R) kedua lingkaran tidak

mempunyai titik potong

c. jika s=R-r, maka O(Q,r) menyinggung o(P,R) dari dalam, dan kedua

lingkaran tersebut mempunyai satu titik sekutu

d. jika s= R+r, maka o(Q,r) menyinggung o(P,R) dari luar. Kedua

lingkaran tersebut mempunyai satu titik sekutu

e. jika s=o, mka o(Q,r) dan o(P,R) sepusat dan kedua lingkaran tidak

mempunyai titik sekutu

f. jika R-r<S<R + r, mka o(Q.r) memotong o(P,R) kedua lingkaran

mempunyai dua titik sekutu.

2. Dua buah lingkaran sama besar

Kemungkinan dua lingkaran sama besar adalah sebagai berikut:

perhatikan gambar berikut:

a. tidak berpotongan : L1 dan L2

b. bersinggungan : L1 dan L3

c. berpotongan :L1 dan L4

d. berimpit : L1 dan L5

E. Garis Singgung Dan Garis Singgung Persekutuan Antara Dua buah

Garis Singgung

Defenisi:garis yang melalui pusat–pusat antara 2 buah lingkaran disebut

dengan garis sentral atau garis perpusatan.

1. Prinsip-prinsip garis singgung :

a. Prinsip 1 : garis singgung adalah garis tegak lurus terhadap jari-jari

dan menuju titik singgung

b. Prinsip 2 : suatu garis merupakan garis singgung lingkaran jika garis

tersebut tegak lurus terhadap jari-jari pada ujung luarnya.

c. Prinsip 3 : suatu garis melalui titik pusat lingkaran jika garis tersebut

tegak lurus terhadap suatu garis singgung pada titik singgungnya.

d. Prinsip 4 : garis singgung lingkaran dari suatu titik diluar lingkaran

adalah kongruen.

e. Prinsip 5 : ruas garis dari titik pusat lingkaran ke suatu titik diluar

lingkaran membagi dua sudut diantara garis-garis singgung dari titik

tersebut ke lingkaran.1

PQ = garis sentral atau garis perpusatan antara lingkar lingkaran ,di( P ,

R) dan lingkaran ( Q,r)

Pada kedua lingkaran dapat ditarik garis–garis yang menyinggung

lingkaran itu. Garis yang menyinggung kedua lingkaran tersebut dinamai

dengan garis singgung persekutuan.

Pada dua buah lingkaran yang berpotongan tersebut didapatkan 4 buah

garis singgung persekutuan .pada gambar diatas garis singgung persekutuan

AB dan CD . kedua garis singgung itu disebut dengan garis singgung

persekutuan luar.

Sedangkan EF dan GH disebut dengan garis singgung persekutuan

dalam. Pada dua buah lingkaran yang yang bersinggungan akan didapatkan

2 buah garis singgung persekutuan luar dan 1 garis singgung persekutuan

dalam.

Pada 2 buah lingkaran yang berpotongan didapatkan 2 buah garis

singgung persekutuan luar dan tidak ada garis persekutuan dalam .

sedangkan dua buah lingkaran yang bersinggungan dari dalam , dijumpai

1 Barnett Rich Schaum’ easy Outlines, Geometri, (Jakarta: Erlangga, 2005) h. 53

hanya satu buah garis singgung persekutuan , yaitu garis singgung

persekutuan luar.

2. Melukis garis singgung persekutuan antara2 buah lingkaran.

a. Menarik Garis Singgung Dari Suatu Titik Ke Suatu Lingkaran

Lukislah garis singgung dengan diameter T kelingkaran (P,R)

caranya:

1) Buat lingkaran dengan diameter TP, yang memotong lingkaran

(P,R) pada titik A dan B.

2) TA dan TB merupakan garis singgung yang diminta .

b. Melukis Garis Persekutuan Luar Antara 2 Buah Lingkaran Yang Tidak

Berpotongan.

Lukislah garis singgung persekutuan luar antara lingkaran (P,R ) dan

(Q,r),dengan cara:

1) Buat lingkaran dengan pusat P dan jari – jari R – r

2) Buat garis singgung dari Q ke O (P,R – r ) didapatkan garis

singgungQA dan QB

3) Perpanjang PA dan PB sampai memotong lingkaran (P,R) di T

dan S

4) Melalui T dan S buat garis – garis yang sejajar dengan QA dan

QB

5) Gari – garis TM dan SN merupakan garis singgung tersebut.

c. Melukis garis singgung persekutuan dalam

Caranya :

1) Buat lingkaran dengan pusat P , jari – jari R + r

2) Buat garis singgung dari Q ke lingkaran (P,R + r ) yaitu QA

dan QB

3) T dan S merupakan titik potong PA dan PB dengan lingkaran

(P,R)

4) Melalui T buat garis sejajar dengan QA

5) Melalui S buat garis sejajar dengan QB

6) TM dan SN merupakan garis singgung yang dimaksud

3. Sudut Antara Garis d an Lingkaran .

Kalau suatu garis memotong suatu lingkaran , maka antara garis

dan lingkaran tersebut didapatkan sudut yang disebut dengan sudut

antar garis dan lingkaran.

Defenisi:sudut antara suatu garis dan suatu lingkaran ialah sudut

lancip yang dibuat oleh garis itu dengan garis singgung pada titik

potong.

Garis l memotong lingkaran (P,r) pada titik A dan B pada titik

potong B dibuat garis g yang menyinggung lingkaran (P,r).Sudut yang

dibentuk oleh l dan g adalah sudut antara garis l dan lingkaran (R,r).

4. Sudut Antara Dua Buah Lingkaran

Defenisi : yang dimaksud dengan sudut antara dua buah lingkaran

yang berpotongan adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis – garis

singgung yang dibuat pada salah satutitik potongnya.

.

Lingkaran (P,r) dan (Q,R) berpotongan pada titik A dan B

91 = garis singgung melalui titik A pada (P,r)

92 = garis singgung melalui titik B pada(Q,R)

Sudut antara 91 dan 92 adalah sudut antara dua lingkaran (P,r) dan (Q,R)

F. SUDUT PADA LINGKARAN

1. Sudut Pusat ,busur dan Tali busur

a. Hubungan Pusat, Busur dan Tali busur

Defenisi : Sebuah sudut, yang titik sudutnya titik pusat sebuah

lingkaran disebut dengan sudut pusat.

Dalil 4: “ jika dua buah sudut pusat sebuah lingkaran sama

besar, maka tempat susut-sudut itu berdiri sama pula besarnya”

A C

D D

B

Diketahui : lingkaran (P,R) ∠APB =∠CPD. Yang akan

dibuktikan busur AB = busur CD

Bukti :

Juring CPD kita putar mengelilingi titik sudut P, sehingga PC

berimpit dengan PA, titik C akan berimpit dengan titik A, karena

PC=PA dan ∠ P1 =∠P2 maka PD berimpit pula dengan PB.Jadi

titik-titik P, A dan B akan berimpit dengan Titik P,C dan A.

Karena busur AB dan busur CD merupakan busur dari lingkaran

yang sama , maka setiap titik pada busur AB dan CD sama jauh

P

letaknya dari titik P. dengan demikianbusur AB juga berimpit

dengan busur CD atau busur AB = busur CD

Catatan : kebalikan dari dalil 4 juga berlaku yaitu, jika dua busur

suatu lingkaran sama, maka sudut pusat sudut pusatnya sama

pula.

2. Sudut yang Dibentuk 2 buah Tali busur

Ada 3 jenis sudut yang dibentuk oleh 2 buah tali busur ,yaitu:

Definisi :

a. Sudut tepi (sudut keliling) yaitu sudut yang dibentuk oleh dua

buah tali yang berpotongan pada lingkaran.

b. Sudut tepi dalam (sudut dalam keliling), yaitu sudut yang

dibentuk oleh dua buah tali busur yang berpotongan didlam

lingkaran.

c. Sudut tepi luar (sudut luar keliling), yaitu sudut yang dibentuk

oleh dua buah tali busur yang berpotongan diluar lingkaran.

∠ABC = sudut tepi

∠ATD=sudut tepi dalam

∠ASF= sudut tepi luar

Dalil 6 :“ sebuah sudut keliling sama dengan setengah busurnya(=busur

tempat ia berdiri).

Diketahui : lingkaran (P,r)

Akan dibuktikan: ∠BAC=1/2 busur BC

Bukti:

Buat garis tengah melalui A, yaitu AD

PA=PB=PC=PD

∠A1= ∠B=1/2∠P2

∠A2=∠C=1/2∠p1

∠A1+∠A2=1/2∠P1+1/2∠P2

Atau ∠A BAC = ½ ∠A BPC

Jadi ∠A BAC =1/2 busur BC

B

A D

C

Dalil 7:“ sebuah sudut dalam keliling sama dengan ½ jumlah kedua busur

yang terletak diantara kaki-kaki sudut itu, didalam sudut itu dan sudut

yang bertolak belakang.”

Diketahui : lingkaran (P, r)

Akan dibuktikan ∠ASC=1/2 busur (AC+BD)

Bukti : hubungan A dan D, maka sudut ASC merupakan

1 2

2 P 1

sudut luar dari Δ ADS.

∠ASC = ∠A +∠D

= ½ busur BD + ½ busur AC

Jadi, ∠ASD =1/2 busur (AC+BD).

Dalil 8 :“ sebuah sudut tepi luar besarnya sama dengan ½ dari busur-

busur yang terletak diantara kaki-kakinya”.

Diketahui: lingkarn (P, r)

akan dibuktikan: ∠ AATC =1/2 busur (AC-BD)

Bukti:

∠ATC = ∠ABC - ∠BCT

= ½ busur AC – ½ busur BD

Jadi∠ATC= ½ busur (AC-BD)

Akibat dari sudut tepi luar :

1. Jika TC merupakan garis singgung dan TAB merupakan

Tali busur, maka :∠A ATC=1/2 busur(AC-BC)

2. Jika TC dan TD merupakan 2 buah garis singgung yang

berpotongan, maka:

∠A DTC=1/2 busur (DAC-DBC)

Dalil 9:“ dua buah tali busur yang sejajar memotong sebuah lingkaran atas

busur-busur yanG sama.”

Diketahui : lingkaran(P,r), AB//DC

Akan dibuktikan : busur AC=busur BD

Bukti:Hubungan A dan D maka:

∠A BAD=∠ADC……………..1)

∠ADC=1/2 busur AC∠BAD=1/2 busur BD……….2)

Dari persamaan 1 dan 2 maka terbuktilah : busur AC= busur BD

G. PERBANDINGAN GARIS PADA LINGKARAN

Tali Busur Dan Garis Tegak Lurus Pada Garis Tengah

Dalil 10: “kuadrat sebuah talil busur sama dengan hasil kali proyeksinya

pada garis tengah dengan garis tengah yang ditarik melalui salah satu

titik ujung tali busur”

Diketahui : lingkaran (p , q )

AC = garis tengah

AB = tali busur

Buktikan :AB2 = AD × AC

Buktikan: Hubungan B dan C

Perhatikan ∆ABD dan ∆ ABC

∠ A=∠A ∠D=∠ ABC=90°

∴∆ ADB ∆ ABC

AC : AB = AB : AD atau AB2 = AD × AD

Dalil 11 : “kalau sebuah titik pada lingkaran dibuat garis tegak lurus

kepada sebuah garis tengah , maka kuadrat garis tegak lurus itu sama

dengan hasil kali bagian – bagian garis tengah itu”.

Diketahui : lingkaran (p, r )

AB = garis tengah

CD ⊥AB ,

Buktikan : CD2 = AD × DB

Buktikan : hubungan C dengan A dan B.

Perhatikan ∆ ADCdan ∆ CDB

∠ ADC=∠CDB

∠ ACD=∠DBC=90 °−∠ A

∴∆ ADC ∆ CDB

CD : DB = AD : DB atau CD2 = AD × DB

Dua Tali Busur Berpotongan di Dalam Lingkaran

Dalil 12: “jika dua buah tali busur berpotongan di dalam lingkaran ,maka hasil kali potongan – potongan tali busur itu adalah sama”.

Diketahui : tali busur AB dan CD berpotongan di T.Buktikan : TA × TB = TC × TD Bukti : hubungan A dengan C dan B

dengan D .Perhatikan ∆ ATCdan ∆ BTD

∠ ATC=∠BTD∠ ACT=∠DBT

AT : TD = TC : TB ∴∆ ATC ∆ DTB atau TA ×TB = TC × TD

Dua Tali Busur Berpotongan Diluar Lingkaran

Dalil 13 : “kalau dari sebuah titik T yang terletak di luar lingkaran dibuat 2 buah garis yang memotong lingkaran ,maka hasil kali jarak T dengan titik potong pada garis pertama sama dengan hasil kali jarak T dengan titik – titik potong pada garis kedua.”

Diketahui : tali busur AB dan CD berpotongan diluar lingkaran (p,r).Buktikan : TA × TB = TC ×TD Buktikan : hubungan A dengan D ,B dengan C

Perhatikan ∆ DAT dan ∆ BCT∠T=∠T

∠D=∠B=12 busur AC

∴∆ DAT ∆ BCTJadi TA : TC = TD : Atau TA × TB= TC ×TD

Dalil 14 : “jika dari sebuah titik T diluar sebuah lingkaran dibuat sebuah garis singgung dan sebuah garis yang memotong lingkaran ,maka kuadrat garis singing sama dengan hasil kali jarak T dengan titik – titik pada gris potong itu.”

Diketahui: Titik T diluar lingkaran (p,r)TA = garis singgung TB = garis yang memotong lingkaran

Buktikan : TA2 = TB × TC Buktikan : hubungan A dengan B dan C

Perhatikan ∆TAB dan ∆TA∠T=∠T

∠TAB=∠C=12busur AB

∴∆ TAB ∆ TCATA : TC = TB : TA atau TA2 = TB × TC.

H. SEGITIGA DAN LINGKARAN

Lingkaran Luar Jika diketahui suatu segitiga, maka melalui titik – titik sudut

segitiga dapat dibuat suatu lingkaran .

Lingkaran yang demikian disebut dengan lingkaraan luar atau lingkaran keliling dari suatu segitiga.

Batasan ; lingkaran luar atau lingkaran keliling dari suatu segitiga ialah lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga itu.

Sebagai pusat dari lingkaran luar suatu segi tiga ialah titik – titik potong ketiga sumbu darisisi- sisi segitiga itu.

Lingkaran (p,r) adalah merupakan

Lingkaran luar dari suatu ∆ ABC ,

R = jari – jari lingkaran luar.

Dalil 15: “jari – jari lingkaran luar suatu segitiga sama dengan hasil kali ketiga sisinya dibagi dengan 4 kali hasil luasnya”.

Diketahui; ∆ ABCdengan sisi a,b,c

L=luas ∆ ABC

R= jari – jari lingkaran luar ∆ ABC

Buktikan :R = abc4 L

Bukti: buat garis tengah CE dan garis tinggi CD

Perhatikan : ∠ A=∠E=12

busurBC

∠D=∠EBC=90 °

∴∆ ADC ∆ ABC ( sd . sd )

CD : BC= AC : CE

Tc : a = b : 2R

2R Tc = ab

R= ab2tc

R = abC2tcC

R = abC4 L

Lingkaran Dalam

Defenisi: lingkaran dalam (lingkaran singgung ) dari sebuah segitiga ialah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga itu.

Titik pusat lingkaran dalam suatu segitiga adalah titik potong ketiga garis bagi dari segitiga itu

Lingkaran (p,r) merupakan lingkara dalam dari segitiga ABC

Jika r = jari – jari lingkaran dalam dari suatu segitiaga ABC engan sisi –sisi ab,c dan L = luas segitiga ABC ,maka jari –jari lingkaran dalam (lingkaran singgung dalam ) dari segitiga ABC itu dirumuskan :

r = LS

dimana s= 12(a+b+c) atau dengan kata lain

Dalil 16 : “jari – jari lingkaran dalam suatu segitiga sama daengan luas segitiga itu dibagi dengan separoh dari jumlah sisi- sisi segitiga itu”.

Diketahui : ∆ ABC , dengan sisi a,b dan c

Luas ∆ ABC=L

S = 12(a+b+c)

Lingkaran (p,r) = lingkaran dalam segitiga

Buktikan : r = LS

Panjang bagian – bagian garis pada sisi- segitiga dengan lingkaran dalam.Perhatikan gambar:

AQ = AR ( garis singgung )BP = BR (garis singgung )CP = CQ (garis singgung)

AQ + BP + CP = AR + BR + CQ = ½ keliling =s

AQ + (BP + CP)=S

AQ + a = S

AQ = s – a

Dengan memperhatikan langkah diatas ,juga dapat diperoleh :

AR = ( S – a ) BR = ( S – a ) CP = (s – a )

AQ = ( s – a ) Bp =( s – a ) CQ = ( s – a )

Kesimpulan : panjang bagian garis dari titik sudut ke titik singgung = s dikurangi sisi didepan sudut tersebut.

Lingkaran Singgung

Defenisi : lingkaran singgung (luar) dari suatu segitiga adalah lingkaran yang menyinggung sebuah sisinya dan smbungan kedua sisi lainnya.

Titik – titik pusat lingkaran singgung dari suatu segitga aialah perptongan salah satu garis bagi dalam dan kedua garis garis bagi luar sudut yang lainnya dari segotiga itu.

Lingkaran singgung yang menyinggung sisi a jari-jarinya dinyatakan dengan ra ,menyinggung sisi b dengan rb dan menyinggung c dengan c rc.

Dalil 17: jari jari lingkaran singgung masing – masing sisi dari segitiga ABC dirumuskan dengan :

ra = L

S−a , rb= L

S−b , rc = L

S−c

diketahui : ∆ ABCdengan sisi ab dan c

ra = jari- jari lingkaran singgung pada sisi a

L = luas ∆ ABC

Buktikan : ra = L

S−a

Bukti :

luas ∆ ABC = luas ABP + luas ACP – luas BCP

L = ½ c.ra + ½ b.ra - ½ a.ra

L = ½ ra (c + b – a )

= ½ ra (2s – 2a )

L = ra ( s – a ) atau ra = L

S−a

Dengan cara yang sama juga dapat dibuktikan bahwa :

, rb= L

S−b dan rc = L

S−c

Menentukan titik – titik singgung lingkaran dalam dan lingkaran singgung suatu segitiga.

Perhatikan gambar berikut :

Lingkaran (Q,ra) merupakan lingkaran singgung dari segitiga ABC, yang menyinggung sisi a pada titik D.

AB + BC + AC = c + a + b = 2S

AB + AC + CD + DB = 2S

CD = CF

BD = BE

AB + BE + AC + CF = 2S atau AE + AF = 2S.

AE = AF( garis singgung dari A ke lingkaran ())

Jadi AE = AF = S.

Dari AE = s maka BE = AF - AB = s – c

AF = s maka CF = AF – AC = s – b.

Dengan demikian kita dapat menentukan titik – titik singgung lingkaran singgung dari suatu segitiga.

Lingkaran singgung yang mentinggung sisi b, umpamanya akan menyinggung perpanjangan sisi BC, dimana jaraknya dari titik sudut B = s, dan perpanjangan BA pada titik yang berjarak S pula dari B.

Selanjutnya jika lingkaran ( P, r ) merupakan lingkaran dalam dari ∆ABC, dengan titik – titik singgungnya K, L dan M.

AB + BC + AC = c + a + b = 2s

AM + MB + BC + CL + AL = 2s

AM = AL, BM = CK

AM + BK + CK = s

AM = s – a dan AL = s – a . dan CK = CL, maka

AM + BK + CK = s

AM = s – a dan AL = s – a.

Dengan demikian titik – titik singgung lingkaran dalam dari suatu segitiga dapat pula ditentukan.

Titik singgung M dari lingkaran dalam ( p, r) dari segi tiga ABC dihitung dari sudut A diperoleh dari separoh keliling segitiga dikurangi dengan titik sudut B sama dengan separoh keliling segitiga dikurangi sisi didepan sudut B.

Dari gambar diatas didapatan pula :

DK = BC – BD – CK

= a – ( s – c ) – ( s – c )

= a – s + c – s + c

= a + 2c – 2s

= c – b.

Dari uraian diatas, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa jarak antara titik – titik singgung lingkaran dalam dan lingkaran singgung pada suatu sisi sama dengan selisih antara kedua sisi yang lain.

I. SEGI EMPAT DAN LINGKARAN

Segi Empat Tali Busur

Defenisi: Segi empat tali busur adalah segi empat yang keempat titik sudutnya terletak pada keliling lingkaran.

Pada gambar diatas, titik-titik A, B, C, dan D terletak dikeliling lingkaran (p, r). Segi empat ABCD disebut dengan segi-4 tali busur.

Sifat-sifat segi-4 tali busur:

Dalil 18: “Pada segi empat tali busur, sudut-sudut yang berhadapan berjumlah 1800”.

Bukti : Untuk membuktikannya, perhatikan gambar 41 diatas.Buktikan ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 1800

Bukti: ∠A = 12 busur BCD

∠C = 12 busur DAB

∠A + ∠C = 12 busur BCD +

12 busur DAB

= 12 × keliling lingkaran

= 12 × 3600 = 1800

Dalil 19: “Dalam segi-4 tali busur , hasil kali kedua diagonalnya sama dengan jumlah hasil kali sisi –sisi yang berhadapan”.

Diketahui : Segi-4 tali busur ABCD, AC dan BD diagonal.

Buktikan : AC × BD = AB . DC + BC . ADBukti : Buat garis DE sedemikian, sehingga ∠ADE = ∠CDB

Perhatikan Δ ADE dan ΔBDC

∠ADE = ∠CDB (dibuat)

∠DAE = ∠DBC = 12 busur DC

Jadi ΔADE ~ ΔBDC (sd.sd)AE : BC = AD : BD

Atau AE × BD = BC × AD..............................................(1)Perhatikan ΔDEC dan ΔABD

∠CDE = ∠ADB

∠DCE = ∠ABD (didepan busur AD)

Jadi ΔDEC ~ ΔDAB (sd.sd)

DC : BD = CE : AB

AB × DC = BD × CE..............................................(2)

(1) + (2) => AE × BD + BD × CE = BC × AD + AB × DCBD (AE + CE) = BC × AD + AB × DCBD × AC = BC × AB + AB × DC

Dalil diatas sering disebut dalil Ptolomeus, yaitu sesuai dengan nama orang yang mendapatkannya.

Segi Empat Garis Singgung

Defenisi: Segi empat garis singgung yaitu segi empat yang keempat sisinya menyinggung sebuah lingkaran

Pada gambar diatas, segi-4 ABCD disebut segi-4 garis singgung. Keempat sisi segi-4 ABCD itu menyinggung suatu lingkaran, atau dengan kata lain didalam segi-4 ABCD dapat dibuat lingkaran yang menyinggung keempat sisi-sisi segi empat itu.

Sifat-sifat segi-4 garis singgung:

Dalil 20 : “Pada segi empat garis singgung, jumlah sisi yang berhadapan adalah sama”.

Diketahui : Segi-4 garis singgung ABCD

Buktikan : AB + CD = BC + AD

Bukti : AP = AS

BP = BQ

CR = CQ

DR = DS

AP + BP + CR + DR = AS + BQ + DQ + CS

(AP + BP) + (CR + DR) = (AS + DS) + (BQ + CQ)

AB + CD = AD + BC

J. LUAS DAN KELILING LINGKARAN

P

Keliling LingkaranKeliling lingkaran dapat diukur panjangnya, yaitu dengan

melingkarkan tali pada ligkaran itu, atau dapat juga dengan menggolongkannya pada pada penggaris yang memakai ukuran.

Panjangnya keliling lingkaran itu tergantung kepada panjang atau pendeknya jari-jari suatu ligkaran. Makin panjang jari-jari lingkaran itu makin panjang pula kelilingnya.Jadi, dengan demikian terdapat hubungan yang erat antara keliling lingkaran dengan jari-jari atau dengan diameternya.Harga π

π adalah bilangan yang menunjukan perbandingan antara keliling lingkaran dengan jari-jarinya. Harga itu dirumuskan dengan keliling lingkaran dibagi dengan garis tengah lingkaran itu.

Jika keliling lingkaran itu = K, garis tengah lingkaran = d, maka π

= Kd . Harga itu merupakan bilangan yang besarnya

227 = 3,14… jadi

rumus keliling adalah

K=π d , karena d=2 r , maka K=2 π r

Luas LingkaranLuas lingkaran dapat dihitung, jika lingkaran itu dibagi-bagi atas

2n bagian yang sama. Kemudian bagian-bagian itu disusun sehingga mendekati bentuk suatu persegi panjang. Jika n diambil besar sekali, maka bentuk susunannya akan berpentung persegi panjang. Yang panjangnya = πr dan lebarnya r. Sehingga dengan demikian luas lingkaran = π r2

Perhatikan gambar berikut ini:

Sebuah lingkaran dibagi menjadi 16 buah juring sama besar, kemudian disusun seperti gambar 56, dimana AB adalah setengah dari

keliling lingkaran itu dibagi atas jarring-jaring yang sangat kecil sekali, maka busur-busur dihubungkan mendekati garis lurus.

Dengan demikian bentuk susunan dari jaring-jaring itu akan berbentuk persegi panjang. Jadi, didapatkan bahwa luas lingkaran akan sama dengan luas persegi panjang ¿ πrxr=π r2, jadi luas lingkaran adalah

L = π r2

Berdasarkan perumusan luas lingkaran, maka didapat pula perumusan luas juring lingkaran, jika sudut pusat juring lingkaran = θ, dan jari-jari lingkaran = r, maka luas juring lingkaran itu dapat

dirumuskan:Luas juring = θ

360 x πr2

DAFTAR PUSTAKA

Syarif, Syahrial. 1990. Pengantar Geometri Bidang. Padang: Badan Penerbit Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FPMIPA) IKIP Padang

Rich, Barnett. 2005. GEOMETRI SCHAUM easy OUTLINES. Jakarta: Gelora Aksara Pratama

Farikhin. 2007. Mari Berfikir Matematis. Yogyakarta: Graha Ilmu