kalkulus - turunan (ppt)
DESCRIPTION
turunanTRANSCRIPT
Turunan fungsi
Aturan turunan
Turunan sinus dan cosinus
Aturan rantai
Turunan tingkat tinggi
Turunan fungsi implisit
Laju yang berkaitan
Diferensial dan aproksimasi
Turunan: Tujuan Instruksional KhususMahasiswa mampu: menggunakan definisi limit untuk menghitung turunan, atau
untuk memastikan turunan tidak ada menghitung turunan (tanpa bantuan TIK) menggunakan sifat-
sifat turunan, aturan turunan untuk konstanta, pangkat, dantrigonometri, serta aturan untuk perkalian dan pembagian, danaturan rantai
menghitung turunan kedua, ketiga, dst. dari suatu fungsi menggunakan turunan untuk mencari garis singgung kurva dan
menentukan laju yang berkaitan menghitung turunan dari fungsi yang didefinisikan secara
implisit menyelesaikan masalah yang terkait dengan laju perubahan
peubah dari suatu hubungan fungsional
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 2
Turunan Definisi. Kecepatan sesaat
Jika suatu obyek bergerak sepanjang garis koordinatdengan fungsi posisi f(t), maka kecepatan sesaatnyapada saat t0 adalah
asalkan limit ini ada dan bukan atau -.
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 3
Turunan Definisi. Garis singgung
Garis singgung kurva y = f(x) pada titik T(c, f(c)) adalah garis yang melalui T dengan kemiringan
asalkan limit ini ada dan bukan atau -.
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 4
Turunan Contoh. Carilah kemiringan garis singgung kurva y =
f(x) = x2 pada titik (1,1).
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 5
Turunan: Pengertian Definisi. Turunan
Turunan dari suatu fungsi f(x) adalah fungsi lain f ’(x) yang nilainya pada sembarang titik x adalah
asalkan nilai limit ini ada.
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 6
Turunan Contoh. Misalkan f(x) = 5x + 10, carilah f ’(6).
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 7
Turunan Contoh. Jika f(x) = 1/x, carilah f ’(x).
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 8
Turunan Bentuk yang setara untuk
turunan
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 9
Turunan Contoh 2.8 Diketahui f(x) = |x|, dengan menggunakan
bentuk f ’(c) yang terakhir, carilah f ’(0) jika ada, ataunyatakan jika tidak ada.
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 10
Turunan Contoh 2.9 Diberikan . Carilah
turunan dari f(x) di x = 0.
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 11
Turunan Notasi turunan
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 12
NotasiLeibniz
Turunan: Aturan
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 13
Turunan: Fungsi Trigonometri
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 14
Turunan: Aturan Rantai Teorema. Aturan rantai
Jika dan adalah dua fungsi yang terturunkan, makaturunan dari komposisi fungsi adalah
dengan kata lain
atau
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 15
Turunan Tingkat Tinggi
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 16
Turunan Tingkat Tinggi
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 17
Turunan Notasi Notasi Notasi Notasi Leibniz
Pertama
Kedua
Ketiga
Keempat
Ke-n
Turunan Tingkat Tinggi Contoh 2.24 Carilah turunan ke-n dari
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 18
Turunan: Fungsi Implisit Contoh. Carilah turunan dari fungsi
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 19
Turunan: Fungsi Implisit Contoh. Carilah turunan dari fungsi
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 20
Turunan : Fungsi Implisit Contoh. Carilah jika
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 21
.
Turunan: Laju yang berkaitan Laju perubahan jarak terhadap perubahan waktu
Laju perubahan posisi terhadap perubahan waktu
Laju perubahan volume udara yang dipompakan kewadah elastis tertutup
Laju perubahan zat cair yang mengalir dari suatuwadah
Laju perubahan harga rumah pada real-estate
dll
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 22
Turunan: Laju yang berkaitan Jika y secara eksplisit dinyatakan dalam t maka kita
langsung dapat menurunkan y terhadap t.
Jika y dinyatakan dalam suatu peubah lain, sebut sajax, dan kemudian ada hubungan keterkaitan yang belum tentu eksplisit antara x dengan t, makagunakan aturan rantai, dan penurunan implisit.
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 23
Turunan: Laju yang berkaitan Contoh. Satu balon berbentuk bola sedang diisi
dengan udara. Jari-jari r dari balon itu bertambahdengan laju 0,3 cm/detik ketika r = 5 cm. Dengan lajuberapakah volume balon bertambah pada saat itu?
Dik: dr/dt=0,3 cm/det ketika r = 5 Dit: dV/dt
Jwb:
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 24
Turunan: Laju yang berkaitanStrategi menyelesaikan masalah laju yang berkaitan
Gambarkan diagram dari masalah untuk danlengkapi gambar dengan data-data dari masalah, sertaberikan peubah untuk setiap besaran yang belumdiketahui.
Modelkan persamaan yang menghubungkan peubah-peubah yang sahih pada seluruh waktu, dan bukanhanya pada waktu tertentu saja.
Turunkan dan Evaluasi persamaan yang diperolehpada langkah 2 (secara implicit) dan gunakan nilaiyang diketahui untuk menghitung laju yang dicari.
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 25
Turunan: Laju yang berkaitan Contoh. Matahari terbenam dibelakang suatu gedung
setinggi 12 m, seberapa cepat pertumbuhan bayangangedung (dalam m/det) saat sinar matahari membentuksudut 45o?
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 26
Gambarkan.
Misalkan t adalah waktu(detik) sejak tengah malam.
Misalkan x adalah panjangbayangan (meter) dan adalahsudut dari sinar matahari
Turunan: Laju yang berkaitan
Modelkan.
Dit: dx/dt saat = /4.
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 27
Turunan: Laju yang berkaitan Turunkan dan Evaluasi.
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 28
Turunan: Diferensial dan aproksimasi
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 29
Turunan: Diferensial dan aproksimasiDefinisi. Diferensial
Misalkan y = f(x) adalah fungsi yang terturunkan ataspeubah bebas x.
x adalah sembarang penambahan pada peubah bebas x.
dx, yang disebut dengan diferesial dari peubah bebas x, adalah sama dengan x
y perubahan aktual peubah y ketika x berubah dari x0 ke x0
+ x , yaitu y = f(x0 + x) – f(x)
dy, yang disebut dengan diferesial dari peubah terikat y, didefinisikan dengan dy= f ’(x)dx
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 30
Turunan: Diferensial dan aproksimasi Contoh. Carilah dy jika
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 31
Turunan: Diferensial dan aproksimasi Aproksimasi
Aproksimasi linear
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 32
Turunan: Diferensial dan aproksimasi Contoh. Frekuensi osilasi (banyak putaran per detik)
dari suatu bandul berayun diberikan oleh
dimana l adalah panjang bandul dan g > 0 adalahpercepatan gravitasi. Jika panjang bandul ditambah¼%. Berapakah aproksimasi persentase perubahan f.
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 33
Turunan: Diferensial dan aproksimasi Penyelesaian.
Karena panjang bandul, l, bertambah ¼%, maka100(dl/l) = ¼, dan
Sehingga frekuensi bandul berubah sebesar -1/8 %
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 34
Turunan: Diferensial dan aproksimasi Contoh. Carilah apoksimasi linear dari
di sekitar titik x = 0.
f(0) = 1
mengambil c = 0
Matematika dasar A1Universitas Indonesia 35