kalkulus 1 term 2.ppt

PertidaksamaanPertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu peubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (, , ).

Hand Out Kalkulus I Dr. G. Margono, M.Ed. & H. Wardoyo, ST, MT.

*

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan real yang dapat dicapai oleh peubah-peubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar.

Pengertian selang/interval dan penyelesaian pertidaksamaan linier merupakan prasyarat yang diperlukan untuk memahami materi bahasan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, pertidaksamaan berbentuk pecahan, pertidaksamaan berbentuk akar, maupun pertidaksamaan berbentuk nilai mutlak.

Selang/Interval : Himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan real.

Suatu selang/Interval dapat digambarkan pada garis bilangan real berbentuk ruas garis atau segmen garis. Bagian garis yang menyatakan selang tersebut digambar dengan garis yang lebih tebal.

*Selang / Interval


Selang/interval pada umumnya merupakan himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan. Selang/interval sering digambarkan dengan membuat arsiran dibagian atas garis untuk selang yang bersangkutan.*Selang/Interval


Ada 8 macam kemungkinan selang/interval yang sering dijumpai dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan

*Selang/Interval


NoSelang/intervalGrafik SelangDibaca 1P < x < qSelang terbuka pq2P x qSelang tertutup pq3P x < qTertutup pada p, terbuka pada q4P < x qTerbuka pada p, tertutup pada q5x < qSelang terbuka pada q menuju tak terhingga ke arah lebih kecil6x qSelang tertutup pada q menuju tak terhingga ke arah lebih kecil7x > qSelang terbuka pada p menuju tak terhingga ke arah lebih besar8x qSelang tertutup pada p menuju tak terhingga ke arah lebih besar`

Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan yang variabel-variabelnya berpangkat atau berderajat satu.

Bentuk baku pertidaksamaan linier dalam variabel x ada 4 macam, yaitu:

Penyelesaian suatu pertidaksamaan diperoleh dengan proses manipulasi aljabar terhadap pertidaksamaan semula. Dalam prosses manipulasi aljabar untuk menentukan penyelesaian suatu pertidaksamaan menggunakan sifat-sifat berikut:*Pertidaksamaan Linier


1. ax + b < 02. ax +b 03. ax + b > 04. ax + b 0

1.Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilanagan yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap2.Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap3.Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaan terbalik

*Contoh-contoh


2x 1 < 02x < 1x < HP = x I x <

2x 5 02x 5x 2HP = x I x 2

6x + 6 06x -6x -1HP = x I x -1

3x 6 > 03x > 6x > 2HP = x I x > 2

2x 4 < 3x - 22x 3x < -2 + 4-x < 2x > -2HP = x I x > -2

4x + 3 2x + 54x 2x 5 - 32x 2x 1HP = x I x 1

2x + 1 > x + 22x x > 2 - 1x > 1HP = x I x > 1

1 + x 3 3x x + 3x 3 - 14x 2x HP = x I x

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang variabel-variabelnya berpangkat atau berderajat dua.

Bentuk baku pertidaksamaan linier dalam variabel x ada 4 macam (a,b,c bilangan real dan a0), yaitu:

Contoh pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dalam variabel xdapat ditentukan dengan dua cara, yaitu:

*Pertidaksamaan Kuadrat


1. ax2 + bx + c < 02. ax2 +bx + c 03. ax2 + bx + c > 04. ax2 + bx + c 0

1.Sketsa grafik fungsi kuadrat2.Garis bilangan

1. x2 ax + 3 < 02. x2 + 2x 3 03. 2x2 11x + 5 > 04. 3x2 x 2 0

Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut :

Contoh: fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f(x) = x2 4x + 3, grafiknya berbentuk parabola dengan persamaan y = x2 4x + 3.*Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat


Langkah-1Gambar sketsa grafik kuadrat f(x) = ax2 + bx + c atau parabola y = ax + bx + c. jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu xLangkah-2Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh, tetapkan selang/interval yang memenuhi pertidaksamaan ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c 0; ax2 + bx + c > 0 atau ax2 + bx + c 0.

Parabola di atas sumbu X (y>0), untuk x dalam selang x3. jadi x2 4x + 3 > 0 dalam selang x3.

Parabola tepat pada sumbu X (y=0), untuk nilai x=1 atau x=3. jadi x2 4x + 3 > 0 untuk nilai x=1 atau x=3.

Parabola di bawah sumbu X (y

Pertidaksamaan x2 4x + 3 < 0 himpunan penyelesaiannya adalah : HP x I 1 < x < 3, x RPertidaksamaan x2 4x + 3 0 himpunan penyelesaiannya adalah : HP x I 1 x 3, x RPertidaksamaan x2 4x + 3 > 0 himpunan penyelesaiannya adalah : HP x I x < 1 atau x > 3, x RPertidaksamaan x2 4x + 3 0 himpunan penyelesaiannya adalah : HP x I x 1 atau x 3, x R

*Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat


x I 1 < x < 3, x R

b. x I 1 x 3, x R

c. x I x < 1 atau x > 3, x R

d. x I x 1 atau x 3, x R

Ada 4 langkah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan metode garis bilanganSebagai contoh kita menggunakan pertidaksamaan x2 4x + 3 < 0 Langkah 1

Langkah 2

*Garis Bilangan


*Pertidaksamaan


Langkah 3

Nilai UjiNilai x2 4x + 3 Tanda intervalX = 0(0)2 4(0) + 3 = +3+ atau > 0X = 2(2)2 4(2) + 3 = -1- atau < 0X = 4(4)2 4(4) + 3 = +3+ atau > 0

*Pertidaksamaan


Langkah 4Berdasarkan tanda-tanda interval pada gambar diatas, maka interval yang memenuhi pertidaksamaan x2 4x + 3 < 0 adalah 1 < x < 3. jadi himpunan penyelesaiannya adalah HP=xI1 < x < 3

Tanda-tanda interval pada gambar diatas dapat pula digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut :

Ada 2 macam bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat, yaitu:A. Definit Positif, yaitu bentuk kuadrat ax2 + bx +c >0 berlaku untuk semua x R. bentuk ax2 + bx +c >0 disebut definit positif jika a > 0 dan D < 0.

B. Definit negatif, yaitu bentuk kuadrat ax2 + bx +c < 0 berlaku untuk semua x R. Bentuk ax2 + bx +c disebut definit negatif jika a

Pertidaksamaan pecahan adalah suatu pertidaksamaan yang memiliki pembilang dan penyebut.Pertidaksamaan pecahan memiliki 4 macam bentuk baku, yaitu:

Himpunan pertidaksamaan pecahan dapat diselesaikan dengan mengunakan garis bilangan.*Pertidaksamaan Pecahan


Pertidaksamaan pecahan dapat diselesaikan dengan 4 langkah, yaitu:Langkah-1Sebagai contoh digunakan soal:Cari nilai nol pembilangCari nilai nol penyebut

Langkah-2Nilai nol pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis bilangan. Nilai-nilai nol itu membagi garis bilangan menjadi 3 interval, yaitu x 2.*


Pertidaksamaan Pecahan

*


Langkah-3Tanda-tanda interval ditentukan dengan cara mengambil nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval. Dalam contoh ini diambil nilai-nilai uji x=0 (berada dalam interval x

Untuk x=1,5 , interval 0

Tugas1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

*

Pertidaksamaan bentuk akar atau pertidaksamaan irrasional adalah pertidaksamaan yang variabelnya terdapat dalam tanda akar.

Ada 8 bentuk pertidaksamaan bentuk akar yang sering dijumpai.

*Pertidaksamaan Bentuk Akar


1. 5. 2. 6. 3. 7. 4. 8.

*) a bilangan real positif atau nol, a0.*) u(x) dan v(x) merupakan fungsi-fungsi dalam x dengan syarat u(x) 0 dan v(x) 0.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar dapat ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat berikut:

Sebagai contoh, himpunan penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar dapat ditentukan melalui langkah-langkah berikut:Langkah-1Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan, diperoleh*Pertidaksamaan Bentuk Akar

1. Jika , maka 2. Jika , maka

*Pertidaksamaan Bentuk AkarLangkah-2Tetapkan syarat bagi fungsi yang berada dalam tanda akar: u(x) 0;Langkah-3Interval yang memenuhi diperoleh dengan menggabungkan hasil-hasil pada langkah-1 dan langkah-2 pada diagram garis bilangan.

Dari gambar di atas, interval yang memenuhi adalah 2x

*Pertidaksamaan Bentuk Mutlak

*Pertidaksamaan Bentuk Mutlak

*

kalkulus 1 term 2.ppt

Documents