terapan turunan · 2014. 9. 20. · terapan turunan departemen matematika fmipa ipb bogor, 2012...

TERAPAN TURUNAN

Departemen MatematikaFMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61

Topik Bahasan

1 Nilai Maksimum dan Minimum

2 Teorema Nilai Rataan (TNR)

3 Turunan dan Bentuk GrafikKemonotonan FungsiKecekungan Fungsi

4 Asimtot

5 Sketsa Kurva

6 Masalah Pengoptimuman


Nilai Maksimum dan Minimum

Beberapa Aplikasi Turunan

Ukuran kaleng yang meminimumkan biaya produksi

Formasi, lokasi, dan warna pelangi

Percepatan maksimum pesawat angkasa ulang-alik

Sudut optimal pencabangan pembuluh darah yang meminimumkanenergi dari jantung



Nilai Ekstrim Fungsi




Definisi (Maksimum Mutlak, Minimum Mutlak)

Misalkan fungsi f terdefinisi pada daerah asal Df .

f memiliki maksimum mutlak (global) di c ∈ Df jika

f (c) ≥ f (x) untuk setiap x ∈ Df

f (c) disebut nilai maksimum f pada Df .f memiliki minimum mutlak di c ∈ Df jika

f (c) ≤ f (x) untuk setiap x ∈ Df

f (c) disebut nilai minimum f pada Df .Nilai maksimum/minimum f disebut nilai ekstrim (mutlak) f .



Ilustrasi Nilai Ekstrim



Contoh (Ekstrim Mutlak)

1 f (x) = |x| memiliki nilai minimum mutlak f (0) = 0 karenaf (0) = 0 ≤ f (x) , x ∈ Df .

2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum mutlak cos (2nπ) = 1 untukbilangan bulat n karena f (2nπ) = 1 ≥ f (x) , x ∈ Df . Nilai minimummutlaknya adalah −1.

3 f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim mutlak. �



Syarat Cukup Nilai Ekstrim

Teorema (Nilai Ekstrim)

Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b] , maka f mencapai nilaiminimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada [a, b] .

Jika f kontinu pada [a, b] , maka f memiliki minimum mutlak danmaksimum mutlak.

Jika f tidak kontinu pada [a, b] , maka tidak ada kesimpulan apakah fmemiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak.



Ilustrasi Nilai Ekstrim pada Fungsi yang Kontinu



Maksimum, Minimum Lokal

Definisi (Maksimum Lokal, Minimum Lokal)

Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal (maksimum relatif) dic ∈ Df jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehinggaf (c) ≥ f (x) untuk setiap x ∈ (a, b) ∩Df .

Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal (minimum relatif) dic ∈ Df jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehinggaf (c) ≤ f (x) untuk setiap x ∈ (a, b) ∩Df .

Nilai maksimum/nilai minimum lokal f disebut nilai ekstrim lokal f .



Ilustrasi Ekstrim Lokal



Contoh (Ekstrim Lokal)

1 f (x) = |x| memiliki nilai minimum lokal f (0) = 0 karena padainterval buka I yang memuat 0, f (0) ≤ f (x) , x ∈ I.

2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum lokal cos (2nπ) = 1 untukbilangan bulat n karena pada interval terbuka I yang memuat 2nπ,f (2nπ) ≥ f (x) , x ∈ I. Nilai minimum lokalnya adalahcos((2n+ 1)π) = −1.

3 f (x) = x3 tidak memiliki ekstrim lokal. �



Bilangan Kritis

Definisi (Bilangan Kritis)

Titik c ∈ Df sehingga f ′ (c) = 0 disebut titik stasioner.Titik c ∈ Df sehingga f ′ (c) tidak ada disebut titik singular.Titik c ∈ Df yang termasuk salah satu dari titik ujung, titik stasioner,dan titik singular disebut bilangan (titik) kritis fungsi f .



Contoh

Tentukan bilangan kritis fungsi f berikut

1 f (x) =√

x (1− x) .

2 f (x) =

x2 , −1 ≤ x < 0

x2 − 2x , 0 ≤ x ≤ 2.



Soal (Bilangan Kritis)

Bila ada, tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi-fungsi berikut:

1 f (x) = 2x3 + 3x2 + 6x+ 1 (jawab: tidak ada bil. kritis)

2 g (x) = |2x− 5| (x = 5/2)3 h (x) = x1/3 − x−2/3 (x = −2)4 f (x) = 3

√x2 − x (x = 0, 1/2, 1)

5 g (θ) = θ + sin (θ) (θ = (2n+ 1)π, n : bil. bulat)



Teorema (Teorema Fermat)

Jika f (c) merupakan nilai ekstrim lokal, maka c adalah bilangan kritis f .

Teorema Fermat menyatakan bahwa syarat perlu agar f (c) merupakannilai ekstrim lokal adalah c merupakan bilangan kritis dari fungsi f .Untuk memperoleh nilai ekstrim lokal f (c), terlebih dahulu tentukanbilangan kritis c karena jika c bukan bilangan kritis, maka f (c) bukannilai ekstrim lokal.

Perhatikan bahwa jika c bilangan kritis, belum tentu f (c) merupakannilai ekstrim lokal.

Berdasarkan definisi, ekstrim lokal terjadi pada titik ujung, titikstasioner, atau titik singular.



Contoh

1 f (x) = x2 ⇒ f (0) nilai minimum lokal,f ′ (x) = 2x⇒ f ′ (0) = 0⇒ 0 adalah bilangan kritis.

2 f (x) = |x| ⇒ f (0) nilai minimum lokal, f ′ (0) tidak ada ⇒ 0 adalahbilangan kritis.

3 f (x) = x3 ⇒ f ′ (0) = 0⇒ 0 adalah bilangan kritis, tetapi f (0)bukanlah ekstrim lokal. �



Di mana Ekstrim Mutlak Terjadi?



Menentukan Ekstrim MutlakMetode Selang Tutup

Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] . Nilai maksimum/minimummutlak fungsi f dapat ditentukan dengan cara:

Tetapkan bilangan-bilangan kritis f pada [a, b] (titik ujung, titikstasioner, titik singular)

Evaluasi f pada setiap bilangan kritis. Nilai terbesar merupakan nilaimaksimum mutlak, nilai terkecil merupakan nilai minimum mutlakfungsi f .



Soal (Ekstrim Mutlak)

Tentukan nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak fungsi f padaselang yang diberikan.

1 f (x) = x3 − 3x+ 1, [0, 3](jawab: f (1) = −1 min, f (3) = 19 maks)

2 f (x) =x

x+ 1, [1, 2] (f (1) = 1/2 min, f (2) = 2/3 maks)

3 f (x) =

−1− 2x ; −2 ≤ x < −1

x2 ; −1 ≤ x ≤ 1

x ; 1 < x ≤ 3

(f (−2) = f (3) = 3 maks, f (0) = 0 min)4 f (x) = sin x+ cos x, [0, π/3](

f (0) = 1 min, f (π/4) =√

2 maks)



Identifikasi Nilai Ekstrim

Soal (Identifikasi Nilai Ekstrim)

Berdasarkan grafik fungsi f berikut, tentukanlah: i) titik ujung, ii) titikstasioner, iii) titik singular, iv) nilai maksimum/minimum mutlak, v) nilaimaksimum/minimum lokal.


Teorema Nilai Rataan (TNR)

Teorema (Teorema Nilai Rataan)

Misalkan fungsi f memenuhi hipotesis berikut: i) kontinu pada intervaltertutup [a, b] , ii) terturunkan pada interval terbuka (a, b) , maka adasedikitnya satu bilangan c ∈ (a, b) sehingga

f ′ (c) =f (b)− f (a)

b− a(1)



Contoh (TNR)

Periksa apakah TNR dapat diterapkan untuk fungsi f (x) = x3 + x− 1pada selang [0, 2] . Jika ya, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).



Soal (Teorema Nilai Rataan 1)

1 Diberikan f (x) = x1/3. Tunjukkan bahwa fungsi f memenuhi hipotesis TNRpada interval [0, 1], kemudian tentukan nilai c yang dimaksud pada (1).(jawab: c =

√3

9

)2 Diketahui fungsi f dengan f (x) =

√|x|. Periksa apakah fungsi f memenuhi

hipotesis TNR pada interval i) [0, 4], ii) [−1, 4]. Jika memenuhi, tentukannilai c yang dimaksud pada (1).

3 Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 156 kmselama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sampai di gerbangtol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatanyang diizinkan di jalan tol (maksimum 100 km/jam). Gunakan TNR untukmenunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam.

4 Jika f (0) = 5 dan f ′ (x) ≥ 3 untuk x ∈ [0, 2] , seberapa kecilkah nilai f (2)yang mungkin? (jawab: 11)

5 Perlihatkan bahwa bila f (x) = px2 + qx+ r, p 6= 0, maka ada bilanganc ∈ [a, b] dari TNR yang selalu merupakan titik tengah dari interval [a, b].


Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi

Fungsi Naik dan Turun

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau taksatupun).

f naik pada I, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) , ∀x1, x2 ∈ If turun pada I, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) , ∀x1, x2 ∈ I



Turunan I dan Fungsi Naik/Turun

Teorema (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)

Andaikan f kontinu pada interval I dan terturunkan pada setiaptitik-dalam dari I.

Jika f ′ (x) > 0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f naik pada I.Jika f ′ (x) < 0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f turun pada I.



Soal (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun)

1 Tentukan interval-interval di mana f naik/turun bagi fungsi:i) f (x) = x3 ii) f (x) = x2/3 iii) f (x) = x1/3 (x− 4)

2 Gunakan Teorema Nilai Rataan untuk membuktikan teorema tentangturunan I dan fungsi naik/turun.



Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal

Teorema (Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal)

Misalkan c adalah bilangan kritis fungsi kontinu f , dan f terturunkan padasetiap titik pada interval yang memuat c, kecuali mungkin di c. Bergerakmelewati c dari kiri ke kanan:

1 Jika f ′ berubah tanda dari negatif ke positif, maka f (c) merupakannilai minimum lokal.

2 Jika f ′ berubah tanda dari positif ke negatif, maka f (c) merupakannilai maksimum lokal.

3 Jika f ′ tidak berubah tanda, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal.



Ilustrasi Geometris Ekstrim Lokal dgn Uji Turunan I



Contoh

Gunakan uji turunan I untuk menentukan ekstrim lokal fungsi f denganf (x) = x1/3 (x− 4) .



Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal

Teorema (Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal)

Andaikan fungsi f ′′ kontinu pada interval terbuka yang memuat c.

1 Jika f ′ (c) = 0 dan f ′′ (c) > 0, maka f (c) merupakan nilai minimumlokal.

2 Jika f ′ (c) = 0 dan f ′′ (c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimumlokal.

3 Jika f ′ (c) = 0 dan f ′′ (c) = 0, uji turunan II gagal. Fungsi fmungkin memiliki ekstrim lokal, mungkin tidak.



Ilustrasi Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal


Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi

Ilustrasi Kecekungan Fungsi



Kecekungan Fungsi

Definisi (Kecekungan)

Fungsi f dikatakan

cekung ke atas pada interval I jika grafik f terletak di atas garissinggung pada interval I,cekung ke bawah pada interval I jika grafik f terletak di bawah garissinggung pada interval I.

Cara lain melihat kecekungan:

cekung ke atas pada interval terbuka I jika f ′ naik pada I,cekung ke bawah pada interval terbuka I jika f ′ turun pada I.



Uji Turunan II Bagi Kecekungan

Teorema (Uji Turunan II bagi Kecekungan)

Misalkan fungsi f memiliki turunan kedua pada interval terbuka I.

Jika f ′′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ I, maka f ′ naik pada I dan f cekungke atas pada I,Jika f ′′ (x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka f ′ turun pada I dan fcekung ke bawah pada I.

Definisi (Titik Belok)

Titik P (c, f (c)) disebut titik belok jika f kontinu di x = c, dan fmengalami perubahan kecekungan di P.



Teorema (Titik Belok)

Jika titik (c, f (c)) merupakan titik belok, maka

f ′′ (c) = 0 ataukah f ′′ (c) tidak ada

Menentukan Titik BelokUntuk menentukan titik belok pada kurva y = f (x),

hitung f ′′ (x) ,cari bilangan c sehingga f ′′ (c) = 0 atau f ′′ (c) tidak ada,selidiki perubahan tanda f ′′ (x) di c. Titik (c, f (c)) merupakan titikbelok jika dan hanya jika terjadi perubahan tanda f ′′ (x) di c.



Contoh

1 Diberikan fungsi f dengan f (x) = x4 − 4x3 + 10. Tentukan: i)interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titikbelok fungsi f .

2 Perlihatkan bahwa jika f (x) = x4, maka f ′′ (0) = 0, tetapi (0, 0)bukan titik belok dari grafik f .

3 Perlihatkan bahwa fungsi g dengan g (x) = x |x| mempunyai titikbelok pada (0, 0) tetapi g′′ (0) tidak ada.

4 Andaikan fungsi f dan g keduanya cekung ke atas pada R. Berikansyarat bagi f , agar fungsi komposit h (x) = f (g (x)) cekung ke atas.



Soal

Jika ada, tentukan: i) interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii)kecekungan, iv) titik belok fungsi f ,

1 f (x) = (x− 1)3

2 f (x) = x1/3 + 1

3 f (x) = x/ (1+ x)2



Pengaruh Turunan terhadap Bentuk Grafik



Soal

Berdasarkan grafik f ′ berikut, tentukanlah

1 interval f naik/turun dan ekstrim lokal,

2 interval f cekung ke atas/bawah dan titik belok.



Nilai Ekstrim vs Bilangan Kritis vs Titik Belok

Untuk fungsi f dengan y = f (x) :

Nilai ekstrim (mutlak/lokal) f : f (a)→ordinat yBilangan kritis f : x = b→ absis xTitik belok f : (c, f (c))→ koordinat (x, y)


Asimtot

Jenis Asimtot

1 Asimtot tegak

2 Asimtot datar

3 Asimtot miring


Asimtot

Definisi (Asimtot Tegak)

Garis x = a disebut asimtot tegak bagi kurva y = f (x) jika

limx→a±

f (x) = ±∞ (2)


Asimtot

Definisi (Asimtot Datar)

Garis y = L disebut asimtot datar bagi kurva y = f (x) jika

limx→±∞

f (x) = L (3)


Asimtot

Definisi (Asimtot Miring)

Garis y = mx+ b disebut asimtot miring bagi kurva y = f (x) jika

limx→±∞

[f (x)− (mx+ b)] = 0 (4)


Asimtot

TeoremaMisalkan r > 0 adalah bilangan rasional, maka

limx→±∞

1xr = 0 (5)

asalkan xr terdefinisi.


Asimtot

Penentuan Asimtot Fungsi Rasional

Diberikan fungsi rasional

r (x) =p1 (x)p2 (x)

=cnxn + cn−1xn−1 + · · ·+ c0

kmxm + km−1xm−1 + · · ·+ k0

1 Garis x = a dengan p2 (a) = 0 dan p1 (a) 6= 0 merupakan asimtottegak.

2 Kasus n < m⇒ garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot datar.3 Kasus n = m⇒ garis y = cn/km merupakan asimtot datar.4 Kasus n = m+ 1⇒ r (x) = (mx+ b) + sisa. Garis y = mx+ bmerupakan asimtot miring.


Asimtot

Soal (Asimtot)

Tentukan asimtot (tegak, datar, atau miring) bagi fungsi-fungsi (1− 3)berikut:

1 f (x) =2x+ 3x− 1

2 f (x) =2x3 − x

x2 − x− 6

3 f (x) =√

4x2 − 1x− 2

4 Carilah rumus bagi fungsi f yang memiliki asimtot tegak x = −1 danx = 2, serta asimtot datar y = 3.


Sketsa Kurva

Sketsa Kurva

Langkah-langkah sketsa kurva fungsi y = f (x)

1 Identifikasi daerah asal Df , titik potong sumbu, serta kesimetrianfungsi.

2 Identifikasi asimtot fungsi.

3 Tentukan f ′ (x)→Identifikasi bilangan kritis.Identifikasi interval fungsi naik/turun, ekstrim lokal.

4 Tentukan f ′′ (x)→Identifikasi interval kecekungan fungsi, titik belok.

5 Gambar sketsa grafik f .


Sketsa Kurva

Contoh

Lakukan analisis sketsa grafik fungsi, lalu gambarkan grafik fungsi f

dengan f (x) =(x+ 1)2

1+ x2 .


Sketsa Kurva

Soal (Sketsa Grafik Fungsi 1)

Lakukan tahapan-tahapan membuat sketsa grafik, lalu gambarkan grafikfungsi-fungsi berikut:

1 f (x) = x3 − 3x2 + 5, f ′(x) = 3x (x− 2) , f ′′(x) = 6 (x− 1)

2 f (x) = x1/3 (x− 4) , f ′(x) =4 (x− 1)

3x23

, f ′′(x) =4 (x+ 2)

9x53

3 f (x) =x

x2 − 4, f ′(x) =

6x2

(x3 + 1)2, f ′′(x) = −

12x(2x3 − 1

)(x3 + 1)3

4 f (x) =x3 − 1x3 + 1

, f ′(x) =6x2

(x3 + 1)2, f ′′(x) = −

12x(2x3 − 1

)(x3 + 1)3

5 xy = x2 + x+ 1

6 f (x) =x+ 1√x2 + 1

, f ′(x) = − x− 1

(x2 + 1)32

, f ′′(x) = −−2x2 + 3x+ 1

(x2 + 1)52

7 f (x) = sin x− x


Sketsa Kurva

Soal (Sketsa Grafik Fungsi 2)

Sketsa grafik fungsi g dengan sifat-sifat sebagai berikut:i) g kontinu pada R− {0}ii) g′′ (x) > 0 untuk x ∈ R− {0}iii) g (−2) = g (2) = 3iv) lim

x→∞g (x) = 2, lim

x→−∞[g (x)− x] = 0

v) limx→0+

g (x) = limx→0−

g (x) = ∞


Sketsa Kurva

Soal (Terapan Asimtot dan Sketsa Grafik)

Sebuah tangki berisi 5 000 liter air murni. Air asin yang mengandung 30gram garam tiap liter air dipompakan ke dalam tangki pada laju 25 liter /menit.(a) Tunjukkan bahwa konsentrasi garam setelah t menit adalah

C (t) =30t

t+ 200(gram / liter).

(b) Buat sketsa grafik fungsi konsentrasi garam.(c) Tentukan konsentrasi garam dalam jangka waktu yang panjang

(t→ ∞) .


Masalah Pengoptimuman


Membahas terapan turunan untuk menentukan solusi pemaksimumanatau peminimuman suatu permasalahan.

Langkah-langkah pemecahan masalah:

pahami permasalahan,formulasikan masalah yang yang akan dimaksimumkan/diminimumkanke dalam bentuk fungsi,tentukan lokasi fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum mutlak.



Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak

Dalam hal fungsi f hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f (c) ,dengan Uji Turunan I dapat disimpulkan bahwa f (c) juga merupakannilai ekstrim mutlak.Teorema berikut sangat bermanfaat dalam menyelesaikan masalahpengoptimuman.

Teorema

Andaikan c adalah bilangan kritis dari fungsi kontinu f yang terdefinisipada suatu interval.

1 Jika f ′ (x) > 0 untuk setiap x < c dan f ′ (x) < 0 untuk setiap x > c,maka f (c) adalah nilai maksimum mutlak f .

2 Jika f ′ (x) < 0 untuk setiap x < c dan f ′ (x) > 0 untuk setiap x > c,maka f (c) adalah nilai minimum mutlak f .



Ilustrasi Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak/Lokal



Soal (Disain Kotak Terbuka)

Jawab: x = tinggi = 2 cm, alas 8× 8 cm2.



Soal (Disain Kaleng Minuman)

Jawab: h = 2r



Soal (Pembangunan Jalan Tol)

Pemerintah propinsi "Suka Makmur" merencanakan membangun jalan tolyang menghubungkan dua kota A dan B yang dipisahkan oleh daerahberawa. Jika biaya pembangunan jalan tol 1 milyar/km sepanjang daerahrawa, dan setengahnya pada lahan kering (OB), tentukan lokasi jalan tol diantara O-B yang meminimumkan biaya. (satuan jarak: km).

Jawab: C = 5/√

3 km dari O.



Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDF LATEX)


terapan turunan · 2014. 9. 20. · terapan turunan departemen matematika fmipa ipb bogor, 2012...

Documents