turunan - f · pdf filedx bermakna laju total biaya produksi terhadap ... (departemen...

TURUNAN

Departemen MatematikaFMIPA-IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50

Topik Bahasan

1 Pendahuluan

2 Turunan Fungsi

3 Tafsiran Lain Turunan

4 Kaitan Turunan dan Kekontinuan

5 Rumus-rumus Turunan

6 Turunan Fungsi Trigonometri

7 Aturan Rantai

8 Turunan Implisit

9 Turunan Tingkat Lebih Tinggi

10 Laju Terkait


Pendahuluan

Mengapa Turunan Penting?

Pemahaman yang baik tentang konsep turunan fungsi akan memudahkanmemahami laju perubahan suatu variabel yang bergantung pada variabellain, misalnya penentuan:

Laju pertumbuhan suatu populasi (manusia, ikan, harimau, bakteri,dsb.)

Biaya marjinal suatu produk.

Kecepatan mobil seorang pembalap pada suatu waktu tertentu.

Laju perubahan kecepatan aliran darah berdasarkan jarak dengandinding pembuluh.

Laju penyebaran informasi, gosip.

Laju peluruhan bahan radioaktif.


Turunan Fungsi

Turunan Fungsi pada Suatu Titik/Bilangan

Definisi (Turunan Fungsi pada Suatu Titik)

Turunan fungsi f pada titik/bilangan a dinyatakan dengan f ′ (a) , adalah

f ′ (a) = limh→0

f (a+ h)− f (a)h

(1)

asalkan limit tersebut ada.

Bila limit tersebut ada (bukan ∞ atau −∞), maka fungsi f dikatakanterturunkan (memiliki turunan, differentiable) di a.Perhatikan Gambar (a) berikut.


Turunan Fungsi

Ilustrasi Geometris Definisi Turunan Pada Titik


Turunan Fungsi

Alternatif Formula Turunan

Bila pada definisi (1) diambil x = a+ h, akan diperoleh alternatifformula:

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)x − a (2)

(lihat Gambar (b))

∴

f ′ (a) = limh→0

f (a+ h)− f (a)h

= limx→a

f (x)− f (a)x − a

�


Turunan Fungsi

Contoh (Definisi Turunan pada Titik)

Gunakan definisi turunan untuk menentukan:

1 f ′ (0) bila f (x) = 2x + 1. SOLUSI

2 f ′ (3) bila f (x) = 3/x . SOLUSI


Turunan Fungsi

Soal

Gunakan definisi turunan untuk menentukan f ′(1) bagi fungsi-fungsiberikut.

1 f (x) = 1/x2 f (x) = x |x − 1|

3 f (x) =

x2 + 1 ; x ≤ 1

2x ; x > 1


Turunan Fungsi

Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung

Garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a)) adalah garisyang melalui (a, f (a)) yang kemiringan/gradiennya sama denganf ′ (a), yakni turunan f di x = a.

Persamaan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (a, f (a))adalah

y − f (a) = f ′ (a) (x − a) (3)

DEMO ANIMASI TURUNAN


Turunan Fungsi

Ilustrasi Geometris Persamaan Garis Singgung


Turunan Fungsi

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f (x) = 3/x yang melaluititik (3, 1) .

SOLUSI


Turunan Fungsi

Turunan Sebagai Fungsi

Ganti titik tetap a dengan variabel x pada definisi turunan (1) dan(2), akan diperoleh fungsi f ′ dengan

f ′ (x) = limh→0

f (x + h)− f (x)h

= limz→x

f (z)− f (x)z − x

(4)

f ′ pada (4) merupakan suatu fungsi, disebut turunan pertamafungsi f .Daerah asal f ′, Df ′ = {x ; f ′ (x) ada} , Df ′ ⊆ Df .Nilai f ′ (a) juga dapat dihitung dari (4) kemudian mengevaluasif ′ (x) untuk x = a. �


Turunan Fungsi

Contoh

Diketahui fungsi f dengan f (x) =√x . Gunakan definisi turunan untuk

menentukan f ′ (x) dan f ′(4). Tentukan Df dan Df ′ .SOLUSI


Turunan Fungsi

Soal

Gunakan definisi turunan untuk menentukan f ′ (x) ,Df , dan Df ′fungsi-fungsi berikut:

1 f (x) = x2 − 2x2 f (x) = x2/3


Turunan Fungsi

Notasi Lain Turunan

Misalkan y = f (x). Beberapa notasi yang menyatakan turunan f :

y ′ = f ′ (x) =dydx=dfdx=ddxf (x) = Df (x) = Dx f (x)

Catatan: notasi dy/dx , df /dx , d/dx hanya merupakan simbol, bukanmerupakan operasi pembagian.


Tafsiran Lain Turunan

Aplikasi TurunanFisika: Kecepatan Sesaat

Nilai f ′ (a) merupakan laju perubahan sesaat dari y = f (x) terhadapx di x = a.

Misalkan s = f (t) menyatakan fungsi posisi suatu objek pada waktut,

kecepatan sesaat objek pada saat t = a adalah

v = f ′ (a) = lim∆t→0

∆s∆t= lim

∆t→0f (a+ h)− f (a)

∆t

laju objek pada saat t = a adalah |f ′ (a) |, yakni nilai mutlakkecepatan sesaat.


Tafsiran Lain Turunan

Aplikasi TurunanEkonomi, Demografi

Misalkan C = f (x) menyatakan total biaya produksi (Rp) untukmenghasilkan x barang (ton),

f ′ (x) = lim∆x→0∆C∆x bermakna laju total biaya produksi terhadap

banyaknya barang (Rp/ton). f ′ (x) dikenal sebagai biaya marjinal.

Misalkan P = f (t) menyatakan banyaknya populasi pendudukIndonesia pada waktu t (tahun),

f ′ (t) = lim∆t→0∆P∆t bermakna laju perubahan populasi pada waktu

t (orang/tahun).


Kaitan Turunan dan Kekontinuan


Teorema (Keterturunan Berimplikasi Kekontinuan)

Jika f memiliki turunan di a, maka f kontinu di a.

Makna HKekontinuan adalah syarat perlu agar f terturunkan, tetapi bukansyarat cukup.Untuk memeriksa keberadaan f ′ (a), terlebih dahulu periksakekontinuan f di a.

Jika f kontinu di a, maka f ′(a) belum tentu ada.

Jika f tak kontinu di a, maka f ′(a) tidak ada. �



Contoh (Kontinu, Tak Terturunkan)

Tunjukkan bahwa f (x) = |x | kontinu di x = 0 tetapi f ′ (0) tidak ada.SOLUSI

Contoh (Kontinu, Terturunkan)

Tentukan f ′ (1), bila

f (x) =

x2 + 1 ; x < 1

2x ; x ≥ 1SOLUSI



Soal (Keterkaitan Turunan dan Kekontinuan)

1 Tentukan g ′(−1) dan g ′ (1) bila

g(x) =

−1− 2x ; x < −1

x2 ; −1 ≤ x ≤ 1

2x ; x > 1

2 Fungsi f didefinisikan sebagai f (x) =

x2 ; x ≤ a

mx + b ; x > aNyatakan nilai m dan b terhadap a agar f terturunkan di a.



Di mana Turunan Tidak Ada?


Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus Turunan

Rumus-rumus turunan berikut, dapat diperoleh melalui definisi turunan(4) .

Teorema (Turunan Fungsi)

Misalkan u = f (x), v = g(x), dan c suatu konstanta

1.ddx(c) = 0 4.

ddx(u ± v) = du

dx± dvdx

2∗).ddx(xn) = nxn−1 5.

ddx(uv) =

dudxv + u

dvdx

3.ddx(cu) = c

dudx

6.ddx

(uv

)=

(dudxv − udv

dx

)/v2

2) n : bil. bulat positif


Rumus-rumus Turunan

Contoh

Tunjukkan bahwa:

1ddx(c) = 0. SOLUSI

2ddx(xm) = mxm−1 berlaku untuk bilangan bulat negatif m. SOLUSI


Rumus-rumus Turunan

Turunan Fungsi Pangkat

Teorema (Turunan Fungsi Pangkat Umum)

Jika n sebarang bilangan real, maka

ddx(xn) = nxn−1 (5)

Dari pembahasan sebelumnya, berlaku

ddx(xn) = nxn−1, n : bilangan bulat (6)

Pada pembahasan turunan fungsi implisit akan ditunjukkan bahwa(6) berlaku untuk n : bilangan rasional (pecahan).Pada pembahasan teknik penurunan logaritmik akan ditunjukkanbahwa (6) berlaku untuk n : bilangan real.


Rumus-rumus Turunan

Soal1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:a. y = 2x3 − x2 + 5b. g(x) =

(x3 − 3x

)/ (3x − 1)

c. u = (x2 − x)(x5 − 2x3)/x4

2 Tunjukkan bahwaddx

x√x2 − 1

=−1√

(x2 − 1)3.

3 Tentukan g ′ (x) jika g (x) = x2f (x) .

4 Nyatakan limx→1

x2012 − 1x − 1 sebagai bentuk turunan, dan tentukan

nilainya.


Rumus-rumus Turunan

Turunan Fungsi Sesepenggal

Teorema berikut memudahkan dalam mencari turunan fungsisesepenggal (piecewise functions), tanpa menggunakan definisiturunan.

Teorema (Turunan Fungsi Sesepenggal)

Andaikan f kontinu di a serta limx→a−

f ′ (x) dan limx→a+

f ′ (x) ada. Fungsi f

terturunkan di a jika dan hanya jika limx→a−

f ′ (x) = limx→a+

f ′ (x) dan

f ′ (a) = limx→a−

f ′ (x) = limx→a+

f ′ (x) (7)


Rumus-rumus Turunan

Contoh1 Periksa apakah f terturunkan di x = 1, jika

f (x) =

x2 , x < 1√x , x ≥ 1

Tentukan f ′ (x) .SOLUSI

2 Tentukan konstanta a dan b agar f terturunkan di x = 1.

f (x) =

3x2 , x ≤ 1

ax + b , x > 1SOLUSI


Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi TrigonometriLimit Penting



Turunan Sinus, Cosinus

ddxsin x = lim

h→0(sin (x + h)− sin x) /h

= limh→0

(sin x cos h+ cos x sin h− sin x) /h

= limh→0

cos x (sin h) /h− sin x(1− cos h)/h

= cos x[limh→0

(sin h) /h]− sin x

[limh→0

(1− cos h)/h]

= cos x · 1− sin x · 0

= cos x

dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa ddx cos x = − sin x .




ddxsin x = cos x

ddxcos x = − sin x

ddxtan x = sec2 x

ddxcot x = − csc2 x

ddxsec x = sec x tan x

ddxcsc x = − csc x cot x

(8)

Satuan sudut: radian (2π rad = 360o → 1 rad ∼= 57.3o).



SoalDengan menggunakan turunan fungsi sinus dan cosinus, tunjukkankebenaran turunan fungsi trigonometri lainnya pada (8) .


Aturan Rantai

Aturan Rantai

Misalkan ingin ditentukan dy/dx bagi y = (x2 − 3x)2.Teknik Oi) kuadratkan (karena bentuknya sederhana):

y = x4 − 6x3 + 9x2

dy/dx = 4x3 − 18x2 + 18xii) pemisalan variabel baru:misalkan y = u2, u = x2 − 3x → dy/du = 2u, du/dx = 2x − 3dydx

=dydududx= 2u (2x − 3) =

(2x2 − 6x

)(2x − 3)

= 4x3 − 18x2 + 18x ( = cara i)

Metode ii) dikenal dengan aturan rantai.Misalkan y = (x2 − 3x)2012, dy/dx = · · ·? Teknik i) amat rumit,teknik aturan rantai amat efisien. �


Aturan Rantai

Teorema (Aturan Rantai)

Misalkan f (u) terturunkan di u = g (x) dan g (x) terturunkan di x , makafungsi komposisi (f ◦ g) (x) terturunkan di x dan

(f ◦ g)′ (x) = f ′ (g (x)) g ′ (x) (9)

Dengan notasi Leibniz, jika y = f (u) dan u = g (x) , maka

dydx=dydududx

(10)


Aturan Rantai

Ilustrasi Aturan RantaiKomposisi 2 Fungsi


Aturan Rantai

Perluasan Aturan RantaiKomposisi > 2 Fungsi

dst.


Aturan Rantai

Contoh

Tentukanddx

√4x + 10

SOLUSI


Aturan Rantai

Soal1 Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut:a. y =

(x2 + 1

)4 (2x3 − 3x + 5)b. y = tan(1− sin2 (2t − 1))

2 Tentukan ddx cos x berdasarkan kesamaan cos x = sin (π/2− x) dan

sin x = cos (π/2− x).3 Diketahui

x f (x) g (x) f ′ (x) g ′ (x)

0 1 1 5 1/3

1 3 −4 −1/3 −8/3

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut di titik yang diberikan.

a) f (x) g3 (x) , x = 0 c) f (x + g (x)) , x = 0

b) f(√x), x = 1 d)

√x5 + f (x), x = 1


Turunan Implisit

Turunan Implisit

Fungsi eksplisit: y = f (x)

Contoh: y = 2x + 1, y =√1− x2

Fungsi implisit: F (x , y) = c (konstanta), dengan asumsi y fungsiterhadap x .

Contoh: y − 2x − 1 = 0, x2 + y2 = 1, sin (xy) + 2x2 = 3

Menurunkan fungsi implisit

turunkan kedua ruas terhadap x ,gunakan aturan rantai,tentukan dy/dx .


Turunan Implisit

Contoh

Tentukan dy/dx = y ′ pada lingkaran x2 + y2 = 25, dan tentukanpersamaan garis singgung di titik (4, 3) pada lingkaran.

SOLUSI


Turunan Implisit

Turunan Fungsi Pangkat Rasional

TeoremaMisalkan p, q bilangan bulat,

ddxxp/q =

pqxp/q−1, q 6= 0 (11)

Soal

Gunakan teknik penurunan implisit untuk menunjukkan (11) .


Turunan Implisit

Soal

Tentukan dy/dx bagi persamaan-persamaan berikut.

1 3x3 + 4y3 + 8 = 0

2√xy + 4 = y

3 cos (x + y) = x2 + y2

4 Tunjukkan bahwa kurva xy3 + x3y = 4 tidak memiliki garis singgunghorizontal.


Turunan Tingkat Lebih Tinggi


Turunan ke- Notasi f ′ Notasi y ′ Notasi Leibniz Notasi D

1 f ′ (x) y ′dydx

Dx y

2 f ′′ (x) y ′′d2ydx2

D2x y

3 f ′′′ (x) y ′′′d3ydx3

D3x y

n, n ≥ 4 f (n) (x) y (n)dnydxn

Dnx y

dnydxn

=ddx

(dn−1ydxn−1

)(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 42 / 50


Aplikasi Turunan KeduaPenentuan Percepatan

Jika s = f (t) menyatakan fungsi posisi objek pada waktu t yang bergerakpada garis lurus, maka

v (t) =dsdt= f ′ (t) menyatakan kecepatan objek pada waktu t.

a (t) =dvdt=d2sdt2

= f ′′ (t) menyatakan percepatan objek padawaktu t.



Contoh

Tentukan turunan ke-n bagi y =1x.

SOLUSI



Soal1 Tentukan turunan ke-n bagi:a. f (x) = xn

b. f (x) = x/ (x + 1)2 Didefinisikan

f (x) =

x2 ; x ≥ 0

−x2 ; x < 0

Buat sketsa grafik f . Tunjukkan bahwa f ′ (x) = 2 |x | dan simpulkanbahwa f ′′ (0) tidak ada.

3 Tunjukkan bahwa lingkaran x2 + y2 = r2 memiliki turunan keduay ′′ = −r2/y3.


Laju Terkait

Laju Terkait

Bila terdapat suatu kaitan antar variabel serta masing-masing variabelbergantung pada waktu t, maka perubahan laju dalam satu variabeldapat berakibat perubahan laju pada variabel lainnya.Makna tanda laju:

dx/dt > 0 : t membesar (mengecil) ⇒ x membesar (mengecil)dx/dt < 0 : t membesar (mengecil) ⇒ x mengecil (membesar)dx/dt = 0 : x konstan


Laju Terkait

Strategi Menyelesaikan Masalah Laju Terkait

1 Pahami permasalahan.

2 Buat diagram, berikan notasi kepada variabel-variabel yangmerupakan fungsi terhadap waktu.

3 Nyatakan informasi dan laju yang diketahui dalam bentuk turunan.

4 Tuliskan persamaan yang mengaitkan variabel yang diketahui.

5 Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas terhadap t.

6 Substitusi informasi yang diketahui dan tentukan laju yang diinginkan.

Kesalahan umum:terlalu dini menyubstitusi informasi numerik yang diketahui!


Laju Terkait

ContohSeberapa cepat ketinggian air di dalam silinder tegak berjari-jari 1 m turunjika silinder dipompa dengan laju 3000 liter/menit.


Laju Terkait

Soal (Laju Terkait)

1 Sebuah tangga dengan panjang 5 m bersandar pada dinding tegak.Jika puncak tangga bergeser mendekati lantai pada laju 1 m/detik,seberapa cepat alas tangga bergeser pada saat puncak tangga berada4 m dari lantai?

2 Seseorang sedang menguras sebuah penampung air berbentuk kerucutterbalik. Jari-jari kerucut 1 m dengan ketinggian 3 m. Air mengalirdari bagian bawah dengan laju 1/4 m3/menit. Seberapa cepat airmenurun ketika ketinggian air 2 m? Seberapa cepat jari-jaripermukaan air berubah ketika ketinggian air 2 m?

3 Sebuah bola salju mencair pada suatu tingkat yang sebanding dengandengan luas permukaannya.

a Tunjukkan bahwa jari-jarinya memendek secara konstan.b Jika bola salju tersebut mencair menjadi 827 dari volume semula dalamwaktu satu jam, berapa lamakah waktu yang diperlukan agar bola saljutersebut habis mencair? Jawab: 3 jam.


Laju Terkait

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)


turunan - f · pdf filedx bermakna laju total biaya produksi terhadap ... (departemen...

Documents