keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
TRANSCRIPT
TUGAS KELOMPOK
MATEMATIKA DASAR UNTUK FISIKA
“KETERKAITAN ANTARA FUNGSI, LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL”
DISUSUN OLEH :
1. DIAH SETYORINI {NIM : 4201411001}2. TRI HANDAYANI {NIM : 4201411012}3. RIZQI YULIARTI {NIM : 4201411016}4. DEKA FERIANA {NIM : 4201411019}
ROMBEL : 03JURUSAN : FISIKAPRODI : PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2011
FUNGSI
A. DEFINISI FUNGSI
Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan memetakan setiap
objek x di suatu himpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah
hasil). Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g.
Lambang f : D E berarti f adalah fungsi dari D ke E.
Fungsi merupakan hal yang mendasar dalam kalkulus. Misalkan diketahui himpunan A dan B, dan R adalah suatu cara yang menghubungkan atau mengkaitkan elemen A dengan elemen B. Dikatakan terdapat suatu relasi R antara A dan dengan sifat : f mengkaitkan setiap elemen A dengan satu dan hanya satu elemen B. f disebut fungsi dari A ke B dan dapat ditulis : f :AB.
Syarat fungsi adalah semua domain (daerah asal) mempunyai pasangan pada kodomain (daerah lawan).
Fungsi : A B
Domain Kodomain
Bukan fungsi : A B
Domain Kodomain
Dalam fungsi terdapat beberapa istilah, yakni :
1. Daerah Asal (domain) , yang dilambangkan dengan Df
2. Daerah Hasil (range) , yang dilambangkan dengan Rf
3. Daerah Lawan (kodomain)
B. SIFAT-SIFAT FUNGSI
1. Fungsi Injektif (fungsi satu-satu)
Fungsi f dikatakan satu-satu jika untuk setiap dua unsur beda di A mempunyai peta yang
beda. Definisi ini dapat ditulis sebagai berikut :
x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 , f (x1¿≠f (x2)
A B
x1 f (x2)
x2 f (x1)
Contoh :
Diketahui f : R R , f (x) = x3
Penyelesaian :
Ambil sembarang x1 , x2 ∈ R , x1 ≠ x2, jadi :
(x1 - x2) ≠ 0 dan (x12 + x1 . x2 + x1
2 ) ≠ 0
Jelas f (x1¿−¿f (x2) = x13 x2
3
= (x1 - x2) (x12 + x1 . x2 + x1
2 )
≠ 0
Jadi f (x1¿−¿f (x2) ≠ 0
Jadi x1 , x2 ∈R , x1 ≠ x2 , f (x1¿≠f (x2)
Jadi f suatu fungsi injektif
2. Fungsi Surjektif
Fungsi f dikatakan pada surjektif jika Rf = B. Definisi ini dapat ditulis sebagai berikut:
x∈ B, ∃ y ∈ A∋ f ( y )=x
A B
x1 y1
x1
x3 y2
Contoh :
Diketahui f : R R , f (x) = 2x 1
Penyelesaian :
Ambil sembarang x ∈ R
Maka x = 2 ( x+12 ) 1, pilih y = ( x+1
2 )∈ R
Jelas f (y) = 2 ( x+12 ) 1 = x
Jadi x∈ R, ∃ y ∈R∋ f ( y )=x
Jadi f merupakan suatu fungsi surjektif.
3. Fungsi Bijektif
Fungsi f : I R dikatakan bijektif apabila fungsi f merupakan fungsi injektif dan sekaligus
fungsi surjektif.
A B
C. Beberapa Jenis Fungsi Riil
1. Fungsi polinom (suku banyak)
Memiliki bentuk :
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + ……. + an−1x + an…….
a i bilangan riil ; a0≠ 0 , n bilangan bulat positif. Polinom di atas disebut berderajat n. Contoh :
f (x) = 5 x3 + 6 x2 + 2x 8 adalah polinom berderajat 3.
2. Fungsi Aljabar
Adalah suatu fungsi y = f (x) yang memenuhi persamaan berbentuk :
P0 ( x ) yn + P1 yn−1 + ……. + Pn−1 ¿x) y + Pn(x) = 0
Dimana Pi(x) suatu polinom dalam x.
Contoh : f (x) = x2 2x 24 ataupun f (x) = x−4
x3+7 merupakan fungsi aljabar rasional.
Sedangkan f (x) = x + √ x−x2 merupakan fungsi aljabar tidak rasional.
3. Fungsi Transenden
Merupakan fungsi yang bukan fungsi aljabar.
Beberapa fungsi transenden yang khusus :
a. Fungsi eksponensial f (x) = ax , a ≠ 0 , 1
b. Fungsi logaritma f (x) = a log x , a ≠ 0 , 1
4. Fungsi Trigonometri
Memiliki bentuk antara lain : sin x , cos x , tg x , ctg x , sec x , dan cosec x
5. Fungsi Identitas (Kesatuan)
Suatu fungsil Riil yang berbentuk f (x) = x untuk x variabel y, disebut Fungsi Identitas, ditulis
f = I. dapat ditulis dengan notasi :
I (x) = x , x ∈ A
6. Fungsi Invers (Kebalikan)
f−1 dinamakan fngsi invers dari f jika memenuhi f−1° f = f° f−1= I.
D. Definisi operasi pada fungsi :
(f + g)(x) = f (x) + g (x)
(f g)(x) = f (x) g (x)
(f . g)(x) = f (x) . g (x)
(f / g)(x) = f (x) / g (x)
LIMIT FUNGSI
A. SIFAT-SIFAT LIMIT : misalkan f dan g dua buah fungsi dan k ∈
R
1. limx c
k = k
2. limx c
x = c
3. limx c
(kf )(x ) = k limx c
f ( x )
4. limx c
(f +g ) ( x ) = limx c
f ( x ) + limx c
g ( x )
5. limx c
( f −g ) (x ) = limx c
f ( x ) limx c
g ( x )
6. limx c
( fg )(x ) = limx c
f ( x ) . limx c
g ( x )
7. limx c ( f
g )(x ) = lim
xc( f )(x)
limx c
( g )(x )
8. limx c
f n(x ) = ( limx cf (x))n , n ∈ N
B. SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. limx c
sin x = sin c dan limx c
cos x= cos x
2. limx 0
sin xx
= 1 dan limx 0
xsin x
= 1
3. limx 0
tan xx
= 1 dan limx 0
xtan x
= 1
KEKONTINUAN
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) pada xmendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a). f disebut kontinu jika bersambung (grafis) secara analisis :
1. Nilai fungsinya ada
f (a) terdefinisi atau f (a) ∈ R
2. Nilai limitnya ada (limit kiri sama dengan limit kanan)
limxa−¿ f ( x)¿
¿ = limxa+¿ f (x)¿
¿
3. Nilai fungsinya sama dengan nilai limitnya
limx a
f ( x ) = f (a)
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu padasetiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada intervaltutup [ a,b ] bila :
1. f (x) kontinu pada (a,b)
2. f (x) kontinu kanan x = a, ¿
3. f (x) kontinu kiri x = b , ¿
TURUNAN
A. SIFAT-SIFAT TURUNAN
1. Turunan fungsi konstan, yaitu f (x) = a, a konstanta maka f (x) = 0
f (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
a−ah
= 0
2. Turunan fungsi pangkat positif dari x , yaitu f (x) =xn
f (x) = xn , maka f ‘ (x) = nxn−1
3. Turunan f (x) = axn dengan a konstanta dan n bilangan positif atau rasional
f (x) =a xn , maka f ‘ (x) = a nxn−1
4. Turunan pangkat negative dari x, yaitu f (x) = 1
xn
f (x) = 1
xn , maka f ‘ (x) = - n
xn+1 atau f (x) =x−n maka f ‘ (x) = -n x−(n+1)
5. Turunan pada limit
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
6. Pada operasi limit fungsi
a. (f + g)’(x) = f (x) + g’(x)
b. (f – g)’(x) = f (x) – g’(x)
c. (cf)’(x) = cf(x), c konstanta
d. (f.g)’(x) = f (x) g’(x) + g (x) f (x)
e. (f / g)’(x) = g ( x ) f ' ( x )−f ( x ) g '( x)
[ g(x )2] , g (x) ≠ 0
INTEGRAL
A. DEFINISI INTEGRAL
Misalkan f (x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat f ‘ (x) = f(x) atau f (x). dalam
hal ini f(x) dinamakan senagai anti turunan atau himpunan pengintegralan dari fungsi f ‘ (x) =
f (x).
B. SIFAT-SIFAT INTEGRAL
1. ∫ dx = x +c
∫ a dx = ax +c
2. ∫ ( x )+g ( x ) dx=¿∫ f ( x ) dx+∫ g (x)¿ dx
3. ∫ ( x )−g ( x ) dx=¿∫ f ( x ) dx−∫ g(x )¿ dx
∫ a xn dx = a
n+1 xn+1 + c dengan n ≠ -1
Sifat-sifat Integral Tertentu :
1. ∫b
a
f ( x )dx=0
2. ∫a
b
f ( x )dx=¿¿ −∫b
a
f ( x ) dx
3. ∫a
b
dx = b – a
4. ∫a
b
k dx = k (b – a) , k = konstanta
5. ∫a
b
k f ( x )dx=¿¿ k∫a
b
f ( x ) dx
6. ∫a
b
f ( x )+g (x)dx=¿¿ −∫a
b
f ( x ) d+∫a
b
g ( x ) dx
7. ∫a
b
f ( x )dx+¿∫b
c
f ( x ) dx ¿ = ∫a
c
f ( x )dx , a < b < c
8. a) jika f (x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka ∫a
b
f ( x )dx ≥ 0
b) jika f (x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b , maka ∫a
b
f ( x )dx ≤ 0
9. jika m dan M adalah nilai minimum dan maksimum fungsi f pada [a,b], maka :
m (b – a) ≤∫a
b
f ( x )dx ≤ M (b – a)
10. jika F (x) adalah anti turunan fungsi f (x) dx = F (b) – F (a)
CONTOH FUNGSI
YANG AKAN DICARI LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN
INTEGRAL, BESERTA GRAFIKNYA
1. Diketahui f ( x )={ x2+1 ,∧x ≤ 1x2−x+2 ,∧x>1
Tentukan :
a. limx→ 1−¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 1+¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=1d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebutf. Grafik
Penyelesaian:
a. limx→ 1−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=x2+1 untuk x≤ 1
f (1 )=(1 )2+1
f (1 )=2
b. limx→ 1+¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=x2−x+2untuk x>1
f ( x )= (1 )2−(1 )+2
f ( x )=2c. Ya, fungsi tersebut kontinu pada x=1 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
f ( x )={ x2+1 ,∧x ≤ 1x2−x+2 ,∧x>1
Untuk
∫ f ( x )dx=∫(x¿¿2+1)dx , x ≤ 1¿
F ( x )=13
x3+x+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫(x¿¿2−x+2)dx ¿,x>1
F ( x )=13
x3−12
x2+2 x+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=x2+1 , x≤−1
f ‘(x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
((x+h)¿¿2+1)−(x2+1)h
¿
= limh 0
x2+2 xh+h2+1−x2−1h
= limh 0
2 xh+h2
h
= limh 0¿ 2x + h
= 2x + (0)= 2x
f ' ( x )=2 x , x ≤−1Untuk
f ( x )=x2−x+2
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
=limh 0
((x+h)¿¿2−( x+h )+2)−(x2−x+2)h
¿
= limh 0
x2+2 xh+h2−x−h+2−x2+x−2h
= limh 0
2 xh+h2−hh
= limh 02 x+h−1
= 2x + (0) – 1= 2x – 1
f ' ( x )=2 x−1f. Grafik fungsi
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
2
4
6
8
10
12
Series2
2. Diketahui : f ( x ) {x2−1 , x≤−12 x+2 , x>−1
Tentukan:
a. limx→−1+¿ f (¿x)¿ ¿
¿
b. limx→−1−¿ f (¿ x)¿¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=-1?d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→−1+¿ f (¿x)¿ ¿
¿
f ( x )=2 x+2
f (−1 )=2 (−1 )+2
f (−1 )=0
b. limx→−1−¿ f (¿ x)¿¿
¿
f ( x )=x2−1
f (−1 )=(−1)2−1f (−1 )=0
c. Ya, fungsi tersebut kontinu pada x=-1 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
f ( x )={x2−1 ,∧x ≤−12 x+2 ,∧x>−1
Untuk
∫ f ( x )dx=∫(x¿¿2−1)dx , x≤−1¿
F ( x )=13
x3−x+C ,x ≤−1
Untuk
∫ f ( x )dx=∫(2 x+2)dx , x>−1
F ( x )=x2+2 x+C , x>−1
e. f ' (an )=n an−1
f ( x )=x2−1 , x≤−1
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
((x+h)¿¿2−1)−(x2−1)h
¿
= limh 0
x2+2 xh+h2−1−x2+1h
= limh 0
2 xh+h2
h
= limh 0¿ 2x + h
= 2x + (0)= 2x
f ' ( x )=2 x , x ≤−1
Untuk f ( x )=2 x+2 , x>−1
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
(2 ( x+h )+2 )−(2 x+2)h
= limh 0
2 x+2 h+2−2 x−2h
= limh 0
2 hh
f ' ( x )=2, x>−1f. Grafik fungsi
-4 -3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Series2
3. f (x){2 x−2 , x≤−3x−5 , x>−3
Tentukan:
a. limx→−3+¿ f (¿ x)¿¿
¿
b. limx→−3−¿ f (¿x)¿ ¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=-3?d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→−3+¿ f (¿ x)¿¿
¿
f ( x )=2 x−2
f (−3 )=2 (−3 )−2
f (−1 )=−8
b. limx→−3+¿ f (¿ x)¿¿
¿
f ( x )=x−5
f (−1 )=(−3 )−5
f (−1 )=−8c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=-3 karena limit fungsi kanan sama dengan
limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
f (x){2 x−2 , x≤−3x−5 , x>−3
∫ f ( x )dx=∫(2 x−2)dx , x≤−1
F ( x )=x2−2 x+C , x≤−1Untuk
∫ f ( x )dx=∫ (x−5 ) dx , x>−1
F ( x )=12
x2−5 x+C , x>−1
e. f ' (an )=n an−1
untukf ( x )=2 x−2 , x≤−1
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
(2 ( x+h )−2 )−(2 x−2)h
=limh 0
2 x+2 h−2−2 x+2h
= limh 0
2 hh
= 2
f ' ( x )=2, x≤−1
Untuk f ( x )=x−5 , x>−1
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
( ( x+h )−5 )−(x−5)h
= limh 0
x+h−5−x+5h
= limh 0
hh
= 1
f ' ( x )=1, x>−1f. Grafik fungsi
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Series2
4. f (x){x2+16 , x≥ 52 x , x<5
Tentukan :
a. limx→ 5−¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 5+¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=5d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→ 5−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=x2−15 untuk x≥ 5
f (1 )=(5 )2+15
f (1 )=10
b. limx→ 1+¿ f (x)¿
¿
Maka f ( x )=2 xuntuk x<5
f ( x )=2(5)f ( x )=10
c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=5karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={x2−15 ,∧x≥ 52 x ,∧x<5
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ ( x2−15 ) dx , x>1
F ( x )=13
x3−15 x+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫(2 x)dx
F ( x )=x2+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=x2−15 , x ≥5
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
((x+h)¿¿2+16) –(x¿¿2+16)
h¿¿
= limh 0
x2+2 xh+h2+16−x2−16h
= limh 0
2 xh+h2
h
= limh 0¿ 2x + h
= 2x + (0)= 2x
f ' ( x )=2 x , x ≤−1
Untuk f ( x )=2 x , x<5
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
(2 (x+h ))−(2 x)h
= limh 0
2 x+2 h−2 xh
= limh 0
2 hh
= 2f ' ( x )=2
f. Grafik fungsi
1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
60
70
Series2
5. Diketahui f ( x )={2 x2−4 x+3 ,∧x>−23 x2+7 ,∧x≤−2
Tentukan :
a. limx→−2+¿ f (x)¿
¿
b. limx→−2−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=-2d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→−2+¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=2 x2−4 x+3 untuk x>−2
f (1 )=2 (−2 )2−4 x+3
f (1 )=19
b. limx→−2−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=3 x2+7untuk x>−2
f ( x )=3 (−2 )2+7
f ( x )=19c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=-2karena limit fungsi kanan sama dengan
limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
f ( x )={2 x2−4 x+3 ,∧x>−23 x2+7 ,∧x≤−2
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ ( 2x2−4 x+3 ) dx , x>−2
F ( x )=23
x3−2 x2+3 x+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ ( 3x2+7 ) dx , x≤−2
F ( x )=x3+7 x+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=2 x2−4 x+3 , x>−2
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
(2 ( x+h )2−4 ( x+h )+3 )−(2x2−4 x+3)h
= limh 0¿¿¿
= limh 0
2 x2+4 xh+2 h2−4 x−4 h+3−2 x2+4 x−3h
= limh 0
4 xh+2 h2−4 hh
= limh 04 x+2h−4
= 4x + 2(0) – 4= 4x – 4
f ' ( x )=4 x−4Untuk f ( x )=3 x2+7 , x≤−2
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
(3 ( x+h )2+7 )−(3 x2+7)h
= limh 0¿¿¿
= limh 0
3 x2+6 xh+3 h2+7−3 x2−7h
= limh 0
6 xh+3 h2
h
= limh 0¿6x + 3h
= 6x + 3(0)= 6x
f ' ( x )=6 xf. Grafik fungsi
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 20
10
20
30
40
50
60
Series2
CONTOH SOAL FUNGSI
KETERKAITAN LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN
INTEGRAL
1. Diketahui f ( x )={x2−5 ,∧x>−2x+2 ,∧x ≤−2
Tentukan :
a. limx→−2+¿ f (x)¿
¿
b. limx→−2−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=-2d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→−2+¿ f (x)¿
¿
Makaf ( x )=x+2untuk x>−2
f (−2 )=(−2)+2
f (−2 )=0
b. limx→−2−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=x2−5
f (−2 )=(−2 )2−5
f ( x )=−1c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=-2 karena limit fungsi kanan tidak sama
dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={x2−5 ,∧x>−2x+2 ,∧x≤−2
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ ( x2−5 ) dx , x>−2
F ( x )=13
x3
−5 x+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ (x+2 ) dx , x ≤−2
F ( x )=12
x2+2 x+C+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=x2−5 , x>−2
f ' ( x )=2 xUntuk f ( x )=x+2 , x≤−2
f ' ( x )=1
2. f ( x )={√ x+2 , x ≤0x+2 , x>0
Tentukan :
a. limx→ 0+¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 0−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=0d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→ 0+¿ f (x)¿
¿
Makaf ( x )=x+2untuk x>0
f (0 )=(0)+2
f (0 )=2
b. limx→ 0−¿ f (x)¿
¿
Maka f ( x )=√x+2
f (0 )=√ (0 )2+2
f ( x )=√2c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=-2 karena limit fungsi kanan tidak sama
dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={√x+2 , x ≤ 0x+2 , x>0
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ (√x+2 ) dx , x>0
F ( x )=23(x+2)
32
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ (x+2 ) dx , x ≤ 0
F ( x )=12
x2+2 x+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )= (√x+2 ) , x>0
f ' ( x )= 2
√ x+2Untuk f ( x )=x+2 , x≤−2
f ' ( x )=1
3. f (x){3 x2+72
, x≤ 1
2 x2+2 , x>1
Tentukan:
a. limx→ 1+¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 1−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=1d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→ 1+¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=2 x2+2untuk x>1
f (1 )=2(1)2+2f (1 )=4
b. limx→ 1−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=3 x2+72
f (1 )=3 (1)2+72
f ( x )=5c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=1 karena limit fungsi kanan tidak sama
dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={3 x2+72
, x≤ 1
2 x2+2 , x>1
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ 3 x2+72
dx , x>1
F ( x )= x3+7 x2 x
+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ 2 x2+2 dx , x>1
F ( x )=23
x3+2 x+C+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=3 x2+72
, x≤ 1
f ' ( x )=6 xUntuk
f ( x )=2 x2+2 , x>1
f ' ( x )=4 x
4. f (x){ √ x2−6 x+10 , x<3√4 x+3 x−20 , x ≥3
Tentukan:
a. limx→ 3+¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 3−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=3
d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→ 3+¿ f (x)¿
¿
Makaf ( x )=√4 x+3x−20 , x ≥3
f (3 )=√4 (3 )+3 (3 )−20
f (3 )=√12+9−20
f (3 )=√1f (3 )=1
b. limx→ 3−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=√x2−6 x+10 , x<3
f (3 )=√(3)2−6 (3 )+10
f (3 )=√9−18+10
f (3 )=√1f (3 )=1
c. Ya , fungsi tersebut kontinu pada x=3 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={ √ x2−6 x+10 , x<3√4 x+3 x−20 , x ≥3
Untuk
∫ f ( x )dx=∫√x2−6 x+10 , x<3
F ( x )=23
( x2−6 x+10 )32.(2x-6)
F ( x )=43
x−4( x2−6 x+10)32
Untuk
∫ f ( x )dx=∫√4 x+3 x−20 dx , x>1
F ( x )=23
(4 x+3 x−20 )(4+3)+C
F ( x )=143
(4 x+3 x−20)32
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=√x2−6 x+10 dx , x ≤3
f ' ( x )= 2
√x2−6 x+10(2 x−6 )
f ' ( x )= 4 x−12
√x2−6 x+10Untuk f ( x )=√4 x+3x−20 dx , x>3
f ' ( x )= 2
√4 x−3 x−20( 4+3 )
f ' ( x )= 14
√4 x+3 x−20
5. f ( x ) {x3−44
, x ≤ 4
5 x+7 , x>4
Tentukan:
a. limx→ 4+¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 4−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=4d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→ 4+¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )= x3−44
, x ≤ 4
f ( 4 )=¿¿f (4 )=15
b. limx→ 4−¿ f (x)¿
¿
Maka f ( x )=5 x+7 , x>4
f ( 4 )=5 (4 )+7
f ( 4 )=¿27c. Tidak, fungsi tersebut kontinu pada x=4 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan
limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={x3−44
, x ≤ 4
5 x+7 , x>4
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ x3−44
, x ≤ 4
F ( x )=
14
x4−4 x
4 x+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫5 x+7 , x>4
F ( x )=52
x2+7 x+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )= x3−44
, x ≤ 4
f ' ( x )=3 x2
Untuk f ( x )=5 x+7 , x>4
f ' ( x )=5
PENGGUNAAN TURUNAN DAN ATAU INTEGRAL
DALAM FISIKA ATAU BIDANG LAIN
1. Pada bidang ekonomi
Dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total dapat ditentukan nilai biaya marginal. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. Dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal sebagai dp/dx.Perhitungan: Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?Penyelasaianbiaya rata-rata = C(x)/x= 3200+3,25x-0,0003x2 / X= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000= 6150 / 1000 = 6,15Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150biaya marjinal = dc/dx= 3,25-0,0006x= 3,25-0.0006 (1000)= 2,65maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000 Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.
2. Pada bidang Fisika
Turunan pertama dari x terhadap waktu memberikan kecepatan v:
v=dxdt
=−Aω sin (ωt+δ )=Aωcos (ωt+δ+ π2 )
Dengan mendiferensialkan kecepatan terhadap waktu diperoleh percepatan benda:
a=dvdt
=d2 xd t2 =−ω2 A cos (ωt+δ )
Diketahui: s= (50+40 t +8 t2 ) i dalam meter. Berapa kecepatan benda pada saat t= 2 s ?
Penyelesaian:
v=d sdt
=d (50+40 t+8t 2)
dt=(40+16 t)t
v=40+16 (2 )=40+32=72
3. Pada bidang Matematika
Pada bidang MatematikaTurunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunan juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.Contoh penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :Tentukan persamaan garis singgung dari y = x3 - 2x2 - 5 pada titik (3,2).Jawab :Y=f(x)= x3-2x2-5
Y=f(x)=3x2-4x f ’(3) = 3(3)2 - 4(3) = 15 ; m = 15.Rumus pers. Garis singgung :y-yo = m (x-xo), maka garis singgung fungsi diatas adalah :Y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43