MATEMATIKA TEKNIK 1

3 SKS

TEKNIK ELEKTRO

UDINUS

1

BAB II

FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN

Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.

Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks

Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau

kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah

memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan,

irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-

sifatnya.

2

1. Lingkungan/persekitaran

a. Persekitaran zo adalah himpunan semua titik z yang

terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo,

berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(zo,r) atau z – zo < r.

b. Persekitaran tanpa zo adalah himpunan semua titik

zzo yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat

di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(zo,r) atau

0< z – zo < r.

3

Contoh :

a. N(i,1) atau z – i < 1, lihat pada gambar 1

b. N*(O,a) atau 0< z – O < a, lihat pada gambar 2

4

Im

Re

i

i2

O

1gambar

Re

Im

O

2gambar

a

2. Komplemen

Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis

Sc,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang

tidak termasuk di S.

Contoh :

Gambarkan !

A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.

B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z2 atau z4}.

5

A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.

B ={ z | 2<z<4}, maka Bc = { z | z2 atau z4}.

6

Re

Im

O

1A

Re

Im

O 2 4

4

2

B

cAcB

3. Titik limit

Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk

setiap N*(zo,) maka N*(zo,) S . Jika zo ∈ S dan zo

bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.

4. Titik batas

Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk

setiap N*(zo,) memuat suatu titik di S dan memuat

suatu titik yang tidak di S.

5. Batas dari himpunan S

adalah himpunan semua titik batas dari S.

7

6. Interior dan Eksterior

Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,) sehingga N(zo,) S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.

7. Himpunan Terbuka

Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggotaS adalah titik interior S.

8. Himpunan Tertutup

Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya.

8

9. Himpunan Terhubung

Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap duatitik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yangseluruhnya terletak di S.

10. Daerah domain

Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerahdomain.

11. Daerah Tertutup

Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.

12. Penutup dari himpunan S

adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.

9

Contoh :

1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka:

A adalah himpunan terbuka dan terhubung.

Batas dari A adalah { z / |z|=1}.

Penutup dari A adalah { z / |z|1}.

10

Im

Re

1

11

1

A

2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:

B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan

himpunan tertutup.

Titik-titik limit dari B adalah { z / |z|1}.

11

Im

Re

1

11

1

B

3. Diberikan C = { z / |z| 2}, maka:

Titik-titik interior C adalah { z / |z|<2}.

12

Im

Re

1

11

1

2

22

2

Fungsi Kompleks

Definisi :

Misalkan D himpunan titik pada bidang Z.

Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan

setiap titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w

pada bidang W, yaitu (z,w).

Fungsi tersebut ditulis w = f(z).

Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df

dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range

atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf , yaitu himpunan

f(z) untuk setiap z anggota D.

13

14

z )z(fw)zRe( )wRe(

)zIm( )wIm(

Bidang Z Bidang W

f

Contoh :

a) w = z + 1 – i

b) w = 4 + 2i

c) w = z2 – 5z

d) f(z) =

Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z.

Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua

titik pada bidang Z , kecuali z =

15

1z2z3

21

Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan

menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan

Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua

variabel real x dan y.

Apabila z = r(cos + i sin), maka w = u(r, ) + iv(r, ).

16

Contoh :

Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !

Jawab :

Misal z = x + iy,

maka fungsi w = f(z) = 2z2 – i

= 2(x + iy )2 – i

= 2(x2+2xyi-y2) – i

= 2(x2-y2) + i(2xy-1).

Jadi u = 2(x2-y2) dan v = 2xy-1.

17

Jika z = r(cos + i sin).

Tentukan f(z) = z2 + i

Jawab

f(z) = z2 + i

= [r (cos+i sin)]2 + i

= r2[cos2 - sin2 + 2isincos] + i

= r2 (cos2 - sin2) + r2isin2 + i

= r2 (cos2 - sin2) +(1+r2sin2)i

berarti u = r2(cos2 - sin2) dan v = 1+r2sin2) .

18

Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z)

dengan domain Dg.

Jika Rf Dg , maka ada fungsi komposisi (g ⃘f)(z) =

g(f(z)), dengan domain Df.

19

f g

fg

z )z(f

)z)(fg(

)z(fg

Jika Rg Df , maka ada fungsi komposisi (f ⃘g)(z) =

f(g(z)), dengan domain Dg.

Tidak berlaku hukum komutatif pada (g ⃘f) (z) dan (f ⃘g)(z).

20

g f

gf

z )z(g

)z)(gf(

)z(gf

Contoh :

Misal: f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i

‣ Jika Rf Dg ,

maka (g ⃘f) (z) = g (f (z))

= g(3z – i)

= (3z – i)2 + (3z – i) –1 + i

= 9z2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i

= 9z2 – 3z – 2 – 6iz

21

Jika Rg Df ,

maka (f ⃘g) (z) = f (g (z))

= f(z2 + z –1 + i)

= 3z2 + 3z – 3 + 3i – i

Karena 9z2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z2 + 3z – 3 + 3i – i

Jadi (g ⃘f) (z) (f ⃘g)(z) atau

(g ⃘ f) (f ⃘g), (tidak komutatif)

22

Interpretasi Geometris

Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain

ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv

yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-

masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z

pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan

(z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat

menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat

melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan

memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan

(transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W

dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut

peta dari z.

23

Contoh 1 :

Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x – 1) + (2y + 1)i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i , berturut-turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1,z2, w1 , dan w2 dapat dilihat di bawah ini

24

X U

Y V

1z

2z

1w

2w

O O

Zbidang Wbidang

1

1

2

3

1

3

3

5

Contoh 2 :

Diketahui fungsi w = z2.

Dengan menggunakan z = r (cos+i sin), maka

diperoleh w = z2 = r2 (cos2+i sin2).

Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang

Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah

lingkaran pusat O berjari-jari r2. Daerah 0 arg z

dipetakan menjadi daerah

0 arg w 2.

Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.

25

26

2

Zbidang

Wbidang

r

2r

27

Diketahui daerah D pada bidang

Z dan titik zo terletak di dalam D

atau pada batas D. Misalkan

fungsi w = f(z) terdefinisi pada D,

kecuali di zo.

oz

D z

),z(*N o

Apabila titik z bergerak mendekati

titik zo melalui setiap lengkungan

sebarang K dan mengakibatkan

nilai f(z) bergerak mendekati

suatu nilai tertentu, yaitu wo pada

bidang W, maka dikatakan limit

f(z) adalah wo untuk z mendekati

zo, ditulis :

)z(f

),w(N o

ozz

w)z(flimo

Limit

ow

D

K

Zbidang

Wbidang

Definisi :

Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D,

kecuali di zo (titik zo di dalam D atau pada batas D). limit

f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, jika untuk setiap >

0, terdapat > 0 sedemikian hingga

|f(z) – wo |< , apabila 0 <|z – zo|< ,

ditulis:

28

ozz

w)z(flimo

Perlu diperhatikan bahwa :

1. Titik zo adalah titik limit domain fungsi f.

2. Titik z menuju zo melalui sebarang lengkungan K,

artinya z menuju zo dari segala arah.

3. Apabila z menuju zo melalui dua lengkungan yang

berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang

berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk

z mendekati zo.

29

Contoh 1 :

Buktikan bahwa :

Bukti:

Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari >0 sedemikian, sehingga:

, untuk z 2

Lihat bagian sebelah kanan

30

|5

2z2z3z2

||2z|02

52z

2z3z2lim

2

2z

Dari persamaan kanan diperoleh:

Hal ini menunjukkan bahwa telah diperoleh.

31

2|2z|

|)2z(2|

|)2z(

)2z)(51z2(|

|5)2z(

)2z)(1z2(||5

2z2z3z2

|2

2

Bukti Formal :

Jika diberikan > 0 , maka terdapat , sehingga untuk z 2, diperoleh

Jadi apabila

Terbukti

32

2|)2z(2|

|5)2z(

)2z)(1z2(|

|52z

2z32z2||2z|0

2

|5

2z2z32z2

|2

|2z|0

52z

2z3z2lim

2

2z

Teorema Limit :

Teorema 1 :

Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka

nilai limitnya tunggal.

Bukti:

Misal limitnya w1 dan w2, maka

33

21

21

2121

2

11

wwjadi

wwsehingga

22w)z(f)z(fww)z(f)z(fw

2w)z(f

2)z(fww)z(f

Teorema 2 :

Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

dengan domain D. Titik zo = (xo,yo) = xo+iyo di dalam D

atau batas D.

Maka jika dan hanya jika

dan

34

oozz

iyx)z(flimo

ozz

x)y,x(ulimo

ozz

y)y,x(vlimo

Teorema 3 :

Misalkan fungsi f dan g limitnya ada.

lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka

1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untuk z → zo)

2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → zo)

3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → zo)

Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !

35

Contoh 1 :

Hitunglah

Jawab:

36

iz1z

lim2

iz

i2

)iz(lim

iz)iz)(iz(

limiz1z

lim

iz

iz

2

iz

37

Contoh 2 :

Jika . Buktikan tidak ada !i1y

x

yx

xy2)z(f

2

22

)z(flim

0z

Bukti :

Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang

garis y = 0, maka

Sedangkan di sepanjang garis y = x,

Dari 1 dan 2, terbukti tidak ada

10ixlim)z(flim)z(flim 2

0x)0,0()0,x(0z

21)i1x

x1(lim)z(flim)z(flim

2

0x)0,0()x,x(0z

)z(flim0z

Kekontinuan Fungsi

Definisi :

Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan

titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan

kontinu di zo jika untuk z menuju zo,

maka lim f(z) = f(zo).

38

Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :

Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika

f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut.

39

)z(f)z(flim.3

ada)z(flim.2

ada)z(f.1

ozz

zz

o

o

o

Teorema 4 :

Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik

pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dalam R, maka

fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan

v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).

40

Teorema 5 :

Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di zo, maka masing-

masing fungsi :

1. f(z) + g(z)

2. f(z) . g(z)

3. f(z) / g(z), g(z) 0

4. f(g(z)); f kontinu di g(zo),

kontinu di zo.

41

42

Contoh 1 :

Fungsi f(z) = , apakah kontinu di 2i

Jawab :

f(2i) = 3 + 4(2i) = 3 + 8i,

sedangkan untuk z mendekati 2i, lim f(z) = z + 2i,

jadi f(z) diskontinu di z = 2i.

i2z,z43

i2z,i2z4z2

)i2(f)z(flimsehinggai2z

43

Contoh 2.

Dimanakah fungsi kontinu ?

Jawab :

Coba anda periksa bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan

z = 2. Jadi g(z) kontinu di daerah

2z3z

1z)z(g

2

2

2zz