kekontinuan fungsi - usd
TRANSCRIPT
Kekontinuan Fungsi
Kekontinuan di Suatu Titik
Definisi 1 Misalkan f terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Fungsi fkontinu di a jika
limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ = ππ ππ
Perhatikan bahwa definisi ini secara implisit memerlukan tiga hal untuk dipenuhi agar f kontinu di a:1. f(a) terdefinisi (yaitu, a berada di domain f)2. lim
π₯π₯βππππ π₯π₯ ada
3. limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ = ππ ππ
Contoh 1
Gambar di samping menunjukkan grafik fungsi f. Di mana sajakah f tidak kontinu? Mengapa?PEMBAHASAN Fungsi f tidak kontinu di 1 karena tidak terdefinisi di x = 1. Fungsi f tidak kontinu di 3 karena limitnya tidak ada. Fungsi f juga tidak kontinu di 5 karena
limπ₯π₯β5
ππ π₯π₯ β ππ 51 2 3 4 5 x
y
0
Latihan 1
Misalkan ππ π₯π₯ = π₯π₯2β9π₯π₯β3
, π₯π₯ β 3. Bagaimana f didefinisikan di x = 3 agar f kontinu di 3?
Kontinu dari Kiri dan dari Kanan
Definisi 2 Suatu fungsi f kontinu dari kanan di a jikalimπ₯π₯βππ+
ππ π₯π₯ = ππ ππ
Dan f kontinu dari kiri di a jikalimπ₯π₯βππβ
ππ π₯π₯ = ππ ππ
Contoh 2
Untuk setiap bilangan bulat ππ, fungsi ππ π₯π₯ = π₯π₯ (lihat gambar di samping) kontinu dari kanan tetapi tidak kontinu dari kiri karena
limπ₯π₯βππ+
ππ π₯π₯ = limπ₯π₯βππ+
π₯π₯ = ππ = ππ ππ 1 2 3 xβ1
y
0
1
Kekontinuan pada Interval
Definisi 3 Suatu fungsi kontinu pada interval jika fungsi tersebut kontinu di setiap bilangan dalam interval tersebut. (Jika f terdefinisi hanya pada satu sisi titik ujung, maka yang dimaksud kontinu pada titik ujung tersebut berarti bahwa kontinu dari kiri atau kontinu dari kanan.)
Contoh 3
Tunjukkan bahwa fungsi ππ π₯π₯ = 1 β π₯π₯2 kontinu pada selang [β1, 1].PEMBAHASAN Jika β1 < a < 1, maka dengan menggunakan teorema-teorema limit
limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ = limπ₯π₯βππ
1 β π₯π₯2
= limπ₯π₯βππ
1 β π₯π₯2
= 1 β ππ2
= ππ ππSehingga, berdasarkan definisi, f kontinu di a jika β1 < a < 1.
Pembahasan
Dengan menggunakan perhitungan yang serupa, diperoleh
limπ₯π₯ββ1+
ππ π₯π₯ = ππ β1 , dan
limπ₯π₯β1β
ππ π₯π₯ = ππ 1
sehingga f kontinu dari kanan di β1 dan kontinu dari kiri di 1. Akibatnya, berdasarkan Definisi 3, f kontinu pada [β1, 1].
β1 1
1
y
x0
ππ π₯π₯ = 1 β π₯π₯2
Operasi-Operasi Fungsi
Teorema 4 Jika f dan g kontinu di a dan jika c adalah konstanta, maka fungsi-fungsi berikut juga kontinu di a.1. f + g 2. f β g 3. cf4. fg 5. f/g, jika g(a) β 0
Pembuktian
Bukti Kelima bagian dari Teorema 4 dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema-teorema limit. Misalkan di sini kita akan membuktikan bagian pertama. Karena f dan g kontinu di a, maka
limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ = ππ ππ , dan
limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ = ππ ππ .
Sehingga,limπ₯π₯βππ
ππ + ππ π₯π₯
= limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ + ππ π₯π₯
= limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ + limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯
= ππ ππ + ππ ππHal ini menunjukkan bahwa f + gkontinu di a.
Fungsi-Fungsi Kontinu
Teorema 5 Jenis-jenis fungsi berikut kontinu di setiap bilangan dalam domainnya.β’ Fungsi polinomialβ’ Fungsi rasionalβ’ Fungsi akarβ’ Fungsi trigonometri
Latihan 2
Di interval-interval mana saja fungsi berikut kontinu?
ππ π₯π₯ =π₯π₯2 β π₯π₯ + 2π₯π₯2 β 4
Teorema Limit Fungsi Komposit
Teorema 6 Jika f kontinu di b dan limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯ = ππ, maka limπ₯π₯βππ
ππ ππ π₯π₯ = ππ ππ . Dengan kata lain
limπ₯π₯βππ
ππ ππ π₯π₯ = ππ limπ₯π₯βππ
ππ π₯π₯
Secara khusus, jika g kontinu di a dan f kontinu di g(a), maka fungsi komposit ππ β ππ kontinu di a.
Latihan 3
Dimanakah fungsi berikut kontinu?
πΉπΉ π₯π₯ =1
π₯π₯2 + 7 β 4
Teorema Nilai Tengah
Teorema 7 Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b] dan misalkan N sembarang bilangan di antara f(a) dan f(b), dimana f(a) β f(b). Maka ada bilangan c di dalam (a, b) sedemikian sehingga f(c) = N.
a bc1 c2 c3
N
f(a)
f(b)
0 x
y
Latihan 4
Tunjukkan bahwa ada akar persamaan x4 + x β 3 = 0 di antara 1 dan 2.
#HaveANiceDay