penggunaan turunan - powered by gdl4.2 | elib...
TRANSCRIPT
PenggunaanTurunan4.1 Maksimum dan Minimum 4.6 Limit di Ketakhinggaan, Limit
' 4-2 Kemonotonan dan Kecekungan Tak Terhingga
, 4.! Uat<simum dan Minimum Lokal 4.7 Pengambaran Grafik Canggih( 4{ Lebih Banyak Masalah Maks-Min 4.8 Teorema Nilai Rata-Raa\f5 P"n"r.pan Ekonomi 4.9 Soal-Soal Ulangan Bab
Sayo tidak tahu bagaimaru saya tampak pada dunia; tetapi bogi saya sendiri
saya nunpaknya hnyalah seperti seorong aruk laki-hki yang bermain-nuin di pantai,
dan mengalihkan diri sendiri seknrang dan kemudian menemukan koral yang lebih halus
atau kerangyanglebih indah daipadoyang biasa, sementara samudera besar dai kebenaran
semu(mys terbentoq di hadqon vya tak ter-unglwplun
Isaac Newton
I
I
bhir pada koturga Seni fsgrb @luri Natd, 1642, lwrc Neurton ebagaisoonry pcrnNds rernaja manpw&atkand,ftit hanpn rhdsnir. Ia bosan dcngansekohh, lebh renarg rrembuat layargan,rods 8ir, iam, daa perkakar lain- S€orarypf,msn p€rtrm{ kali mergenali bskat luarbiara anak terabut; h menrbujuk ibuI,{ewton untuk mernbcragkatkan Newtonkc Trinity College dsri Uniftrsitas Csn-brdge. Di saru ia kena penganrh lnacBurow, saorrrg pakar ilmu aganra dannrtguru maternatika. Banow nelihat didahm Newton kernrmpran yatg lebihbar d*ripada dirinya dan nreny€ral*an'kccrehrgrnuarmya
t@a Newton pda
diferensial maupun intg,ral, teori warnawarna, dan hukum gravitasi unirersal.L4rarge memuji balnra Newtoahh jeniusterbesar yarg permq hidup dan yary palirtsmujur, karena hanya sekali sistem semestadapat dkembargkan.
Sarna seperti banyak ilrnw,an sbaya-tryr, Newton adalah reorarg pemelukaganu yang saloh daa dikatekan telahnderikan waldu yang sama banyaknya
IsaacNewton1642-1727
Selama 18 buhn, rejak Januari 1665, iamourclqlf,i mrslrbrucath matesratikadao'ilnu, yryg ter*ffi*s. Tklek terdapet
Wu*usrn }nrg drpd diband4tcan penuhdrlun seisrah flffir. DakH wd<tu singkat
uo$ mdnpelq*eri lqjiD dan untuft rnatemstfta. Ia rneniregal ecbgai sorssg ter-htrtnst pde wb 85 daa dinnksr*.anderyan kebcsran bangsenya di WeSmilFster Abb€y.
tersobrs, Newton menernrkanbbmial ,umum, ohen dari fu
Bab 4 PenggunaanTurunq
4.1 Maksimum dan Minimum
Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk\melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi hasil panenyang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter akan menentukan dosiqobat yang terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Seorang kepala pabrik akan me.,lnekan sekecil mungkin biaya pendistribusian produknya. Kadangkala salah satu darimasalah di atas dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan memaksimumkan dan me.lminimumkan fungsi tertentu. Bila demikian, metode kalkulus menyediakan sarana yan!ampuh untuk memecahkan masalah seperti itir.
Andaikan kita mengetahui fungsi /dan demain (daerahasal) S seperti pada Gambar l.Tugas kita yang pertama adalah menentukanapakah / memiliki nilai maksimum atau mini-mum pada S. Anggap bahwa nilainilai tersebutada, kita ingin mengetahui lebih lanjut di manadalam S nilai-nilai itu berada. Akhirnya, kitadapat menentukan nilai-nilai maksimum danminimum. Menganalisis ketiga tugas ini merupa-kan tujuan pokok pada bagian ini.
Kita mulai dengan memperkenalkan suatukosakata yang tepat.
185
GAMBAR I
PERTANYAAN EKSISTENSI Apakah /mempunyai nihi maksimun, (atau minimum)pda S? Jawabnya tergantung pertama-tamapada himpunan .t tersehrt. Ambillah /(x) =llx pzda 5 = (Q,co);'fungsi ini tidak mempunyainilai maksimum ataupun minimum (Gtunbar 2).Sebaliknya, fungsi yang sama pada S = [1,3]mempunyai nilai maksimum (l) = I aannilai minimum "f(3):|. Pada ,S = (1,31, /tidak mempunyai nilai- maksimurn dan nilaiminimum /(3) : +.
Jawaban juga tergantrng pada tipe fungsi.Arnbillah fungsi tak kontinu g (Gambar 3)yang didefinisikan dehGAMBAR 2
1 2 3 rPada (0, o9 tanpa maks atau minPada {1 , 31 , r r nks= 1 , m io= I
3 .Pada ( 1 , 3J, ranpa maks, min = i
/
r186
Tanpa maks = 0
GAMBAR 3
Kalkulus dan Geometi Analitis Jilid I
j i k a l < x < 2jika2 < x < 3
Pada S : U,31, 9 ticlak mempunyai nilaimaksimum (menjadi cukup dekat ke 2tetapi tidak pernah mencapainya). Tetapi,g mempunyai nilai minimum S(2) = 0.
Terdapat sebuah teorema bagus yang menjawab pertanyaan eksistensi untukbeberapamasalah yang muncul dalam praktek. Walaupun secara intuisi ini jelas, bukti yang telitisangat sukar;kita biarkan itu untuk buku pelajaran lebih lanjut.
Pethatikst ktt&katr kunci: /harus lcontinu dan himpunan ,l harus berupa selang tertutup.
1 U ^ ^ J t / t ^ t i "
tx MANA TERTADINYA NILAI'NlL(EGtkt' Biasanva fungsi vang inginkita
maksimumkan atau minimumkan akan mihpunyai suatu selang 1 sebagai daerah asalnya.Tetapi selang ini boleh.berupa sebarang dari sembilan tipe yang dibahas dalam Pasal 1.3.
Beberapa dari selang ini memuat titil(-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya, I = la, bl
memuat titik ujung dua-duanya; (g, q n^nya memuat titik ujung kiri; (a' D) tidak me'murit titik ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selangtertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung (lihat Gambar 4).
Jika c sebuah titik pada mana f'(Q = 0, kita sebut c titil< stasioner. Nama itu diturun-kan dari fakta bahwa pada titik stasioner, grafik / mendatar, karena garis singgung men-datar. Nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik-titik stasioner (lihat Gambu 5).
Akhirnya, jika c adalah titik dalam dari /di mana /' tidak ada, kita sebut a titik singular.lni merupakan tifik di mana grafik f mem-punyai sudut tajam, garis singung vertikal,atau mungkin berupa lompatas (atau di dekat-nya ia bergoyang sangat buruk). Nilai-nilaiekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular(Gambar 6), walaupun dalam masalah-masa-lah praktis hd ini sangat langka.
Ketiga jenis titik ini (titik ujung tifikstasioner, dan titik singular) merupakan titik-titik kunci dari teori maksmin. Sebarangtitik- dalam daerah asal fungsi / yang termazuksalah satu dari tiga tipe ini disebut sebuahtitik kritis I
1_n
GAMBAR4
Tit ik- t i t ik u ju ng
rr
fub 4 Penggunaan Turunan
GAMBAR 5
187
Tit ik- t i t ik s ingular
GAMBAR 6
CONTOH I Cari titik-titik kritis dari f (x) : -2x3 + 3x2 pada l-i,zf-
Panyelevian Titik-titik ujung adalah -* dan 2. Untuk mencari titik-titik stasioner,kita pecahkan f
'(r) = -6x2 + 6x ='0 uty! 1l 4iperoleh. 0 dan l. Tidak terdapattidk.tidk singrrlar. Jadi.titik-titik q$.Y*L:t,
:,r,:) I
B*ti Pandang t"*, pertama di mana /(c) adalah nilai maksimum f padal dan andaikanbahwa c bukan titik ujung ataupun titik singular. Akan cukup untuk memperlihatkanbahwa c adalah titik stasioner.
Sekarang, karena /(c) adalah nilai maksimum, /(x) < l(c) untuk semua r dalam ̂ 1,.yaitu,
f ( x ) - f ( c ) < o
Jadij ikax (c, sehinggar - c(0,maka
(l)
sedangkan jikax > c,maka
(2)
f ( x ) - f ( c ) > ox - c
/ ( " ) - / ( c ) < ox - c
Tetapi /'1c1 ada, karena c bukan titik singular. Akibatnya, bilamana kita biarkan x + c-dalam (l) dan r * 9* dalam (2), kita peroleh masing-masing , f
'(c) >Odan 1'(c)< 0. Kita
simpulkan bahua 1'(c) = O, seperti yang diinginlqn.Kanrs di mana/(c) adalah nilai ininimum ditangani dengrn cara serupa. I
Titi k-titi k stasioner
188 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
Dalam bukti yang baru saja diberikan, kita memakai fakta bahwa ketaksamaan ( ter-pelihara di bawah operasi pengambilan limit (lihat Soal 26 dari Pasal 2.5).
APAKAH YANG DIMAKSUD DENGAN NILAt-NtLAt EKSTRIM? MengingatTeoremaA dan B, sekarang kita dapat menyatakan suatu prordur yang sangat sederhana untukmenghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pad,a selang ter-tutup I.
Longlah 1 Carilah titik-titik kritis dari f pada I.Langlah 2 Hitunglah / pada setiap titik kritis. Yang terbesaradalah nilai maksimum;
yang terkecil adalah nilai minimum.
CONTOH 2 Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari
f (x) : -2x3 + 3x2
pada [ - ! , 2 ] .
Pmyelevitn Dalam Contoh l, kita kenali - | , 0, l, 2 sebagai titik-titik kritis. Sekarang^- +l: l, ^0) = q, {1) = l, dan fl2) =--+. Jadi nilai maksimum adalah I (dicapaipada - j O.n l) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai Wda 2). Grafik /diperlihat-kan dalam Gambar 7. t
CONTOH 3 Fungsi f(x) : x2l3 kontinu. di mana-mana. Cari nilai-nilai
maksimum dan minimumnyapada [-r,21.
GAMBAR 7
Penyelesaian F(x):lah titik kritis, samadan F(2) : J+ -Grafik diperlihatkandalam Gambar 8.
GAMBAR 8
?x-rtt, -tidak pernah 0. Tetapi, f' '(0) tidak ada, sehingga 0 ada-seperti titik-titik ujung -l dan 2. S*aranS F(-D = l, F(0)= 0,
1,59. Jadi nilaimaksimum adalahJ+; nit"i minimum adalah 0.t
MASALAH'MASALAH PRAKTIS Yang dimaksudkan dengan masalah praktis adalahmasalah yang mungkin timbul dalam kehidupan sehari-hari. Masalah.masalah yang demi-kian jarang mempunyai titik-titik singular; faktanya, untuk masalah-masalah ini nilai-nilai maksimum dan minimum biasanya terjadi pada titik-titk stasioner, walaupun titik-titik ujungharus diperiksa. Berikut duh contoh ltras.
y = -2x3 +3x2
Flx l = x2 t3
sbb 1 Penggunaan Turunan
F-v-----lmGAMBAR IO
189
coNToH 4 Kotak persegi-panjang dibuat dari selembar papan, panjan g24 incidan rebar9 inci, dengan memotong bujur sangkar identik pada feempat po1"ot oun melipat k(
tatas sisi'sisirlya, seperti dalam Gambar 9. cari ukuran kotut yang"uolumenya maksiimum. Beraph volume ini?
- ' - t
9-2x
y : 5 0 - i x
Luas total,4 diberikan oleh
A - : x ! : 5 0 x _ i x 2
Karena harus terdapat tiga sisi sepanjang x,kita lihat bahwa 0 < x < €a Jadi masa.lah kita adalah memaksimumkan ,4 pada[0, !3e].
I
GAIIBAR 9 o ,' 1r')
Penyelesaian Andaikan x adalah sisi bujur sangkar yang harus dipotong dan Iz adalahvolume kotak yang dihasilkan. Maka
V : x(9 - 2x)Qa - 2x) :216x - 66x2 + 4x3
Sekarang x tidak dapat lebih kecil dari 0 ataupun lebih besar dari 4,5. Jadi, masalah kitaadalah memaksimumkan V pada [0;4,5] . Titik-titik stasioner ditemukan dengan menetap-kan dv/dx sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan:
d V
* : 2 1 6 - l 3 2 x * t 2 x 2 : 1 2 ( 1 8 - t l x * x \ : t 2 ( 9 _ x ) ( 2 _ x ) : 0
Ini memberikan x = 2 atar_x = s, tetapi 9 tidak pada selang [0; a,5]. Kita l ihat bahwahanya terdapat tiga tit ik krit is, yaitu,0.2, dan 4,5. paaali i i t-t i t ik uiung 0 dan 4,5,v = 0; pada 2, v = 20o. Kita simpulkan bahwa kotak mempunyai volume maksimum200 inci kubik jika x = 2 - yakni, jika kotak berukuran panjang 20 inci, lebar 5 inci.dan tinggi 2 inci.
: ...:_r .t .
ll, .i
coNToH 5 Seorang peternak mempunyai 100 meter'kuwut br.duri yang akan dipakaimembuat dua pagar identik yang berdampingari, seperti diperlihatkan dalam Gambar 10.Berapa ukuran seluruh kelilingnya agar luas maksimum?
Penyelesaian Andaikan x adalah lebar dan y adalah panjang seluruh keliling, keduanyadalam meter. Karena tersedia 100 meter kawat,3x+2y = 100 -yakn i ,
fJ- -
/
{190 Kakulus dan GeometriAnalitis lilid I
Sekarang
4 : 5 0 - 3 xdx
Bilamana kita tetapkan 50 - 3x sama dengan 0 dan menyelesaikannya, kita peroleh, = T. Jadi terdapat tiga titik kritis,: 0, rf, dan l$0. tceCua titik ujung 0 dan !$e mem-ber ikanA=O,sedangkanx:*menghasi lkanA=416,6T.Ukuranyangdi inginkanada-l ahx :Tmete rdany :S0 - t (+ ) :25 me te r . I
Contoh terakhir menggambarkan suatu masalah yang dialami oleh-sebuah perusahaanyang menyalurkan produknya dengan rhempergunakan truk. Dengan bertambahnya kece-patan truk tersebut, biaya operasinya (bahan bakar, minyak pelumas, dan lain,lain) ber.tambah, sedangkan biaya tenaga kerja (pengemudi) menjadi berkurang. Berapakah kece-patan yang paling ekonomis bagi sebuah truk yang akan menjalankan tugas?
CONTOH 6. Biaya operasi sebuah truk diperkirakan sebesar (30 + u/2) sen dollar per milpada saat dikemudikan dengan kecepatan u mil per jam. Pengemudinya dibayar $14 perjam. Pada kecepatan berapakah biaya pengiriman ke suatu kota yang jauhnya k mil akanpaling murah? Dengan anggapan bahwa aturan kecepatan yang diperbolehkan adalah4 0 { u ( 6 0 .
Penyekuian Misalkan C adalah biaya total dalam sen $ untuk menjalankan truk sebuah &mil. Maka.
C : biaya pengemudi * biaya operasi
: ! 1r+oo; + r(:o . ;) :r4oo/<u-,
At u : 40, . : - (#) +,(30 + 20): 351,
At u: 53, .: -l++i + r,(to+ l.l): az,rr\ ) r / \ r /
At u: 60, .: or1#) + /c(30 + 30): s3,3k\ 6 0 /
Dapat disimpulkan bahwa pada kecepatan 53 rnil per jam adalah yangterbaik.
* (!)' * 'ouMaka,
- r400ku-2 +l+ o
Dengan mengambil dCfdv sama dengan 0 mendapatkan
t400k kD " 2
, , 2 : 2 8 0 0
u t , 5 3
Pada kecepatan 53 mil per jam merupakan nilai optimum, akan tetapi, kita harus menin-jau C pada tiga titik-titik kritis 40, 53 dan 60 untuk meyakinkan.
dCdu
I
4-
r?r
l9lBab 4 Penggunaan Turunan
Kita akan dapatkan lagi sejumlah soal-soal terapanmum pada Pasal 4.4.
mengenai maksimum dan mini
soAL-soAL 4.1
Dalam Soal-soal l-16. kenali t i t ik-t i t ikkritis dan carilah nilai maksimum dan nilaiminimum (l ihat Contoh l , 2, dan 3).
l . / ( x ) : - x 2 + 4 x - l ; / : [ 0 , 3 ]
2 . f ( " ) : x 2 * 3 x ; I : [ - 2 , 1 ]
3. G(x) : ](2x3 + 3x2 - l2x),
1 : [ - 3 , 3 ]
, / o < t l : 4 t i + 3 t 2 - 6 t + r ,
t : l_2, r l
S. f (x ) : . x3 - 3x + 1 ; 1 : ( - ; , 3 )
Pe tuniuk : Sketsakan grafik.
6 . f (x ) : i r3 - 3x + l ; I : l -1 ,31
I7 . s G ) : . - i l : l - 2 . 1 1
l + x -
. l4 . S k ) : I * r r ;
/ : ( - c c ' x , )
Pe tunju k: Sketsakan grafik.
xe . " f ( x ) : V n ' 1 : [ - 1 . 4 ]
{e f(t) : sin t - cos t; I : [0, z]
l l . / ( x ) : l x - 2 l ; I : [ 1 , 5 ]
\ 1 ' y : 1 5 - 3 x l ; r : t o , 3 l13. 9(x) : a2ts; I : l -1,321
X.,rt'l : [5x]; t : l-],41
\ f t ( x ) : x 2 s : I : ( - 1 . 3 2 )16 . f ( t ) : I - tan t ; I = l -n l4 ,n l4 )
l\ Carilah dua bilangan tak negatifyang jumlahnya l0 dan yang hasilkalinyamaksimum. Petunjuk: Jika x salah satubilangan, maka yang lainnya l0 - x.
18. Bilangan apa yang melebihi kua-dratnya secara maksimum? Mulailah de-ngan meyakinkan diri sendiri bahwa bi-langan ini berada pada selang [0, I ] .
19. Dono memPunYai 200 meterkawat duri yang ia rencanakan untuk me-magari halaman berbentuk persegi-panjan g
untuk anj ingnya. Jika ia ingin agar iuas
maksimum, berapa ukuran yang seharus-nya?
20. Buktikan bahwa untuk persegi-panjang dengan keliling K, yang luasnyamaksimum adalah bentuk bujur sangkar.
21. Hitunglah volume terbesar darikotak terbuka yang dapat dibuat dari se-lembar papan luas 24 inci kuadrat dengancara memotong bujur sangkar berukutansama pada sudut-sudutnya dan melipatsisi-sisi ke atas (lihat Contoh 4).
\. fawat sepanjang l6 inci dipotongmenjadi dua; satu potong ditekuk untukmembentuk bujur sangkar dan yang lain-nya ditekuk untuk membentuk lingkaran.D mana kawat harus dipotong agar jumlah
luas bujur sangkar dan luas lingkaran mi-nimum? Maksimum? (Pertimbangkan juga
kemungkinan tanpa memotong).
23. Petani Badu memPulYai 80 kzlkikawat duri yang ia rencanakan untuk me-magari kandang persegipanjang sepanjang
satu sisi gudangrrya sepanjang I 00 kaki' se-perti diperlihatkan dalam Gambar I I (sisi
sepanjang gudang tidak memerlukan ka-wat duri). Berapa ukuran kandang yang
mempunyai luas maksimum?
tHii*$
GAMBAR II
24. PeIani Badu dari Soal 23 me-mutuskan untuk membuat tiga kandangyang identik dengan 80 kaki kawat duri-nya, seperti diperlihatkan dalam Gambar12. Berapa ukuran untuk total lingkupanagar kandang seluas mungkin?
GAMBAR I2
/
r192
25, Andaikan petani Badu dari Soal23 mempunyai 180 kaki kawat duri daningin agar kandang melingkari seluruh sisigudang, seperti diperlihatkan dalam Gam-bar I 3. Berapa ukuran yang seharusnya
arr furs orfinqn? Pcrhatikan bah-redrhnhlii.Q*f.r 6.rO-
vGA-MBAN, 13
26. Andaikan bahwa petani Badu dariSo.l 23 memutuskan untuk memakai 80kaki kawat durinya untuk membuat kan-dang persegi-panjang untuk memenuhi po-jok gudang berukuran 20 kaki kali 40 ka-ki; seperti diperlihatkan dalam Gambar l4(semua pojok harus dipakai dan tidak me-merlukan kawat). Berapa ukuran kandangyang memberikan luas maksimum? Pe-anjuk: Mulai dengan memutuskan padanilai-nilai x yang diperbolehkan.
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
29l Sebuafr pancuran atap logammempunyai sisi 3 inci dan alas mendatat3 inci, sisi-sisi membuat sudut sama se-besar 0 dengan alas (Gambar l7). Berapa0 agar kapasitas pancuran maksimum?Perhatikan: O 404 n12.
GA.MBAR 17
30. Sebuah kerucut harus dibrut daripotongan melingkar selembar logam jari-jari l0 meter dengan cara rnemotong satusektor dan mengelas sisi terpotong darisisa potongan (Gambar l8). Berapa volumemaksimum yang mungkin dari kerucutyang dihasilkan? Petuniuk: Andaikan I su-dut pusat dari sektor yang dibuang.
GAMBAR 18
31. Biaya operasi sebuah truk ter-tentu adalah 25 + xl4 rupiah tiap kilo-meter jika truk be{alan pada .r km/jam.Sebagai tambahan, supir memperolehRp. 120 tiap jam. Berapa laju yang palingekonomis untuk mengoperasikan truk padajarak tempuh 400 km jika laju jalan rayaharus antara 40 dan 55 km/jam?
32. Mengulangi Soal 3l denganmenganggap biaya operasi adalah
40 * 0,05r.3/2 sen per mil.
;;ij:ffff;Kandang
GAMBAR 144
t\,/,/.\ \ .a(fl{ Dtx/pojok sebuah persegi-pan-
jang\6rada pada sumbu-x dan dua yang
lainnya pada parabol y = 1?" - .x" , dengany 2 O. Berapa ukuran persegi-panjang
semacam ini (Gambar 15) dengan luas
maksimum?
GAHi. rst't///1
V1t "nuuan uku ran perse gi-p anj an gyang luasnya maksimum yang dapat di-letakkan di dalam setengah lingkaran de-ngan jari-jari r (Gambar l6).
-\'-
(
Bab 4 PenggunaaiTurunan
33. Tentukanlah titik-titik P dan Qyang terletak pada kurva Y = x2 14,0 ( x ( ^F,yane jaraknya paling dekatdan paling jauh dari titik (0,4). Petuniuk:Secara aljabar akan lebih mudah menen'tukan kuadrat jarak yang diperlukan dari
nadajalak itu sendiri.
34J Suatu alat pelembab udaramenggunakan cakram putar yang beljari-jari r, sebagian dicelupkan di air. Penguap-an yang terjadi akan semakin banyak apa-bila bagian yang basah (tampak sebagaibelahan pada Gambar 19) semaksimum
t93
mungkin. Tunjukkanlah bahwa hal iniakan terjadi apabila ft (jarak dari pusat
ke permukaan air) sama dengan rl{t-I7 .
35. Sebuah kotak tertutup terbuatdari karton berbentuk empat persegi pan-jang dengan ukuran 5 kaki dan 8 kaki.Pembuatannya dilakukan dengan mem-buang bagian-bagian yang terpotong padaGambar 20, kemudian melipatnya pada
Snris titik-titik. Berapakah ukuran x, y,dan z agar volumenya maksimum?
.---a
GAMBAR 19 GAT{BAR 20
4,2 Kemonotonan dan Kecekurqan
Pandang grafik dalam Gambar 1. Tak seorang pun akan terkejut bilamana kita me-ngatakan bahwa / turun di kiri c dan naik di kanan c. Tetapi untuk meyakinkan bahwakita sepakat tentang istilah, kita berikan definisi-definisi yang persis.
Bagaimana kita memutuskan di mana suatu fungsi naik? Seseorang mungkin me-nyarankan bahwa kita menggambar gafiknya dan memperhatikannya. Tetapi sebuahgrafik biasanya digambar dengan rfierajah beberapa titik dan menghubungkan titik-titik
II
/
rI
194 Kakulus dan GeometiAnalitis JilA I
tersebut dengon suatu kurva mulus. Siapa yangdapat yakin bahwa grafik tidak bergoyang diantara titik-titik yang tlirajah. Kita memerlukanprosedur yang lebih baik.
TURUNAN PERTAMA DAN KEMONOTONAN Ingat kembali bahwa turunan pertama/'(x)memberi kita kemiringan dari garis singgungpada gratik / di titik x. Kemudian jika /'(x)) 0, garis singgung naik ke kanan Qihat Gam-bar 2). SeruF, ilka f
'(x) ( 0, garis singgungjatuh ke lcanur. Faktefakta ini nrembuat teorema bcrihrt secara intuisi jelas. Kita tundabulti yang ccrrut sarpai Pasal 4.8.
GAXDAN.2
Teorema ini biasanya membolehkan kita secara persis menentukan di mana suafilfungp yang terdiferensial naik dan di mana ia turun. Ini masalah penyelesaian dua per.taksamaan,
coNToH I Jika/(x)= 2x3 - 3x2 - l2x + 7, cari di mana/naik dan di mana turun.
Penyelevian Kita mulai dengan mencari turunan t
f'(x) : 6xz - 6x - t2 = 6(x + t)(x - 2)
Kita perlu menentukap di mana (r + l)(x - 2) > 0 dan juga di mana
( x + l { x - 2 ) < 0 .
I
II,
GAMBAR I
Ffubl PenggunaanTurunan
Ni la i -n i la i dar i r '
(+) (0) ( - ) (0) {+)
-1
GAMBAR 3
tgs
Masalah ini dibahas secara terinci di Pasal 13,pasal yang sekarang perlu ditelaah ulang- Titik-titik pemisah adalah -l dan 2; mereka membagisumbu-x atas tiga selang; (-oo, -l), 1-1,2),dan (2, oo). Dengan memakai titik-titik uji-2,0, dan 3, kita simpulkan bahwa,f '(r) > 0pada yang pertama dan teralhir dari selang-selang ini dan bahwa f
' (x) 10 pada selangtengah (Gambar 3). Jadi, menurut Teorema A,
/ naik pada( - co,-l] dan 12, at); ia turun pada [-1, 2] , Perhatikan bahwa teorema
tersebut membolehkan kita mengikutkan titik-titik ujung dari selang-selang ini, walau-pun 1'(x) = 0 pada titik-titik itu. Grafik / diperlihatkan dalam Gambar 4. I
CONTOH 2 Tentukan di manag(x) = x l(l + xz) naik dan di mana turun.
Penyeiesoian
Karena penyebut selalu positif, g'(x) mempu-nyai tanda sama seperd (l - x)(l + r). Titik-titik pemisah -l dan l, menentukan tiga selang(- .o, - 1), (- 1, 1),dar (1, oo). Bilamana kitamenguji mereka, kita temukan bahwa g'(t) (
0 pada selang-selang yang pertama dan ketigadan bahwa g'(x) >0 pada yang tengah (Gambar5). Kita simpulkan dari Teorema A bahwa g
turun pada (- oo, - 1] dan [], co), naik pada
[-1, l]. Kita tunda penggambaran grafik Isampai nanti, tetapi jika anda ingin melihatgrafiknya, beralihlah ke Contoh 4. I
GAMBAR4
TURUNAN KEDUA DAN KECEKUNGAN Sebuah fungsi mungkin naik dan tetaP mem-punyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar 6), Untuk menganalisis goyangan, kita perlu
mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kta bergsrak sepanjang grafik dari kiri
ke kanan. Jika garis singgung berliku secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita
katakan bahwa gnfik celEll+kt@s, jika garis singgung berliku searah putaran jarum jam,
$afik ceryylg ke ry. Kedua definisi lebih baik dinyatakan dalam istilah fungsi dan
Urrunannya.
(-)Nitai-ni lai dari
(0) (+) (0) ( )t l
- 1 1
GAMBAR 5
j{-
f l x l - Z x z - 3 x z - 1 2 x + 7
/
196 Kalkulus dan GeometriAnalitis Jilid I
Dagram dalam Gambar 7 akan membantu memperjelas gagasan ini. Perhatikan bahwakurva yang cekung ke atas berbentuk seperti sebuah cangkir.
f ' na i k : Cekung ke a tas
GAMBAR 7
Sehubungan dengan Teorema A, kita mempunyai kriteria sederhana untuk memutus.kan di mana kurva cekung ke atas dan di maaa cekung ke bawah. Kita cukup mengingatdalam hati bahwa turunan kedua dari /adalah turunan pertama dari,f ,. Jadi /';aiklkai,,positif; turun jika/" negatif.
Untuk kebanyakan fungsi, teorema ini mengubah masalah penentuanmasalah penyelesaian pertaksamaan, Kita ahli untuk ini.
kecekungan ke
CONTOH 3 D mana/(x): jx3_bawah?
Penyelevian
,2 - 3x + 4 naik, turun, cekung ke atas, dan cekung ke
f '(x) : x2 - 2x- 3 : (x + t{x - 3)
f " (x ) :2x - "2 :2 (x - l )
) f t l ; ( W
f ' turun: Cekung ke bawah
Bab 4 Penggunaan Turunan 197
y = f l x l = j x s - x z _ 3 x + 4(+ ) (0) (+)
{+}(rI
(-)f "
GAMBAR 8
Dengan menyelesaikan pertaksamaan (x + l)(x - 3) ) 0 dan lawannya kita simpulkanbahwa / naik pada (-o,-lJ dan [3, o)dan turun pada [- l, 3] (Gambar 8). Serupa,penyelesaian 2(x - l) ) 0 dan 2(x - 1) ( 0mempalihatkan bahwa / cekung ke ataspada (1, o), cekung ke bawah pada (- o, l).Grafik / diperlihatkan dalam Gambar 9.'
TGAMBAR 9
,CONTOH 4 D mana dx)= xl(l + x2) cekung ke atas dan di mana cekung ke bawah?
Sketsakan grafikg?
Penyelevian Kita mulai pembalusan fungsi ini dalam Contoh 2. D sana kita mempelajaribahwa g turun pada( - o,-l] dan [1, .o) dan naik pada [-1, l] . Untuk menganalisiskecekungan, kita hitung g".
-t
-2
-3
-4
-5
l - x zs'(x): 'T7p
g"(x): 0 + x\2(-2x) - (l - x2)(2){r + x2)(2x)( 1 * x
(l + x2)[(l + x?X-2x) - (l - x'�;1+x;1(1 + r2)4
2x3 - 6x 2x(x2 - 31: (t +;T: (t ;}tt
c-)(or a
( - tgq (o)
c" (-) (o) (+) (0) (-) (0) (+)
-,/i
GAIIBAR.lO
Karena penyebut selalu positif, kita hanya perlumenyelesaikan x(xz - 3) > 0 dan lawannya.Titik-titik pemisah adalah - .,,/9,0, Oan Vf .Tiga titik pemisah ini menentukan empatselang. Setelah mcnguji mereka (Gambar l0),kita simpUlkan bahwa g cekung ke atas pada
GJ3,0) dan(J3, co)lan bahwa ra cekung kebawatr pada (- m, -J3) dan (O .r/3).
(+'/el
,/T
I
z-
/
t 98 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
Untuk membuat sketsa grafik g kita memanfaatkan semua informasi yang sedemikianjauh telah diperoleh, ditambah dengan fakta bahwa 9 sebuah fungsi ganjil yang grafiknyasimetri terhadap titik asal (Gambar I l). I
fr^ &'
TIK B Andaikan / kontinu di c. Kita sebut (c, {c)) suatu fidk balik dari gnfikjika / cekung ke atas pada satu sisi dan celung ke bawah pada sisi lainnya dari c. Grafik
dalam Gambar l2 menunjukkan sejumlah kemungkinan.
Titik-titiktEl ik
Titik-titikbal ik
ceKungl(e atas
f lxl = xq
GAI{BAR 13
Seperti yalg_+Sq&\anda rerka, titik.titik dl maralf "(x) = 0/ atau /
"(.r) tidalC
@-rrup.1ai-Eb'ln:ca--FiuntrI-irf i[-EfiR1Kita gunakan V'ata calon secara sengaja. Samahalnya reperti caton untuk jabatan politikmungkin gagal untuk terpilih, sehingga -misalnya - titik di mana f
"(*) = 0 mungkingagal me4iadi suatu titik balik. Pandang ̂x) =xn, y angmempunyai grafi k diperlihatkan dalarnGambar 13. Benar bahna /
"(0) = 0; tetapi
GAIT{BAR 12
Bab 4 PenggunaanTurunan Dg
tftft asal bukan titik balik. Tetapi dalam pencaria! titik-titik balik, kita mulai dengan mo-ngenali titik-titft dengan/"(x) : 0. (dan di mana /" (x) tidak ada). Kemudian kita meme-rikra apakah mereka benar-benar merupakan titik-titik balik.
uhat kembali pada grafik dalam contoh 4. Anda akan melihat bahwa(x) mernpunyaitiga titik balik, yaitu ( - J3, -
J3/4), (0, 0), oan L,6, ,fiF\
CONTOH 5 Cari semua titik bdik &ri grafik /(x) : fx! - 2x.
GAXAAT 14
CONTOH 5 Cari semua titik balik unUrk
Penyelexian
Penyeleubn
.f '(x) : I", - z
f"(x) : x
Hanya brdapat satr calon untuk titik balik,yakni, titik di mana f
"(*) = 0. Ini terjadi padatitik asal, (0, 0). Batrwa (0,0) adalah titik ba[-kmenyusul dari fakta bahwa /
"(*) < 0 untukx ( 0 dan f
"(x) > 0 untuk x ) 0. Jadi, ke.
cekungan berubah arah di (Q 0). Gnfik diper-hhatlsr dalam Gambar 14. I
F ( x ) : x r t 3 + 2 .
1 - ' � )F'(x):
t* r"61: n;it
T[rrunan kedua, F "(x), tidak pernah 0; tetapigagal untuk ada di x = 0. Titik (0,2) adalahtitik bdik karcna F "(r) > 0 untukx ( 0 dany''(") < 0 untuk x ) O Grafik disketsakandalan Gambar 15. IGAIBAR, T5
soAL-soAL 4.2
Dal,rm Soal+oal l-10, gunakanKemonotonan untuk mencarifurgsi yarg diberikan naik danturun.
l. f(x): x2 - 4x + 2
2. f(x) = 2x - x2
3 . F ( r ) = x 3 - l
4. F(x):2x3 + 9x2 - 13
3 . f r t ) : f a 4 1
ta 4t36. , ( t ) : r -T
7. IQ) :2xs - 15x4 + 3ox3 - 6
2 - xt. ,f(x): =-
Teoremadi manadi mana
F l x l = J E + t
/
9. H(t): $nz 2t,0 < t < n
10. H0) : cosl * sin t ,0 < t < 2z
Dalam Soal-soal 1l-l 8, gunakan TeoremaKecekungan untuk menentukan di manafungsi yang diberikan cekung ke atas dandi mana cekung ke bawah. Cari jugasemua titik baliknya.
ll. /(x) : (x - 3)'�
12 . f (x ) :4 - x2
13. F(x) : x3 - l2x
14. F(x): (x - 3)3 + 4
I15. g(x) :3x' - I
x'
16. g(x) : x4 - 6x3 - 24x2 I x * 2
17. g(x):2x6 + 15xa + 90x2 + l2ox - 4
f8. g(x) :2x2 + cos2 x
Dalam Sbal-soal 19-28, tentukan di managrafik dari fungsi yang diberikan naik,turun, cekung ke atas, dan cekung kebawah. Kemudian skets grafiknya (lihat
Contoh 4).
19. f(x): x3 - 3x - I
20. g(x): x3 - 2x2 + x + |
21 . g (x ) :3xa - 4x3 + 2
22. F(x): x6 - 3xa
B. G(x): 3xs - 5x3 + I
^/ x2.14. H(x) = ,/ x - + r
25. f (x): \,Gin x pada [0, z]
-/fi. o$): xJx - 2
27. f (x ) : v2r3( l - x )/)
fl. sG): 8xr/3 + x4l3///l
Dalarn Soal-sozL 29-32, pada selang [0,6]sketsakan grafik suatu fungsi / yang me-menuhi semua kondisi yang dinyatakan.
Kalkulus dan GeomefiiAnalitis Jilid J
-t<t-/1U lfqf(o) : 3; f(3) : o: f(6t : a:X/ / Uf
'(") < o pada (0, 3);,r '(x) > o' - p a d a ( 3 , 6 ) ;
f "(*)> o pada (0, 5); /"(r)< 0
f7ffiaaa $' 0l'
l/ /lo/ ftot : 3: f(2') : 2; f(e : a;lr!1y' r,'(*) ( o pada (0, 2) u (2, 6t;
f ' (2 t : o ;f
" (* ) < 0 pada (0, 1) u (2, 6) ;f " ( r )> o pada (1 ,2 ) .
3r. /(0) : f(4) : r: f(2) : 2; f(O : a:f
' (x) > 0 pada (0,2); f ' ( r) < Opada (2 , a )v @,6) ;f
' (2) = f ' (q) = o; f" (x) ) o pada
(0 , l ) u (3 , a ) ;f " ( r )< 0 pada (1 , 3 ) u (4 , 6 )
32. f(o) : f(3) : 3: f(D : a:
/ f @ ) : z ; f ( 6 ) : o ;f
' (x) > 0 pada (0,2); f ' ( r) < o
pada (2 ,4 ) U (4 , 5 ) ;f ' ( 2 ) = f ' ( c ) = o ; f ' ( x ) = - l p a d a( s , 6 ) ;
f "(r) < o pada (0, 3) u (4, 5);
f "
( r )> o pada (3 , 4 )
33. Buktikan bahwa fungsi kuadrattidak mempunyai titik balik.
34. Buktikan bahwa fungsi kubikmempunyai tepat satu titik balik.
35. Buktikan bahwa jika 7 '(x)
aaadan kontinu pada selang 1 dan jika /'(x)* 0 untuk semua titik-titik dalam dari {maka atau / naik sepanjang,f atau turun se-panjang I. Petuniu.k: Gunakan TeoremaNilai Antara untuk memperlihatkan bahwatidak terdapat dua titik x1 dan x2 dari Idi mana /' berlawanan tanda.
{ lnau*an / {ungsi yang turunan-nya'adalah f ' (x) = (x' - x + l) i(x, + l) .Gunakan Soal 35 untuk membuktikan bah-wa /naik di mana-mana.
37. Gunakan Teorema Kemonotonanuntuk membuktikan tiap pernyataan jika0 ( x ( y .
(a) x, < y, (b) .,,G <.,fi. . 1 I( c ) - > -
' x v
Bab 4 Penggunaan Turunan
281D"ng n syarat 4, b, dan c yangbagaimanakah akan membuat /(x)ax3 + bx2 * cx *d selalu naik?
dTentukan a dan b sedemikianrup/sehingga f(x)= a1fi + a6fi mempv-nyaititl& (4,13) sebagai titik belok
10. Bentuk umum fungsi kubik /(x)meirpunyai tiga harga nol11, 12 dan 13.Tunjukkanlah bahwa titik beloknya ber-absis (r1 * 12 * 13)13. Petuniuk: flx) =
a(x-r1\se -r2Xx-rg).
7{ lnaa*^n bahwa /(x) ) o aan
9'6)> 0 untuk setiap x. Tambahan pra-syarat apakah (apabila ada) yang diperlu-kan untuk menjamin bahwa:
20r
(a) .f(r) * g(x) naik untuk setiap x.(b) ,f(r) . g(x) naik untuk setiipr.(c) /(g(x)) naik untuk setiap x.
,-''. *I. Andakan bahwa /'(r) > O d"n
g"(r) > 0 untuk setiap x. Tambahan pra-syarat apakah (apabila ada) yang diperlu_kan untuk menjamin bahwa:
(a) ./(x) + g(r) membuka ke atas untuksctiap r.(b) ./(x)' g(r) membuka ke atas untuksetiap x.(c) .f(g(x)) membuka ke atas untuksetiap r.
I
4.3 Maksimum dan Minimum Lokal
Kita ingat kembali dari Pasal 4.1 bahva nilaimaksimum (ika ada) suatu fungsi f Wdahimpunan S adalah nilai .f terbesar yarg di-capai pada keseluruhan himpunan S. K.-.dang-kadang diacu sebagai nilai nraksimumglobal, atau niloi nwksimumabsofur dari/. Jadi
yang grafiknya diskeb dalam Gambu l, fla)adalah nilai malaimum global. Tetapi bagai-mana tentang/(cf Mungkin saja ia bukan rajadari negara, tetapi paling sedikit ia adalahkepala dari lingkungan sekitarnya. Kita sebut.(c) suatu nilai makslagqlgFat, atzlu nilai maksi-mym reta.Ff. TentfQ-a-nilai maksimum globalotomatis juga nilai maksimum lokal. Gambar 2
melukiskan sejumlah kemungkinan. Perhatikan bahwa nilai.maksimum global fiika ada)hanyalah yang terbesar di antara nilatnilai maksimum lokal. Serupa, nilai minimum globaladalah yang terkecil di antara nilainilai minimum lokal.
vinglobal
I
GAMBAR 2
/
202 Kalkulus dan Geometri Analitis lilid 1
Berikut definisi formal dari maksimum lokal dan minimum lokal. Ingat kembali bah.wa lamburg fi menyatakan irisan (bagian bersama) dari dua himpunan.
Dl MANA NILAINILAI EKSTRIM LOKAL TERJAD!? Teorema Titik Krit is (Teorema4.18) berlaku sebagaimana dinyatakan, dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh nilaiekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jadi titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner,dan titik singular) adalah calon untuk titik tempat kemungkinan terjadinya ekstrim lokal.Kita katakan calon karena kita tidak menuntut bahwa setiap titik kritis harus merupakanekstrim lokal. Bagian kiri grafik dalam Gambar 3 membuat ini jelas. Tetapi, jika turunanadalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negatif pada pihak lainnya, makakita mempunyai ekstrim lokal.
GAMBAR 3
Ij
Min imum l oka l
f l x l = x z - 6 x + 5
Bab4 PenggunaanTurunan 203
Bukti (il Karena f '(x) > 0 unuk semua x
dalam (a, c), maka mcnurut Teorema Ke.monotonan / naik pada (a c] . Menurut teor€.tna yang sama, karena f'(x) < 0 untrk semuax dalam [c, D), rnaka Jt turun pada [c, E). Se-hingga,,f(x) </(c) untuk semua.x dalam (a, D),kecuali tentr sqja di x = e Kita simpulkanbahwa {c) adalah malcsimum lokal.
Bukti-bukti (ii) dan (iii) serupa. t
CONTOH I Cad nilai sl6s16- lokal darifungFi"f(x) : x2 -6x + 5' Pada (-oo,o).
Penyelwbn Fungsi polinom / kontinu dimana-mana, dan turunannya,f' (x) = 2x - 6,ada untuk scmua r. Jadi satrsatunyatitik kritis untrk / adalah penyelenianUnggal dari,f'(x) : 0. yaknix = 3.
Karcna f ' (x) :2(x-3\ <0 untukx < 3, / turun pada(-o,3J;dan karena2 (x -3 ' l >0 un tuk x>3 , f na i kpada[3, o). Karena itu, rnenurui Uji Tirrun-an Pertama, f(3) = -+ adalatr nilai mi-nirnum lolol f, Ihrena 3 addatr satusatu-nya hlangan kritil, tidak tcrdapat nilai€l$ftim lain. Gralik / diperlihatkan da-
lam Gambar 4. Perhatikan bahwa dalam kasus ini {3) sebcnrnya edalatr nilai mi-nimum (global). I
CONTOH 2 Cauri nilai chtrimlokal duil(x) : *rt - x2 - 3: y 4 padr (-co, co).
GAMBAR4
t
z -
/
2M
Penyeleuian
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
IGrena/'(x) -- xz- 2x -3: (x * lXx - 3),titik kntrs / hanyalah -l dan 3. Bilamanakita gunakan titik-titik uji -2, 0, dan 4, kitapahami bahwa (x + l[x - 3) > 0 pada( - o, - l) dan (J, o) dan(x + tf,x -l) < 0,pada (-1, 3). Menurut Uji Turunur Pertama,kita simpulkan batrwa/(-1) : *adalah nilaimaksimum lokal dan bahwa {3) = -5 adalahnilai minimumlokal (Gambar 5). I
CONTOH 3 Cari nilai ckstrim lotcal darif (x) : (sin y;zrs pada, (- nl6, 2nl J).
Penyelevion
2 c o s xJ ' \ x ) : 3 ( s i r , r l l r , x + O
GAMBAR 6 fitik 0 dan il2 adatah titik.tifik kdtis,karena /
'(0) tidak ada dan f' (n t2) = 0, Se-karang /
'(r) < 0 pada (-n16, O) dan pa-da (r12,2zl3), sedangftan f'(I) ) 0 pada (0,fl2\.Menurut Uji Turunan Pertama kita sim-prlkan bahwa /(0) = 0 adalah nilai minimum lokal dan barwafkrl2) = I adalah nilai mak-simum lokal. Grafik/diperlihatkan datam Gambar 6. I
Uf l TURUNAN KEDUA Terdapat uji lain untuk maksimurn dan minimum lokal yangkedang*adang lebih mudah diterapkan daripada Qi Turunan Pertama. Ia menyangkutpenghitungan turunan kedua pada titik-titik stasioner. Ia tidak berlaku pada titik singular.
htkd (i) Adalah mcnggoda untuk mongatakrn bahwa karena f " (") 10, /adalah cehrng
ke bauah dckrt c dan mcnyatalon 6ahwa ini membuktikan (i). Tetapi, agu yakin batrwal
r { x } = { * - x 2 - 3 x * 1
GAMBARS
Bab 4 Penggunaan Turunan 205
cclung kc bawah di lingkungan c, kita memerlukan f " (x)1 0 di lingkungm tersebut
(tidak hanya di c), dan tidak ada ddam hipotosis kita yang menjamin itu. Kita ambl taktiklain.
Dui dcflnisi dan hipotesis,
f " (c) : t^ f ' (x) - f ' (c ) :5- / ' (x) - o .
or + c x - c x - c x - c
sehingga kita dapat monyimpulkan bahwa terdapot sdang (c, p) (mungkin pendek) di sc.kitr c di mana
I ' � @ ) < 0 . x + cx - c
Kedua ketaksamaan ini menur{ukkan bahwa /(r) > 0 untuk a ( x ( c dan/'(x)( 0 untukc 4x 1p. Jadi, menruut Uji Turunan Pcr.tarna,/(c) adalah nilai makdmum lokal.
hkti (ii) $rups. I
CONTOH 4 Untuk f(x) =x2 - 6x+ 5, gunakan Uji Turunan lGdua untuk mengenaliekstrim lokal.
Penyelesaian Ini adalah fungsi dari Contoh l. Perhatikan bahwa
f ' ( x ) : 2 x - 6 : 2 ( x - 3 )
f " ( x ) : 2
Jadi /'(3) = 0 dan f"(3) > 0. Karena itu, menurut Uji Turunan Kedua, 1(3) adalahnilai minimum lokal.
CONTOH 5 Untuk f (x): t*' - t'ngenali ekstrim lokal.
Penyelesoian
GAMBAR 7
t
- 3x * 4, gunakan Uji Turunan lGdua unhrk me.
Ini adalah fungsi dari Contoh 2.
f ' ( x ) : x2 - Zx - 3 : (x + l [ x - 3 )
f"(x) :2x - 2
Titik-titik kritis adalah -l dan 3 Q,'1-t]. =
f ' (3)- 0) , Karena f " ( - l )=-4dany"6)=4,
kita simpulkan m€nurut Uji Turunan lGdua -bahwa /(-l) adalah nilai maksimum lokal danbahwa l(3) adalah nilai minimum lokal. t
Sayang, Uji Turunan Kedua kadang-kadanggagal, lcarena .f
"(*) mungkin 0 pada titik sta.
sioner. Untuk {") = "t dan /(x) = xo, y'1O1= gdan /
"(0) = 0 Qihat Gambar 7). Yang pertamatidak mempunyai nilai maksimum atau mini.mum lokal di Q yang kedua mempunyai mi.nimum lokal di sura Ini rnempedihatkan bah.wa jika f
"(s) = 0 di titik stalioner, kita tidakmampu menarik kesimpulan te ntang maksimumatau minimum tanpa informasi tambafun.
i
I
/
7I
' 2 M Kalkulus dan Geometri Analitis lilid I
soAL-soAL 4.3
Dalam Soal-soal l-6, kenali titik-titik kritis. Kemudian gunakan (a) Uji Turunan Pertama,dan (ika mungkin) Uji Turunan Kedua untuk memutuskan titik-titik kritis mana yangmemberikan nilai maksimum lokal dan mana yang memberikan nilai minimum lokal.
l . f ( r ) : x3 - 3x2 + 2
2 . f ( r ) : x3 - 3x + 4
3. f(x) : jx - sin x,O < x < 2n^a^
f (x): @s2 x, -1il2 < x < 3nl2
5. g(r): |xa + I
\s ( t l :3xa - 4x3
Dalam Soal-soal 7-16, cari titik-titik kritisdrn fumken uji yang anda lebih senangiuntul mcmutuskan mana yang memberi-trn nilai maksimum lokal dan mana yang
mcmberikan nilai minimum lokal. Apareja nilai-nilai maksimum dan minimumlokd ini?
7. f(x): |x3 - 3x - I
\ ' g ( x ) : x 4 - 2 x 2 + 3
9. hQ) : xa + 2xs
r0. f@): (x - l )s
l l . s(t):2 - ( t - l )2tt
ir. ryrl :2t + t2t3
I1 3 . / ( x ) : x * : , x # 0
x
x214. g(x)
J x ' + l
1 1 1 1 : - - I t n t , o < t < 2 nz + c o s t
g ( r : l c o s t l , O < t < 2 n
17. Cari nilai-nilai maksimum dan mi-nimum (global) dari F(x) :6$ - 3x pa-da [0, 91.
lQ. Kerjakan Soal l7 pada selang
lO oo).
19. Ceri Gk8 mungkin) nilai-nilaimaksimirm dan.minimum dari
9 2 7f(x) : -
sln x cos rpfia (O,rl2).
\Cari (iika mungkin) nilai-nilaimaksimum dan minirqum dari
f1x): x' + )pada (Q o).
El 21. C-an nilai minimum dari
^ l6xz9 ( x ) : x ' + N ' x > 8
(u - r)-
22. Pandang f(x): Axz * 8x * C de-ng;tn A ) 0. Buktikan bahwa "f(x) > 0uhtuk semua .r jika dan hanya jika 82 -
4AC <o.
23. Diketahui /(x) = 2(x * 2',(x + l)2(x-2)o(r-3)t, pada harga x be-rapakah yang rnenjadi /(r) sebagai maksi-mum lokal? Sebagai minimum lokal?
24. Kesimpulan apakah yang dapatAnda peroleh mengenai / dari informasibahwd(c) = f '@) = 0 dan f"G)> O'l
iketahui / merupakan suatuontinu dan Eraf:*- f
' seperti tam-
pak dalam Gambar 8. Cobalah gambarkan
ErafrJr f dan jawablah pertanyaan-perta-nyaan berikut:(a) Di manakah/naik? Turun?(b) Di manakah / membuka ke atas?Ke bawah?(c) Di manakah f mencapailokal? Minimum lokal?(d) Di manakah titik belokfl
fungsi positif dengan minimum lokal diC. Tunjukkanlah bahwa.f'g pasti memi-liki minimum lokal di C.
ls.
\
)i " s
I
maksimum
\ /\JZ
14
'(x) )
r--r
Bab4 PenggunaanTurunan 207
4.4 Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Masalah yang kita pelajui dalam Pasal 4.1 biasanya menganggaP bahwa himpunanpada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan sr.ratu fungi berupa selangtertutup. Tetapi, selang-selang yang muncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka, setengah tertutup. Kita masih tetap me-nangani masalah ini jil<a kita menerapkan iecara benar teori yang dikembangkan dalamPasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berartimaksimum (minimum) global.
EKSTRIM PADA SELANG TERBUKA Kita berikan dua cqrtoh untuk melukiskan pro
sedur yang sesuai untuk selang terbuka atau setengah terbuls.
CONTOH I Cari (ika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari"f(x) : x4- 4x pada(- co, o) .
Penyelewian
f ' ( x ) : 4 x t - 4 : 4 ( x ' 3 - l ) : 4 ( x - l ) ( x 2 * x + 1 )
Karena x2 + x + I :'0 tidak mempunyai pe'
nyelesaian bilangan riil (rumus kuadrat), hanyaterdapat satu titik kitis, yaitu, x = l. Untukx < l./ '(x)< 0, sedanguntukx > I 'f '(x)> 0'
Kita simpulkan bahwa /(t) = -S adalah nilaiminimum lokal untuk /; dan karena / turundi sebelah kiri I dan naik di sebelah kanan l,memang benar merupakan nilai minimum
dari tFakta-fakta yang dinyatakan di atas me-
nunjukkan bahwa/tidak dapat mempunyai nilai
maksimum. Grafik / diperlihatkan dalamGambar l. I
GAMBAIT I
CONTOH 2 Cai (ika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari g(x) : xl(x3*2) pq-
da [0, co).
Penvelesoian
2 ( l - x X l + x + x 2 )
I
x 3 + 2 - x ( 3 x 2 ) 2 - 2 x 3s \x) : --@lF
+T- :
@ +A: (x + 2)2
/
bu 2.
MASALAH-MASALAH PRAKTIS Tiap contoh bedkut berlainan; namun dalam prosedurterdapat elemen bersama yang kita pakai untuk menyelesaikannya. Pada akhir pasal ini,kita akan menyarankan serangkaian langkah yang dipakai menyelesaikan masalah maks-minapaPun.
CONTOH3 Sebuahsurats€lebaranmernuat50cmpersegi bahancetak,Jalurbebascetakdi atas dan di bawah selebar 4 cm dan di samping kiri dan kanan selebar 2 cm. Berapaukuran surat selebaran tersebut yang memerlukan kertas sesedikit mungkin?
Penyelesaian Andaikan surat edaran mempunyai lebar x dan tinggiy (Gambar3).Ierasnya adalah
208
GAMBAR 2
GAMBAR 3
t:"'
l,
Kalkulus dan Geometi Analitis Jilid I
Pada [O oo), terdapat dua titik lqitis, titikupng 0 dan tit ik stasioner l� Untuk0(x ( l.cf(r) > 0, sedangkan untuk x > l, g'(r) < 0.jadi, s(l) =
| adalah nilai maksimum s pada[0, o-).
Jika g mempxr.nyai nihi minimum, harusterjadi pada titik kritis yang lainnya, yaknix = 0. Sekarang s(0) = 0 dan g(x) ) 0 untukx ) 0, sehingga C(0) = 0 adalatr nilai minimumg pada [0, o).Grafik diperlihatkan dalam Gam-
A : x !
Kita bermaksud meminimumkan,4.
. Seperti terlihat, ,4 diungkapkan dalambentuk dua variabel, situasi yang tidak kita ke-tahui bagairirana menanganinya. Tetapi, kitaakan mencari sebuah persamaan yang mengait-kan x dan y sehingga salah satu dari variabel inidapat dihilangkan dari ungkapan untuk ,{.Ukuran bahan cetakan adalah x - 4 dan y - 8dan luasnya adalah 50 inci persegi; sehingga@ - D0 - 8) = 50. Bilamana kita selesaikanpersamaan ini untuky, kita peroleh
50} . : - + 8x - 4
-
Dengan penggantian ungkapan ini untuk ydalamA =xy memberikan
I
4 : 5 o t ,
* g tx - 4
Nilai-nilai x yartg diperbolehkan adalah 4 < x< oo ikita ingin meminimumkan A padaselang trrbuka (4, co).
Sekarang
dA _ (x - 4 )5O -50x ,
o _ 8x2 ' - 64x - i 2_ 8 (x * 1 ) ( x - 9 )ar - - t . - r y - -u : - l ! -? f - : - - ( x_4 ) r -
d s , ,d * :
* o -
i , , '
fub1 Penggunaan Turunan 2Og
Tiuk-utik kritis hanya diperoleh deng,an menyelesaikan dA/dx = 0; ini.menghasilkanx = 9 dan x = -l- Kita tolak x = -l karena ia tidak dalam selang (4, o). KarenadAlax < 0 untuk x dalam (4, 9) dan dArdx >0 untuk.r dalam(9, oo),kitasimpulkanbahwa ,4 mencapai nilai minimumnya pada x = 9. Nilai ini membuat y = lg (diperolehdengan menggantikannya dalam persamaan yang mengaitkan x oan y). Sehingga ukur_an surat edaran yang akan memakai kertas paling sedikit adalah g crnkati lg ci. t
coNToH 4 Sebuah balok kayu persegi-papjang harus dipotong dari sebuah gerondongandengan penampang yang berbentuk lingkaran. Jika kekuatan barok sebanding dengan lhasil kali lebar dan kuadrat tebarnya, tentukan ukuran penampang yang memberikanbalok yang paling kuat.
Penyelevbn Nyatakan garis tengah gelondongan dengan a (konstanta) dan lebar dantebal balok masing-masing dengan w d,an d (Gambar +). iita bermaksud memaksi-mumkan ̂ S, kekuatan balok.
I
Dari perryaratan masalah,
S : kwdz
dengan k adalah konstanta kesebandingan.Kekuatan S tergantung pada dua variabel wdan d, tetapi terdapat hubungan sedcrhanadi antara mereka,
d 2 + w 2 - a zGAMBAR 4
Bilamana kita menyelesaikan persamaan ini untuk d2 danmenggandkan ke dalam ru-mus untuk S, kita peroleh
S: kw(a2 - w2): ka2w _ kw!
Kita tinjau nilai-nilai yang diperbolehkan untuk w adalah 0 ( w (a sebuah selangter-buka.
untuk mencari titik kritis, kita hitung ds/dw, menetapkannya sama dengan 0,dan menyelesaikan untuk w,
- 3kw2 : k(a2 - 3*,)
k ( a t - 3 w 2 ) : 9
a
J3
Karena a/.r/3adalah titik kritis satu-satunya dalam (0, a), kelihatannya akan mem-beri-kan nilai malaimum s. pemerilsaanpada randa ds/dw di rdri dan di k""-;ffialan menegaskan hal ini.
, B*e-}!ta menggantikan w : a/{3 dalarn d2 *_w2 : a2,kitapahami bahwa
: = \/ za/\/ J;_ukuran yang diingintran adalahw : alJ3dand:rfia1r[lnerhatikanb a h w a d : J 2 w . v - - / v
I
/
,(210 Kalkulus dan Geometri Analitis lilid I
CONTOH 5 Anton berada di perahu dayug 2 mil dari titik terdekat A pada sebuatr pantaiyang lurus melihat asap mengepul dari rumalnya di pantai, yang berjuak 6 mil dari Lla membayangkan dapat mcndayung dengur laju 6 miljam d8n lari l0 mil/jam. Bagai-mana ia harus bertindak agar mencapai rumah secepatnya?
Penycbuiur Kita tddrtn pcnoalan itu dengan arti bahwa menentukanx dalam Gambar5 akan membrnt wdrtu perjalanan Anton minimrmr. Jelas bahwa kita harus membatasir pada selrng Ertuhry [0, 6].
Ii ll i
GAMBAR 5 x l: f V i + 4 - r o
_rtx - 6JEr+ 46oJEr + 4
Bilamana kita tetapkan ini sama dengan 0 dan menyclesaikannya, sccara beruntrn kitaperoleh,
GAII{BAR 6
Jank AD adalah.r/x2 + 4 mil dan vaktuuntuk mendayungadiluh.JE + l1e !rm. Ja-nk DC adalah 6 - r mil dan.waktu rmtrk menempuhnya denpn lari adalatr (6 - x)/10 jarnJadi waktu total I dalam jam adalah
r--;-T : t / x " + 4 * 6 - t' 6 1 0
Kita ingin meminimumkan f pada [Q 6] .Kali ini terdapat tiga titik kritis, titik
ujung 0 dan 6 dan sebuah titik stasirner yangdipcroleh dengan menetrykan dTldx san'ndengan nol.
d T | 1 . . I
* : a ' )@' + 4)- t t2(2x) - : -
lox - 6lEr + 4: Osx:3trF I 4
25x2 :9(x2 + 4)
l6xz = 36
- 2 _ 3 6^ - 1 6
x : )
Karena daerah asal untuk ?r adalah selang tertutup,maka I mempunyai minimum (Teorema 4,lA), dan mini-mum ini harus terjadi di sebuah titik kritis (Teorema 4.lB).Setelah memperhatikan tabel dalam Gambar 6, kita simpul-kan bahwa Anton harus mendayung ke titik 1,5 mil dipantai dan kemudian menempuh sisanya dengan berlari.Itu akan memakan waktu sekitar 0,87 jam, atau 52 menit.Untuk rnasalah yang serupa di mana salah satu titik ujungmenghasilkan waktu minimum, lihat Soal 15. I
L j
' l
fub 4 PengunaanTurunor
't2tl
C()I{TOH 6 Cui uhrran tabung lingksran tegak yang volunrnya sebesar mungkin yang
dtcnpltkm di dalem scbuah kerucut lingkaran tegak.
byel&r
Andaikan a tnggq dan D jari-jari dari alas keru-cut yang diketahui (duaduanya konstanta).tlyatakan dengan h, r, dan / masing-masingtinggi, jari-jari, dan volume dari tabung yangdimasukkan (lihat Gambar 7).
Vdume tabung adalah
Y : w 2 h
Dari segitiga-segitiga yang senrpa,
GAIiIBAR, 7
yang memberikan
h : a - o. b r
Bilamana kita gantikan ungkaPan untuk n ini
ddam rumus untuk ,t, kita Peroleh
, : * ' ( - ; , ) : n a r 2 - o ? u , '
Kita ingin memaksimumkan Z untuk r dalam selang {0, Dl . (Scseorang secara yakin
mcng4jurkan - dan dengur alasan yang benar - bahwa selang yang sesuai adalatt(0, D); Scbenarnya, jawabnya sama saja, walaupun kita harus menerapkan Uji Turunan
Fertarnr jika kita lal$kan dengan menggunakan (0, D) sebagai daerah asd).
Sckarang
ff : zno' - t*i" : '*'(z- ;,)
Ini mcnghasilkan titik stasioner r = 2b13, yang npmberikan tiga titik kritis yang harus
ditinjau: O,2bl3, dan D. Dengan mclihat pada garpbar teilihat bah*r r = 0 &n r = Dkoduanya memberikan volurp 0. Jadi r = 2bl3harus memberikan nilai maksimum itu.
Bilamana kita gantikan nilai ini unblk r dalam penamaan yang menghubungkan r
datr [[, kita temukan bahwa h= al3. I
RINGKASAN METq)E Berdasarkan contoh-contoh di atas, kita menyarankan sebuah
nrto& langkah dcni langkah untrk dipakai dalam nirsalah makemin terapan. Jangan
mengihtinye se'sera membabi buta: kadanglcadang akal sehat menyarankan altematiflrin llau pcnghilangan bcbcrapa langkah.
s - h a- : -r b
.*
I1
/
212 Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid I
I'angkoh.l Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang se-suai untuk besaran-besaran kunci.
Langlah 2 Tuliskan rumus untuk besaran Qyar.gharus dimaksimumkan (diminimum-kan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut.
Langkah J Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali sa-tu dari variabel-variabel ini dan karcnanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabel,rnisalnya x.
Longluh 4 Tentukan himpunan nilainilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang.Ianglah 5 Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling
sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner di mana deldx : O.Langlah 6 Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik lrritis mana yang memberi-
kan maksimum (minimum).
soAL-soAL 4.4
l. Cari dua bilangan yang hasilkali_nya -12 dan jumlah kuadratnya rnuumum.
2. Bilangan manakah yang akar pang-kat empatnya melebihi dua kalinya sebe-sar mungkin?
^ 3. Cari titik-titik pada parabol x =2y' yang terdekat ke t i t ik ( lO,O). Petun
7zk.' Minimumkan kuadrat dari jarak antara( .x , y ) dan (10 ,0) .
4. Carj titik-titik pada hiperbolx2 14 - y2 : I yang terdekat ke titik(s, 0).
5_, Seorang petani bermaksud me-magari dua kandang persegi-panjang ber-dampmgan yang identik, masing-masingseluas 900 kaki persegi, seperti diperlihat-kan dalam Gambar 8. Berapa xdany agarpagar kawat yang diperlukan sesedikitmungkin?
v
GAMBAR 8
6. Andaikan batas luar kandang Soal5 memerlukan kawat tebal yang biayanyaRp 200 tiap kaki, tetapi bagian tengahhanya memerlukan biaya Rp 100 tiap kaki.Berapa ukuran x dan y agar menghasilkanbiaya kawat termurah?
7. Andaikan petani pada Soal 5 me-milih untuk membuat tiga kandang ber-
dampingan masing-masing seluas 900 kakipersegi, seperti diperlihatkan pada Gambar9. Berapa x dan y sehingga kawat yangdiperlukan sesedikit mungkin?
v
GA}IBAR 9
8. Pelajari penyelesaian Soal 5 dan 7untuk melihat apakah anda dapat mem-buat suatu dugaan tentang perbandinganbanyak kawat yang diperlukan padaarah-x dan banyak yang diperlukan padaarahy dalam semua masalah sejenis ini.Kemudian, jika anda berambisi, coba buk-tikan dugaan anda.
/9/ Sebuah bak air dengan alas ber-bentb( bujur sangkar harus dibangununtuk menampung air 12.000 kaki kubik.Jika logam untuk tutup atas memerlukanbiaya dua kali biaya untuk si3i dan alasbeton tiap kaki penegi, berapa ukuran bakyang paling hemat?
10. Diperlukan sebuah kotak terbukadengan kapasitas 36.000 inci kubik. Jikapanjang kotak harus dua kali lebarnya,berapa ukuran kotak agar bahan yang di-pcrlukan sesedikit mungkia?
11. Jika kekuatan sebuah balok per-segi-panjang sebanding dengan hasil kalilebar dan kuadrat tebalnya, cari ukuran
Patgwaan Turunan
yang terkuat yang dapat dipotongsebuah gelombang yang penampang-berbentuk elips 9x2 + 8y2 = 72.Contoh 4.
12. Penerangan pada sebuah titik ber-trnding terbalik terhadap jarak titik ter-rb$ dari sumber cahaya dan berbandinglutus terhadap intensitas sumber cahaya.fika dua sumber cahaya berjarak s kaki danmqsing-maslu mempunyai intensitas .I1dzrr 12, pada titik rhana di antara merekajumlah penyinaran mereka akan minimum?
./. SeUuatr pulau kecil letaknya 2 mildari titik terdckat P pad,a sebuah pantailurus suatu danau besar. Jika seorang dipulau dapat mendayung perahunya de-ngan laju 3 milfiam dan dapat berjalan4 milfiam, di mana dia harus mendarat-kan perahunya agar sampai di sebuahkota di pantai sejauh 10 mil dari P secepatmuagkin? Lihat Contoh 5.
14. Dalam Soal 13, andaikan orangitu pada waktu mendarat akan dijemputsebuah kendaraan yang mempunyai ke.cepatan rata-rata 50 milfiam. Di mana raharus mendarat?
15. Dalam Soal 13, andaikan orangitu memakai perahu motor dengan laju20 milfiam. Di mana ia harus mendarat?
16. Sebuah pembangkit tenaga listrikterlet?k di tepi sebuah sungai lurus yanglebarnya w kaki. Sebuah pabrik terletakdi seberang surgai, Z kaki ke arah hilirdari titik ,,{ yarg berseberanggn lang-sung dengan pabrik. Jalur mana yangpaling hemat untuk pemasangan sebuahkabel yang menghubungkan pembangkitdengan pabrik jika biaya pemasangan ka-bel di bawah air a rupiah tiap kaki dan Drupiah di darat (a ) D)?
1?. Pada pukul 7.00 sebuah kapal ber-ada pada jarak 60 mil di timur sebuah ka-pal kedua. Jika kapal pertama berlayar kebarat dengan laju 20 milfiam dan kapalkedua berlayar ke tenggara dengan laju30 milfiam, bilakah kedua kapal tersebutpada jarak terdekat?
18. Cari persamaan garis yang menyinggung elips D2x2 * o'y' = azbz dikuadran pertama dan yang dengan sum-bu-sumbu membentuk segtiga yang' luas-
2t3
nya sekecil mungkin (a dan D konstantapositif).
19. Cari volume terbesar yang dapatdipunyai oleh sebuah tabung lingkarantegak jika ia diletakkan di dalam sebuah ,bola dengan jari-jari r.
,
20. Perl ihatkan bahwa persegi-pan-jang dengan kel i l ing maksimum yang dapat ,dilukis di dalam sebuah lingkaran adalah lbuiur sangkar.
21. Bcrapa ukuran relatif dari tabunglingkaran tegak dengan luas selimut ter-besar yang dapat dibuat di dalam sebuahWlxparretahui?
VrQ4"""ah kerucut linskaran tesakdibua{:tli dalam kerucut lingkaran tegaklain yang volumenya diketahui, dengansumbu sama dan punedk kerucut dalammenyentuh alas kerucut luar. Berapa harusperbandingan tinggi-tingginya agar kerucutdalam mempunyai volume maksimum?
23. Sepotong kawat panjang 100 sen-timeter dipotong menjadi dua bagian;satu potong ditekuk membentuk bujursangkar, yang lainnya ditekuk membentuksegitiga sama sisi. Di tempat manakah se-harusnya pemotongan dilakukan jika (a)jumlah luas-luas harus minimum; (b) mak-simum? (Perbolehkan kemurgkinan tidakmemotong).
y'4. Eebuah peti berbentuk balokdeng;?r( alas bujur sangkar volumenya di-ketahui. Jika bahan yang dipakai alas mo-merlukan biaya tiap inci persegi 2OVo ilebih mahal daripdda bahan sisi*isi tegakdan bahan bidang atas tiap inci persegiSOVo lebrh mahal daripada sisi-sisi tegak,cari perbandingan ukuran peti yang palinghemat?
25. Sebuah observatorium harus ber-bentuk tabung lingloran tegak yang di-atapi sebuah kubah setcngah bola. Jikabiaya kubah atap tiap kaki peregi lebihmahal dua kali daripada biaya dindingsilinder, berapa perbandingan ukuran yangpaling hemat untuk suatu volume yang di-ketahui?
26. Sebuah bcban yang dihubungkanke rbuah pcgas bergerak sepanjang sumbu
/
214
x. sehingga koordinat-x nya pada saat t
adalah
x: sin 2t + nEcos2t
Berapa jarak terjeuh beban dari titik asal?
27. Benda berbentuk sebuah sektor
lingkaran (daerah bentuk kue) dengan
jari-jari r dan sudut puncak 0. Cari r dan
0 jika luasnya adalah suatu konstente ,
dan ketlingnYa minirnum.
?fr,P^gt, sctinSEi h kaki bcrdiri se-
Fjar\-scbrlah gedung tinggi dan sejauh w
kaki darinya (Gambar lQ). Cari panjang
tangga terpcndek yang dapat dicapai dari
tanah di scbarang puncek pagar ke dinding
bangunan.
GAMBAR. IO
29. (Hukum Snell) PrtusiP Fermat
dalam optik mengatakan bohwa. cahaya
melintas dari titik z{ ke titik I sepanjang
jalur yang memerlukan waktu tersingkat'
indaikan bahwa cahaya melintas dari
satu medium dengan kecepatan c1 dan
dalam mcdium kedua dengan kecepatan
c2. Jika ,4 dalam medium I dan I dalam
riedium 2 dan sumbu-x memisahkan ka
dua media tersebut, seperti dipcrlihatkan
dalam Gambar I l, Perlihatkan bahwa
sin 0, _ sin 0zc1 c2
GAIT{BAR II
30. Sinar dari ;{ diPantulkan ke .B
olch sebuch ccrmin datar. Gunqkan Prin-
sip Fermat (Soal 29) untuk mcmpcrlihat-
Kalkulus dan GeometiAnalitis lil*l I
kan bahwa sudut datang sama dcngan su-
dut Pantul
31. Salah satu ujung sebuah tangga
yang tingginya 2'l kaki bcrada di tanah
dan di sandarkan pada dinding yang ting-
grnya 8 kaki. Dengan menggeser bagisn
bawahnya ke arah dinding' bagian atas' ,
nya akan semakin menonjol keluar di atas
dinding tadi. Tentukan tonjolan horison-
tal maksimum dari bagian atas tangga ter-
sebut.
32. SaYa memiliki Perak murni Yangcukup untuk dapat melapisi suatu luas
fermukaan I meter persegi. Saya merei- ,
canakan akan melapis sebuah bola dan
sebuah kubus. Dengan dimensi Yangbagaimanakah agar volume total benda
yang terlapisi itu maksimum? Minimum?
(Dapat dimungkinkan seluruh perak yang
ada hanya dapat melapisi sebuah benda
saja).
33. Satu sudut dari secarik kertas di-
lipat ke Stas sehingga menyentuh sisi yang
dihadapannya seperti tampak dalam Gam-
bar 12. Dengan penamaan bagian-bagian-
nya scperti tertera, tentukanlah x dalam
rangka:.(a) Memaksimumkan luas segitiga "{ '
(b) Meminimumkan luas segitiga .B'
(c) Mcminimumkan Panjang z'
GATBAN,2
34. Tentukan 0 agnr luas dari tandapalang simetris sperti tampak dalamGambar 13 meqiadi maksimum. Kemudi',an tontukan luas maksimum tersebut.
GAilBAN, 13
Ir l
215
r bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untukyang mempunyai kosakata yang dikembangftan sangat khusus. sekali hta mem-
pi kcakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenar-crupakan masalah kalkulus biasa yang dikenakan baju baru. ihndang sebuah p.ruor,*r, *h;:"i"d;:'ilil fi"ffi;'rhk- anssap bahwa ABCtrsilkan dan memasarkan sebuah barang; mungkin berupa televisi,-aii tendaraan. rnbun dalam peti. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABc akan mampubeb.ankan harga, dx) untuk tiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x
lilamanl ABC memperbesar keruarannya, klmungkinan a'BC .'t.n plriu -.-i harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. tendapatan total
dapat diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = xp(x), banyak satuan kali'harla tiuf
r Untuk memproduksi dan memasarkan x slatuan, ABC akan mempunyai biaya total,ct). Ini biasanya jumlah dari bhya tctap (keperluan kantor, pajak bangunan dan se bagai-rya) ditambah biaya variabel, yang secara langsung tergantung pada banyaknya satuanIt diproduksi.
t Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah totrl hba{x), yakni rlisih antara pen-&potan dan biaya.
P(x): R(x) - C(x) : xp(x) - C(x)
Umrmrnya, *buah perusahaan berusaha memaksimumkan to.tal labanya.
v
Ekonomik
Hal yang harus diperhatikan adalahperlunya membedakan masalah ekonomidengan masalah fisika. Pada dasarnya,suatu produk akan berupa satuan-satuandiskrit (Anda tidak dapat membuat atau
I( l
1 ,5
,l
;lGAIIIBAR 2
GAMBAR I
/
II
Kalkulusdan GeometiAnalitis nid t 12t6
menjual 0,23 pesawat televisi atau 3,r4 accu mobil). Jadi, fungsi R(x), c(x) dan,(x)pada umumnya d idef in is ikan hanya untukx =o, 1,2, . . . . dan sebagaiak ibatnya,graf ik-nya akan terdiri dari titik-titik diskrit (Gambar l). Agar kita dapat mempergunakankalkulus, titik-titik ini kita hubungkan satu sama lain sehingga membentuk kurva (Gam-bar 2), dengan demikian R, c dan P dapat dianggap sebagai fungsi yang dapat didiferen-sialkan. Hal ini menggambarkan salah satu aspek dari Model Matematika yang hampirselalu diperlukan, terutama dalam ilmu ekonomi. Untuk membuat model dari suatumasalah yang nyata dijumpai, kita harus menyederhanakan beberapa asumsi. Ini berartibahwa jawaban yang kita peroleh hanya merupakan jawaban pendekatan - salah satualasan bahwa ilmu ekonomi sedikit kurang sempurna. r
Suatu masalah yang berkaitan dengan seorang pakar ekonomi adalah bagaimanalmendapatkan rumus untuk fungsi-fungsi c(x) dan p(x). Dalam hal yang sederhana, c(x)dapat berbentuk:
C('x): 10'000 + 50-x
Jika demikian, $10,000 merupakan biaya .tetap dan $50 merupakan biaya langsungdari setiap unit yang diproduksi. Barang-kali contoh yang lebih dapat menggam- cbarkan masalahnya adalah: i
G
e1";: lo,ooo + a5x + looGdalam hal ini bidya variabel rata-rata perunit adalah:
5x 1001&- 100= z + ) = - - ' .r 't/x GAI{BAR.3
suatu nilai yang berkurang apabila x bertambah (efisiensi dari besarnya produksi). Fungsi-fungsi biaya C(x) dan C(x) digambar menjadi satu pada Gambar 3.
Pemilihan fungsi-fungsi biaya dan harga yang sesuai merupakan tugas yang sulit.Kadangkala keduanya dapat ditentukan dari asumsi dasar, dan dalam hal-hal tertentubelajar dari pengalaman perusahaan akan banyak membantu. Kadang-kadang kita harusmelakukannya hanya dengan prakiraan saja.
PENGGUNAAN KATA MARTINAL Andai-kan ABC mengetahui fungsi biayanyl C(x)dan untuk sementara direncanakan mem-produksi 2000 satuan tahun ini. Direktu Uta-ma Badirun ingin menetapkan biaya tambah-an tiap satuan jika AE memperbesar produksinya sedikit. Misalnya, apakah ihr akanlebih sedikit dari pendapatan tambahan tiapsatuan? Jika demikian, akan merupakan per-timbangan ekonomi yang baik untuk mem-perbesar produksinya.
Jika fungsi biaya adalah seperti yang diper-lihatkan dalam Gambar 2, Drektrr UtamaBadirun menanyakan nilai AC/Ar pada saat GAMBAR4
200 'lOO 6(n 800 l(m
I-1
4 Pengunaan Turunan
= l. Tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai
Ini disebut biaya marjinal. Kita para matematikawan mengenalinyadcle, turunan C terhadap x.
TOHekonomi.
217
.. ACl l f i l -
a,.-o Ax
Dngan nafas serupa, kita definisikan harga marjinal sebagai dpldx, pendaptan mar- irbagai dRl dx , dan keuntungan marjinal sebagai dpl dx. j
Sekarang kita gambarkan bagaimana menyelesaikan aneka ragam I
I Andaikan Cf*)=j:OOJ_:,?StlqJG rupiah. Cari biaya rata-rata tiapsatuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 1000.
8 3 0 0 + 3 , 2 5 x + 4 0 x t i 3Biaya rata-rata:
Biaya marjinal:40
: ? )5 -r- --1 *-: / l3 - '
c(x)x
dC
EPada x = 1000, ini masing-masing mempunyai nilai-nilai 11,95 dan 3,3g. Ini berarti
rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 11.950 untuk memproduksi 1000 satuanlng pertama; untuk memproduksi satu satuan tambahan di atas 1000 hanya memerlu-kan biaya Rp. 3.380. t
OOI'fTOH 2 Sebuah perusahaan memperkirakan bahwa akan dapat menjual 1000 satu-an tiap minggu jika menetapkan harga satuan sebesar Rp. 3.000, tetapi bahwa pen-j*alan mingguannya akan meningkat r00 satuan dengan tiap penurunan harga se-besar Rp. 100. Jika x banyaknya satuan yang terjual tiap minggu (x 2 1000), cari:(a) fungsi harga, p(x);(b) banyaknya satuan dan harga yang berpadanan yang akan memaksimumkan pen-
dapatan mingguan;(c) pendapatan mingguan maksimum.
(a) Kita mengetahui bahwa
x = rooo - i49ro# (roo)
atau, ekivalennya p(x) : 3,00 - (0,10) ("
,;l99 : 4 - 0001x100(b) R(x) : xp(x) : 4x - Q00lx2
dRdx:
4 - Q002x
Titik-titik kritis hanyalah titik ujung l0@ dan titik stasioner 2000, yang diper-oleh dengan menetapkan .dRldx
= 0. Uji Turunan Pertama (R'(x) ) 0 untuk1000 < x < 2000 dan R'(x) ( 0 untukx ) 2000) memperlihatkan bahwax =2000 memberikan pendapatan maksimum. Ini berpadanan terhadap harga satuanp(2000) = Rp. 2.000.
(c) Pendapatan mingguan maksirnum adalah R(2000) = Rp. 4.000.000. t
{
/
l t i218 Kalkulus dan Geometi Analitis titid'l
CONTOH 3 Dalam memproduksi dan menjual x satuan komoditi tertentu, fungsi harga pdan fungsi biaya C (dalam ribuan rupiah) diberikan oleh
P(x) :5,0 - 0,002x
C ( x ) - 3 , 0 0 + l , l 0 x
cari ungkapan untuk pendapatan marjinal, biaya rlarjinal, dan keuntungan marjinal;tentukan tingkat produlsi yahg akan menghasilkan keuntungan total maksimuni.
Penyelesaian
R(x) : xf,x) :5,0(h - O,N?x2
P(x) : R(x) - C(x) : -3,00+ 3,9(h - O,OO2r2
Jadi, kita mempunyei turunan-turunan beriku r.
Pendapatanmarjinal: 4!d;:
5 _ 0,(XXr
)cBiayamarjinal:
",1 : l, l
dx
,]P dR dCLaba marjinal, E
: ;,
- 7
: t,n-0,0(Xx
Untuk memaksimumkan laba, krta tetapkan dPl& = 0 dan selesaikan. Ini memberikanx = 975 sebagai satu-satunya bilangan kritis yang ditinjau. Ia memang menyediakan suatumaksimum, seperti bila diperiksa dengan uji Turunan Pertama. Iaba maksimum adalah4975) = Rp. 1.898,25 (ribu) = Rp. 1.898.250,-. I
Perhatikan bahwa di x = 975, pendapatan marjinal dan biaya marjinal dua-duanyaadalah Rp. 1.100,-. Secara umum, sebuah perusahaan harus mengharapkan berada padatingkat laba maksimum bila biaya produksi sebuah satuan tambatran tepat sama denganpendapatan dari satuan tersebut.
Pernyataan yang baru dibuat menganggap bahwa fungsi biaya dan fungsi pendapatanadalah fungsi yang baik, fungsinya dapat didiferensialkan dan batrwa titik ujungrya tidakPenting. Dalam beberapa situasi, fungsi biaya sebenamya melompat, seperti bila ditambah-kan rorang karyawan baru atau sebuah peralatan baru;juga sebuah pabrik mungkin mem-punyai kat'asitas maksimum, sehingga memperkenalkan titik ujung penting. Kita lukiskankemungkinan-kemungkinan ini dalam dua contoh berikut.
coNToH 4 Perusahaan xYZ menghasilkan kursi rotan. Dengan mesirurya yang sekarang,mempunyai keluaran tahunan maksimum sebanyak 500 satuan. Jika ia membuatx kursi, dapat menetapkan harga p(x) = 2OO - 0,15x (ribu) rupiah per buahnya danakan mempunyai total biaya tahunan C(x) = 4000 + 6x - (0,001)x, (ribu) rupiah.Beberapa tingkat produksi yang memaksimumkan total laba tahunan?
Penyelesaian
sehingga
R(x) : xdx) : x(200 - 0,15x) : 200x - 0,15x2
P(x) : 200x - 0,15.x2 - (4000 + 6x - Q00lx2;: -4000'+ l94x - O,t49x2
, j
Penggunaan Turunon 219
fi: rno - e2e8xyurg menghasilkan titik stasioner 651. Teapi 651 tidak pada selang [0,500] , sehinggi
t, titft-titik kritis yang diperiksa hanyalah kedua titik-titik ujung, 0 dar 5fi). Jika maksitmurnnya di 0, perusahaan alcan cepat bangkrut- Tetapi tidak. Maksimumnya terjadi
- di 500, dan keuntrngan mahimum adalah P(50O) = Rp. 55.750.000 I
OONTOH 5 Dengan tambahan sebuah mOsin baru, perusahaan XYZpadaContoh 4 dapalmenaikkan produksi tahunannya sebanyak 750 kuni. Tetapi fungsi biayanya mer{adiberbenuk
j i l r a 0 < x < 5 0 0j i k a 5 m < x < 7 5 0
total keunhrngan tahunan di bawah
knyelcvion Frngsi bhya baru mengfnsilkan fungsi keuntungan baru
lnmo+6x-(opor)x2L(x': lem + 6x - (0,03)x2
Berapa tingkat prodrksi yrng mcmaksimumkansituasi ini?
20
Eo
3EEoaIcoocac3Y
Padaselang 5(X) < x < 750,
dP
dx: 194 - O,294x
yang memberikan titik stasiqter 660. Terdapaterryat titik kritis, yakni: 0, 500,660, dan 750'l$lai-nilai P yaurg berpadanrn adalah -4fi)0r
55-750, 58.007, dm 56.813. Kita simpulkanbahwa suatu tingkat produksi 660 satuan mem'bcriken keuntungan maksimum. Grafik dalamGambar 3 memperjclas contoh ini. IGAIIBAR 3
soAL-soAL 4.5
l. Biaya tetap bulnnan untuk meng-operasikan pabrik yang membuat komporadalah Rp 8.000.000,- dan terdapet bbyalangsung sebcsar Rp 110.fi)0,- untuk tiapsatuan yrng diproduksi. Tuliskan *buahoktpresi untuk C(r), biays tatal pem-buetan r kompor dalam scbulan.
2. Pengusaha drri Soal I memper-kilakan bahwa sctiap buhn ilapet dijudl0O satuan jika harga setuan' adahh
Rp 250.fl)0,- dan penjualan terscbut akanmening*at sebanyak 2O satuan tiap ppnu-runan harga Rp 10.000,-. Tuliskan ekspresimtuk harga p(r) dan pendapatan R(r)jika r setuan terjual dalam I bulan,x ) lfi) (lihat Contoh 2).
3. Gunekan informasi dalam Soal Idan 2 untuk menuliskan ekspresi untuktotal kcuntungan buhnan P(x), x > 100.
4. Skctsakan grafik P(x) dari Soal
l r
_ r i
/
220
3, dan darinya taksir nilai .r yang me-maksimumkan P. Kcmudian cari r iniccara eksak memakai metode kalkulus.
E 5. Total biaya momproduksi danmcnjual x satuan komoditi tertentu tiapbulan adalah C(x) = .1200 + 3,25x -O,OOO2x2. Jika tingkat produksi adalah1800 satuan tiap bulan, cari biaya rata-rata, yaitu C(x)lx dan tiap satuan danbiaya marjinal.
6. Total biaya memProduksi danmcnjual r satuan komoditi tertentu tiapminggn adalah C(t) = ll00 + x2 ll2OO.Gri biaya rata-rata C(x)/.r tinp satuandan biaya marjinal pada tingkat produksi900 satuan tiap minggu.
7. Total biaYa untuk memProduksidan memasarkan r satuan komoditi terten.tu diberikan oleh
c(x): 80.0Ox-400x2+x3,|0.0m
Untuk nilai .x berapakah biaya rata-ratamcnjadi minimum?
8. Total biaya untuk memproduksidan meqiual l0& satuan barang tertentutiap minggu adalah
C(x): 1669 + 33x - 9x2 + x3 J
Cari (a) tingkat produksi yang membuattdaya marjinal minimum, dan (b) biayamarjinal minimum.
9. Suatu fungsi harga p, didefinisikanolch
P(x) :20 + q t - l3
denganx ) 0 adalah banyaknya satuan.(a) Cari fungsi fotal pendapatan dan fungsipendapatan marjinal(b) Pada selang manakah total pendapatannaik?(c) Untuk bilangan x manakah pendapat-an marjinal mencapai maksimum?
E tO. Untuk fungsi harga yang didefini-sikan oleh p(n: Q82 - x136)tr2 caribanyaknya. satuan x1 yang membuat to- -tal pendapatan maksimum dan nyatakanpcndapatan maksimum yang mungkin.Berapa pendapatan marjinal bilamana ter-jual sebanyak x 1 satuan yang optimal?
ll. Untuk fungsi harga yang diberi- rkan oleh p(x) : 80/(x + 3)- 3, cari ba-nyaknya satuan rr yang membuat tGtal pendapatan maksimum dan nyatakanpendapatan maksimum yang mungkin.Berapa pendapatan marjinal bilamana ter_jual sebanyak 11 satuan yang optimal?
12. Perusahaan pcrahu sungiu me-nawarkan pesiar kepada organisasi kekeluargaan dengan pengertian bahwa akan rtcrdapat paling sedikit 400 peserta. Har_ga tiap tiket akan sebesar Rp 1.200,_ danperusah.aan bersedia mcmberi potonganRp. 200 pada tiap peserta untuk tiap l0peserta yang melebihi 400. Tulislahekspresi untuk fungsi harya p(x) dan caribanyaknya peserta xr yang membuat totalpendapatan menjadi maksimum.
13. Seorang saudagar merasa bahwab dapat menjual tiap bulan 4000 yardtekstil tertentu apabila ia menjualnya de-ngan harga Rp 6.000,- tiap yard, dan bah-wa penjualan bulanannya akan naik se_banyak 250 yard untuk tiap potonganharga Rp 150,- tiap yard. Tuliskan ekspre-si untuk p(r) dan cari harga tiap yardyang akan menghasilkan pendapatan mak-simum,---
( \ \\ t+. ;$orang pemilik pabrik memper-
kiraRfbahwa dia dapat menjual 500 ba-rang tiap minggu jika harga satuannyaadalah Rp. 20.000 daa bahwa penjualanmingguannya akan meningkat dengan 50satuan apabila memberikan potonganRp. 500 tiap satuan. Biaya produksi danpenjualan x barang seminggu adalah C(r) =42OO + 5,10x f 0,0001x2. cari masing-masing yang berikut.(a) Fungsi harga.(b) Tingkat produksi mingguan untuk kountungan maksimum.(c) Harga tiap barang pada tingkat pro-duksi optimum.(d) Harga ma{inal pada tingkat produksitersebut.
\ 15. $aya eksploitasi bulanan sebuahpabti*-- barang tertentu adalahRp 6.000.000,- dan biaya bahan sebesarRp 1.000,- tiap satuan. Jika produksitiap bulan tidak lebih dari 4500, gaji kar_yawan Rp 400,- tiap satuan; tetapi untuktiap satuan di atas 4500 pemilik pabrikharus mcmbayar karyawan satu-setengah-
Bab 4 Penggunaan Tunman
biasa. Pemilik pabrik dapat men-rturn tiap bulan dengan
7-000,- dan memperkira-pinjualan bulanan akan me-
100 satuan untuk tiapharga sebesar Rp 100,-.
(a) fungsi biaya total, (b) fungsi
, dan (c) banyaknya satuan yangdiproduksi tiap bulan agar diperoleh
maksimum.
16. Perusahaan PXR membuat mebel,
dipasarkan seharga p(x) = l0 - 0,001x
rupiah), dengan x banYaknYai tiap bulan. Total biaYa bulan-
rdalah C(x) = 200 + 4x - 0,01x. Padaproduksi ia dapat membuat 300
, Berapa keuntungan bulanan maksi-
lumnya dan berapa tingkat produksi yanguemberikan keuntungan ini?
E tz. l l t" perusahaan dari Soal 16mcmperluas fasilitasnya sehingga ia dapat
kan sampai 450 satuan tiaPfungsi biaya bulanannya berben-
tuf C(x) = 8OO + 3x - 0,01x2 untuk3fi) ( r <450. Cari tingkat produksiyang
memaksimumkan keuntungan bulanan danhitung keuntungan ini. Sketsakan grafik
dari fungsi keuntungan bulanan P(x) pada
0 (x ( 450. (Lihat Contoh 5).
18. Andaikan bahwa seorang Peng-usaha mempunyai m karyawan, yang meng-
hsilkan sejumlah r satuan barang tiap
minggu. Ini dijual seharga p = p(x). Maka
total pendapatan mingguan R(x) : 11 ' p
dapat dipikirkan sebagai tergantung pada
m. Turunan dR/dm disebut hasilkali pen-
dapatan marjinal. Ia adalah (secara ham-piran) perubahan dalam pendapatan bila-
mana pengusaha menambah seorang karya-
wan. Perlihatkan bahwa
dR d, / dP\
d ^ : d ^ \ p " ' a r )
Petuniuk: Grrnakan Aturan Hasilkali dan
kemudian Aturan Rantai.
221
E tS. Acu ke Soal 18. Seorang Peng-usaha telah memutuskan bahwa m kar'yawan dapat menghasilkan x = 5rn2'l
JA + B satuan dalam seminggu, Yangkemudian dapat ia jual seharga P = l0r -
O,lxz rupiah. Tentukan hasilkali pen-
dapatan marjinal bilamana rn = 6. i
20. Agar menguntungkan, suatutoko eceran harus mengendalikhn baran$persediaannya. Terlalu banyak persediaa{
mengakibatkan biaya bunga pinjama4yang terlalu besar, biaya sewa ekstra un-tuk gudang, dan risiko kadaluwarsa. Perjsediaan yang terlalu sedikit, lebih mere'potkan pekerjaan administrasi dalampemesanan ulang, biaya ekstra untukpengangkutan dan besar kemungkinan ke-habisan persediaan. Seorang penjual per-
kakas masak memperkirakan bahwa di-perlukan $20 untuk memiliki sebuahoven micro wave sebagai persediaan per
tahun. Untuk pemesanan ulang sejumlahoven memerlukan $200 ditambah $3untuk setiap oven. Berapa banyakkah per-
sediaan yang mengakibatkan biaya per-
sediaan terkecil? Dimisalkan perusahaan
tersebut menjual 1000 oven tiap tahundan dengan jumlah pemesanan x ber'larti rata-rata xl2 oven harus dalam per-
sediaan.
2t. Andaikan suatu toko mengha-rapkan dapat menjual sejumlah N dar{suatu jenis barang tertentu per tahuniyang memerlukan biaya z{ dollar untukmenyimpan I unit sebagai persediaan per
tahun, dan untuk melakukan pemesanan
ulang sejumlah x perlu biaya (F * 8x)1dollar. Tunjukkan r = \trFFU adabhlzuatu jum'lah yang meminimumkan biayapersediaan. Lihat Soal 20.
22. Bila target penjualan dad suatujenis bahang empat kali lipat, bagaimanadengan jumlah persediaan yang ideal?,Lihat Soal21.
4.6 Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Konsep "tak-terhingga" telah mengilhami dan menSgooa para matclnatikawan sejak
3aman Uahulu. Masalah yang paling dalam dan paradoK besar dari matematika seringkalijalin-menjalin dengan pemakaian p€rkataan ini. Kemajurn matematika sebagian dapat
I
/
diukur dalam bentuk pemahaman Peranan dari ketalhinggaan. Kita telah memakai lam-
u.og-ru-uuqs, co datr - oo dalam notasi kita untuk selang'selang tertentu' Jadi (3, co)
:lil"TL"lJ#lli*ff,iil'#'-11'i
tn Kakulus dan Geometi Analitis
menambahkannya pada suatu bilangan atau membaginya oleh
suatu bilangan. Kita akan memakai lambang cc
dur-codalam suatu cara baru dalam panl ini,
tetapi tetap tidak akan mewakili bilangan'bilang'an.
SEBUAH CONTOH Pandang funPi o(x) :
xl(l + x2). Digrafikkan secara agak cermat
dalam Pasal 4.2; sebuah versi grafik itu yang
lebih kecil diperlihatkan dalam Gambar l ' Kita
menanyakan Pertanyaan ini; Apa yang terjadi
pada g(x) bila x menjadi semakin lama semakin
Lesar?'Dalam lambang, kita menanyakan nilai
lim sG).
Bilamana kfta menuliskan I + o, kita tidak
mengatakan bahwa pada suatu tcmpat jauh,
jauh di arah kanan pada sumbu x, terdapat
iebuah bilangan - lebih besar daripada semua
bilangan lain - yang didskati oleh x' Melain'
kan, kita memakai .x + @ sebagai cara singkat
untuk mengatakan bahwa x menjadi semakin
besar tanPa batas'
Dalam tabel dalam Gambar 2, kita telah mendaftarkan nilai.nilai s1o) : xlQ + x2)
untuk beberapa nilai x. Kelihatan bahwa g(x) menjadi semakin kecil bilamanh x menjadi
semakin besar. Kita tuliskan
x
l':: i;; : o
Daripengalamandenganbilangan.bilangannegatifbesarakanmengantalkitauntukmenuliskan
. . xllm ;----- ' :0
' * - - I + x '
DEFINISI-DEFINISI CERMAT LIMIT BILA x+ *o Dalam analogi dengan definisi'
tcita untuk limit-limit biasa, kita membuat definisi berikut'
hb 1 Pengguniun Turunan
I€T
2rs
Anda akan memperhatikan bahwa Mdapat tergantung pada e. Umumnya, semakinkecil 6, maxa' M harus semakin besar. Gralikdalam Gambar 3 mungkin membantu anhamemahami apa-apa yang telah kita htakan.
CONTOH I Buktikan bahwa jika,t bilangan bulat positif, maka
1 1l i m , : 0 d a n l i m - : gr - - f , - - - x ^
Penyeleuian Andaikan diberikan t > 0. Pilih U = t/t k. Maka x )M memenuhi
I t ^ l I I
l ; - " 1 : 7 < M r : '
hrkti pernyataan yang kedua adalah serupa.
Dengan telah diberikannya definisi-definisi dari limit-limit yang baru ini, kita harusmenghadapi pertanyaan apakah Teorema Umit Utama (Teorema 2.6A) berlaku untukmereka. Jawabnya adalah ya, dan pembuktian serupa dengan yang asli. Perhatikan bagai-mana kita memakai teorema ini dalam contoh.contoh berikut.
r
CONTOH2 hrktikanbahwa lim r I u:0.x - 6 l + x -
Penyelesoian Di sini kita memakai ahl balar: membagi pembilang dan penyebut denganpangkat x tertinggi yang muncul di penyebut, yakni.r2.
, , *
lr#;:x-
. . x 'I I I I I - :* - - l * x '--T
, . ll l m -r - - r
l*i * lT'
limx + @
1x
I" * l
x '
: o * : o
I
/
r224
2 - 3 x + x zCONTOH 3 Cari lim -.
, - - / + 4 x - ) x '
Penyelesoian lagi-lagi, kita bagi pembilang dan penyebut dengan x2
, . 2 - 3 x + x 2 . . 2 l x 2 - 3 l x + lj[ z +;-s,,-: j '-i 1F + qh-1
l i m ( 2 1 x 2 - 3 l x + r ) 0 _ 0 + 1
l i m ( 7 l x z + 4 l x - 5 ) 0 + 0 - 5
Kalkulus dan Geometri Analitis JilA I
tx + @
CONTOH4
Penyeleuian
GAMBAR4
. . Illfll ------= - -@
y - 2 - X - l
. . I| l [ l - - - - -
^ - @, - 2 + X - Z
) t 3ctti,lT- r-- d-Bagi pembilang dan penyebut dengan 13
, . 2 x 3 , . 2 2
, f i - i ; ; : , 11 i t r t . t : o * t : z r
LIMIT-LlMlT TAK TERHINGGA Pandang gra-fik"f(x) : llg - 2),yangdiperlihatkan dalamGambar 4. Adalah tidak masuk alcal untuk me-nanyakan lim l/(x - 2) tet^pi kita pikir ada-
lah beralasailienulis
Berikut adalah definisi yang berkaitan terhadapsituasi ini.
Terdapat definisidefinisi yang berpadanan dari
\/(x) - -@, l im,f(x) : @, dan lim ,f(x): -oo.
CONTOH 5 Cari Iim ;f-;- dan lim . t
- i- (x - l) ' --
;- i , (x - l) ' � '
Penggunaan Turunan225
Grafik/(x) : U@ - 1)2 diperlihatkan dalarrllambar 5. Kita pikirkan adalah cukup jelabbahwa
r : - I , . I, '1 f 1, - ry : - , t l i . 1 , - ,y :*Karena kedua limit adalah o, kita dapat jug4menuliskan
ll 63": *I
GAMBARS
cONToH6 Car i l im , " * l
7 + 2 + x z _ 5 x * 6
Penyelesoian
l i m _ x * l x * l*_r* xt: fulJ:,,11
Sehingga x - 21 kita lihat bahwa x + I + 3, x __ 3 + _ I, dan x _ 2, 0*; ladi, pembilangmendekati 3, tetapi penyebut adalah negatif dan mendekati 0. Kita ri*p,rtt"n u.t ru,
HUBUNGAN TERHADAP AslMToT Asimtot-asimtot dibahas secara ringkas dalam pasal2.1, tetapi sekarang kita dapat mengatakan lebih banyak tentang mereka. Garis *,= qada.lah asimtot vertikar dari grafiky =l(x)iika salah satu dari perny-ataan-pernyataan berikut
( x - 3 ) ( x - 2 ): - @
q k=e 4 tu;-^--Qt )"5-r
limx - 2 +
x + l
I
benart .
2.
3.
4.
l i in /(x): 6
I im / (x ) : -c6
Iim /(x): co
I im / (x ) : -oo/ i a t
Jadi dalam Contoh 5, garis x = adalah asimtot tegak. Sama halnya, garis_garis x = 2 danx = 3 adalah asimtot vertikal dalam Contoh 6.Dalam nafas yang serupa, garis y = D adalah asimtot horisontal dari grafik y = f(x)jika =__
lim /(x) : b atau tim f (x): I t/ r * - * - : ! a .___ - J
Garisy = 0 adalah aiimtot horisontal dalam Contoh 5.
coNToH 7 Cari asimtot-asimtot verrikal dan horisontal dari grafiky =fx) jika
).xf ( x ) :
-
x _ 1
/
Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1
Penyelemian
Kita harapkan sebuah'asimtot vertikal pada titikyang penyebutnya nol, dan kita benar karena
. . 2xlrffl -------: @
y - 1 * X - I
, . 2xI l [ l -------: -0O
1 * 1 - I - I
GAI{BAR,6
sehingga,v = 2Gambar 6.
Sebaliknya
) - 1
l im -^ : : l im ;
' . ; :2 dan, - - x - l , - - l - l l x
r im 2x
, :21 - - 6 I
- I
adalah asimtot horisontal. Grafik y = b l@ - l) diperlihatkan dalamI
S O A L - S O A L
Dalam Soal*oal l-32, cari limit.
. . 3 - 2 xl ' j Y x + 5
5 x * lr lim- ' , - - - x - l
, . 2 x 2 - x + 53 ' , l T - 5 7 + 6 x J
. . 2 x * 74. Irm;r_
. . 2 x 3 - 3 x 2 + l5' rm
5;3 - 4r;7
kan bahwa untuk t > o, uTllx:Je+5P-
/:----:-12. lim
\Jzx + |
x * 4
r t . , l i m { f x ' + r - J * ' - n .
Perunjuk: Kalikan dan bagr dengan
Jr?+i+JF--s.t+ . f im1. rGt+X-9
9 v 3 + l15. lim Penniuv: b$
y - - - l - - Z Y + L
pembilang dan penyebut de0g*.y'.
16. l im ?of * ?r f - r ; + " ' + o. - rx + a" .- - ' ; - ;
bot ' + br f - t + . . . + b, -p + bn '
dengan a6*O,bs#0, dan zanggota.
- . 3 + rl l . l tm -
1 - 3 * J - l
1s. 6. l1Jr - r - J - f
19. lim -j-t -2 ' X ' - 4
r220. lim ,-
; - 3 - . I - - Y
6. lim(3x -2 ) (2x+a )
,* (2x + 1)(x + 2)
lim
lim
3 x 3 - 4 x + l?' ,lT- GTIxF - r)
,.,*+*#9.
10.
rl. l im }!lJ. penniuk: Bagipem-'-* Jx2 + 3
bilang dan penyebut oleh r. Perhati-
II
- r.d_
tub l Perggunaen fu ni
2r. lim !: + r,-1312s- b - 3
t2. l im = ' '* t
x - 1 3 1 2 y ' 2 x ' - x - 3
23. lim :-"-, - 3 x ' - 6 x * 9
24. fim 2x
' - r x - 3
2 s . l i m x 2 - x - 6
' r - 3 - x - 3
U . l i m x 2 + 2 x - gx ' 2 + X ' - 4
27. nm El3 ' 9 + X
3 : f . , f ( x ) : *
$. F(x):3
227
Petuniuk: Mulai dengan membagi penyebutke dalam pembilang.
40. Cari asimtot miring untuk
3 x 3 + 4 x 2 - x * l/(r) = _
;';l_.41. Memikai lambang-lambangM dan
6, berikan definisi yang persis dari tiapekspresi.
(a) lim .f(x) : - oo (b) lim .f(x) : o
42. Memakai lambang-lambang M danIf, berikan definisi yang persis dari tiapekspresi.
(") lT IG) = o
43. Berikan sebuah bukti yang cermatbahwa jika lim /(x) = Adan lim g(x): I,
(b) lim f(x): a
28. ltunr - O -
2e. hm IIIr *o - x
l + c o s x31. l im
x-O- Sm X
.. sin xJZ. ll|n -
x + @ x
Dalam Soal+oal 33-38, cari asimtot-asim-tot horisontal dan vertikal untrrk grafik-grafik dari fungsi yang ditunjuk. Kemudianrketsakan grafi k-graf iknya.
maka
t imt , fG)+s(x ) l :A+B
44. Kita telah memberi arti kepadalim /(x) untuk A : a, a- , d+, - @, @.x - A
Lebih lanjut dalam tiap kasus, limit inimungkin L (berhingga), - @, oo,atau mung-kin tidak ada. Buat sebuah tabel yang me-lukiskan tiap hal dari 20 kasus yang mung-kin.
45. Carilah setiap limit berikut iniatau tunjukkan bahwa limit ters€buttidak ada walaupun dalam pengertian tak-terhingga.
(b) lim sin !x J 6 x
(d) l im " ' ' ' r in I
x
[x]x
3r).
y.f(x):- ,r h
36. F(x) :*
. t t r+5
(a) 1im sinx
I(c) l im x sin:
-Y
(e) l im .x- 1 i2 s in x
2x{e) r im sin(* + l )
x r r \ ^ , /
( f l l ,m ' ' " ( ; . : )
f / r \ - l{ h ) I i m I s i n [ x + - . | - s i n r Ir - ' L \ ^ , / J
45. Misalkan f dapat didiferensiasl-kan untuk r > d. Buktikan atau sangkal_lah:(a)
,hm /(x) : 0 + irm .f'(.r) :0
(b) l im /(.x) : m + l im / '(x): -coI + O * t - A .
tt. ee): # 3E. g(x):
tr,r:4:$ _f-:1
39. Gar is y=ax+ D d isebutas imto tmiring terludap gtafik y = fl*) jika
ly t / {x)-(ax* b) l-0 ataul im l f (x)-
(ax + b)l :0' cari asimtot tiitift u"tut
/
Kalkulus dan Geometi Analitis lilid I I
4.7 Penggmbaran Grafik Canggih
Dalam Pasal 1.7 kita telah memperlakukan penggambaran gafik secara sederhana.Kita mengusulkan untuk merajah titik cukup banyak sehingga ciri dasar dari grafik
jelas. Kita menyebutkan bahwa kesimetrian grafik dapat mengurangi usaha yang ter'|
cakup. Kita saranlon agpr hati-hati terhadap asimtot-asimtot yang mungkin. TetaPi jika
persamaan yang harus digambar gafiknya rumit atau jika kita ingin grafik yang sangat
cermat, teknik-teknik pada Bab I tidak memadai.
I&llorlgs rnenyediakan alat ampuh untuk mengandisis struktur grafik secara baik,
khuusnya dalam menpnali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciriciri grafik. Kita
dapat menempatkan titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-titik
balik; kita dapat menentukan secara persis di mana grafik naik atau di mana cekung ke
atas. Rngikutsertaan gagasan-gagasan ini dalam prosedur penggambaran grafik kita adalah
program untuk pasd ini.
POL| NOM Polinom derajat I atau 2 jelas untuk digambar grafiknya; yang berderajat 50hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalnya 3 sampai 6, kita dapat me-
makai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.
coNToE I Sketsakan grafik /(x) - 3x5 - 2Ox3 .
knyeleuian IGrena/(-x7 :-[(x),f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya sime-
tri terhadap titik as4. Dengan menetapkan {x) = 0, kita temukan perpotongan sumbu
x adalah 0 dan* J2013 x -12,6. Kita dapat melangkah sejauh ini tanpa kalkulus.
Bilamana kita diferensialkan f kita peroleh
f ' (x):V#t: 15x2(x -2 ) (x+2)
Jadi titik-titik lcritis adalah -2, 0, dan 2; secara cepat kita temukan (Gambar l) bah-
wa .f 'G) ) 0 pada( - @,-2) dan(2, o) dan bahwa 1'(x) ( 0 pada (-2, 0) dan(0, 2).i
Fakta-fakta ini memberitahu kita di mana /' naik dan di mana turun; juga ditegaskan
bahwa fl-2) = 2 adalah nilai maksimum lokal dan bahwa fl2) = -Z adalah nilai mini'
mum lokal.Dengan mendiferensialkan kembali, kita peroleh
60x3 - 120xf"(x\ : 32
r5x(x- J2X*+Ji l8
Dengan mempelajari tanda 1"(x) (Gambar 2), krta simpulkan bahwa f cekung ke ataspada(-Jl,g dan QD., co)dan cekung ke bawah pada (-*, -J2) dan (0, V2).iadi terdipat tiga titiliuarr,yatu (-J2;7J218)x (-1,4; l, 2), (0,0) dan 1.16,-tJipl x (r,4; -r,2).
II
Bab 4 Penggunaan Turunan
f' l+l (ol (-l (0) (-)
-2
GAMBAR I
(ol (+)
I,DIr" (-) (ol (+) (ol (-t (ol (+l I
-,/T o ,/T
CAMBAR 2
Banyak dari informasi ini dikumpulkan dalam diagram dari Gambar 3, yang kftagunakan mensketsakan grafik secara langsung di bawahnya.
GAMBAR 3
FUNGSI RASIONAL Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebihrumit untuk digrafikkan dibanding polinom. Khususnya, kita dapat mengharapkan peri-laku yang dramatis di mana pun penyebut nol.
coNToH 2 Sketsakan grafik /(x) - x2 - 2x-+ 4x - z
Penyelesoian Fungsi ini bukan ganjil ataupun genap, sehingga tidak diharapkan simetriyang biasa. Tidak terdapat p€rpotongan dengan sumbu r, karena penyelesaiandui xz - 2x + 4 = 0 bukan bilangan riil. Perpotongan sumbu / adalah -2. Kita meng-harapkan asimtot vertikal dix = 2. Kenyataannya,
I
, . x 2 - 2 x + 4lltD --------------;- - -@
x ) 2 - X - Z
. . x 2 - 2 x * 4l tm _,_- ;_: @
x - 2 + X - Z
/
Pendiferensialan dua lali memberikan
K a lkulu s da n G e om e t r i A n a I i, o *';q
8{ n t - \ -r \ r - ( x _ 2 ) 3
: x + - - - ;x - z
Jadi, /'(x) ) 0 pada (--, 0) u (4, €) dan /'(x) ( 0 pada (0,2) u (2, 4). Juga
f"(x) > 0 pada (2, -) dan f '(r) < 0 pada (--, 2). Perhatikan bahwa/"(x) tidak
pernah 0, tidak terdapat titik balik. Sebaliknya, "f(0) = -2 dan f(4) = 6 masing:masing memberikan maksimum lokal dan minimum lokal.
Merupatcrn gagrsan yang baik untuk memeriksa perilakuflx) untuk lrl besar. Karena
f(x) : x 2 - 2 x + 4 4x - 2
gfalik y = /(r) makin lama semakin de kat ke garis y = x bilamana lrl menjadi semakinbesar. Kita sebut garis irli rsimtot miring untuk grafik Qihat Soal 39 dari Pasal 4.6).
Dengan semua informasi ini, kita rnampu membuat sketsa grafik yang agak celmat(Gambu 4).
GAMBAR4
FUNGSI ALJABAR Jenis fungsi aljabar tak ada akhirnya. Berikut sebuah contoh.
I
Bab 4 Penggunaan Turunan
CONTOH3 Analisisfungsi berikut: . . -frt, _ 51,F(x):v:!-
dan sketsakan gratiknYa.
Penyelevian Daerah asal -F adalah [0, o) dan daerah hasil adalah [0, o), sehingga grafikl
F terbatas di kuadran pertama. Perpotongan sumbu x adalah 0 dan 5; perpotongart
sumbu y adalah 0.Dari
F'(x) :5 ( x - l X x - 5 )
x > 0
kita temukan titik-titik stasioner I dan 5.Karena y'e) > 0 pada (0, l) dan (5, oo) se-dangkan 1(r) < 0 pada (1, 5), kita simpul-kan bahwa F(l) = 4 adalah nilai maksimumlokal dan F(5) = g adalah nilai minimum lokal.
Sedemikian jauh, semuanya berjalan jelas.Tetapi pada penghitungan turunan kedua, kitaperoleh
5 ( 3 x 2 - 6 x - 5 )F " ( x ) : - f f i , x > 0
yang agak rumit. Tetapi 3x2 - 6x - 5 : 0mempunyai satu penyelesaian dalam selang(0, co), yaitu 1 + {6p - 2,6.
Dengan memakai titik-tidk uji I dan 3, kita simpulkan batrna f " (r) > 0 pada (2, 6;
oo). Akibatnya titik (2, 6;2,3) adalah titik bdik.Bila x bertambah besar, F(x) bertambah be sar tanpa batas dan jauh lebih cepat dari.
pada fungsi linear manapun; tidak terdapat asimtot-asimtot. Grafik disketsakan dalam
Gambar 5.
RINGKASAN METODE Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti
untuk akal sehat.Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu. i
Itttglcah t hrat analisis pendahuluan sebagai berikut.
231
I
8v&
GAMBAR5
I
J")L1{b)
t')L(d)" (e)
(f)\-/\- G)
Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah di
bidang yang dikecualikan.lJyr kesimetian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau gan-
jil? )Canj p e rp o t o ngan de ngan sum bu-su m bu k o o r diru t.
Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui
tcmpat-tempat grafik naik dan turun.Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal.
Gunakan turunan kcdua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas
dart cekung ke bawah dan untuk melokasikan titik-titik balik
Ai asimtot-asimtot.
L Lonst ott 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kitis dan titik balik).
i ltnglcalt 3 Sketsakan grafik
/
232
soAL-soAL 4.7
Dalam Soal-soal l-16, buat analisis sepertiyang disarankan di atas dan kemudiansketsakan grafiknya.
l . f ( " ) : x3 - 4x
Vlf tt): x3 - 3x2 + 3x - 3
x 4 - 1 8 x 2 + 2 0
Kalkulus dan GeometiAnalitis Jilid I
etsakan sebuah grafik yangf yang mempunyaidari fungsi
semua sifat berikut:
(a) /.kontinu di mana-mana;(b ) / ( -3 ) : r ;(c) f'(x) < 0 untuk x < -3, "f'(x) > 0
3. F(x) :
4. F(r):
5. s(x):
20
x'1x' - 61
x 2 + 2
u n t u k x > - 3 . / " ( x ) < 0
{ffifrkx * -s.t / ///.// |( /A6f st "tt^x^ sebuah
mbng{in dari fungsi f ynesemua sifat berikut:
grafik yangmempunyai
6.s(x):q+
7. h(g: | ,x + l
! 2
E. ft(x): ,^ .x - + l
10. f(x) : =I-x ' - 4
ll. s(x) :2xJx + I
12. s(x): trE- + |
1 3 . I I ( x ) : 1 1 1 1
14. I I (x ) : x ' l x l
r5 . f (x ) : l s in x l
16. f (x): .,4tr t
\! Sketsakan sebuahmungkin dari fungsi f yangsemua sifat berikut:(a) /kontinu di mana-mana:(b) f (2): -3, /(6) : l ;(p) f'(z) : o, f'(x) > o untuk
x * 2, f'(6) : 3:(d) f"(6):0, /"(x) > 0 untuk
(a) / kontinu di mana-mana;(b) /(-4) : -3,.f(0) : 0, f(3) : 2;( c ) f 'G$ :0 , f ' ( 3 ) : o , f ' ( ' ) >0 un tuk
x < - 4 , f ' ( x ) > 0 u n t u k-4 < x < 3, f ' (x)< 0 untuk x > 3;
(d) f "(-4): 0, /'(0) : Q /"(x) < 0
untukx < -4,/"(x) > 0 untuk-4 < x.< O,f"(x) < 0 untuk x > 0.
20. Apabila / suatu fungsi kontinudenganfl-3)=/(0)= 2. l*a grafik y -
/.1(x) adalatr seperti diperlihatkan dalamGambar 6, sketsalah grafik y = /(x).
21. Apabila / suatu fungsi kontinudengan f(O) = f(2) = 0. Jika grafik y =
/'(r) adalah seperti tarnpak dalam Gam-bar 7, sketsalah grafik yang mungkin un-tuk/ =f lx).
4x
x2
grafik yangmempunyai
2 < x < 6, J"(x) < 0 untuk x > 6. GAMBAR 7
Bab 4 Penggunaan Turunan( ) ,
48 Teorsma Nilai Raa-rata i lN(Teorema Nilai Rata-rata adalah bidang kalkulus - tidak begitu penting atau mempe,
sona bagi dia sendiri, tetapi seringkali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang
cukup berarti. Mulai saat ini, anda akan melihat ungkapan "menurut Teorema Nilai R4ta-rata" agak'sering, dan kemudian dalam pasal ini kita akan memakainya untuk membukti-kan sebuah teorema penting yang dibiarkan menggantung pada Pasal 4.2.
Dalam bahasa geometri, Teorema Nilai Rata-rata mudah dinyatakan dan dipahakni.Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyaiguis singgung takvertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pddagrafik antara A dan .B sehingga garis singgung di titik C sejajar talibusur AB. DaltmGambar l, hanya terdapat satu titik C yang demikian; dalam Gambar 2, terdapat beberapa.
' f 'c)-
GAMBAR T
TEOREMA DIBUKTIKANmudian kita buktikan.
GAMBAR 2
Pertama kita nyatakan teorema dalam bahasa fungsi; ke-
Bukti Pembuktian kta bersandar pada analisis seksama dari fungsi s(x) = /(x) -g(x),
yang diperkenalkan dalam Gambar 3. D sini y = cQ) adalah persamaan garis yang melalui(a, f (a)) dan (b, /(D)). Karena garis ini mempunyai kemiringan lfp) - f(a)ll(b - a) danmelalui (a, f(a\), bentuk titik kemiringan untuk persamaannya adalah
/
234 ..Kalkulus dan GeometiAnilitis lil*t I
Kemudian ini menghasilkan rumus untuk .r(x),yaitu,
r(f i - f(a).s ( x ) : / ( x ) - f ( a ) ( x - a )
Perhatikan dengan segera bahwa s(D) = r(a)= edan bahwa untukx dalam (a D)
s'(x): l ' (x)-!\b)-J@)b - a
f ' ( x ) : z . ! r - ' r ' : Ir
\ /xdan
f ( 4 ) - f ( r ) : 4 - 2 : ?4 - r 3 3
Jadi kita harus menyelesaikan
Jawab tunggd adalah c : ? (Gambar 4). I
Sekarang kita membuat suatu pengamatan penting. Jika kita ketahui bahwa terdapatsuatu bilangan c dalam (a, b) yang memenuhi s' (c) = 0, kita akan selesai. Karena persamaanyang terakhir akan mengatakan
o = f'(c) - f(b) - f(a)b - a
yang setara terhadap kesimpulan teorema tersebut.untuk melihat bahwa r'1c; = g untuk suatu c dalam (a b), alasannyasebagai berikut.
Jelas s kontinu pada lo, bl, karena merupakan selisih dua fungsi kontinu. Jadi menurutTeorema Eksistensi Maks-Min (Teorema 4.1.A), s harus mencapai baik nilai maksimumataupun nilai minimum pada [a, D] . Jika kedua nilai ini kebetdan adalah 0, maka s(x)secara identik adalah 0 pada [a, D] , akibatnya .r'1r; = g untuk semua .r dalam (a, D), jauhlebih banyak daripada yang kita perlukan.
Jika salatr satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan 0, maka nilai ter.sebut dicapai pada sebuah titik dalam c, ?,zrena s(a) = 316; = 0. Sekarangs mempunyaiturunan di setiap titik dari (a, D), sehingga menrrut TeoremaTitikKritis(Teorema4.lB),s'1c; = g. Itulah sgmua yang kita perlukan untuk diketahui. I
TEOREMA YANG DISERTAI GAMBAR.GAMBAR
coNToH I cari bilangan c yang dijamin oleh reorema Nilai Rata.rata untuk
f{x): ?^fi padalr,al-
Penyelevian
Ic = Tl 2- : -
& 3GAMBAR4
GAMBAN.3
IIF Itttutlrit 235
il2 Anddh/(x): x3- x2 -x * l pada l-l,2l.Cariscmuabilangancpng Inufri kcdrnpulan terhadap Teorema Nilai Rata-rata. I
Iatycbsdn
f'(x) : 3x2
f ( 2 ) - f ( - r ) : 3 - 0 : ,2 - ( - 1 ) 3
-
Karena itu, kita harus menyelesaikan
3 c 2 - 2 c - l : 1
atau secara setara, cr = -0,55 cz= 1,22
GAMBAR 53 c 2 - 2 c - 2 : o
Dari rumur abc untuk persamaan kuadrat, terdapat dua penyelesaian (2 t \E +24)16
yang berpadanan terhadap cr = -0,55 dan c2 = 1,22. Kedua bilangan tersebut berada
dalam selang (- l, 2). Grafik diperlihatkan dalam Gambar 5. I
CONTOH 3 Andaikan/(x) = x2lt pacla [-8,27] . Perlihatkan bahwa kesimpulan terhadap
Teorema l$lai Rata'rata gagal dan pikirkan mengapa demikian'
Penyelevian
f ' (x) : '1*- ' , ' , x * o".,/
f ( 2 7 ) - f ( - 8 ) : e - 42'7 - (-8) 3s
Kita harus menyelesaikan
yang memberikan
/t+\ I' : ( ;J = ro2
Tetapi c = 102 tidak pada selang (-8, 27) se'
perti diryaratkan. Masalahnya tentu saja, bahwa
1ft) tidak terdiferensial di mana-mana pada(-8, 27): /'(0) gagal untuk terwujud QihatGambar 6). I cAMBAR6
I
7
'*
2 - - r , t - LJ ,
- , 1
/
f l x l = x t - x z - x + 1
236 Kalkulus dan GeometriAnalitis Jilid I
TEOREMA DIGUNAKAN Kembali dalam Pasal 4.2krta menjanjikan pembuktian yang
cermat dari Teorema Kemonotonan (Teorema 4.2A). Ini adalah teorema yang mengaitkanapakah suatu fungsi naik atau turun dengan tanda dari turunannya.
Bukti dai Teorema Kemonotonor Kita andaikan bahwa / kontinu pada 1 dan bahwaf
'(x) > 0 di setiap titik x di bagian dalam 1. Pandang dua titik sebarang x 1 dan x2 dari 1dengan Xt I xz. Menurut Teorema Nilai Rata-rata yang diterapkan pada selang [xt, x2], ,terdapat sebuah bilangan c dalam (xt, xr) yang memenuhi
f (xr) - f(xr) : f'(q)(x, - xr)
Karena f'(c) > O, kita lihat bahwa /(xr) -
f (xr) > 0- yakni,/(x) > f (xr).Inilah apayang kita maksudkan pada waktu kita me-ngatakan /adalah naik pada 1.
Kasus /'(x) < 0 pada.t ditangani secaraserupa. I
Teorema kita yang berikut akan digunakansecara berulang-ulang dalam bab berikutnya.Dalam kata-kata, ia mengatakan bahwa duafungsi dqgan tururutn vmc lurus dibedakonoleh sebuah lwnstanta, kemungkinan olehkonstanta nol (lilnt Gambar 7).
GAMBAR 7
pulan F(x) -- G(x) + L.
Bukti Andakan II(x) : F(x) - G(x). Maka
H'(x): F'(x) - G'(x) : g
untuk semua x dalam (a, A). Pilih x1 sebagai suatu titik (tetap) dalam (4, D) dan andaikan
x sebarang titik lain di sana. Fungsi ll memenuhi hipotesis dari Teorema Nilai Rata-rata pa-
da selang tertutup dengan titik-titk ujung x1 dan x. Jadi terdapat sebuah bilangan c diantara x1 dan x sedemikian sehingga
H(x) - Il(x') : H'(c)(x - x)
Tetapi menurut hipotesis H'(c1= 0. Ikrena itu, fl(x) - II(x,): g atau s@ara setara
H(x) :A1rr; untrk semua x dalam (c, b). Karena II(x) : F(x) - G(x), kita simpulkanbahwa F(x) - G(x) : Il(xr).SekarangandaikanC: H(x), dan kitamempunyai kesirn-
I
I
GAIVIBAR 8
fub 1 Penggunaan Turunan 2371S O A L - S O A L 4 . 8
Dalam tiap Soal l-10, didefinisikan se-buah fungsi dan diketahui sebuah selangtertutup Putuskan apakah Teorema NilaiRata-rata terterapkan terhadap fungsi yangdiketahui pada selang yang diberikan - jika
demikian, cari semua nilai c yang mungkin.Dalam tiap soal, sketsakan grafik fungsiyang diketahui pada selang yang diberikan.
t . f fu) : x2 * 2x; l -2,21
z . f Q ) : x 2 * 3 x - 1 ; [ - 3 ' l ]
3 . e (x ) : l ; t -z .z lJ
a. sQ): j(x3 + x - g; l-r,21r - L 1
s . F ( t ) : - - l ; f - l . a lr - 3 ' -x * 1 F l6. F(x) : * _ ,; tt. St
7- h (x ) : xz t3 ;10 ,2)
8. lr(x): x2t3; l-2,2)
I9 . d ( x ) : t + ;
I1 0 . d ( x ) - t + ;
l l . Dono menempuh 112 km dalam2 jam dan menegaskan bahwa ia tidak per-nah melampaui 55 km/jam. GunakanTeorema Nilai Rata-rata untuk firembukti-kan bahwa ia bohong. Petunjuk: Andaikan
^t) adalah jarak yang ditempuh dalamwaktu t
12. Untuk fungsi yang digrafikkan pa-aa [0, 8] dalam gambar, cari (secara ham-piran) semua titik c yang memenuhi ke-simpulan terhadap Teorema Nilai Rata-rata.
. 13. (Teorema Rolle) I i le f kontinu,pada.[a, bl dan tcrdiferensial pada (a, b)dan itka fla) = f(b), maka terdapat palingsedikit sebuah bilangan c dahm (a, b) se-demikian sehingga f
'(c) = 0. Perlihatkanbahwa Teorema Rolle hanyalah suattr kasuskhusus dari Teorema Nilai Rata-rata (Mi-chel Rolle (1652-17 19) adalah seorang ma- ltematikawan Perancis).
14. Pcrlihatkan bahwa jika / adalahfungsi kuadrat yang didefinisikan olehf(x) : dx' + fx + y.u * 0. maka bilanganc dari Teorema Nilai Rata-rata selalu be-rupa titik tengah dari selang [a, D] yang di-ketahui.
15. Buktikan: Jika / kontinu pada(at b) dan jika /
'(x) adalah memenuhi
f '(x)
> 0 kecuali pada satu titik xo dalam(a, b), maka / naik pada (a, b). penniuk:Pandang f pada tiap selang (a, xol danlx o, b) secara terpisah.
16. Gunakan Soal l5 untuk memper-[hatkan bahwa tiap masing-masing yangberikut adalah naik pada (- -, e1.
(a) /(x) : ;r
(b) /(x): xs
x < 0
x > 0
17. Buktikan bahwa jika F'(x) = 6untuk semue x dalam (a, b), maka ter-dapat sebuah konstanta C sedemikiansehingga F(x) = C untuk semua x dalam(a, b). Petunjuk.' Andaikan G(x) = 6 6*terapkan Teorema B.
18. Andaikan anda tahu bahwacos(0) = l , sin(O) =.O, Dx cos x = -sin x,dan D* sin x = cos x, tetapi tidak ada yanglain lagi tentang fungsi sinus dan cosinus.Perlihatkan bahwa cos2 x * rsin2 x : 1.Pgtuniuk: Andaikan F(x) : 965z x + sin2 xdan gunakan Soal I 7.
19. Buktikan bahwa jika F'(x) : Ountuk semua .r dalam (a, b), maka terdapatsebuah konstanta C sedemikian sehinggaF(x) : Dx * C untuk semua x dalam (a, D).Petuniuk: Andaikan G(x\: Pa dan te-rapkan Teorema B.
(") /('): {"(x
/
(a) Sketsakan grafik sebuah fungsitak-turun tetapi tidak naik.(b) Sketsakan grafik sebuah fungsitak-naik tetapi tidak turun.
238
20. Andaikan f @l = 5 dan F(0) = 4.Cari sebuah rumus untuk F(x). petuniuk:Uhat Soal 19.
21. Buktikan: Andaikan /rmpunyritur$ttnan padz [a, D]. Jitr /(c) dra flD)berlewanan tanda dan ily, f' (x)+0 untuksemua r dalam (a, D), n*r pcrsamaan.f(x) = O hanya mcmpunyai satu dan ha-nya satus.tutry. pcoyclesaian di antan adaa b. Petugut: Gunakan Teorema NilaiAnten dq Toqcma Rolle (Soal l3).
22. Fcrlihatkan bahwa f(x): Zrt _9x2 + I :'0 tepat mempunyai,it., piny"_lcsaian pada tiap-tiap selang (-1, 0), (0, l ),dan (4, 5). Petuniuk: Terapkan Soal 21.
23. Buktikan: Andaikan /mempunyaitununrn pada selang /. Di antara titik-titik nol berlainan yang berturutan darif ' , hanya terdapat pal ing banyak satu.t i-tik nol dari f. Pctuniuk: Coba sebuah buk-ti dengan kontradiksi d.an gunakan Teo-rcma Rolle (Soal l3).
24. Buktikan: andaikan g kontinupada selang [a, b] dan andaikan y'r(x)ada untuk semua .r dalam (a, D). Jika tir-dapat tiga nilai x dalam [a, D] untukmana g(.r) = 0, maka terdapat paling se-dikit satu-nilai x dalam (a, D) sedemikiansehingga g"(r) = o.
25. Buktikan bahwa jika I f '(x)l < M
untuk semua x dalam (a, b) dan jika x1dan x2 dua titik sebarang d,alam (a, b),mdka
l l G ) - f ( x r ) l s M l x 2 - x r l
Catatan: Fungsi yang memenuhi ketaksa-maan di atas disebut memenuhi syaratUpschitz dengan konstanta l}/. (RudolphUpschitz (l 832-1 903) adalah rnatematika_wan Jerman).
25. Perlihatkan bahwa ,f(x) : sin 2xmemenuhi syarat Upschitz dengan kon-stanta 2 pada selang (-o, o).. Uhat Soal25 .
27. Sebuah fungsi disebut tsk-turunpada selang 1 jika xr < x2 + fG) Sf(xr) untuk x1 dan 12 dalam /. Secarascrupa, / adalah tak-naik pada .I jikaxr ( rz - fQ)> . / (xz ) un tuk r r danx2 dalam L
yang
yang
28. Buktikan bahwa jika / kontinup^da I dan jika f
'(i ^a^ dan memenuhi
.f'(x) > 0 pada titik sebelah dalam dari'd maka f adalah tak-turun pada .L Secaraserupa, iika /'(x) g Q maka /adalah tak-naik pada 1.
29. Buktikan bahwa jika "f(x) > 0dan f'(x)> 0 pada I maka f2 adalahtak-turun pada 1.
30. Buktikan bahwa jika S,G) <h'(x) untuk semua x dalam (a, D), maka
Xt 1 xz + gQ) -g(x,)< Nx) - ldxr)
untuk semua x1 dan x2 dalam (a, D).Petuniuk: Terapkan Soal 28 dengan
f(;): h(x) - s(x).
31. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa
t y < J , + z _ , [ i : o
32. Gunakan Teorema Nilai Rata_rata untuk membuktikan bahwa
ls inx - s iny l < l x - y l
33. Misalkan dalam suatu balapan,kuda A dan kuda B mencapai garis alhirdalam waktu yang bersamaan. Buktikanbahwa kecepatan mereka adalah samapada beberapa saat selama balapan ter-sebut.
34. Pada Soal 33, andaikan keduakuda itu melewati garis akhir bersamapada kecepatan yang sama, tunjukkanbahrva mereka mempunyai percepatanyang sama pada beberapa saat.
35. Gunakan Teorema Nilai Rata_rata untuk menunjukkan bahwa grafiksuatu fungsi f yan9 membuka ke atasselalu berada di atas garis singgungnya,artinya, tunjukkan bahwa
.f(r))f lc) * f ' (c)(x-c), x * c.36. Buktikan bahwa bila VU\_f(x)l
4 M(y-x)2 untuk setiap " a"n y, -"t.fmerupakan suatu fungsi yang. konstan(tetap).
t8wnTunnon
'SOAL ULANGAN BAB
BET{AR-SALAH
tiep pernyataan berikut dengan benar atau salah. Bersiaplah untuk mcmper-jrwab anda.
Ssbuh fungsi kontinu yang didefinisikan pada sebuah selang tertutup harus men-cepei maksirnum pada selang tersebut.
1 Jika se buah fungsi terdiferensial / mencapai nilai maksimum pada sebuah titik sebelahdelam c dari daerah asalnya, maka /'(c1 = 9.
3. Adalah mungkin untuk sebuah fungsi mempunyai tak terhingga banyaknya titik kritis.
4. Scbuah fungsi kontinu yang naik untuk semua r harus terdiferensial di mana-mana.
5. tika f G) : 3x6 + 4xa + 2x2, r4al,a grafik /cekung ke atas pada sefuruh garis riil.
5. Jika / scbuah fungsi naik yeng terdiferensial pada selang { mata 1'(r ) > 0 untuk se-r dalam.I.
f'(x) > 0 untuk semua t dalam I maka .F naik pada.I.
t. Jika f"(c) :0, maka /mempunyai sebuah titik balik pada (c' f(c)).
9. Fungsi kuadrat tidak mempunyai titik balik.
10. Jika fl(x'l > 0 untuk semua x dalam [a, D] , maka /mencapai nilai maksimum pada
Ia, bl dib.
ll. Kita menggunakan lambang oountuk menyatakan sebuah bilangan yang lebih besardari bilangan maoa pun.
x 2 - x - 6 ( x + 2 ) ( x - , 3 )12. Grafik dari / = = ---------------- mempunyai pebuah asimtot vertikal di
x - 3 x - 3 , )
x = 3 .x . + l
13. Grafik dari y : fu}
."rnpunyai asimtot horisontal y = -1.
3 x 2 + 2 x + s i n xmempunyai asimtot miring y : 3x I 2.14. Grafik dari y :
15. Fungsi f(x) : Jx memenuhi hipotesis dari Teorema Nilai Rata-rata pada [0, 21.
16. Pada^selang [-1, l], hanya akan terdapat satu titik di mana garis singung padajr = xr addah sejajar terhadap tali busur.
17. Jika f ' (r) = 0 urtuk scmua x dalam (c, D), maka I adabh konstanta (tetap) pada se.
lang ini.
18. Jika f'(c) : f"(c) :0, maka fl c) bukan nilai maksimum ataupun minimum.
19. Grafik y = sin x mcmpunyai titik balik tak terhingF banyaknya.
20. Di antara persegi-panjang dengan luas tetap K, ygfrg kelilingnya maksimum adalah
bujur sangkar
21. Jika grafik sebuah furgsi yarg terdiferensial memotorg sumbu x di tiga tempat, makefungsi tersebut harus mempunyai paliru sedikit dua titik der€an garis sirggurg di titikteroebut adalah mendatar.
ZL Jumlah dua fungsi naik adalah sebrnh fungsi naik.
23. Hasilkali dua fungsi naik adalah sebuah fungsi naik.
I{ l
l 4
a ' )
/
240 Kakulus dan Gometi Analitis Jilid I
24. Jika /'(o) = O dan,f "(x)
) o untotr >rAilLe /naik pada [0,co)'
25. Jika f sebuah fungsi terdifctdl, o.b t t8k'turun pada (a, D) jika dan hanya jika
f '(x)>
0 pada (a, D).
26. Dua fungsi yang tccdifcpdl mcmpunyai turunan sama pada (a' b) iika dan hanya
jika mereka dibcdrb oli rburh konstanta pada (a, b)'
27 .J i l l i l f , , ( ' )>oo l r r l t cml r r ' 'makagra f iky= f lx ) t idakdapatmempunya isebuahasimtot horiroa$
Nilai mrlimuo Slobal selalu merupakan nilai maksimum lokal'
punibUL f(x):axt + bx2 + cx* d,a*0 dapatmempunyaipal ingbanyaksatu
nibi nrlimum lokal pada selang terbuka manapun.
30. Fuot i linier /(x) : ax * b, a * 0 tanpa nilai minimum pada selang terbuka mana-
lrutr.
28.
29.
SOAL.SOAL ANEKA RAGAM
Dalam Soal-soal l{, diberikan funepi fdan daerah asalnya' Tentukan titik-titik
kdtrs, hitung / di titik-titik ini, dan cari
nilai-nilai maksimum dan minimum (Elo
bal).t
r. f(x) :4: t-2, - i)x'
12 . f ( x \ : p ; [ - 2 ' 0 )
3. , f(x): 3xa - 4xt; l -2,3f
a. f @) -- x2(x - 2)r/3' [- 1' 3]
5. /(x): zxs - 5x4 + ?; [-1' 3]
6. f(x): (x - 1)3(x + 2)2; f-2'21
Dalam Soal+oal ?-10, diberikan fungsi /dengan daerah asal R. Tunjukkan di rfuna
/naik dan di mana cekung ke bawah'
7. f(x): x3 - 3x * 3
t. "f(x) : -2xt + 3x2 + l2x + |
9. f(x): xa - 4x5
10. /(x): x3 - €xs
11. Cari di mana funpi.fi, yang didefi-
nisikrn oleh /(x) : xz(x - 4)' naik dan di
rnana turun. Cari nilai-nilai ekstrim lckal
t Cari titik balik. Sketsakan grafik.
12, Cari nilai-nilai maksimum dan mi-
nimum, jika ada, dari fungsi yang didefini-
sikan oleh
f< i :711+ z
Dalam Soal-soal l3'18, sketsakan grafik
dari fungsi yang diborikan f, dengan mem-
beri pengenal semua ekstrim (lokal dan glo-
bal) dan titik-titik balik dan dengan mem-
oerlihatkan semua asimtot. Yakinkan
,rrotrrk -"*urrfaatl<an ft dan f "
13. /(x) : xa - 32x
M. f(x) : (x2 - r)2
rs. /(x) : rJx - 3
x - 2t6. f(x)- x + l
17. f (x ) :3x4 - 4x !
x 2 - llE . / (x ) :
19. Sketsakan sebuah grafik Yang
mungkin dari fungsi F yang mempunyai
semua sifat-sifat berikut:(a) F kontinu di mana-mana;(b ) F( -2 ) = 3 ,F(2)= - r ;
( c ) f ' ( x ) = 0 u n t u k x ) 2 ;( d ) y ' ' G ) ( 0 u n t u k x ( 2 .
20. Sketsakan sebuah grafik Yangmungkin dari fungi F yang mempunyai
semua sifat*ifat berikut:(a) F kontinu di mana-mana;( b ) r ( - l ) = 6 , F ( 3 ) = - 2 ;
(c) F'(x) < 0 untuk x < - l, f(- l) :
r(3) : -2, F'(7) : o;( d ) f " ( x ) < 0 u n t u k x < - 1 . F " ( x ) : Su n t u k - 1 < x < 3 , F " ( x ) > 0 u n t u k. x )3 .
,, II I"t Ft
21. Sclembar baja panjang, lebar-16 inci, kedua sisi panjangnya harus
26. Untuk tiap fungs)kan apakah Teorema Nilai\
ke atas untuk membuat talang. Be- laku- pada selang .f yang d\rp. inci lebar lipatan pada tiap sisi agartryrsitas maksimum?
22. Sebuah pagar tinggi 8 kaki, sejajarCagan dinding sebuah bangunan dan se-fuh I kaki dari bangunan tersebut. Be-npr panjang papan terpendek yang dapatmclintasi pagar dari permukaan tanahutuk menyangga dinding itu?
23. Halaman sebuah buku harus me-muat 27 inci persegi cetakan. Jika pinggiretas, bawah, dan salah satu sisi zdalah 2bci dan pinggir satu sisi lain adalah I inci,bcrapa ukuran halaman agar memakai ker-tas sedikit mungkin.
24. Sebuah palung air dari baja de-1rn ujung-ujungnya berbentuk setengah
dan sebelah atas terbuka harusrcmpunyai kapasitas l28r kaki kubik.Tcntukan jari-jari r dan, panjang h, jikaldung tersebut disyaratkan harus dibuatdcagan bahan sedikit mungkin.
25. Tentukan maksimum dan mini-mum-fungsi yang didefinisikan pada selangtcrtutup l-2,2l oleh
.,_\ [Xr' +6x + 8) i*a -2< x < 0'(r ' : t -kx2 + 4x -12) j ika o < x <2
Crri di mana grafik cekung ke atas dan dinana grafik cekung ke bawah. Sketsakangafik.
Jika demikian, cari semua nila\mungkin; jika tidak ceriterakan fiS keduaBuat sketsa \. Kita
yr \ ua-(a) /(x) : i ' t : t-3,31 \ \( b ) F ( x ) : x 3 l 5 + 1 ; I : [ - l , l ] \
x + l( c ) 9 ( x ) : x _ l ; r : 1 2 . 3 1
27. Cai pers:tmaan garis singgung dititik-titik balik dari grafik
! : x a - 6 x 3 + 1 2 x 2 - 3 x + l
28. Tentukan tiap limit (mungkinoo atau - co,) arau nyataltan bahwatidak mempunyai limit.
3 x 2 - 2 x * 7t " ' j ' * r 7 + s x + s o ) . . 3 x * 9
lllll .5
'-- J2x2 + |
(d) ,lim
cos x
0 '5 i=(h) rim cos(1)
29. Sketsakan sebuah grafik yarr1mungkin dari furyi,si G dengan semuasifat-sifat berikut:
(a) G(x) kontinu dart G"(x) )> 0 uotuksemua r dalam (- o, 0) v (0, o);
o) q-2) : q2):3;(c) lim (x): I lim[(x) - x] :0;
(c) limsin x o\
x
c),rlT.;=
(g) lim E +1 - 1 - X - I
(d) lim (x): lim G(x): 6.r - O + r * O -
t
s-
/