kuliah 5: turunan tingkat tinggi -...

16
Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi Dosen Pengampu: Indah Yanti

Upload: lamthu

Post on 03-Mar-2018

278 views

Category:

Documents


9 download

TRANSCRIPT

Page 1: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi

Dosen Pengampu: Indah Yanti

Page 2: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

4.1. Iterasi Turunan Parsial

Contoh 4.1.1

Pandang fungsi 𝑓:ℝ2 β†’ ℝ yang didefinisikan sebagai berikut

𝑓 π‘₯, 𝑦 =

π‘₯𝑦 π‘₯2 βˆ’ 𝑦2

π‘₯2 + 𝑦2 π‘₯, 𝑦 β‰  0,0

0 π‘₯, 𝑦 = 0,0

2012 2

Page 3: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

TEOREMA 4A

Misalkan fungsi f : A βŸΆβ„, dimana AβŠ†β„2 himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua berulang yang kontinu. Maka

πœ•2𝑓

πœ•π‘₯πœ•π‘¦=

πœ•2𝑓

πœ•π‘¦πœ•π‘₯

dipenuhi dimanapun A.

3 2012

Page 4: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

4.2. Teorema Taylor

Teorema Taylor fungsi satu variabel bernilai riil untuk fungsi mulus adalah

𝑓 π‘₯ = 𝑓 π‘₯0 + 𝑓′ π‘₯0 π‘₯ βˆ’ π‘₯0 +𝑓′′ π‘₯02!

π‘₯ βˆ’ π‘₯02 +β‹―+

𝑓 π‘˜ π‘₯0π‘˜!

π‘₯ βˆ’ π‘₯0π‘˜

+ π‘…π‘˜ π‘₯ Dimana

π‘…π‘˜ π‘₯ = π‘₯ βˆ’ 𝑑 π‘˜

π‘˜!𝑓 π‘˜+1 𝑑 d𝑑

π‘₯

π‘₯0

memenuhi

limπ‘₯β†’π‘₯0

π‘…π‘˜ π‘₯

π‘₯ βˆ’ π‘₯0π‘˜ = 0

2012 4

Page 5: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

TEOREMA 4B

Misalkan fungsi f : A βŸΆβ„, dimana AβŠ†β„2 himpunan buka, diferensiabel di x0∈A. Maka untuk setiap x∈A, diperoleh

𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱𝟎 + πœ•π‘“

πœ•π‘₯π‘–π±πŸŽ π‘₯𝑖 βˆ’ 𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

+ 𝑅1 𝐱

dimana x0 = (X1, ..., Xn) dan

limπ±β†’π±πŸŽ

𝑅1 𝐱

𝐱 βˆ’ 𝐱𝟎= 0

5 2012

Page 6: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

TEOREMA 4C

Misalkan fungsi f : A βŸΆβ„, dimana AβŠ†β„2 himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua berulang yang kontinu. Misalkan x0∈A. Maka untuk setiap x∈A, diperoleh

𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱0 + πœ•π‘“

πœ•π‘₯𝑖𝐱0

𝑛

𝑖=1

π‘₯𝑖 βˆ’ 𝑋𝑖

+1

2

πœ•2𝑓

πœ•π‘₯π‘–πœ•π‘₯𝑗𝐱0

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

π‘₯𝑖 βˆ’ 𝑋𝑖 π‘₯𝑗 βˆ’ 𝑋𝑗 + 𝑅2 𝐱

dimana x0 = (X1, ..., Xn) dan

lim𝐱→𝐱0

𝑅2 𝐱

𝐱 βˆ’ 𝐱02 = 0

6 2012

Page 7: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

DEFINISI

Fungsi kuadrat

𝐇𝑓 𝐱0 𝐱 βˆ’ 𝐱0 =1

2

πœ•2𝑓

πœ•π‘₯π‘–πœ•π‘₯𝑗𝐱0

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

π‘₯𝑖 βˆ’ 𝑋𝑖 π‘₯𝑗 βˆ’ 𝑋𝑗

disebut Hessian dari f di x0. Sehingga deret Taylor dapat ditulis dalam bentuk

𝑓 𝐱 = 𝑓 𝐱0 + 𝐃𝑓 𝐱0 𝐱 βˆ’ 𝐱0 +𝐇𝑓 𝐱0 𝐱 βˆ’ 𝐱0 + 𝑅2 𝐱

7 2012

Page 8: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

4.3. Titik Stasioner

DEFINISI Titik 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 disebut titik stasioner dari 𝑓 jika turunan total 𝐃𝑓 𝐱 = 𝟎 dimana 𝟎 menyatakan matrik nol berukuran 1 Γ— 𝑛.

Titik 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 dikatakan maksimum (lokal) dari 𝑓 jika terdapat neighbourhood U dari 𝐱𝟎 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 ≀ 𝑓 𝐱𝟎 untuk setiap 𝐱 ∈ π‘ˆ. Titik 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 dikatakan minimum (lokal) dari 𝑓 jika terdapat neighbourhood U dari 𝐱𝟎 sedemikian sehingga 𝑓 𝐱 β‰₯ 𝑓 𝐱𝟎 untuk setiap 𝐱 ∈ π‘ˆ. Titik stasioner 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 yang bukan merupakan titik maksimum ataupun minimum disebut titik pelana dari 𝑓.

2012 8

Page 9: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

TEOREMA 4D

Misalkan fungsi 𝑓: 𝐴 β†’ ℝ, dimana 𝐴 βŠ† ℝ𝑛 adalah himpunan buka, diferensiabel. Misalkan 𝐱𝟎 ∈ 𝐴 adalah titik maksimum atau minimum dari 𝑓. Maka 𝐱𝟎 adalah titik stasioner dari 𝑓.

2012 9

Page 10: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

4.5. Ekstrim Bersyarat

TEOREMA 4G. Misalkan fungsi f :A ℝ dan g:A ℝ dimana A ℝn himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu. Misal cℝ ditentukan, dan S = {x A: g(x) = c}. Misalkan juga fungsi fS , batasan dari f ke S, mempunyai maksimum atau minimum di x0S, dan (g)(x0) 0. Maka terdapat bilangan riil sedemikian sehingga (f)(x0) = (g)(x0).

Catatan.

(1) Batasan f untuk S A adalah fungsi fS , :S ℝ,: x ↦ f(x).

(2) Bilangan disebut pengali Lagrange.

(3) (g)(x0) adalah vektor yang ortogonal terhadap S di x0.

10 2012

Page 11: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

Ekstrim Bersyarat

Soal. Tentukan jarak dari titik asal (0, 0, 0) ke permukaan π‘₯ βˆ’ 2𝑦 βˆ’ 2𝑧 = 3. Solusi.

Fungsi jarak 𝑕:ℝ3 β†’ ℝ: π‘₯, 𝑦, 𝑧 ↦ π‘₯2 + 𝑦2 + 𝑧2 Kuadrat fungsi jarak 𝑓:ℝ3 β†’ ℝ: π‘₯, 𝑦, 𝑧 ↦ π‘₯2 + 𝑦2 + 𝑧2

Fungsi batas 𝑔:ℝ3 β†’ ℝ: π‘₯, 𝑦, 𝑧 ↦ π‘₯ βˆ’ 2𝑦 βˆ’ 2𝑧

Cari: jarak minimal di titik (x, y, z) yang dibatasi oleh fungsi g(x, y, z) = 3.

11 2012

Page 12: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

Ekstrim Bersyarat

Solusi. Mencari nilai minimal fungsi f yang dibatasi fungsi g. Dengan menggunakan pengali Lagrange diperoleh (f)(x) = (g)(x) (2x, 2y, 2z) = (1, –2, –2) Selesaikan sistem persamaan (2x, 2y, 2z) = (1, –2, –2) x – 2y – 2z = 3 dan diperoleh =2/3 sehingga (x, y, z) = (1/3, –2/3, –2/3). Nilai 𝑓 π‘₯, 𝑦, 𝑧 = 𝑓 1 3 ,βˆ’ 2 3 , βˆ’2 3 = 1. Sehingga jarak dari titik asal ke permukaan x – 2y – 2z = 3 adalah akar dari 𝑓 π‘₯, 𝑦, 𝑧 , yaitu sama dengan 1.

12 2012

Page 13: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

Ekstrim Bersyarat

Latihan soal. Tentukan volume terbesar kubus yang sisi – sisinya dibatasi oleh elipsoid

π‘₯2

π‘Ž2+𝑦2

𝑏2+𝑧2

𝑐2= 1

Petunjuk: Persamaan kubus [–x, x] [–y, y] [–z, z] Fungsi volume kubus f : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ 8xyz

13 2012

Page 14: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

Perumuman Teorema 4G

TEOREMA 4G.

Misalkan fungsi f :A ℝ dan 𝑔𝑖:A ℝ dimana A ℝn himpunan buka, mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu.

Misal 𝑐1, β‹― , π‘π‘˜ ∈ ℝ ditentukan, dan 𝑆 = 𝐱 ∈ 𝐴: 𝑔𝑖 𝐱 = 𝑐𝑖 .

Misalkan juga fungsi fS , batasan f untuk S, mempunyai maksimum atau minimum di x0S, dan 𝛻𝑔1 𝐱0 , β‹― , π›»π‘”π‘˜ 𝐱0 bebas linier atas ℝ.

Maka terdapat bilangan riil πœ†1, β‹― , πœ†π‘˜ ∈ ℝ sedemikian sehingga

𝛻𝑓 𝐱0 = πœ†1 𝛻𝑔1 𝐱0 + β‹―+ πœ†π‘˜ π›»π‘”π‘˜ 𝐱0

2012 14

Page 15: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

Ekstrim Bersyarat

Latihan soal.

Tentukan jarak dari titik asal ke perpotongan π‘₯𝑦 = 12 dan π‘₯ + 2𝑦 = 0.

Petunjuk:

Kuadrat fungsi jarak

f : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ x2 + y2 + z2

Fungsi batas

g1 : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ xy = 12

g2 : ℝ3ℝ : (x, y, z) ↦ x + 2y = 0

15 2012

Page 16: Kuliah 5: Turunan Tingkat Tinggi - indahyanti.lecture.ub.ac.idindahyanti.lecture.ub.ac.id/files/2012/03/kalkulus_042.pdfΒ Β· Kalkulus 3 Bab 4. Turunan Tingkat Tinggi ... 2 =1 Petunjuk:

Soal

SOAL 1.

Tentukan nilai maksimal dari fungsi 𝑓 π‘₯, 𝑦 = π‘₯𝑦 + 𝑦 yang dibatasi oleh fungsi π‘₯2 + 𝑦2 ≀ 1.

SOAL 2.

Tentukan titik-titik maksimum dan minimum dari fungsi 𝑓 π‘₯, 𝑦 = π‘₯𝑦 βˆ’ π‘₯2 yang dibatasi fungsi 𝑆 = π‘₯, 𝑦 : π‘₯2 + 2π‘₯𝑦 + 𝑦2 ≀ 4

2012 16