kalkulus modul viii turunan

Kalkulus I

Lumanulhakim Almamalik VIII -1

8 TURUNAN

8.1 GARIS SINGGUNG Misalkan P adalah suatu titik tetap pada sebuah kurva dan misalkan Q adalah sebuah titik yang berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan pada kurva tersebut. Garis yang melalui P dan Q disebut tali busur.

Contoh 8.1

Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = x2 di titik (2,4)

Penyelesaian:

Garis yang kemiringannya dicari dapat dilihat pada gambar di samping.

mtan = 0

lim→h h

fhf )()( 22 −+

= 0

lim→h h

fhf )()( 22 2 −+

= 0

lim→h h

hh 444 2 −++

= 0

lim→h h

hh 24 +

= 4

Andaikan kurva tersebut adalah grafik persamaan y=f(x). Maka P mempunyai koordinat (c, f (c)), di titik Q di dekatnya mempunyai koordinat (c+h, f(c+h)), dan tali busur yang melalui P dan Q mempunyai kemiringan msec.

msec = h

cfhcf )()( −+

Akhirnya, garis singgung adalah garis yang melalui titik P dengan kemiringan mtan memenuhi persamaan:

mtan = 0

lim→h h

cfhcf )()( −+

Kalkulus I


Contoh 8.2 Jika f(x) = x2 – 3x + 2, tentukan persamaan garis singgung pada grafik f(x) di titik koordinat (3,2) Penyelesaian:

mtan = 0

lim→h h

xxhx )){( 23 ( - } 2 h)3(x- 22 +−+++

= 0h

lim→

= 0

lim→h h

hxh 3h-2 2+

= 0

lim→h

2 x + h - 3

= 2x + 3

Gradien garis singgung di titik (3,2) adalah mtan (3) = 2.3–3 = 3 Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

y – 2 = 3 (x – 3 ) y = 3x – 7 atau 3x – y – 7 = 0

Latihan

1. Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/(2x) di titik (½, 1).

2. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = x3 – 3x +2 di titik-titik

dengan x = -2; 1,5 ; 3.

8.2 TURUNAN

Contoh 8.3 Jika f (x) = 13x - 6, tentukan f′ (4)

Penyelesaian:

f′ (4) = 0

lim→h h

fhf )()( 44 −+ =0

lim→h h

h ])([])([ 64136413 −−−+

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f′ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah

f′ (c) = 0

lim→h h

cfhcf )()( −+

asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan f terdiferensialkan di c. Jika f ’(c) ada, maka f kontinyu di c.

Kalkulus I


= 0

lim→h h

h13 =0

lim→h

13 = 0

Contoh 8.4 Jika f(x) = x3 +7x, tentukan f ′(c)

Penyelesaian:

f ′(c) = 0

lim→h h

cfhcf )()( −+ = 0

lim→h h

cchchc ][)]()[( 77 33 +−+++

= 0

lim→h h

hhchhc 733 322 +++

= 0

lim→h

733 22 +++ hchc = 3c2 + 7

Contoh 8.5

Tentukan turunan dari fungsi f(x) = |x|

Penyelesaian:

Kita tahu bahwa

Limit Kiri Limit Kanan

Untuk ( )y f x= , cara penulisan di bawah ini semuanya digunakan untuk meng-ungkapkan turunan:

D(f),

'( ), ', , [ ( )]dy df x y f xdx dx

Kalkulus I


Misalkan C, a, dan n adalah bilangan real dengan a> 0. Fungsi f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan (didiferensiasi).

Aturan Contoh 1. Kaidah bilangan konstanta

Jika y C= , maka ' 0y = .

Jika y= 5, maka ' 0y = .

2. Kaidah Pangkat Jika ny x= , maka 1' ny n x −= ⋅ .

Jika 7y x= , maka 6' 7y x= .

3. Kaidah Perkalian dengan Konstanta Jika ( )y C f x= ⋅ , maka ' '( )y C f x= ⋅ .

Jika 27y x= , maka 2 1' 7 2 14y x x−= ⋅ = .

4. Penjumlahan dan Pengurangan: Jika ( ) ( )y f x g x= ± , maka ' '( ) '( )y f x g x= ±

Jika 43 7y x x= − , maka 3' 12 7y x= − .

5. Eksponensial bilangan natural Jika xy e= , maka ' xy e= . Jika 3 xy e= , maka 3 xy e= .

6. Jika xy a= , maka lnxy a a= . Jika 3x

y = , maka 3 ln 3xy =

7. Jika lny x= , maka 1'yx

= .

Jika 3 lny x= ⋅ , maka

1 3' 3yx x

= ⋅ =

8. Jika logay x= , maka 1'ln

yx a

= .

Jika 4logy x= , maka 1'

ln 4y

x=

⋅

Contoh 8.6 Cari turunan fungsi f(x) = 2 x4 Penyelesaian: f’(x) = 2 x3

Contoh 8.7 Jika f(x) = 2 x3 – 4 x2 + 3 x + 5, tentukan f ′(x) Penyelesaian:

f ′(x) = dxd (2 x3) –

dxd (4 x2)+

dxd (3 x) +

dxd (5)

= 2 (3x2) – 4 (2x) + 3 (1) + 0 = 6 x2 – 8 x + 3

Kalkulus I


Contoh 8.8 Jika 3 2.5( ) 5 7 3 1f x x x x= + − + , tentukan f ′(x) Penyelesaian:

3 2.5

3 2.5

3 1 2.5 1 1 1

2 1.5

[ ( )] (5 ) (7 ) (3 ) (1)

=5 ( ) 7 ( ) 3 ( ) (1)

5 3 7 2.5 3 1 0 15 17.5 3

d d d d df x x x xdx dx dx dx dx

d d d dx x xdx dx dx dx

x x xx x

− − −

= + − +

⋅ + ⋅ − ⋅ +

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

= + −

Contoh 8.9 Jika 2 22

132

y t et

= − + , tentukan y’

Penyelesaian:

Ingat bahwa 1 nn a

a−= .

Contoh 8.10 Jika 5 2 4( ) 5 2g x xx

= − + , tentukan g’

Penyelesaian: Ingat bahwa n

mm na a= Kita ubah terlebih dahulu fungsi menjadi

2

5

5 2

1

4( ) 5 2

5 4 2

g x xx

x x−

= ⋅ − +

= ⋅ − +

25

35

35

1 1 1

22

25 3

2'( ) 5 4 ( 1) 05

2 4 2 4

2 4

g x x x

x xxx

xx

− − −

− −

= ⋅ − ⋅ − ⋅ +

= + = +

= +

Contoh 8.11 Jika 5 2 3x xy e= ⋅ + ⋅ , tentukan y’ Penyelesaian: ' 5 2 3 ln3x xy e= ⋅ + ⋅ .

2 2 2 2 22

2 1 2 1

33

1 1 3 32 2

13 2 ( 2) 02

1 6 6

y t e t t et

dy t tdx

t t tt

−

− − −

−

= − + = − +

= ⋅ ⋅ − − +

= + = +

Catatan 2 3 6x x⋅ ≠

Kalkulus I


Contoh 8.12 Jika 43 ln 4 logy x x= ⋅ − ⋅ , tentukan y′ Penyelesaian:

1 1 3 43 4ln 4 ln 4

dydx x x x x

= ⋅ − ⋅ = −⋅ ⋅

Contoh 8.13 Jika y = 5ex dan g = 3ex + 2, tentukan y′ dan g′

xy

dd = 5ex

xd

dg = 3ex

Kaidah Perkalian Fungsi

Jika f(x) dan g(x) keduanya dapat diturunkan, maka turunan dari ( ) ( )f x g x⋅ dapat

dicari menggunakan kaidah Perkalian.

Jika '( )f x dan '( )g x ada, dan ( ) ( )y f x g x= ⋅ , maka berlaku

' '( ) ( ) ( ) '( )y f x g x f x g x= ⋅ + ⋅

Contoh 8.14 Jika y = (2x3 - x) (x4 + 3x), tentukan y′.

Penyelesaian :

Misalkan f (x) = 2x3 – x f ′(x) = 6x2 – 1

g(x) = x4 + 3 x g′(x) = 4x3 + 3

' '( ) ( ) ( ) '( )y f x g x f x g x= ⋅ + ⋅

= (6x2–1) (x4+3x) + (2x3–x)(4x3+3)

= (6x6 – x4 +18x3 - 3x)+(8x6 - 4x4+6x3 - 3x)

= 14 x 6 – 5 x4 + 24 x3 – 6 x

Cara kedua dikalikan dulu sehingga :

y = (2x7– x5 + 6 x4 – 3x2) ′

y′= 14x6 – 5x4 + 24x3 – 6x

Kalkulus I


Contoh 8.15 Jika lny x x= , tentukan y′

Penyelesaian:

' '( ) ( ) ( ) '( )1 1 ln

ln 1

y f x g x f x g x

x xx

x

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

= +

Kaidah Pembagian Fungsi

Jika f(x) dan g(x) keduanya dapat diturunkan, maka turunan dari ( )( )

f xyg x

= dapat

dicari menggunakan kaidah Pembagian.

Jika '( )f x dan '( )g x ada, dan ( ) ( )y f x g x= ⋅ , maka berlaku

)()(').()().(''

xgxgxfxgxfy 2

−= dimana ( ) 0g x ≠

Contoh 8.16 Tentukan y′, jika y = 3

)2(3

2

++

xxx

Penyelesaian:

Misalkan f(x) = 2x2 + x f ′(x) = 4x + 1

g(x) = x3 + 3 g′(x) = 3x2

)(

)(').()().(''xg

xgxfxgxfy 2

−=

y′ = 23

223

)3()3)(2()3()14(

++−++

xxxxxx

= 23

3434

3363124

)()()(

++−+++

xxxxxx

= 23

24

331222

)( +++−−

xxxx

Contoh 8.17 Jika 2

2

1( )1

xh xx−

=+

, tentukan h′(x)

Penyelesaian:

Misalkan f(x) = x2 – 1 maka f ′(x) = 2x, g(x) = x2 + 1, maka g′(x) = 2x

Kalkulus I


)(

)(').()().(''xg

xgxfxgxfy 2

−=

)(

)(').()().(''xg

xgxfxgxfy 2

−=

22

22

12112

)().().('

+−−+

=x

xxxxy

22

33

12222

)('

++−+

=x

xxxxy

22 14

)('

+=

xxy

Latihan

1. y = x2, xy

dd = 2. y = 2x3,

xy

dd = 3. y = 9x27,

xy

dd =

4. u = 3m6, mu

dd = 5. ϕ = 7λ,

dλdφ = 6. ψ =

x 3

12, =

Ψxd

d

7. p = -5q2, qp

dd = 8. y = 3x2 + 2x + 7,

xy

dd = 9. p = 9m - 2m3,

mp

dd =

10. y = mx + c, xy

dd = 11. ϕ = 14λ2 - λ

10

5 + λ3 + 3,

dλdφ =

12. y = 5x

, xy

dd = 13. y =

3 122 3x x

− , xy

dd = 14. y = x ,

xy

dd =

15. y = x 23 , xy

dd = 16. y = 1 / x ,

xy

dd =

8.3 TURUNAN SINUS DAN KOSINUS

Jika y = sin x, maka xdyd = cos x

y = cos x, xy

dd = - sin x

y = tan x, xy

dd =

12cos x

Contoh 8.18 Jika y = 3 sin x – 5 cos x, tentukan y′

Kalkulus I


Penyelesaian:

y′ = 3 cos x + 5 sin x

Latihan

Carilah turunan dari persamaan-persamaan berikut

1. y = 4 sin x – 5 cos x

2. y = sinx . cos x

3. y = cot x

4. y = sin2x

5. y = sin x

1

8.4 ATURAN RANTAI

xdud

udyd

xdyd

uDyDyD xux

.

.

=

=

Cara Penulisan Leibniz

Contoh 8.19 Jika y(x) = (3x2 + 5 x – 7)4 , tentukan y′(x)

Penyelesaian:

Misalkan u = 3x2 + 5 x – 7 maka y(u) = u4

dxdu = (6 x + 5)

dudy = 4u3

xdud

udyd

xdyd .=

xdyd = 4u3 . (6x+5)

xdyd = 4 (3x2 + 5 x – 7) . (6x+5)

Contoh 8.20 Jika y = x

x−+

112 , tentukan

dxdy

Kalkulus I


Penyelesaian:

Misalkan u = x

x−+

112 maka y = u = u1/2

dxdu = 2)1(

)1)(12()1(2xxx

−−+−−

dudy =

21 u-1/2

dxdy =

dudy .

dxdu

= 21 u-1/2 2)1(

)1)(12()1(2xxx

−−+−−

= 21

2

2/1

)1(3.

112

xxx

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ −

Contoh 8.21 Jika f(x) = (2x3 – x) (x4 + 3x) , tentukan f ′(x)

Penyelesaian:

Ada dua cara, pertama dengan aturan hasil kali

f ′(x) = (2x3 – x) ′ ( x4 + 3x) + (2x3 – x) (x4 + 3 x) ′

= (6x2 – 1) (x4 + 3x) + (2x3 – x) (4x3 + 3)

= (6x6 – x4 + 18 x3 – 3 x ) + (8 x6 – 4 x4 + 6 x3 – 3 x)

= 14 x 6 – 5 x4 + 24 x3 – 6 x atau dikalikan dulu sehingga :

f ′(x) = (2x7 – x5 + 6 x4 – 3 x2)′

= 14 x 6 – 5 x4 + 24 x3 – 6 x

Contoh 8.22 Tentukan f ′(x) , jika f(x) = 3

)2(3

2

++

xxx

Penyelesaian :

Dengan aturan pembagian di dapat :

f ′(x) = 23

3232

33232

)())(()()( ''

+++−++

xxxxxxx

= 23

223

332314

)())(()()(

++−++

xxxxxx

Kalkulus I


= 23

3434

)3()36()3124(

++−+++

xxxxxx

= 23

24

)3(31222

+++−−

xxxx

Latihan

1. y = (2 – x3)4

2. y(x) = 1

1 2( )− x

3. y = (2 – x3)4

4. y = x 2 1−

5. Jika f(x) = (x2 -1)2 ( x2 +1)2 tentukan f ′(x)

6. Jika f(x) = 1

22

3

++

xxx tentukan f ′(x)

8.5 TURUNAN TINGKAT TINGGI

Turunan Orde Pertama 1', ', , [ ( )], ( )dy df y f x D f xdx dx

Turunan Orde Kedua 2 2

22 2'', '', , [ ( )], ( )d y df y f x D f x

dx dx

Turunan Orde Ketiga 3 3

33 3''', ''', , [ ( )], ( )d y df y f x D f x

dx dx

Turunan Orde ke- thn ( 4n ≥ ) ( ) ( ), , , [ ( )], ( )n n

n n nn n

d y df y f x D f xdx dx

Asumsi ( )y f x= and ( )', '', ''', ... nf f f f ada.

Kalkulus I


Contoh 8.23 4 3 2( ) 2 5 10 8f x x x x x= − + − + , Cari f ′, f ′′, f ′′′, f ′′′′, f (5)

Penyelesaian:

3 2

2

(4)

(5)

'( ) 4 6 10 10''( ) 12 12 10'''( ) 24 12

( ) 24( ) 0

f x x x xf x x xf x xf xf x

= − + −

= − += −

=

=

Contoh 8.24

Tentukan turunan ketiga dari : f(x) = x4 – 2 x2 + x1

- x2/3 ; x ≠ 0

Penyelesaian: Dengan aturan pangkat dan sifat aljabar dari turunan didapat :

f ′(x) = 4 x3 – 4 x - 2

1x

- 32

x- 1/3

f ′′(x) = 12 x2 – 4 + 3

2x

+ 92

x- 4/3

dan akhirnya : f ′′′(x) = 24 x – 4

6x

- 278

x- 7/3

Latihan

1. Tentukan turunan ketiga dari f(x) = x

x 1+ untuk x > 0

2. Tentukan f ′′(x) jika f(x)= x(x – 1)(x + 2)

3. Hitunglah 2

2

dxyd dari xy + x – 2y –1 = 0

8.6 KECEPATAN DAN PERCEPATAN

• Sebuah objek bergerak sepanjang sebuah garis koordinat. Apabila s=f(t) menyatakan posisi suatu obyek yang bergerak sebagai fungsi waktu, maka kecepatan ditentukan oleh persamaan v = f′′(t), sedangkan percepatan objek tersebut diperoleh dari turunan kecepatan

atau a = dtdv .

Jadi a = v ′ = s ′′ = f ′′(t)

Contoh 8.25

Jarak yang ditempuh suatu gerakan partikel mempunyai persamaan: s = 2 t3 - 4 t2 + t – 6. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel itu pada saat t.

Kalkulus I


Penyelesaian : Kecepatan partikel merupakan turunan pertama dari jarak, sedangkan percepatan partikel merupakan turunan kedua dari jarak. Dengan demikian maka Jarak partikel adalah s = 2 t3 - 4 t2 + t – 6. Kecepatan partikel adalah v = s ′ = 6 t2 – 8 t + 1 Percepatan partikel adalah a = v ′ = s ′′ = 12 t - 8

Latihan

1. Posisi suatu gerakan partikel adalah : s = 2 sin 3t - 3 cos 2t. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel itu pada saat t.

8.7 PENDIFERENSIALAN IMPLISIT

• Apabila suatu fungsi yang didefinisikan secara implisit tidak dapat dinyatakan secara eksplisit atau pernyataan eksplisitnya sangat sukar, maka untuk mencari turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan teorema turunan untuk jumlah dan perkalian dua fungsi dan aturan berantai.

Contoh 8.26

Tentukan dxdy

dari persamaan berikut y5 + x3y + y = x2 – x +3

Penyelesaian: Turunan persamaan y5 + x3y + y = x2 – x +3 adalah

5 y4 dxdy

+ 3 x2 y + x3 dxdy

+ dxdy

= 2 x – 1

dxdy

[ ]15 34 ++ xy = 2 x – 1 + 3 x2 y

dxdy

= 15

31234

2

+++−xy

yxx

Contoh 8.27

Penyelesaian:

Kalkulus I


8.8 DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN

DIFERENSIAL

dy = f′ (x). dx f′ (x) = dy/dx

Contoh 8. Carilah dy jika a. y = x b. y = x3 – 3x +1 c. y = 32 +x d. y = sin (x4 – 3x2+11) e. y = sin2(2x2+2)

HAMPIRAN ATAU TAKSIRAN

f(x + ∆x)≈ f(x) + dy = f(x) + f′ (x) ∆x

Contoh 8.28 Berapa nilai taksiran yang baik terhadap 64, menggunakan persamaan diferensial.

Penyelesaian: Dari nilai 64, kita akan dekati dengan persamaan y = x . Jika nilai x berubah dari 4 ke 4,6, maka x akan berubah dari 4 = 2 ke 4 +dy (secara taksiran).

Sekarang kita memiliki bahwa dy = ½ 21

x . dx = x2

1 dx

Sedangkan di x = 4 dan dx = 0,6 mempunyai nilai

dy = 42

1 .0,6 = 0,15

Jadi 64, ≈ 4 +dy = 2 + 0,15 = 2,15

Latihan 1. Berapa nilai taksiran dari 28, 2. Berapa nilai taksiran dari 923, 3. Berapa nilai taksiran dari 3 328, 4. Berapa nilai taksiran dari 3 9126, 5. Berapa nilai taksiran dari (12,2)2

kalkulus modul viii turunan

Documents