mata kuliah : kalkulus kode : civ - 101 sks : 3 sks · 2015-07-01 · • penggunaan turunan dalam...

56
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship Turunan Pertemuan – 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS

Upload: vuhanh

Post on 06-Mar-2019

253 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan

Pertemuan – 3, 4, 5, 6, 7

Mata Kuliah : Kalkulus

Kode : CIV - 101

SKS : 3 SKS

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa mampu :

- menjelaskan arti turunan fungsi

- mencari turunan fungsi

- menggunakan aturan rantai

- menggunakan aplikasi dari turunan

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :

• Turunan fungsi

• Turunan sinus dan kosinus

• Aturan rantai

• Turunan tingkat tinggi

• Turunan implisit

• Penggunaan turunan untuk maksimum dan minimum (global dan lokal)

• Penggunaan turunan untuk kemonotonan dan kecekungan

• Penggunaan turunan dalam penggambaran grafik

• Turunan fungsi multivariabel

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Definisi Garis singgung kurva y = f(x) pada titik P(c, f(c)) adalah garis yang melalui P dengan kemiringan Asalkan limit ini ada dan bukan ∞

atau −∞

h

cfhcfmm

hh

)()(limlim

0sec

0tan

Garis Singgung

y = f(x)

f(c+h) – f(c)

(c+h, f(c+h))

(c, f(c))

c c + h

f(c+h)

f(c)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Garis Singgung

Contoh :

1. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = x2 di titik (2,4)

2. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva y = f(x) = -x2 + 2x+2 pada titik-titik dengan koordinat x = -1, ½ , 2 dan 3.

3. Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = 1/x di titik (2, ½)

y = x2

y = -x2 +2x + 2

y = 1/x

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat

Apabila benda P bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya pada saat t diberikan oleh s = f(t). Pada saat c, benda berada di f(c); pada saat c+h benda berada di f(c+h), maka kecepatan rata-rata pada interval ini adalah : Sedangkan kecepatan sesaatnya adalah : Asalkan limitnya ada dan bukan ∞ atau −∞

h

cfhcfvavg

)()(

h

cfhcfvv

havg

h

)()(limlim

00

perubahan waktu

perubahan posisi

c

c + h f(c)

f(c+h)

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat Contoh : 1. Hitunglah kecepatan sesaat suatu benda jatuh dari posisi diam pada t = 3,8

detik dan pada t = 5,4 detik, jika f(t) = 16t2

2. Berapakah waktu yang diperlukan oleh benda jatuh dalam contoh di atas untuk mencapai kecepatan sesaat sebesar 112 m/dt

3. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis koordinat dan s (jarak berarah dalam cm yang diukur dari titik asal ke titik yang dicapai setelah t detik) ditentukan oleh fungsi s = f(t) = (5t + 1)½ . Hitunglah kecepatan sesaat partikel setelah 3 detik

4. Problem Set 2.1 No. 18 - 25

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Konsep Turunan (Derivative)

Kemiringan garis singgung, kecepatan sesaat, laju pertumbuhan

organisme, keuntungan marjinal, kepadatan kawat adalah merupakan konsep matematika yang dikenal dengan istilah turunan atau derivative.

Definisi Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f/ yang nilainya pada sembarang bilangan x adalah Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau −∞

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

/

Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensiasikan di c. Pencarian turunan disebut diferensiasi, dan bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Konsep Turunan (Derivative)

Contoh :

1. Andaikan f(x) = 13x – 6. Carilah f/(4)

2. Jika f(x) = x3 + 7x, carilah f/(x)

3. Jika f(x) = 1/x, carilah f/(x)

4. Carilah F/(x) jika F(x) = √x, x > 0 Problem Set 2.2 No. 1 - 22

Teorema (Keterdiferensiasi-an Mengimplikasikan Kekontinuan Fungsi) Jika f/(c) ada, maka f dikatakan kontinu di c

Teorema di atas tidak berlaku kebalikannya. Sebagai contoh fungsi f(x) = │x│ Tugas : Tentukan di mana saja suatu fungsi menjadi tidak terdiferensiasi ? Penulisan bentuk lain untuk turunan diberikan oleh Gottfried Leibniz, yang sering dikenal dengan sebutan notasi Leibniz.

xfDxf

x

xfxxf

x

y

dx

dyx

xx

/

00limlim

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Aturan Mencari Turunan

Bagi HasilAturan )(

)(')()(')()](/)([ .8

Kali HasilAturan )(')()(')()]()([7.

SelisihAturan )(')(')]()([6.

JumlahAturan )(')(')]()([5.

KonstantaKelipatan Aturan )(')()]([.4

PangkatAturan )(')(.3

Identitas F.Aturan 1)(')(.2

Konstanta F.Aturan 0)('constant)(.1

2

1

xg

xgxfxfxgxgxfD

xfxgxgxfxgxfD

xgxfxgxfD

xgxfxgxfD

xfkxfDkxfkD

xnxfxxf

xfxxf

xfxf

x

x

x

x

xx

nn

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Aturan Mencari Turunan

Contoh :

1. Tentukan derivatif dari 5x2 + 7x – 6 dan 4x6 – 3x5 – 10x2 + 5x + 16

2. Misalkan g(x) = x; h(x) = 1 + 2x; f(x) = g(x)∙h(x) = x(1 + 2x). Temukan f/(x), g/(x), dan h/(x). Tunjukkan bahwa f/(x)≠ g/(x)∙h/(x)

3. Temukan derivatif dari (3x2 – 5)(2x4 – x)

4. Temukan

5. Tentukan Dxy jika

6. Tunjukkan bahwa Dx(x –n) = − nx –n–1

7. Problem Set 2.3 No. 1 – 44

7

532

x

x

dx

d

xxy

3

1

24

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Fungsi Trigonometri

xxxfxxf

xxxfxxf

xxfxxf

xxfxxf

xxfxxf

xxfxxf

cotcsc)('csc)(6.

tansec)('sec)(5.

csc)('cot)(.4

sec)('tan)(.3

sin)('cos)(.2

cos)(' sin)(.1

2

2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Fungsi Trigonometri

Contoh :

1. Tentukan Dx(3sin x – 2cos x)

2. Tentukan persamaan garis singgung dari fungsi y = 3 sin x di titik (p,0)

3. Tentukan Dx(x2 sin x)

4. Tentukan

5. Tentukan Dx(xn tan x) untuk n > 1

6. Problem Set 2.4 No. 1 – 22

x

x

dx

d

cos

sin1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Aturan Rantai

Teorema (Aturan Rantai) Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f◦g, didefinisikan oleh (f◦g)(x) = f(g(x)) terdiferensiasikan di x dan : (f ◦g)/(x) = f/(g(x))∙g/(x) Atau Dx(f(g(x))) = f/(g(x))∙g/(x) Atau Dxy = Duy∙Dxu Atau dx

du

du

dy

dx

dy

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Aturan Rantai Contoh :

1. Jika y = (2x2 – 4x + 1)60, tentukan Dxy

2. Jika y = 1/(2x5 – 7)3, tentukan dy/dx

3. Temukan

4. Jika y = sin 2x, tentukan dy/dx

5. Tentukan F/(y) jika F(y) = y sin y2

6. Tentukan

7. Tentukan

8. Tentukan Dxsin3(4x)

9. Tentukan Dx sin[cos(x2)] Problem Set 2.5 No. 1 - 40

13

4

3

3

12

t

ttDt

x

xxDx

1

132

312

1

xdx

d

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :

Turunan Tingkat Tinggi

Turunan Implisit

Maksimum dan Minimum

Maksimum dan Minimum Lokal

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Tingkat Tinggi

Operasi diferensiasi fungsi f, menghasilkan fungsi baru f ’, jika f ’ dideferensiasi lagi akan menghasilkan f ’’, demikian seterusnya akan diperoleh f ’’’, f(4), f(5) dan seterusnya

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Tingkat Tinggi

Contoh :

1. Jika y = sin 2x, carilah d3y/dx3, d4y/dx4

2. Sebuah benda bergerak sepanjang koordinat sehingga posisinya s memenuhi s = 2t2 – 12t + 8, dengan s diukur dalam cm dan t dalam detik (t > 0). Tentukan kecepatan benda ketika t = 1 dan ketika t = 6. Kapankah kecepatannya nol. Kapankah kecepatannya positif?

3. Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian rupa sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh s = t3 – 12t2 + 36t – 30. Di sini diukur dalam desimeter dan t dalam detik. Kapankah kecepatannya nol? Kapan kecepatannya positif? Kapan titik bergerak mundur (ke kiri)? Kapan percepatannya positif (a = dv/dt = d2s/dt2)

4. Problem Set 2.6 No. 1 - 16

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Implisit

Fungsi : y=x3+ 2x + 5 disebut fungsi eksplisit

Fungsi : y3+7y +x3=0 disebut fungsi implisit

Bagaimana mencari derivatif dari suatu fungsi implisit?

Yaitu dengan menggunakan turunan implisit

73

3373

)()7()(

7

)(

2

222

33

33

y

x

dx

dyx

dx

dy

dx

dyy

xdx

dy

dx

dy

dx

d

xyy

xfy

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Implisit

Contoh :

1. Carilah dy/dx jika 4x2y – 3y = x3 – 1

2. Carilah dy/dx jika x2 + 5y3 = x + 9

3. Cari persamaan garis singgung pada kurva

y3 – xy2 + cos xy = 2 di titik (0,1)

4. Jika y = 2x5/3 + (x2 + 1) ½ , Carilah Dxy

5. Problem Set 2.7 No. 1 - 34

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Maksimum dan Minimum

Definisi Jika S, adalah domain dari f, berisi titik c. Maka dikatakan : • f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) > f(x) untuk semua x di S • f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) < f(x) untuk semua x di S • f(c) adalah nilai ekstrim f pada S bila ia adalah nilai maksimum atau minimum • Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif

Pada [0,∞) tanpa maks atau min Pada [1,3], maks = 1, min = 1/3 Pada (1,3], tanpa maks, min = 1/3 tanpa maks , min = 0

Teorema Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di interval tersebut

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Maksimum dan Minimum

Teorema Jika f terdefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni berupa salah satu dari : • Titik ujung dari I • Titik stasioner dari f (titik dimana f/(c) = 0), atau • Titik singular dari f (titik dimana f/(c) tidak ada)

titik ujung titik singular titik stasioner

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Maksimum dan Minimum

Contoh : 1. Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x3 + 3x2 pada [ - ½ , 2]

2. Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3, pada [-2,2]

3. Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari f(x) = -2x3 + 3x2

4. Fungsi F(x) = x2/3 kontinu di semua interval. Temukan nilai maksimum dan minimumnya di [-1,2]

5. Temukan nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x + 2 cos x pada interval [-p,2p]

6. Problem Set 3.1 No. 1 - 26

Concept Review 1. Suatu fungsi ….. pada suatu interval ….. akan selalu mempunyai nilai maksimum dan

nilai minimum pada interval tersebut. 2. Istilah nilai ….. menyatakan suatu nilai maksimum atau minimum 3. Suatu fungsi dapat mencapai nilai ekstrim hanya pada titik kritis. Titik kritis tersebut

ada tiga jenis yaitu ….., ….., dan ….. 4. Titik stasioner untuk f adalah sebuah nilai c sedemikian sehingga …..; titik singular

untuk f adalah sebuah nilai c sedemikian sehingga …..

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi Jika S, adalah domain dari f, berisi titik c. Maka dikatakan : • f(c) adalah nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi

c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) ∩ S • f(c) adalah nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c

sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) ∩ S • f(c) adalah nilai ekstrim lokal dari f bila ia adalah nilai maksimum lokal atau minimum

lokal

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Maksimum dan Minimum Lokal

Teorema (uji turunan pertama) Jika f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c : • Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka

f(c) adalah nilai maksimum lokal f • Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka

f(c) adalah nilai minimum lokal f • Jika f ’(x) bertanda sama pada kedua sisi c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f

tanpa nilai ekstrim lokal nilai maksimum lokal nilai minimum lokal

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Maksimum dan Minimum Lokal

Contoh :

1. Carilah nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 – 6x + 5 pada (−∞,∞)

2. Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari f(x) = 1/3x3 – x2 – 3x + 4 pada (−∞,∞)

3. Carilah nilai ekstrim lokal dari f(x) = (sin x)2/3 pada (-p/6, 2p/3)

4. Untuk f(x) = x2 – 6x + 5, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal

5. Untuk f(x) = 1/3x3 – x2 – 3x + 4, gunakanlah uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal

6. Problem Set 3.3 No. 1 - 18

Teorema (uji turunan kedua) Jika f ‘ dan f ‘’ ada pada setiap interval terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0 : • Jika f ’’(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f • Jika f ’’(x) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :

Kemonotonan dan Kecekungan

Penggambaran Grafik

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Kemonotonan

Definisi Andaikan f terdefinisi pada interval I, dikatakan bahwa : • f naik pada I jika, untuk setiap pasang

bilangan x1 dan x2 dalam I x1 < x2 → f(x1) < f(x2) • f turun pada I jika, untuk setiap pasang

bilangan x1 dan x2 dalam I x1 < x2 → f(x1) > f(x2) • f monoton murni pada I jika f naik pada I atau

turun pada I

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Kemonotonan

Contoh :

1. Jika f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7, cari dimana f naik dan dimana turun

2. Tentukan dimana g(x) = x/(1+x2) naik dan dimana turun

Teorema Kemonotonan Andaikan f kontinu pada interval I, dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I • Jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam I, maka

f naik pada I • Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam I, maka

f turun pada I

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Kecekungan

Jika f terdiferensiasi pada interval terbuka I. Dikatakan bahwa f (dan grafiknya)

cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada I dan dikatakan bahwa f cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada I

Teorema Kecekungan Andaikan f terdiferensiasi dua kali pada interval terbuka I • Jika f’’(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I • Jika f’’(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Contoh :

1. Dimana f(x) = x3 – x2 – 3x + 4 naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah

2. Dimana f(x) = x/(1+x2) cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah

3

1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Titik Balik

• Andaikan f kontinu di c, maka titik (c, f(c)) merupakan titik balik dari grafik f, jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.

• Titik-titik dengan f ’’(x) = 0 atau f ’’(x) tidak ada, merupakan calon-calon untuk titik balik

• Contoh : carilah titik balik untuk F(x) = x1/3 + 2

• Problem Set 3.2 No. 1 – 28

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• Sub Pokok Bahasan :

Fungsi Dua Variabel atau Lebih

Limit dan Kekontinuan

Turunan Parsial

Aturan Rantai

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Fungsi Dua Variabel

y= f(x) fungsi satu variabel

z= f(x, y) fungsi dua variabel

z: variabel tak bebas

x, y: variabel bebas

Contoh :

Domain z = f(x,y) :

semua titik (x,y) yang memberikan suatu bilangan real untuk f(x,y). Kecualikan x dan y yang menghasilkan bilangan kompleks dan penyebut nol

yxyxg

yxyxf

2,.2

3),(.1 22

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Fungsi Dua Variabel

Contoh :

1. Sket domain asli dari fungsi :

22

22

),(.3

49363

1),(.2

xyyxfz

yxyxf

22

2

1),(

yx

xyyxf

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Fungsi Dua Variabel

• Untuk membuat sket grafik z = f(x,y) biasanya cukup sulit

• Cara yang lebih simple adalah dengan menyajikan dalam bentuk peta kontour

• Tiap bidang datar z = c akan memotong permukaan dalam bentuk sebuah kurva.

• Proyeksi kurva pada bidang xy disebut kurva ketinggian, dan kumpulan kurva-kurva tersebut dinamakan peta kontour

Contoh :

Gambarkan peta kontour dari permukaan yang berhubungan dengan

22

22 49363

1

xyz

yxz

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Fungsi Dua Variabel

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Limit dan Kekontinuan

• Atau secara sederhana dikatakan apabila (x, y) cukup dekat dengan (a, b),

maka f(x, y) akan cukup dekat dengan L

Definisi (Limit Fungsi Dua Variabel) berarti bahwa untuk setiap > 0 (betapapun kecilnya) terdapat > 0 yang berpadanan sedemikian hingga |f(x, y) – L| < dengan syarat bahwa 0 <|(x, y) – (a, b)|< .

Lyxfbayx

),(lim),(),(

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Limit dan Kekontinuan

Contoh : evaluasi limit berikut jika ada

22

22

)0,0(),(

22

22

)0,0(),(

2

)2,1(),(

lim.

1lim.

3lim.

yx

yxc

yx

yxb

yyxa

yx

yx

yx

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Kekontinuan Pada Titik

f(x, y) kontinu di titik (a, b) jika

1. f memiliki nilai di (a, b)

2. f memiliki limit di (a, b), dan

3. Nilai f di (a, b) sama dengan limitnya di titik itu

Catatan : 1. Fungsi Polinom kontinu di mana-mana

2. Fungsi Rasional kontinu di mana-mana asalkan penyebut bukan nol

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Kekontinuan Pada Titik

Contoh : Tentukan titik (x,y) di mana fungsi berikut kontinu

Problem Set 12.3 No. 1 - 26

23

2

4cos),(.

4

32),(.

yxyxyxFb

xy

yxyxHa

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Parsial

Definisi

Andaikan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel, maka atau fx

adalah turunan parsial dari f terhadap x, dan atau fy

adalah turunan parsial dari f terhadap y.

x

f

y

f

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Parsial

Note:

fx dihitung dengan menganggap y konstan

fy dihitung dengan menganggap x konstan

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Parsial

Contoh :

1. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2) jika f(x,y) = x2y + 3y3

2. Jika z = x2sin(xy2), tentukan ∂z/∂x dan ∂z/∂y

tentukan ∂f/∂x dan ∂f/∂y dari fungsi :

22

22

22

2

49363

1),(.5

2),(.4

)1(),(.3

yxyxf

yxxyyxf

yx

yxyxf

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Parsial Tingkat Tinggi

Jika z= f(x,y), maka turunan parsial kedua dari fungsi f adalah :

y

f

yf

y

f

x

f

yf

xy

fb

y

f

xf

yx

fa

x

f

xf

x

f

yy

yx

xy

xx

2

2

2

2

2

2

.3

.2

;.2

.1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Turunan Parsial Tingkat Tinggi

Contoh :

1. Tentukan empat buah turunan parsial kedua dari f(x,y) = xey – sin(x/y) + x3y2

2. Jika f(x,y,z) = xy + 2yz + 3zx, tentukan fx, fy, fz

Problem Set 12.2 No. 1 - 30

2

222

,,,),,,(.3222

z

T

wx

T

xw

TezzyxwT yxw

tentukan Jika

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Aturan Rantai

Teorema : Jika x = x(t) dan y = y(t) dapat didiferensialkan di t dan andaikan z = f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(t), y(t)), maka z = f(x(t), y(t)) dapat didiferensialkan di t :

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dt

dz

Contoh :

1. Jika z = x3y, dengan x = 2t dan y = t2, tentukan dz/dt

2. Misalkan w = x2y + y + xz, dengan x = cos q, y = sin q dan z = q2. Tentukan dw/dq dan evaluasi pada q = p/3

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Teorema : Jika x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai turunan parsial pertama di (s,t), dan z = f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(s,t), y(s,t)), maka z = f(x(s,t), y(s,t)) mempunyai turunan parsial t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

s

y

y

z

s

x

x

z

s

z

Contoh :

1. Jika z = 3x2 - y2, dengan x = 2s+7t dan y = 5st, tentukan ∂z/∂t

2. Misalkan w = x2 + y2 + z2 + xy, dengan x = st, y = s- t dan z = s + 2t, tentukan ∂w/∂t

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Misalkan F(x,y) = 0, dengan aturan rantai dapat didiferensialkan ke x sehingga

yF

xF

dx

dy

dx

dy

y

F

dx

dx

x

F

0

Contoh :

1. Tentukan dy/dx jika x3 + x2y – 10y4 = 0

2. Jika F(x,y,z) = x3ey+z – y sin(x – z) = 0, tentukan ∂z/∂x

3. Problem Set 12.6 No. 1 – 16

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

• TIU : Mahasiswa dapat melakukan turunan fungsi multivariabel

• TIK : Mahasiswa mampu menggunakan uji turunan kedua untuk mencari

nilai ekstrim fungsi multivariabel

• Sub Pokok Bahasan :

Nilai Ekstrim

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel

Definisi Misalkan f adalah fungsi dengan domain S, dan p0=(x0, y0)

adalah titik di S, maka :

1. f(p0) adalah nilai ekstrim (global) dari f pada S, jika f(p0) adalah suatu nilai maksimum (global) atau nilai minimum (global)

2. f(p0) adalah nilai maksimum global dari f pada S jika f(p0) f(p) untuk semua p pada S

3. f(p0) adalah nilai minimum global dari f pada S jika f(p0) f(p) untuk semua p pada S.

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel

Di mana nilai ekstrim muncul ?

1. Titik – Titik Batas

2. Titik Stasioner (fx = 0 ; fy = 0)

3. Titik Singular, titik di mana f tidak dapat didiferensialkan, misalkan titik di mana grafik f mempunyai pojok tajam

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel

Contoh :

1. Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari

f(x,y) = x2 – 2x + y2/4

2. Temukan nilai maksimum atau minimum lokal dari

f(x,y) = -x2/a2 + y2/b2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel

Andaikan f(x,y) memiliki turunan parsial kedua fxx, fxy, and

fyy dan , maka

1. Jika D>0 dan fxx(x0, y0)<0, f(x0, y0) adalah lokal maksimum

2. Jika D>0 and fxx(x0, y0)>0, f(x0, y0) adalah lokal minimum

3. Jika D<0, f(x0, y0) adalah titik saddle (bukan nilai ekstrim)

4. Jika D=0, tidak ada kesimpulan

D= fxx(x0, y0)fyy(x0, y0)- [fxy(x0, y0)]2

0),( 00 yxf

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship

Nilai Ekstrim Fungsi Dua Variabel

Contoh :

1. Cari nilai ekstrim jika ada, dari fungsi

F(x,y) = 3x3 + y2 – 9x + 4y

2. Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan

z2 = x2y + 4

3. Problem Set 12.8 No. 1 – 12