3. kalkulus turunan -...

M AT E M AT I K A E K O N O M I

KALKULUS TURUNAN

TO N I BA K H TI A R

I N S TI TU T P ERTA N I A N BO G O R

2 0 1 2

Statik Komparatif

� Analisis perbandingan titik-titik kesetimbangan terhadap

perubahan nilai-nilai parameter dan variabel endogen.

� Model Supply-demand:

( , 0)

( , 0)

D

S

Q a bP a b

Q c dP c d

= − >

= − + >

2

� SPL di atas dapat diselesaikan dengan mudah sehingga diperoleh

� Analisis statik komparatif: Apa yang terjadi dengan P* dan Q*

jika terjadi perubahan pada a, b, c, dan d?

( , 0)SQ c dP c d= − + >

, .a c ad bc

P Qb d b d

∗ ∗+ −= =

+ +

Statik Komparatif

� Model Pendapatan Nasional

� Parameter: a, b, c, d, variabel endogen: Y (pendapatan), C

0 0

( ) ( 0,0 1)

( 0,0 1)

Y C I G

C a b Y T a b

T c dY c d

= + +

= + − > < <

= + > < <

3

� Parameter: a, b, c, d, variabel endogen: Y (pendapatan), C(konsumsi), T (pajak).

� Diperoleh, misalnya:

� Analisis statik komparatif: Apa yang terjadi dengan Y* jika terjadi perubahan pada G0, a, b, c, dan d?

0 0 .1

a bc I GY

b bd

∗ − + +=

− +

Apa Itu Turunan?

� Perhatikan sebuah apel yang

jatuh dari pohon yang sangat

tinggi

� Hukum fisika menyatakan

bahwa setelah t detik, apel t = 0

4

bahwa setelah t detik, apel

berada pada posisi 16t2 kaki

dari posisi awal.

� Berapa kecepatan apel setelah

t detik? Berapa kecepatan apel

pada saat t = 1, t = 2, t = 3,

dst?

t = 1

t = 2

t = 3

Kecepatan Rata-rata dan Kecepatan Sesaat

� Posisi apel pada saat t ditentukan oleh S(t) = 16t2.

� Kecepatan rata-rata (average velocity) adalah:

� Berapa kecepatan rata-rata:

rata-rata

jarak yang ditempuh.

waktu yang diperlukan

SV

t

∆= =

∆

5

� Berapa kecepatan rata-rata:

o dari t = 3 sampai t = 3.5




� Berapa kecepatan sesaat pada t = 3?

Turunan dan Kecepatan Sesaat

� Kecepatan sesaat pada t = 3 dapat dihitung sbb:

sesaat0

2 2

(3 ) (3)(3) lim

16(3 ) 16 3lim

t

S t SV

t

t

t

∆ →

+ ∆ −=

∆

+ ∆ − ⋅=

∆

6

� Tak lain adalah:

0

2

0

0

lim

16(6 )lim

lim16(6 ) 96kaki/detik.

t

t

t

t

t t

t

t

∆ →

∆ →

∆ →

=∆

∆ + ∆=

∆

= + ∆ =

sesaat 3(3) '(3) 32 | 96.t

V S t == = =

Turunan dan Kecepatan Sesaat

� Secara umum, turunan fungsi S = S(t) diberikan oleh:

( ) ( )'( ) lim .

S t t S tS t

+ ∆ −=

7

0'( ) lim .

tS t

t∆ →=

∆

Garis Singgung dan Garis Potong

8

� Garis singgung (tangent line) ialah garis lurus yang memotong

kurva di satu titik (disebut sbg titik singgung).

� Garis potong (secant line) ialah garis lurus yang memotong kurva

di lebih dari satu titik

Turunan dan Garis Singgung

9

f(x)

f(x + h)

x x + h

Slope garis potong:

GP

( ) ( ).

y f x h f xm

x h

∆ + −= =

∆


10

� Jika h semakin kecil, garis potong akan semakin dekat ke garis

singgung.

f(x+h)

x

f(x)

x+h


11


singgung

f(x+h)

x

f(x)

x+h


12


singgung

x

f(x)

x+h

f(x+h)


13

� Slope garis singgung:

� Slope garis singgung = Turunan!

� Jadi,

GS0

( ) ( )lim .h

f x h f xm

h→

+ −=

� Jadi,

0

( ) ( )'( ) lim .

h

f x h f xf x

h→

+ −=

Notasi Turunan

14

df

'( )f x “f aksen x” atau “f prime of x” Notasi ini

sering digunakan karena sangat ringkas.

“df, dx” Notasi ini menekankan bahwa df

dx

f

x

∂

∂

“df, dx” Notasi ini menekankan bahwa

turunan merupakan laju perubahan x

terhadap f.

“do f, do x” atau “partial f, partial x”

Notasi ini mirip dengan df/dx. Digunakan

jika f bergantung pada lebih dari satu

variabel bebas (turunan parsial).

Kenapa Turunan Penting?

15

� Laju perubahan merupakan konsep yang penting untuk

diketahui (analisis statik komparatif)

� Turunan dari cost function ialah marginal cost

� Turunan dari revenue function ialah marginal revenue

� Elastisitas

� Turunan menunjukkan naik/turunnya fungsi

� f ’(x) > 0: f(x) naik

� f ’(x) < 0: f(x) turun

� Yang terpenting: Pengoptimuman!

Aturan Pencarian Turunan

16

� Aturan fungsi konstan

� Aturan fungsi pangkat

� Aturan fungsi pangkat yang diperumum

� Aturan tambah/kurang

Aturan Pencarian Turunan

17

� Aturan hasil kali

� Aturan hasil bagi� Aturan hasil bagi

� Contoh

Fungsi MR – Fungsi AR

18

� Diberikan fungsi average revenue (AR) sbb:

� Diperoleh fungsi revenue (R) dan fungsi marginal revenue (MR):

AR 15 .Q= −

2AR 15R Q Q Q= × = −

� Secara umum, jika AR = f(Q), maka

MR 15 2 .Q= −

( )

MR '( ) ( ).

R f Q Q

dRf Q Q f Q

dQ

=

= = +

Fungsi MC – Fungsi AC

19

� Fungsi biaya total (TC) dan fungsi biaya rata-rata (AC) diberikan

oleh:TC ( )

TC ( )AC .

C Q

C Q

Q Q

=

= =

� Laju perubahan AC terhadap Q diberikan oleh:

Q Q

2

AC ( ) '( ) ( )

1 ( ) 1'( ) (MC AC).

d d C Q C Q Q C Q

dQ dQ Q Q

C QC Q

Q Q Q

−= =

= − = −

Aturan Rantai

20

� Misalkan y = f(z) dan z = g(x) maka

� Atau, jika y = f(g(x)) maka

dy dy dz

dx dz dx= ⋅

� Atau, jika y = f(g(x)) maka

� Contoh

' '( ( )) '( )y f g x g x=

Turunan Parsial

21

� Dalam turunan parsial, jika variabel xi berubah maka variabel-

variabel lain dianggap tetap (konstan)

� Contoh

Model Supply-Demand

22

� Dari model supply-demand diperoleh

� Analisis statik komparatif:

, .a c ad bc

P Qb d b d

∗ ∗+ −= =

+ +

� Terhadap Q* dapat dilakukan analisis yang sama.

2

10,

0.( )

P P

a c b d

P P a c

b d b d

∗ ∗

∗ ∗

∂ ∂= = >

∂ ∂ +

∂ ∂ += = − <

∂ ∂ +

Model Supply-Demand

23

Model Pendapatan Nasional

24

� Diperoleh tingkat pendapatan kesetimbangan

� Government-expenditure multiplier:

0 0 .1

a bc I GY

b bd

∗ − + +=

− +

0

10.

1

Y

G b bd

∗∂= >

∂ − +

� Nonincome-tax multiplier:

� Kenaikan income tax rate akan

menurunkan income kesetimbangan

0 1G b bd∂ − +

0.1

Y b

c b bd

∗∂ −= <

∂ − +

0.1

Y bY

d b bd

∗ ∗∂ −= <

∂ − +

Elastisitas

25

� Elastisitas: rasio persentase perubahan suatu variabel terhadap

persentase perubahan variabel lain. Digunakan untuk mengukur

kepekaan (responsiveness) suatu fungsi terhadap perubahan

parameternya tanpa ada satuan (unit-less).

� Misalkan diberikan fungsi y = f(x), elastisitas y terhadap x� Misalkan diberikan fungsi y = f(x), elastisitas y terhadap x

diberikan oleh

% / / / fungsi marjinal.

% / / / fungsi rata-ratayx

y y y y x dy dx

x x x y x y xε

∆ ∆ ∆ ∆= = = ≈ =

∆ ∆

Elastisitas Permintaan

26

� Diberikan fungsi permintaan Q = f(P). Elastisitas permintaan

(price elasticity of demand) mengukur persentase perubahan

permintaan barang akibat perubahan harga sebesar 1%.

/.

/D

dQ dP

Q Pε =

� |εD| > 1 (elastis), |εD| < 1 (takelastis), |εD| = 1 (unit-elastis)

� Elastisitas penawaran (price elasticity of supply) didefinisikan

secara serupa

� Tentukan εD jika fungsi permintaan Q = 100 − 2P.

� Tentukan εS jika fungsi penawaran Q = P2 + 7P.

/Q P

Turunan Total

27

Contoh:

MRTS

28

� Diberikan fungsi produksi y = f(x1,x2). Kurva isokuan

menggambarkan kombinasi input yang menghasilkan tingkat

output yang sama. Di sepanjang kurva isokuan berlaku dy = 0.

� Slope kurva isokuan dapat ditentukan dengan menentukan dy = 0:

2 1/0 .

dx f xf fdy dx dx

∂ ∂∂ ∂= + = ⇔ = −

� Negatif dari slope disebut MRTS (marginal rate of technical

substitution) yang menggambarkan banyaknya input yang harus

dikurangi akibat penambahan 1 unit input lain.

2 11 2

1 2 1 2

/0 .

/

dx f xf fdy dx dx

x x dx f x

∂ ∂∂ ∂= + = ⇔ = −

∂ ∂ ∂ ∂

2 1

1 2

/MRTS .

/

dx f x

dx f x

∂ ∂= − =

∂ ∂

MRTS

29

� Tentukan isokuan dari fungsi produksi Cobb-Douglas:

1 .y L Kα αβ −=

Turunan Implisit

30

Turunan Implisit

31

Turunan Implisit

32

3. kalkulus turunan -...

Documents