kalkulus 2 - tekkim.unnes.ac.idtekkim.unnes.ac.id/.../uploads/2014/03/uji-konvergensi-deret.pdf ·...
TRANSCRIPT
Department of Chemical Engineering
Semarang State University
1
Kalkulus 2
Deret Pangkat dan Uji Konvergensi
Dhoni Hartanto S.T., M.T., M.Sc.
ExperimentalDeret Pangkat
Urutan dan deret (sequences and series)
1. Urutan angka merupakan rangkaian angka tak terbatas (jumlah n) yang
membentuk suatu pola atau susunan
Syarat urutan konvergen : jika n semakin besar, maka urutan tersebut akan
mendekati suatu angka tertentu dimana angka tersebut merupakan suatu limit
urutan
Jika urutan tidak mempunyai limit, maka urutan tersebut tidak konvergen atau
disebut divergen (diverges)
2
1,1,1;.....4
1,
3
1,
2
1;......4,3,2,1 atauatau
ExperimentalDeret Pangkat
Contoh (konvergen)
3
n
nan
1 konvergen, karena 1
1lim
n
n
n
Semakin besar nilai n maka urutan tersebut semakin mendekati nilai 1 sehingga
bersifat konvergen
Contoh (divergen)
n
na 2 divergen, karena
n
n2lim
Semakin besar nilai n maka urutan tersebut semakin besar menuju tak hingga
sehingga bersifat divergen
ExperimentalDeret Pangkat
2. Deret merupakan bentuk penjumlahan dari suatu urutan, berbentuk
jika deret berhenti sampai an maka deret terbatas (finite), jika deret berlanjut
terus maka deret tersebut tak hingga (infinite)
Penjumlahan sebagian deret n merupakan penjumlahan deret hingga nilai n. Jika
penjumlahan sebagian tersebut konvergen terhadap L maka deret tersebut
konvergen terhadap limit L.
4
.......4321 naaaaa
Lan
n
1
ExperimentalDeret Pangkat
2. Deret (lanjutan)
Jika tidak terdapat limit tersebut (seperti deret harmonik) berarti deret
divergen.
contoh deret harmonik
Misal : apakah deret konvergen? Jika iya, tentukan nilainya
Penyelesaian :
Bentuk deret :
5
....4
1,
3
1,
2
11
1
1
n n
1 3
1
nn
n3
1....
3
1
3
1
3
132
ExperimentalDeret Pangkat
6
)(3
1....
3
1
3
1
3
132
aSnn
Kalikan dengan 1/3, sehingga )(3
1
3
1....
3
1
3
1
3
1132
bSnnn
Kurangkan persamaan (a) ke persamaan (b), didapat
13
1
3
1
3
2
nnS Lalu kalikan dengan 3/2, sehingga
13
1
3
1
2
3nnS
Kemudian tentukan limit
2
10
3
1
2
3
3
1
3
1
2
3lim
1
nn
Deret konvergen dengan nilai2
1
ExperimentalDeret Pangkat
Deret pangkat (power series)
-) deret pangkat untuk x = 0
-) deret pangkat untuk x = a
Dimana a merupakan pusat dan c0, c1 , c2 ,….., cn merupakan konstanta,
sedangkan x merupakan variabel.
7
.......2
2
0
10
n
n
n
n
n xcxcxccxc
...)(....)()()( 2
2
0
10
n
n
n
n
n axcaxcaxccaxc
ExperimentalAplikasi Deret Pangkat
8
0
2
4
6
8
10
12
-1 -0.5 0 0.5 1
y=1/(1-x)
y=1+x+..+(x^8)
y=1+x+(x^2)
y=1+x
y=1
y=1+x..+(x^15)
Grafik y = 1/(1-x) dan pendekatan polinomialnya
)11(.......11
1 32
xxxxxx
n
Experimental
9
Contoh deret pangkat diketahui sebagai berikut :
2
2)(
)(;;;1;2
...)2()(...)2()2(1
21
41
221
10
212
41
21
xrratio
cccca
xxx
n
n
nn
Deret konvergen untuk 4012
2
xatau
x
Penjumlahan deret adalahxrr
aS
xn
2
)(1
1
1
1
12
2
Sehingga
40....,)2()(...)2()2(12
212
41
21 xxxx
x
nn
Aplikasi Deret Pangkat
Experimental
10
Grafik y = 2/x dan pendekatan polinomialnya
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4
2/x
1-0.5(x-2)=2-(x/2)
1-0.5(x-2)+0.25(x-2)^2
40....,)2()(...)2()2(12
212
41
21 xxxx
x
nn
Aplikasi Deret Pangkat
ExperimentalDeret Geometrik
11
1
1132 ....n
nn ararararara
Bagaimana mengecek deret konvergen atau tidak konvergen pada deret
geometrik?
Jika , maka deret konvergen
Jika , maka deret divergen
Misal deret konvergen :
Sedangkan deret divergen
1r
1r
n2
1....
2
1
2
1
2
132
...2222 32 n
ExperimentalDeret Geometris
12
Jumlah pada deret geometris
)1(
)1(
r
raS
n
n
1 3
1
nn
Untuk deret , maka jumlah deret hingga deret ke-4 adalah81
40
3
11
3
11
3
14
4
S
Untuk deret geometris tak terhingga jika deret tersebut konvergen, maka
r
aS
1
0lim
n
nr Sehingga
ExperimentalUji Konvergensi
13
Beberapa cara uji konvergensi :
1) Tes rasio (ratio test)
2) Tes Integral (integral test)
3) Tes perbandingan (comparison test)
ExperimentalUji Konvergensi
14
1) Tes rasio (ratio test)
n
n
n a
a 1lim
a) Jika , maka deret konvergen1
b) Jika , maka deret divergen1
c) Jika , dalam hal ini uji tidak menyediakan informasi yang cukup
sehingga deret bisa konvergen atau juga divergen
1
Contoh : Tentukan apakah deret konvergen
1 3nn
n
3
1
3
31lim
3
3
1lim
3
3
1
lim11
1
n
n
n
n
nn
n
n
n n
n
n
n
n
n
Karena nilai , maka deret konvergen1
ExperimentalUji Konvergensi
15
2) Tes integral (integral test)
Jika f positif, kontinyu, dan menurun untuk dan an = f(n), maka1x
1n
na dan
1)( dxxf , kedua-duanya bisa konvergen atau divergen
Contoh : apakah deret konvergen?
Penyelesaian : Integralkan, mengganti n dengan x, sehingga
13
2
1
6
n n
n
dxx
x
1 3
2
1
6
dxx
xa
a 1 3
2
1
6lim , subtitusi u = x3 +1 dan du = 3x2 dx, sehingga diperoleh :
)2ln)1(ln(2lim)(ln2lim2lim 31
2
1
2
33
auu
du
a
a
a
a
a
Hasil integral tak hingga (divergen) sehingga deret juga divergen
ExperimentalUji Konvergensi
16
3) Tes perbandingan (comparison test)
Jika , untuk semua nilai nnn ba 0
a) Jika konvergen, maka konvergen
1n
nb
1n
na
b) Jika divergen, maka divergen
1n
nb
1n
na
Contoh : apakah deret konvergen?
Penyelesaian :
Kita tahu bahwa nilai konvergen karena
1 25
1
nn
n2
11r
Jika dibandingkan maka lebih kecil dari sehingga konvergenn2
1n25
1
1 25
1
nn
ExperimentalUji Konvergensi
17
1. Apakah deret konvergen? Gunakan tes rasio
2. Apakah deret konvergen? Gunakan tes integral
3. Apakah deret konvergen? Gunakan tes perbandingan
1n
ne
1 3
1
n n
2 1
1
n n
ExperimentalDeret Taylor
18
Deret ini Taylor pada titik x = a merupakan deret yang berguna untuk
pendekatan fungsi disekitar titik x = a
0
2)(
...)(!
)(...)(
!2
)("))((')()(
!
)(
k
nn
kk
axn
afax
afaxafafx
k
af
Deret Taylor khusus pada x = 0 disebut Deret Mclaurin
0
2)(
...!
)0(...
!2
)0(")0(')0()(
!
)(
k
nn
kk
xn
fx
fxffx
k
af
ExperimentalDeret Taylor
19
Contoh : Tentukan Deret Taylor yang dihasilkan oleh fungsi pada a = 1x
xf1
)(
Pertama, turunkan fungsi
!)1()1(!
)1()(
!424)1(24)(
!36)1("'6)("'
!22)1("2)("
1)1(')('
1)1()(
)(
1
)(
)4(5)4(
4
3
2
1
nfx
nxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
nn
n
nn
xxf
1)(
Langkah ke-2, masukkan ke persamaan Deret Taylor
0
32
32
)1()1(...)1()1()1(1
...!3
)1(!3
!2
)1(!2)1(1
k
kk xxxx
xxx
ExperimentalDeret McLaurin
20
Beberapa contoh Deret McLaurin yang sering digunakan
0
32
!...
!3!21
k
kx
k
xxxxe
0
1253
)!12()1(...
!5!3sin
k
kk
k
xxxxx
0
242
)!2()1(...
!4!21cos
k
kk
k
xxxx
0
1432
1)1(...
432)1ln(
k
kk
k
xxxxxx
Buktikan
Buktikan
o10sin
Tugas Hitung dengan menggunakanderet dan kalkulator atau M. Excel
kemudian bandingkan (% eror)
ExperimentalAplikasi Deret Taylor
21
Dalam praktik penggunaan pada Deret Taylor, tidak semua deret digunakan
Umumnya hanya menggunakan beberapa suku awal saja
1. Order nol (menggunakan suku pertama)
Saat nilai , berarti nilai fungsi pada titik x1+i sama dengan
nilai fungsi pada titik xi . Hal tersebut berlaku jika fungsi konstan. Jika tidak
maka harus memperhitungkan suku-suku berikutnya.
2. Order satu (menggunakan dua suku pertama)
3. Order dua (menggunakan dua suku pertama)
4. Order tiga (menggunakan tiga suku pertama)
)()( 1 xfxf i
!1)(')()( 1
xxfxfxf i
!2)("
!1)(')()(
2
1
xxf
xxfxfxf i
!3)("'
!2)("
!1)(')()(
32
1
xxf
xxf
xxfxfxf i
ExperimentalAplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial
22
1)0(,' yxyySelesaikan
Penyelesaian :
Asumsi penyelesaian dalam bentukn
n
n
n xaxaxaxaxaay
1
1
3
3
2
210 .....
Tujuan kita adalah ingin menemukan nilai ak ,maka turunan pertamanya
12
321 .....32' n
nxnaxaxaay
Mengurangkan persamaan awal dengan turunannya
...)(.....)3()2()(' 1
1
2
231201
n
nn xanaxaaxaaaayy
Sehingga diperoleh
001 aa
12 12 aa
03 23 aa
01 nn ana
ExperimentalAplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial
23
Penyelesaian (lanjutan) :
1;1 010 aaa
!2
2
2
11
2
1 12
aa
!3
2
2.3
2
3
23
aa
!
21
nn
aa n
n
n
n
n
n xaxaxaxaxaay
1
1
3
3
2
210 .....Subtitusi ke persamaan :
....!
2.....!3
2!2
2132
n
xxxxy
n
....
!.....
!3!221
32
n
xxxxy
n
Deret McLaurin
...!3!2
1
...!3!2
1
32
32
xxxe
xxxe
x
x
Sehingga persamaan menjadi :
xey
xexy
x
x
12
121Penyelesaian
Experimental
24
Tentukan deret dari persamaan diferensial :
1)0(,0')3
1)0(,')2
1)0(,0')1
yxyy
yxyy
yyy
Aplikasi Deret Pangkat pada Persamaan Diferensial
Thank you for your attention
25