deret - masud.lecture.ub.ac.idmasud.lecture.ub.ac.id/files/2017/08/deret.pdf · –rata-rata...

Matematika Industri 1

DERET


TIP – FP – UB


Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik

• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli

• Deret tak berhingga

• Nilai-nilai limit

• Deret konvergen dan deret divergen

• Uji konvergensi

• Deret secara umum. Konvergensi mutlak


Barisan

• Barisan

– Suatu set kuantitas, u1, u2, u3, …, yang

dinyatakan dalam suatu urutan dan setiap

sukunya terbentuk menurut pola tertentu,

dengan kata lain ur = f (r)

– Barisan berhingga hanya mengandung suku-

suku yang berhingga banyaknya

– Barisan tak berhingga tidak mempunyai suku

terakhir


Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik





• Uji konvergensi



Deret

• Suatu deret dibentuk oleh jumlah dari suku-suku suatu barisan

• Jika u1, u2, u3, … adalah barisan, maka

merupakan deret

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2 3n n

S u

S u u

S u u u

S u u u u


Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik





• Uji konvergensi



Deret Aritmetik (Deret Hitung)

• Suku ke-n suatu deret aritmetik didefinisikan

sebagai:

• Dimana a adalah suku pertama dan d adalah

beda.

• Jumlah dari n suku pertama deret aritmetik Sn

adalah:

( 1)nu a n d

2 [ 1]2

n

nS a n d



• Rata-rata aritmetik

– Rata-rata aritmetik dua bilangan P dan Q

adalah sebuah bilangan A sdrs

– Membentuk deret aritmetik, sehingga

– Rata-rata aritmetik dari dua bilangan adalah

rata-rata kedua bilangan tersebut

P A Q

and so that A P d Q A d A P Q A

2 giving 2

P QA P Q A



• Rata-rata aritmetik

– Penyisipan tiga rata-rata aritmetik,

A, B, dan C, diantara dua bilangan

P dan Q sdrs

– Membentuk deret aritmetik, maka

P A B C Q

4 so 4

Q PQ P d d

4

2

34

Q PA P

Q PB P

Q PC P


Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik





• Uji konvergensi



Deret Geometrik (Deret Ukur)

• Bentuk umum deret geometik dengan suku

ke-n

• Dimana a adalah suku pertama dan r adalah

rasio

• Jumlah n suku pertama deret geometrik Sn

1n

nu ar

(1 )

1

n

n

a rS

r



• Rata-rata geometrik

– Rata-rata geometrik dari dua bilangan, P dan

Q, adalah A sdrs

– Membentuk deret geometrik, sehingga

– Rata-rata geometrik dari dua bilangan adalah

akar dari hasilkali kedua bilangan

P A Q

and so that A Q A Q

r rP A P A

2 giving A PQ A PQ



• Rata-rata geometrik

– Penyisipan 3 rata-rata geometrik antara P dan

Q sdrs membentuk deret geometrik

P A B C Q

44 so

Q Qr r

P P

4

2

4

3

4

QA P

P

QB P

P

QC P

P


Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik





• Uji konvergensi



Deret Pangkat dari Bilangan-

bilangan Asli

• Deret

• Merupakan deret aritmetik dengan a=1

dan d=1, sehingga

1

1 2 3 4 5n

r

n r

1

( 1)(2 [ 1] )

2 2

n

r

n n nr a n d



bilangan Asli

• Deret semisal

• Dinotasikan

• sehingga

2 2 2 2 2 2 2

1

1 2 3 4 5n

r

n r

3 3 2( 1) 3 3 1r r r r

3 3 2

1 1 1 1

( 1) 3 3 1n n n n

r r r r

r r r r



bilangan Asli

• Jika dilanjutkan

3 3 3 3 3 2

1 1

( 1) ( 1) 1 3 3 and 1n n

r r

r r n n n n n

2 3 2

1 1 1

( 1)3 3 3 3 where

2

n n n

r r r

n nr r n n n n r

2

1

( 1)(2 1)

6

n

r

n n nr



bilangan Asli

• Jumlah dari pangkat tiga-pangkat tiga

menggunakan identitas

2

3

1

( 1)

2

n

r

n nr


Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik





• Uji konvergensi



Deret Tak Berhingga


merupakan deret dengan

banyak sukunya tak

berhingga

• Deret geometrik dengan

a=1 dan r=1/2 dengan

jumlah n suku pertama

1 1 11, , , ,

2 4 8

1 1 1 11 , ,

2 4 8 2

1 1 1/ 2

1 1/ 2

2 1 1/ 2

n

n

n

Sn


Deret Tak Berhingga

• Jika n sangat besar, maka 1/2

n akan sangat kecil dan mendekati nol

• Dengan kata lain

• Kita katakan limit Sn seiring n mendekati tak berhingga adalah 2

1as so 0

2nn

10 so 2(1 1/ 2 ) 2

2

n

nnS

2nnLimS S


Deret Tak Berhingga

• Terkadang deret tak

berhingga tidak

memiliki limit

• Sebuah deret

aritmetik dengan a=1

dan d=2 :

1, 3, 5, 7,

2

1 3 5 7, , 2 1

2 1 22

nS n

nn

n

2as so nn S n

nnLimS S


Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik





• Uji konvergensi



Nilai-nilai Limit

( )

( )n

f nLim

g n

( ) 0 and ( ) 0n nLim f n Lim g n

( ) and ( )n nLim f n Lim g n

1as so 0n

n

5 3 5 3/ dividing top and bottom by

2 7 2 7 /

5 0

2 0

5

2

n n

n nLim Lim n

n n


Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik





• Uji konvergensi



Deret Konvergen dan Deret

Divergen • Suatu deret dimana jumlah (Sn) dari n

suku dari deret tersebut cenderung mendekati suatu nilai tertentu, yaitu ketika, disebut deret konvergen

• Jika Sn tidak mendekati suatu nilai tertentu ketika , deret ini disebut deret divergen

• Uji konvergensi diperlukan jika sulit mencari rumus untuk Sn

n

n


Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik





• Uji konvergensi



Uji Konvergensi

• Uji 1: Suatu deret tidak mungkin

konvergen terkecuali suku-sukunya

akhirnya mendekati nol; lebih tepatnya,

terkecuali

• Jika

• Maka Sn divergen jika

• Pengecualian:

1 2 3n nS u u u u 0n

nLim u

0nnLim u

1 1 1 11

2 3 4nS

n

10

nLim

n


Uji Konvergensi

• Uji 2: Uji Komparasi (Comparasion Test)

– Suatu deret yang terdiri dari suku-suku positif

akan konvergen jika suku-sukunya lebih kecil

daripada suku-suku padanannya dari suatu

deret positif lain yang sudah diketahui

konvergen. Dengan cara serupa, suatu deret

akan divergen jika suku-sukunya lebih besar

daripada suku-suku padanannya dari suatu

deret lain yang diketahui divergen.


Uji Konvergensi

• Uji 2:

– Konvergen jika p > 1

– Divergen jika p 1

1

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4p p p p p prn r

1

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4p p p p p prn r


Uji Konvergensi

• Uji 3: Uji rasio D’Alembert untuk suku-suku

positif

• Jika

merupakan deret dengan suku-suku positif

1 2 3 4

1

n r

r

u u u u u u

1

1

1

1, the series converges

1, the series diverges

1, the series may converge or diverge

n

nn

n

nn

n

nn

uLim

u

uLim

u

uLim

u


Pokok Bahasan

• Barisan

• Deret

• Deret aritmetik

• Deret geometrik





• Uji konvergensi



Deret Secara Umum

Konvergensi Mutlak • Jika deret konvergen, maka deret

sangat mungkin tidak konvergen

• Jika deret konvergen, maka dipastikan konvegen

• Jika konvergen, maka deret dikatakan konvergen mutlak

• Jika tidak konvergen, tapi konvergen, maka konvergen bersyarat

1

r

r

u

1

r

r

u

1

r

r

u

1

r

r

u

1

r

r

u

1

r

r

u

1

r

r

u

1

r

r

u

1

r

r

u


Hasil Pembelajaran

• Menggunakan deret aritmetik dan deret geometrik

• Menggunakan deret pangkat dan bilangan-bilangan asli

• Menentukan nilai limit dari deret aritmetik dan deret geometrik

• Menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tak tentu yang sederhana

• Menerapkan berbagai uji konvergensi pada deret tak berhingga

• Membedakan antara konvergensi mutlak dan konvergensi bersyarat

deret - masud.lecture.ub.ac.idmasud.lecture.ub.ac.id/files/2017/08/deret.pdf · –rata-rata...

Documents