Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Barisan
• Barisan
– Suatu set kuantitas, u1, u2, u3, …, yang
dinyatakan dalam suatu urutan dan setiap
sukunya terbentuk menurut pola tertentu,
dengan kata lain ur = f (r)
– Barisan berhingga hanya mengandung suku-
suku yang berhingga banyaknya
– Barisan tak berhingga tidak mempunyai suku
terakhir
Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Deret
• Suatu deret dibentuk oleh jumlah dari suku-suku suatu barisan
• Jika u1, u2, u3, … adalah barisan, maka
merupakan deret
1 1
2 1 2
3 1 2 3
1 2 3n n
S u
S u u
S u u u
S u u u u
Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Deret Aritmetik (Deret Hitung)
• Suku ke-n suatu deret aritmetik didefinisikan
sebagai:
• Dimana a adalah suku pertama dan d adalah
beda.
• Jumlah dari n suku pertama deret aritmetik Sn
adalah:
( 1)nu a n d
2 [ 1]2
n
nS a n d
Matematika Industri 1
Deret Aritmetik (Deret Hitung)
• Rata-rata aritmetik
– Rata-rata aritmetik dua bilangan P dan Q
adalah sebuah bilangan A sdrs
– Membentuk deret aritmetik, sehingga
– Rata-rata aritmetik dari dua bilangan adalah
rata-rata kedua bilangan tersebut
P A Q
and so that A P d Q A d A P Q A
2 giving 2
P QA P Q A
Matematika Industri 1
Deret Aritmetik (Deret Hitung)
• Rata-rata aritmetik
– Penyisipan tiga rata-rata aritmetik,
A, B, dan C, diantara dua bilangan
P dan Q sdrs
– Membentuk deret aritmetik, maka
P A B C Q
4 so 4
Q PQ P d d
4
2
34
Q PA P
Q PB P
Q PC P
Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Deret Geometrik (Deret Ukur)
• Bentuk umum deret geometik dengan suku
ke-n
• Dimana a adalah suku pertama dan r adalah
rasio
• Jumlah n suku pertama deret geometrik Sn
1n
nu ar
(1 )
1
n
n
a rS
r
Matematika Industri 1
Deret Geometrik (Deret Ukur)
• Rata-rata geometrik
– Rata-rata geometrik dari dua bilangan, P dan
Q, adalah A sdrs
– Membentuk deret geometrik, sehingga
– Rata-rata geometrik dari dua bilangan adalah
akar dari hasilkali kedua bilangan
P A Q
and so that A Q A Q
r rP A P A
2 giving A PQ A PQ
Matematika Industri 1
Deret Geometrik (Deret Ukur)
• Rata-rata geometrik
– Penyisipan 3 rata-rata geometrik antara P dan
Q sdrs membentuk deret geometrik
P A B C Q
44 so
Q Qr r
P P
4
2
4
3
4
QA P
P
QB P
P
QC P
P
Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Deret Pangkat dari Bilangan-
bilangan Asli
• Deret
• Merupakan deret aritmetik dengan a=1
dan d=1, sehingga
1
1 2 3 4 5n
r
n r
1
( 1)(2 [ 1] )
2 2
n
r
n n nr a n d
Matematika Industri 1
Deret Pangkat dari Bilangan-
bilangan Asli
• Deret semisal
• Dinotasikan
• sehingga
2 2 2 2 2 2 2
1
1 2 3 4 5n
r
n r
3 3 2( 1) 3 3 1r r r r
3 3 2
1 1 1 1
( 1) 3 3 1n n n n
r r r r
r r r r
Matematika Industri 1
Deret Pangkat dari Bilangan-
bilangan Asli
• Jika dilanjutkan
3 3 3 3 3 2
1 1
( 1) ( 1) 1 3 3 and 1n n
r r
r r n n n n n
2 3 2
1 1 1
( 1)3 3 3 3 where
2
n n n
r r r
n nr r n n n n r
2
1
( 1)(2 1)
6
n
r
n n nr
Matematika Industri 1
Deret Pangkat dari Bilangan-
bilangan Asli
• Jumlah dari pangkat tiga-pangkat tiga
menggunakan identitas
2
3
1
( 1)
2
n
r
n nr
Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Deret Tak Berhingga
• Deret tak berhingga
merupakan deret dengan
banyak sukunya tak
berhingga
• Deret geometrik dengan
a=1 dan r=1/2 dengan
jumlah n suku pertama
1 1 11, , , ,
2 4 8
1 1 1 11 , ,
2 4 8 2
1 1 1/ 2
1 1/ 2
2 1 1/ 2
n
n
n
Sn
Matematika Industri 1
Deret Tak Berhingga
• Jika n sangat besar, maka 1/2
n akan sangat kecil dan mendekati nol
• Dengan kata lain
• Kita katakan limit Sn seiring n mendekati tak berhingga adalah 2
1as so 0
2nn
10 so 2(1 1/ 2 ) 2
2
n
nnS
2nnLimS S
Matematika Industri 1
Deret Tak Berhingga
• Terkadang deret tak
berhingga tidak
memiliki limit
• Sebuah deret
aritmetik dengan a=1
dan d=2 :
1, 3, 5, 7,
2
1 3 5 7, , 2 1
2 1 22
nS n
nn
n
2as so nn S n
nnLimS S
Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Nilai-nilai Limit
( )
( )n
f nLim
g n
( ) 0 and ( ) 0n nLim f n Lim g n
( ) and ( )n nLim f n Lim g n
1as so 0n
n
5 3 5 3/ dividing top and bottom by
2 7 2 7 /
5 0
2 0
5
2
n n
n nLim Lim n
n n
Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Deret Konvergen dan Deret
Divergen • Suatu deret dimana jumlah (Sn) dari n
suku dari deret tersebut cenderung mendekati suatu nilai tertentu, yaitu ketika, disebut deret konvergen
• Jika Sn tidak mendekati suatu nilai tertentu ketika , deret ini disebut deret divergen
• Uji konvergensi diperlukan jika sulit mencari rumus untuk Sn
n
n
Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Uji Konvergensi
• Uji 1: Suatu deret tidak mungkin
konvergen terkecuali suku-sukunya
akhirnya mendekati nol; lebih tepatnya,
terkecuali
• Jika
• Maka Sn divergen jika
• Pengecualian:
1 2 3n nS u u u u 0n
nLim u
0nnLim u
1 1 1 11
2 3 4nS
n
10
nLim
n
Matematika Industri 1
Uji Konvergensi
• Uji 2: Uji Komparasi (Comparasion Test)
– Suatu deret yang terdiri dari suku-suku positif
akan konvergen jika suku-sukunya lebih kecil
daripada suku-suku padanannya dari suatu
deret positif lain yang sudah diketahui
konvergen. Dengan cara serupa, suatu deret
akan divergen jika suku-sukunya lebih besar
daripada suku-suku padanannya dari suatu
deret lain yang diketahui divergen.
Matematika Industri 1
Uji Konvergensi
• Uji 2:
– Konvergen jika p > 1
– Divergen jika p 1
1
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4p p p p p prn r
1
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4p p p p p prn r
Matematika Industri 1
Uji Konvergensi
• Uji 3: Uji rasio D’Alembert untuk suku-suku
positif
• Jika
merupakan deret dengan suku-suku positif
1 2 3 4
1
n r
r
u u u u u u
1
1
1
1, the series converges
1, the series diverges
1, the series may converge or diverge
n
nn
n
nn
n
nn
uLim
u
uLim
u
uLim
u
Matematika Industri 1
Pokok Bahasan
• Barisan
• Deret
• Deret aritmetik
• Deret geometrik
• Deret pangkat dari bilangan-bilangan asli
• Deret tak berhingga
• Nilai-nilai limit
• Deret konvergen dan deret divergen
• Uji konvergensi
• Deret secara umum. Konvergensi mutlak
Matematika Industri 1
Deret Secara Umum
Konvergensi Mutlak • Jika deret konvergen, maka deret
sangat mungkin tidak konvergen
• Jika deret konvergen, maka dipastikan konvegen
• Jika konvergen, maka deret dikatakan konvergen mutlak
• Jika tidak konvergen, tapi konvergen, maka konvergen bersyarat
1
r
r
u
1
r
r
u
1
r
r
u
1
r
r
u
1
r
r
u
1
r
r
u
1
r
r
u
1
r
r
u
1
r
r
u
Matematika Industri 1
Hasil Pembelajaran
• Menggunakan deret aritmetik dan deret geometrik
• Menggunakan deret pangkat dan bilangan-bilangan asli
• Menentukan nilai limit dari deret aritmetik dan deret geometrik
• Menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tak tentu yang sederhana
• Menerapkan berbagai uji konvergensi pada deret tak berhingga
• Membedakan antara konvergensi mutlak dan konvergensi bersyarat