deret series - asepmusa.blog.undip.ac.idasepmusa.blog.undip.ac.id/files/deret.pdf · barisan vs...

DERETSeries

ASEP MUHAMAD SAMSUDIN, S.T.,M.T.

DEPARTEMEN TEKNIK KIMIAFAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS DIPONEGORO

SEMARANG

MATEMATIKA 2

BARISAN VS DERET

BARISAN (Sequences)

Himpunan besaran u1, u2, u3, … yang disusun dalam urutan tertentu danmasing-masing sukunya dibentuk menurut suatu pola yang tertentu pula, yaitu ur = f(r)

DERET (Series)

Dibentuk oleh jumlah suku-suku barisan

CONTOH :

1, 3, 5, 7, … adalah barisan

1 + 3 + 5 + 7 + … adalah deret

DERET HITUNG (Arithmetic Series)

a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + …2 + 5 + 8 + 11 + 14 + … dst

Un = a + (n-1)dSn = n/2 (2a + (n-1)d)

a = u1 = suku pertamaUn = suku ke-nd = beda (common difference) = Un+1 - Un

Sn = jumlah n buah suku

𝑼𝒏 = 𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒅

𝑺𝒏 =𝒏

𝟐𝟐𝒂 + 𝒏 − 𝟏 𝒅


Contoh :

Carilah jumlah 20 suku yang pertama dari deret :

10 + 6 + 2 - 2 – 6 ….. Dst

Jawaban :

a = 10 d = 2-6 = -4

𝑆𝑛 =𝑛

22𝑎 + 𝑛 − 1 𝑑

𝑆20 =20

22𝑥10 + 20 − 1 −4 = −560


Latihan soal :

Jika suku ke 7 suatu DH adalah 22 dan suku ke 12 adalah 37, maka:

a. Tentukan deret tersebut

b. Hitung jumlah 50 suku pertama

c. Hitung suku ke 101 dari deret tersebut

RATA-RATA HITUNG (Arithmetic Mean)

• Rata-rata (Mean) adalah nilai tengah (A) diantara dua buahbilangan (P dan Q),

• Sehingga deret tersebut menjadi P + A + Q membentuk deret hitung

𝐴 − 𝑃 = 𝑑𝑄 − 𝐴 = 𝑑

𝐴 − 𝑃 = 𝑄 − 𝐴2𝐴 = 𝑃 + 𝑄

𝐴 =(𝑃 + 𝑄)

2


Contoh :Sisipkanlah 3 buah rata-rata hitung diantara 8 dan 18

Jawaban :8 + A + B + C + 18U1 = a = 8U5 = a + 4d = 18Maka, a = 8 dan d = 2,5; sehinggaA = U2 = a + d = 10,5B = U3 = a + 2d = 13C = U4 = a + 3d = 15,5

Sehingga rata-rata hitung yang dicari adalah 10,5; 13; 15,5


Latihan Soal :

a. Sisipkanlah 3 buah rata-rata hitung diantara 12 dan 21,6

b. Sisipkan 8 buah rata-rata hitung diantara 2,4 dan 33,9

DERET UKUR (Geometric Series)

a + a.r + a.r2 + a.r3 + … dst

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + … dst

a = u1 = suku pertama

Un = suku ke-n

Sn = jumlah n buah suku

r = rasio (common ratio) = 𝑈𝑛+1

𝑈𝑛

𝑼𝒏 = 𝒂𝒓𝒏−𝟏

𝑺𝒏 =𝒂(𝟏−𝒓𝒏)

𝟏−𝒓


Contoh :

Untuk deret 8 + 4 + 2 + 1 + ½ + … dst, tentukan jumlah 8 sukupertama

Jawaban :

8 + 4 + 2 + 1 + ½ + … dst

a = 8 r = ½

𝑆𝑛 =𝑎(1 − 𝑟𝑛)

1 − 𝑟

𝑆8 =8(1 − 0,58)

1 − 0,5= 16

255

266=255

16= 151516


Latihan Soal:

Jika suku ke 5 suatu DU adalah 162 dan suku ke 8 nya adalah4374, maka :

a. Tentukan deret tersebut

b. Hitunglah suku ke 10

c. Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari deret tersebut

d. Hitunglah jumlah suku ke 7 sampai 12

RATA-RATA UKUR (Geometric Mean)

• Rata-rata (Mean) adalah nilai tengah (A) diantara dua buahbilangan (P dan Q),

• Sehingga deret tersebut menjadi P + A + Q membentuk deret ukur

𝐴

𝑃= 𝑟

𝑄

𝑃= 𝑟

𝐴

𝑃=𝑄

𝐴𝑨 = 𝑷.𝑸


Contoh Soal:

Sisipkah 3 buah rata-rata ukur untuk 5 dan 405

Jawaban :

Deret : 5 + A + B + C + 405

U1 = a = 5

U5 = a.r4 = 405, maka r = 3

A = U2 = ar = 5.3 = 15

B = U3 = ar2 = 5.32 = 45

C = U4 = ar2 = 5.33 = 135


Latihan Soal:

a. Sisipkan 4 buah rata-rata ukur diantara 5 dan 1215

b. Sisipkan 5 buah rata-rata ukur diantara 20 dan 81920

DERET PANGKAT BILANGAN ASLI

2

1)n(nr

1

n

6

1)1)(2nn(nr

1

2

n

2

1

3

2

1)n(nr

n

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +⋯+ 𝑛 =

1

𝑛

𝑟

12 + 22 + 32 + 42 + 52 +⋯+ 𝑛2 =

1

𝑛

𝑟2

13 + 23 + 33 + 43 + 53 +⋯+ 𝑛3 =

1

𝑛

𝑟3


Contoh Soal:

1. Hitunglah jumlah 20 suku deret 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + … dst

2. Hitunglah jumlah deret

𝑛=1

5

𝑛(3 + 2𝑛)


Latihan Soal:

1. Hitunglah jumlah deret

2. Hitunglah jumlah 30 suku deret 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + …

𝑛=1

5

(5𝑛 + 𝑛3)

DERET TAK BERHINGGA

• Pada deret hitung

jumlah tak berhingga suku tak dapat dihitung karenahasilnya selalu tak berhingga

• Pada deret ukur

Jika |r|<1, maka :

r-1

aS

DERET TAK BERHINGGA

Latihan Soal:

Tinjaulah deret tak berhingga dari deret

20 + 4 + 0,8 + 0,16 + 0,032 + … dst

DERET KONVERGEN & DIVERGEN

• DERET KONVERGEN (MENGUMPUL)

Deret yang jumlah n sukunya (Sn) menuju ke sebuah hargatertentu jika n ∞

• DERET DIVERGEN

Deret yang jumlah sukunya (Sn) tidak menuju ke sebuahharga tertentu jika n ∞

DERET KONVERGEN & DIVERGEN

Contoh:1. Tinjaulah deret tak berhingga 1 + ½ + ¼ + 1/8 + … dst

2. Tinjaulah deret tak berhingga 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + … dst

KAIDAH UJI KEKONVERGENAN

KAIDAH 1

“suatu deret tidak mungkin konvergen kecuali bila sukusukunya akhirnya menuju nol”.

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 0 : deret mungkin konvergen

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 ≠ 0 : deret pasti divergen


KAIDAH 1

1. 1 +1

3+

1

9+

1

27+

1

81+⋯

2. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + …

Mungkin Konvergen

Divergen


KAIDAH 2 : UJI PERBANDINGAN“Suatu deret dengan suku suku positif akan konvergen jika sukusukunya lebih kecil daripada suku suku seletak deret positifpembanding”.

Deret pembanding:

- jika p > 1 : deret konvergen- jika p ≤ 1 : deret divergen

1

11...

3

1

2

1

1

1

nppppp nn


Contoh:

Tinjaulah deret tak berhingga 1 +1

22+

1

33+

1

44+⋯

Tinjaulah deret tak berhingga1

1,2+

1

2,3+

1

3,4+⋯


KAIDAH 3:

Uji pembagian D’Alembert untuk deret bersuku positif

Jika:

: deret konvergen

: deret divergen

: tidak ada kesimpulan

(dicek dengan kaidah lainnya)1lim 1

n

n

n

U

U

1lim 1

n

n

n

U

U

1lim 1

n

n

n

U

U


Contoh:

• Tinjaulah deret tak berhingga1

1+

3

2+

5

4+

7

8+⋯


LATIHAN:

Periksalah apakah deret deret berikut konvergen atau

divergen?

a.2

12+

22

22+

23

32+

24

42+⋯

b. 𝑈𝑛 =(1+2n2)(1+n2)

DERET PANGKAT

DERET MACLAURIN

Digunakan untuk membentuk sebuah deret

...)0('''f.!3

x)0(''f.

!2

x(0)x.f'f(0) f(x)

32

DERET PANGKAT

CONTOH:

Buatlah deret untuk ln (1+x)

LATIHAN:

Jabarkan sin^2 x dalam deret pangkat x dengan pangkat yang semakin bertambah

DERET PANGKAT

DERET BAKU

dstxxx

xx

dstxx

xx

dstxxxx

x

dstxxxx

xx

...!7!5!3

sinh

...15

2

3tan

...!8!6!4!2

1cos

...!9!7!5!3

sin

753

53

8642

9753

dstxxx

xe

dstxxxx

xx

dstxxx

x

x ...!4!3!2

1

...5432

)1ln(

...!6!4!2

1cosh

432

5432

642

DERET PANGKAT

CONTOH:

Tentukan tiga suku pertama dari deret untuk

LATIHAN:

Tentukan tiga suku pertama dari deret untuk

xe x 1ln

Sinhxex

DERET BINOMIAL

...x3!

2)-1)(n-n(nx

2!

1)-n(nnx1 x)(1 32n

...x3!

2)-1)(n-n(nx

2!

1)-n(nnx1 x)-(1 32n

deret series - asepmusa.blog.undip.ac.idasepmusa.blog.undip.ac.id/files/deret.pdf · barisan vs...

Documents